Bộ đề thi năng khiếu môn toán lớp 11 trường chuyên năm 2022

Mã đề 101
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU HỌC KỲ I
MƠN TỐN 11
Năm học 2020-2021
Thời gian: 90 phút ( Trắc nghiệm)

SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT
CHUYÊN NGUYỄN TRÃI
*****

**************
Mã đề 101
Câu 1.

Phương trình sin 2 x −



x = 3
A. 
x = 

4


x
=

3
C. 

x = 

4

+ k
+ k
+ k 2
+ k 2

(

)

3 + 1 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0. có các nghiệm là:

(k  ) .

B. x =

(k  ) .



D. x =

4


3

+ k ( k 

+ k 2 ( k 

).

).

Câu 2. Cho phương trình tan x.(tan x + 1) = 0 . Diện tích của đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn

nghiệm của phương trình đã cho bằng.
2
.
C. 2 .
D. 2 2 .
2
Câu 3. Cho đường thẳng d : x + y − 1 = 0 , I ( 2;1) . Phương trình của đường thẳng d ' là ảnh của đường

A. 2 .

B.

thẳng d qua phép vị tự tâm I , tỉ số −3 là
A. x + 2 y + 9 = 0 .
B. x + y − 9 = 0 .
C. 2 x + y − 9 = 0 .
D. x + y + 9 = 0 .
Câu 4. Phương trình sin x + m cos x = 10 có nghiệm khi và chỉ khi
m  3
m  3

A. 
.
B. 
.
C. m  3 .
D. −3  m  3 .
 m  −3
 m  −3
Câu 5. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình cos2 x = 0 trên đường tròn lượng giác bằng
A. 4 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 2 .
1
 3 
Câu 6. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình: sin x = m − có 2 nghiệm trong khoảng  0; 
2
 2 
là
A. 2 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 0 .
tan x − 1


Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y =
+ cos  2 x +  là
sin x

A. D =



\  + k , k   .
2

\ k , k   .

B. D =



3
 k

\  ,k   .
 2


C. D =
D. D = .
Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = 3 − cos 2 x
Trang 1/7


A. N ( 0;2 ) .

D. M ( 2;0 ) .




C. Q ( 3;0) .

B. P ( ;0) .

Câu 9. Tìm nghiệm của phương trình sin 2 x + sin x = 0 thỏa mãn điều kiện −

A. x =


2

B. x =

.


3

C. x =  .

.

Mã đề 101

2

x

2

.

D. x = 0.

Câu 10. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O
A. y = tan x + 2sin x.
B. y = 3 + cos 2 x.
C. y = sin x .
D. y = cos x .
 2x  
Câu 11. Phương trình sin 
−  = 0 có nghiệm là
 3 3
5 k 3

A. x =  +
B. x = + k , k  .
(k  ) .
2
2
3
 k 3
C. x = +
D. x = k , k  .
,k  .
2
2

Câu 12. Cho đồ thị hàm số y = cos x và hình chữ nhật ABCD như hình vẽ. Biết AB =


3

, diện tích S của

hình chữ nhật ABCD là

A. S =


3

.

B. S =

 2
6

.

C. S =

 3
6

.

D. S =


6

.

Câu 13. Trong các phép biến đổi sau, phép biến đổi nào sai


A. tan x = 1  x = + k (k  ) .
B. s inx = 1  x = + k 2 , k  .
2
4


x = + k 2

1
3
(k  ) .
C. s inx = 0  x = k 2 , k  .
D. cos x =  
2
 x = −  + k 2

3
ABCD
Câu 14. Cho hình vng
tâm I có E , F , G, H lần lượt là trung điểm AB, BC , CD, AD .

M , N , P, Q là các điểm kí hiệu như hình vẽ.

Trang 2/7


Mã đề 101
Ảnh của tam giác AHE lần lượt qua các phép biến hình V( I ; −1) , Q I ;90 ,
, V( B;2) là hình nào trong các
( )
hình sau.
A. tam giác DCA .
B. tam giác ADB .
C. tam giác BAC .
D. tam giác CBD .
Câu 15. Phương trình 2cos x + 2 = 0 có nghiệm là

3


 x = 4 + k 2
 x = 4 + k 2
(k  ) .
(k  ) .
A. 
B. 
3

−
3


x =
x =
+ k 2
+ k 2
o



4
4
5



 x = 4 + k 2
 x = 4 + k 2
(k  ) .
(k  ) .
C. 
D. 
 x = −5 + k 2
 x = − + k 2


4
4
Câu 16. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số nào sau đây
y

2

3π

1

4
O

7π


A. y = 2 sin  x +  .


B. y = sin  x −  .


C. y = cos  x −  .


D. y = 2cos  x +  .
4



4

x

4

- 2



2π



4



Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2cos2 x + 4 cos x − m + 1 = 0 có đúng hai
− 
nghiệm thuộc  ;  ?
 2 2

A. 9.

4

B. 5.

C. 8.

D. 7.

2021 + x
Câu 18. Tập xác định của hàm số y =
là

tanx − 1



\  + k , k   .
A. \  + k , k   .
B.
4

2





C.
D. \  + k ; + k , k   .
\  + k 2 , k   .
4
4

2

Câu 19. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (3cos x + 1)(cos x - m + 1) = 0 có ba nghiệm
3 
trên  − ; 
 2 3

Trang 3/7

Mã đề 101
3
3
3
3
A. m  (1; )  {0;2} . B. m  (1; )  {0} .
C. m  (1; ) .
D. m  (1; )  {1} .
2
2
2
2
Câu 20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( 2; 4 ) , B ( 5;1) , C ( −1; − 2 ) . Phép

tịnh tiến TBC biến tam giác ABC tành tam giác ABC  . Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC  .
B. ( 4; 2) .

A. ( −4; − 2 ) .

D. ( 4; − 2) .

C. ( −4; 2 ) .

Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A ( 2; −3) , B (1;0 ) . Phép tịnh tiến theo u = ( 4; −3 )

biến điểm A , B tương ứng thành A , B khi đó, độ dài đoạn thẳng AB bằng
A. AB = 5 .
B. AB = 10 .
C. AB = 10 .

D. AB = 13 .
Câu 22. Tập giá trị của hàm số y = sin 2 x + 3 cos 2 x + 1 là đoạn  a ; b  . Tính tổng T = a + b
A. T = 2 .
B. T = −1 .
C. T = 1 .
D. T = 0 .


Câu 23. Tìm chu kì T của hàm số y = sin  5 x − 
A. T =


2

B. T =

.

5
.
2



4

C. T =

2
.

5

D. T =

Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng


8

.

( d1 ) : 2x + 3 y + 1 = 0

và

( d2 ) : x − y − 2 = 0 . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d1

thành d 2 .
A. 0 .
B. 4 .
C. Vô số.
D. 1 .
Câu 25. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , hãy tìm ảnh của điểm M ( 2;1) qua phép quay Q(O ;60) .


3
1
; 3 +  .
A. 1 −
2

2


B. ( −1; − 2 ) .



Câu 26. Phương trình tan  x +
A.


3

C. −

+ k , k 


2

+ k , k 

C.


 = 0 có nghiệm là
3
B. −

.

.


3
1
; 3 −  .
D. 1 +
2
2


( −2; −1) .

D. −


3



3

+ k , k 
+ k 2 , k 

.
.

Câu 27. Cho v = ( 2;3) và điểm M  (1;2 ) . Biết M  là ảnh của M qua phép tịnh tiến Tv . Tìm M .

A. M (1; −1) .
B. M (1;1) .
C. M ( −1; −1) .
Câu 28. Tập giá trị của hàm số y = 3cos x − 2 là
A.
B.
C. 1;3 .
2;5 .
1;1 .

D. M ( 3;5) .
D.

5;1 .

Câu 29. Với giá trị nào của m thì hàm số y = sin 3x − cos 3x + m có giá trị lớn nhất bằng 2
1
A. m = 0 .
B. m = 2 .
C. m = 1 .
D. m =
.
2
1
Câu 30. Phép vị tự tâm I (1; 3) , tỉ số
biến đường tròn nào trong các đường tròn sau đây thành đường
2
2
tròn ( C' ) : x 2 + ( y − 2 ) = 4 .

Trang 4/7


Mã đề 101
2

1
5
B. ( C2 ) :  x −  +  y −  = 16 .
2
2

A. ( C3 ) : ( x + 1) + ( y − 1) = 16 .
2

2

2



2

1
5
C. ( C1 ) :  x −  +  y −  = 1 .
2
2






2







D. ( C4 ) : ( x + 1) + ( y − 1) = 1 .
2



Câu 31. Chu kỳ của hàm số y = tan x là

A. 2 .
B. .
2
Câu 32. Nghiệm của phương trình cos x = 1 là
−
A. x =
+ k , k  .

C.  .

2

D. k 2 , k  .

− k
+
,k  .
2
2
D. x = k 2 , k  .

B. x =

2

C. x = − + k 2 , k  .
Câu 33. Một phương trình có tập nghiệm được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là hai điểm M và
N trong hình dưới.
y
1

M

x

-1
1

O

-1

N

Phương trình đó là
A. 2cos x + 3 = 0 .
B. 2 cos x − 1 = 0 .
C. 2sin x − 1 = 0 .
Câu 34. Chọn khẳng định sai. Phép đồng dạng tỉ số k ( k  0 ) biến
A. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k .
B. Tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k .
C. Góc thành góc bằng nó.
D. Đường thẳng thành đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Câu 35. Tìm chu kì T của hàm số y = cos 2 x + sin

A. T =


2

.

B. T = 4 .

D. 2sin x + 3 = 0 .

x
2

C. T = 2 .

D. T =  .

Câu 36. Biết nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3 sin 2 x + cos 2 x = 1 − 4sin x có dạng
a
a
, a; b  * , là phân số tối giản. Giá trị a + b bằng
b
b
11
A. .
B. 3 .
C. 5 .
D. 4 .
Câu 37. Tính tổng các nghiệm trong đoạn 0;30 của phương trình: tan x = tan 3x

A.

171
.
2

B. 55 .

C.

190
.
2

D. 45 .

Trang 5/7


Mã đề 101
a


Câu 38. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan 2020 x + cot 2020 x = 2sin 2021  x +  có dạng
với a, b
b
4

a
là các số nguyên, a > 0 và tối giản. Tính S = a+b.
b

A. S=1

B. S=3

Câu 39. Số nghiệm của phương trình

A. 1 .

C. S = -3

D. S = -1

sin x − 3 cos x − 1

= 0 trên đoạn  0; 2  là
sin 2 x
C. 0 .
D. 2 .

B. 4.
Câu 40. Cho điểm I ( −2; 3) và M (1; 3) . Xác định tọa độ của M ' là ảnh của M qua phép vị tự tâm I , tỉ
số k = 2 .
 −1 
A. M '  ; 3  .
B. M ' ( 3; 4) .
C. M ' ( 4; 2) .
D. M ' ( 4; 3) .
 2 
Câu 41. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y = sin x .
B. y = sin x + cos x .
C. y = sin x cos 3x .
D. y = cos 2 x .
Câu 42. Cho hình vng ABCD tâm I . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD, DC . Phép tịnh tiến theo
vectơ nào sau đây biến tam giác AMI thành INC

A. AC .

B. AM .

Câu 43. Tổng các nghiệm của phương trình

A. 3 .

C. MN .

D. IN .

sin x
= 0 trong đoạn  0; 2 
cos x − 1

B. 2 .

C.



4

D.  .

.

Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , hãy viết phương trình đường thẳng d  là ảnh của đường

thẳng d : 2 x + 3 y − 4 = 0 qua phép quay Q(O; −90) .
A. 3x − 2 y − 4 = 0 .
B. 3x − 2 y + 6 = 0 .
C. 3x − 2 y − 6 = 0 .
D. 3x − 2 y + 4 = 0 .
Câu 45. Biết phép vị tự tâm O tỉ số k biến điểm M thành điểm M ' . Chọn khẳng định đúng.
A. OM = kOM ' .
B. OM ' = kOM .

C. OM ' = k OM .
D. OM = k OM ' .
 2 
Câu 46. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = 2cos 2 x + 3sin x − 3 trên 0;  là


1
.
B. 0 .
C.
8
Câu 47. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

3
.
4

3 

D. −1 .

Trang 6/7


Mã đề 101

A. Q(O ;180) ( M ) = M  thì O là trung điểm của MM  .
B. Q(O; ) ln bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm.

C. Q( O ; ) ( O ) = O .

OM = 2OM 
D. Q(O ; ) ( M ) = M   
.
( OM ; OM  ) = 
Câu 48. Phép quay Q(O; ) biến điểm M thành M  . Khi đó, khẳng định nào sau đây đúng?
A.

OM = OM 

và ( OM , OM ) =  .

B.

OM = OM 

và MOM  =  .

C. OM = OM  và ( OM , OM ) =  .
D. OM = OM  và MOM  =  .
Câu 49. Đường cong trong hình dưới đây là của đồ thị hàm số nào

C. y = 1 + cos x .
 5 
Câu 50. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng  0; 
A. y = 1 + sin x .

B. y = 1 + sin x .




A. y = sin  x −  .


3

B. y = sin  x +




.
3

D. y = sin x .

6 

C. y = cos x .

D. y = sin x .

---------------- Hết ---------------

Trang 7/7


SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI

ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN I
NĂM HỌC 2020-2021
MƠN: TỐN- KHỐI: 11

ĐỀ THỨC
ĐỀ CHÍNH

Thời gian :180 phút (khơng kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)
Ngày thi: 5 tháng 10 năm 2020

Câu 1(3 điểm) a) Cho hàm số y   x 4  (m  3) x 2  m . Tìm m để đồ thị hàm số có ba
điểm cực trị A,B,C (A thuộc trục Oy) sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng BC
bằng 4.
b) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập ra được bao nhiêu số lẻ có bốn chữ số khác nhau và lớn
hơn 2011 ?
c) Giải phương trình 3 3x  2  x3  2
Câu 2 (2 điểm) Cho dãy số un  2  2  ...  2 (có n dấu căn), n=1,2,3,...
1) Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
2) Xét dãy số vn  2n. 2  un (n  1, 2,3,...) . Tìm giới hạn của dãy số này.
Câu 3(1 điểm) Cho a, b, c  0 và thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng
a 1 b 1 c 1


3
ab  1 bc  1 ca  1

Câu 4(2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n để đa thức
P( x)  x n  (2  x) n  (2  x) n có ít nhất một nghiệm ngun.

Câu 5(2 điểm) Cho tam giác không cân ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). Gọi M là tiếp
điểm của BC và (I), AM cắt lại (O) tại D. Chứng minh rằng nếu OI vng góc với AM
thì AB  CD  AC  BD

--------------------------Hết--------------------------



SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI

ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN I
NĂM HỌC 2020-2021
MƠN: TỐN- KHỐI: 11

ĐỀ THỨC
ĐỀ CHÍNH

Thời gian :180 phút (khơng kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)
Ngày thi: 5 tháng 10 năm 2020

Câu 1(3 điểm) a) Cho hàm số y   x 4  (m  3) x 2  m . Tìm m để đồ thị hàm số có ba
điểm cực trị A,B,C (A thuộc trục Oy) sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng BC
bằng 4.
b) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập ra được bao nhiêu số lẻ có bốn chữ số khác nhau và lớn

hơn 2011 ?
c) Giải phương trình 3 3x  2  x3  2
Câu 2 (2 điểm) Cho dãy số un  2  2  ...  2 (có n dấu căn), n=1,2,3,...
1) Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
2) Xét dãy số vn  2n. 2  un (n  1, 2,3,...) . Tìm giới hạn của dãy số này.
Câu 3(1 điểm) Cho a, b, c  0 và thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng
a 1 b 1 c 1


3
ab  1 bc  1 ca  1

Câu 4(2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n để đa thức
P( x)  x n  (2  x) n  (2  x) n có ít nhất một nghiệm ngun.

Câu 5(2 điểm) Cho tam giác không cân ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). Gọi M là tiếp
điểm của BC và (I), AM cắt lại (O) tại D. Chứng minh rằng nếu OI vng góc với AM
thì AB  CD  AC  BD

--------------------------Hết--------------------------



SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN I- KHỐI 11

TRƯỜNG THPT CHUN

NĂM HỌC 2021 - 2022

NGUYỄN TRÃI

MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1: (3,0 điểm)

x
dx .
0 (2 x  1) 2



1

a)

Tính tích phân:

b)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số
y  x 4  2  m  1 x 2  m 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

Câu 2: (1,0 điểm) Cho số dương k > 0. Dãy ( an ) thỏa mãn a0  0 và an 

an 1
1  kan21

, n  1 .

Tính giới hạn limn an . n .
Câu 3: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Đường phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Các tiếp
tuyến tại D của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACD tương ứng cắt cạnh AC, AB tại
E và F. BE cắt CF tại G.
a)

Chứng minh rằng: AEDF là tứ giác nội tiếp.

b)

Chứng minh rằng: GDF  ADE .

Câu 4: (2,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (m, n) thỏa mān mn  1∣ n3  1.
Câu 5: (2, 0 điểm) Có a  b cái rổ xếp thành một hàng, được đánh số từ 1 đến a  b , trong đó a,
b là hai số nguyên dương cho trước. Ban đầu, trong a rổ đầu tiên, mỗi cái rổ có một quả táo, và
trong b rổ cuối cùng, mỗi cái rổ có một quả lê. Mỗi bước, được quyền chuyển một quả táo từ rổ
i sang rổ i  1 và một quả lê từ rổ j sang j  1 miễn là hiệu i  j là một số chẵn. Ngồi ra, một
cái rổ có thể chứa nhiều quả một lúc. Mục đích là đạt được cấu hình mà trong b rổ đầu tiên, mỗi
rổ có một quả lê và trong a rổ cuối cùng, mỗi rổ có một quả táo. Chứng minh rằng có thể thực
hiện được điều đó khi và chỉ khi ab là một số chẵn.


Hướng dẫn chấm
Câu 1.
a) Ta có:
𝟏

∫
𝟎

𝟏
𝒙
𝟏 𝟏 𝟐𝒙 + 𝟏
𝟏
𝒅𝒙
=
(∫
𝒅𝒙
−
∫
𝒅𝒙)
𝟐
𝟐
𝟐
(𝟐𝒙 + 𝟏)
𝟐 𝟎 (𝟐𝒙 + 𝟏)
𝟎 (𝟐𝒙 + 𝟏)
𝟏 𝟏

𝟏 𝟏

𝟏

= 𝟐 . 𝟐 . 𝒍𝒏|𝟐𝒙 + 𝟏||𝟏𝟎 + 𝟐 . 𝟐 . 𝟐𝒙+𝟏 |𝟏𝟎
𝟏

𝟏 𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

= 𝟒 . 𝒍𝒏𝟑 + 𝟒 (𝟑 − 𝟏) = 𝟒 𝒍𝒏𝟑 − 𝟔
b) Tìm tất cả các giá trị thự c của tham số m sao cho đồ thị của hàm số
y  x 4  2  m  1 x 2  m 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vng cân.
Có : 𝑦 ′ = 4𝑥 3 − 4𝑥(𝑚 + 1) = 4𝑥(𝑥 2 − (𝑚 + 1))
Để hàm số có 3 cực trị => Phương trình bậc ba y’ = 0 có đúng 3 nghiệm => (m+1) > 0
Khi đó: các điểm cực trị là : 𝑥 = 0, 𝑥 = −√𝑚 + 1, 𝑥 = √𝑚 + 1
Và đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A, B, C thỏa mãn:
Khi x = 0 => y = 𝑚2 => A(0; 𝑚2 )
Khi 𝑥 = −√𝑚 + 1 => 𝑦 = −2𝑚 − 1 => B(−√𝑚 + 1; −2𝑚 − 1)
Khi x = √𝑚 + 1 => 𝑦 = −2𝑚 − 1 => C(√𝑚 + 1; −2𝑚 − 1)
=> ABC cân tại A
Để ABC vuông cân tại A  BC = 2AM.
BC cắt Oy tại M => AM =| 𝑚2 + 2𝑚 + 1| = 𝑚2 + 2𝑚 + 1
BC = 𝐵𝑀 + 𝐶𝑀 = 2√𝑚 + 1 .
Do đó: BC = 2AM <=> 2(𝑚 + 1)2 = 2√𝑚 + 1
=> (𝑚 + 1)2 = √𝑚 + 1 . Chú ý: m + 1 > 0
3

=> (𝑚 + 1)√𝑚 + 1 = 1  (√𝑚 + 1) = 1 => √𝑚 + 1 = 1 => 𝑚 = 0. Vậy m = 0
Câu 2: Cho số dương k > 0 và dãy ( an ) thỏa mãn: a0  0 ; an 
Tính giới hạn limn an . n

an 1

1  kan21

, n  0


an21
1
1
Có: a 
=> kan2 an21  an21  an2 => k  2  2
2
1  k .an 1
an an 1
2
n

Làm tương tự, ta được:

=>

1
1
1
 2  k  2  kn
2
an an 1
a0

1
1

1

 k  k => an n 
2
a .n n.a0
k
2
n

Câu 3: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Đường phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Các tiếp
tuyến tại D của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACD tương ứng cắt cạnh AC, AB tại
E và F. BE cắt CF tại G. CMR: GDF  ADE .

Có: ADF  ABC, ADE  ABC => EDF  BAC  1800
=> AEDF là tứ giác nội tiếp => AEF  ADF  ACB => EF // BC.
Vì AD là phân giác góc A và AEFD là tứ giác nội tiếp => DE = DF.
AD và DG cắt EF tại H và I.
Để chứng minh GDF  ADE ta chứng minh FI = HE
Do EF // BC =>

HE CD
IF CD
HE IF
và
=>



HF BD
IE BD

HF IE


=>

HE IF
=> HE = IF => tam giác DFI = DEH (c.g.c) => GDF  ADE

EF EF

Bài 4. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (m, n) thỏa mān mn  1∣ n3  1.
Lời giải:
Trước tiên ta nhận xét được rằng (1, n) và (m,1) với m, n 

*

là các cặp thỏa mān bài toán.

Ta xét các cặp (m, n) với m, n  1. Ta thấy rằng:







mn  1 n3  1  mn  1 m n3  1  (mn  1)n 2  n 2  m



do dó mn  1 n 2  m  mn  1 m  n 2  m   (mn  1)n   n  m 2  .
dẫn đến mn  1 n  m 2  mn  1 m  n  m 2   (mn  1)  1  m3  .
Như vậy ta được mn  1∣ m3  1 .
Vì n  1 và mn  1∣ n3  1 nên mn  1  n3  1 hay m  n 2 . Hoàn toàn tương tự, vì mn  1∣ m3  1
nên ta cūng được n  m 2 .

 mn  1∣ n 2  m
Giả sử rằng m  n 2 và n  m 2 thì từ 
ta được:
2
 mn  1∣ m  n

mn  n 2  m  1  n 2
m  n

.

2
2
n  m
mn  m  n  1  m

Mâu thuẫn trên dẫn đến m  n 2 hoặc n  m 2 . Ngược lại, ta kiểm tra được rằng với (m, n) với

m, n  1 thỏa mān m  n 2 hoặc n  m 2 thì mn  1∣ n3  1.
(1, n);(m,1)m, n  *
Tóm lại, các cặp (m, n) thỏa mān là  2
.
2
 n , n ; m, m m, n  , m, n  1







Bài 5. Có a  b cái rổ xếp thành một hàng, được đánh số từ 1 đến a  b , trong đó a, b là hai số
nguyên dương cho trước. Ban đầu, trong a rổ đầu tiên, mỗi cái rổ có một quả táo, và trong b rổ
cuối cùng, mỗi cái rổ có một quả lê. Mỗi bước, được quyền chuyển một quả táo từ rổ i sang rổ
i  1 và một quả lê từ rổ j sang j  1 miễn là hiệu i  j là một số chẵn. Ngồi ra, một cái rổ có
thể chứa nhiều quả một lúc. Mục đích là đạt được cấu hình mà trong b rổ đầu tiên, mỗi rổ có
một quả lê và trong a rổ cuối cùng, mổi rổ có một quả táo. Chứng minh rằng có thể thực hiện
được điều đó khi và chỉ khi ab là một số chẵn.
Lời giải: Nhận xét: nếu i – j chẵn thì ta có thể đổi chỗ quả táo từ rổ i và quả lê từ rổ j bằng cách
thực hiện liên tiếp các bước dịch chuyển.
Trước hết, ta hāy chỉ ra rằng nếu ab là một số chẵn thì ta có thể đat được mục đích. Ta suy luận
bằng quy nạp theo a  b .


- Nếu min(a, b)  0 thì ta khơng có gì phải chứng minh.
- Nếu min(a, b)  1 , chẳng hạn a  1 thì b là số chẳn. Khi đó, ta chỉ cần thực hiện việc đổi chơ̄
cho quả táo duy nhất (nằm ờ rổ ngoài cùng bên trái) và quả lê ở rổ ngoài cùng bên phải (và
khơng thay đổi vị trí các q lē cịn lại) là xong.
- Giả sư min(a, b)  2 và a  b là lẻ. Thế thì chúng ta đổi chỗ quả táo ở rổ ngoài cùng bên trái và
quả lê ngồi cùng bên phải (và khơng thay đổi vị trí của các quả táo và lê còn lại) cho đến khi
chúng đươc tráo vị trí cho nhau. Đến thời điểm đó, bằng cách tạm quên hai quả này, ta quy về
trường hơp có a  1 quả táo và b  1 quả lê và sử dụng giả thiết quy nạp để kết thúc.
- Giả sử min(a, b)  2 và a  b là chẵn, như vậy a, b là các số chă̄n. Thế thì, ta có thể đổi chỗ
quả táo ở rồ 1 và quả lê ở rổ a  b  1 (và không thay đổi các vị trí của các quả táo, lê cịn lại).

Sau đó, hồn tồn tương tự, ta có thẻ̉ đổi chỗ của quả táo ở rổ 2 và quả lê ở rồ a  b . Bây giờ,
tạm thời quên hai quả táo và hai quả lê ở các rổ 1, 2, a  b  1, a  b , ta quy về trường hợp có a  2
quả táo và b  2 quả lê và sử dụng giả thiết quy nạp để kết thúc.
Để kết thúc chứng minh, ta sẽ chỉ ra rằng khơng thể đạt được cấu hình mong muốn nếu ab là lẻ,
nghīa là khi a, b là các số lẻ. Gọi X là số các quả táo nằm trong các rổ được đánh số lẻ và gọi Y
là số các quả lê nằm trong các rổ được đánh số lẻ. Nhận xét rằng X  Y không đổi sau mỗi bước.
1
1
Thế nhưng, nếu a, b là các số lẻ thì ban đầu có X  (a  1) và Y  (b  1) và
2
2
a b  2
1
1
X Y 
; cịn với cấu hình mong muốn thì X  (a  1) và Y  (b  1) và
2
2
2
a b2
, mâu thuẫn.
X Y 
2


ĐỀ THI THÁNG LẦN 2 NĂM HỌC 2021-2022
TrườngTHPT chuyên Nguyễn Trãi
Hải Dương

Mơn TỐN – Lớp 11

Ngày thi: 08/11/2021

Thời gian 180 phút.

Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2 x3 − 3(2m − 1) x 2 + 6 ( m2 − m ) x + 2m(m − 1)(C ) . Tìm m sao cho đồ thị
hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lớn hơn 1
 x + x 2 + 1 = y + y 2 + 1
Câu 2. ( 2,0 điểm) Giải hê phuơng trình 
 y + x3 + x − 1 = 3 3 x 2 + 2 x + 3

Câu 3. (2,0 điểm) Cho dãy số ( an ) thỏa mãn: a0 = 1, an+1 =

1
, n 0 . Tìm lim an
1 + 2an

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và các đường cao AD,BE,CF. Gọi
AD cắt (O) tại K, KF cắt lại đường tròn (O) tại L.
a) Chứng minh CL đi qua trung điểm EF
b) Đường thẳng qua A và vuông góc CO cắt CL tại N. Chứng minh FN vng góc với FO
Câu 5. (1,0 điểm) Cho S là tập hợp có n phần tử và k là số nguyên thỏa mãn 0  k  2n .
Chứng minh có thể tô màu mọi tập con của S bởi hai màu xanh đỏ sao cho các điều kiện sau đồng thời
được thỏa mãn:
(a) Hợp 2 tập đỏ là đỏ.
(b) Hợp 2 tập xanh là xanh.
(c) Có đúng k tập đỏ.


ĐÁP ÁN ĐỀ THI THÁNG LẦN 2 LỚP 11 TOÁN NĂM HỌC 2021-2022
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2 x3 − 3(2m − 1) x 2 + 6 ( m2 − m ) x + 2m(m − 1)(C ) .

Tìm m sao cho đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lớn hơn 1
Lời giải:
Đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực
đại, cực tiểu của đồ thị nằm về 2 phía trục Ox.
Nhận xét y = 6 x 2 − 6(2m − 1) x + 6 ( m2 − m ) là tam thức bậc 2 ln có hai nghiệm phân biệt

(

(

x1 = m, x2 = m − 1 nên đồ thị hàm số đã cho ln có cực đại, cực tiểu A m, m 2m2 − m − 2

(

(

))

)) và

B m − 1,(m − 1) 2m2 + m − 1

Vậy y ( x1 )  y ( x2 )  0  m ( 2m 2 − m − 2 ) (m − 1)(m + 1)(2m − 1)  0 (*)
Mặt khác, hoành độ ba giao điểm lớn hơn 1 khi và chỉ khi x1 , x2  1 và y (1)  0 hay
m  1,8m 2 − 14m + 5  0 hay 1  m 

5
4

Kết hợp với điều kiện (*) ta thấy không tồn tại m thỏa mãn đề bài.

Câu 2. ( 2,0 điểm)
 x + x 2 + 1 = y + y 2 + 1
Giải hê phuơng trình 
 y + x3 + x − 1 = 3 3 x 2 + 2 x + 3

Lời giải:
Trước hết đặt g ( x) = x + x 2 + 1 thì g  ( x) = 1 +

x
x2 + 1

=

x2 + 1 + x
x2 + 1

 0x 

nên g(x) đồng biến trên

Vậy (1)  x = y .
Ta được: x + x3 + x − 1 = 3 3x 2 + 2 x + 3
Đặt u = x 3 + x − 1 thì ( x + u )3 = 3x 2 + 2 x + 3 = ( x3 + 3x 2 + 3x + 1) − ( x 3 + x − 1) + 1
Hay ( x + u )3 + u 2 = ( x + 1)3 + 1
Đặt f (t ) = ( x + t )3 + t 2 thì f  (t ) = 3( x + t ) 2 + 2t  0t  0 và f  (t ) = 0 tại hữu hạn điểm nên f (t) đồng biến
trên (0, +)
Do u ,1  (0, +) nên f (u ) = f (1)  u = 1
Ta được x3 + x − 1 = 1  x = 1
Đáp số: ( x, y ) = (1;1)

.


Câu 3. (2,0 điểm) Cho dãy số ( an ) thỏa mãn: a0 = 1, an+1 =

1
, n 0 . Tìm lim an
1 + 2an

Lời giải:
1
x +1
 1 
1 + 2 x = 1 + 2 x + 1 = −2  x + 1
Đặt f ( x) =
thì f 
=
−1 − 2 x + 2
2x −1
2x −1
 2 x + 1  −1 + 2  1
1+ 2x
1+

Vậy ta có f ( an+1 ) = −2 f ( an ) , n 0
Suy ra f ( an ) = (−2) n f ( a0 ) = (−2) n+1 và an =
Vậy lim an =

2n+1 + (−1) n
2n+2 + (−1)n+1

1
2

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và các đường cao AD,BE,CF. Gọi
AD cắt (O) tại K, KF cắt lại đường tròn (O) tại L.
c) Chứng minh CL đi qua trung điểm EF
d) Đường thẳng qua A và vng góc CO cắt CL tại N. Chứng minh FN vng góc với FO
Lời giải:
a) Gọi J là trung điểm EF. Ta chứng minh C,J,L thẳng hàng. Thật vậy:
Gọi I là trung điểm FH. Ta dễ có: FHD ~ FEC nên IHD ~ JEC
Từ đó suy ra IDH = JCE
Mà IDH = FKH = LKA
Suy ra LKA = JCA .
Suy ra C,J,L thẳng hàng. Điều phải chứng minh
b) Ta sẽ chứng minh FNA ~ FOC để suy ra FNO ~

FAC thì NFO = 90 .

Thật vậy, dễ chứng minh NAC = ABC = ALC .
Từ đó dễ thấy NAF = NAC − BAC = ABC − BAC = FCO .
Goi AD cắt CF tai H và P là hình chiếu của F lên AD, M đối xứng H qua P .
Dễ có FMH = FHM = ABC = NAC và FKM = ACN do dó KFM ~ CNA .
Ta cũng có tam giác FAL ~

FKB và

FDP ~ ACF . Từ đó ta có biến đổi tỷ số

NA NA LA NC KB HB NC 2OQ AC 2OQ OQ OC CF BF OC AC OC

=

=

=

=

=
=


=


=
.
FA LA FA AC FK AC FK
AC MK 2 DP OC CF DP BC CF FD CF

Từ đó suy ra FNA ~ FOC theo suy luận phần trên có điều phải chứng minh.


Câu 5. (1,0 điểm) Cho S là tập hợp có n phần tử và k là số nguyên thỏa mãn 0  k  2n .
Chứng minh có thể tơ màu mọi tập con của S bởi hai màu xanh đỏ sao cho các điều kiện sau đồng thời
được thỏa mãn:
(a) Hợp 2 tập đỏ là đỏ.
(b) Hợp 2 tập xanh là xanh.
(c) Có đúng k tập đỏ.
Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo số phần tử của tập Sn = {1, 2,, n} với n phần tử, với n nguyên
dương, với mọi k thỏa mãn 0  k  2n
+) n = 1 đơn giản
+) Giả sử có thể tô màu các tập con của Sn = {1, 2,, n} thỏa mãn với mọi k n thỏa mãn 0  kn  2n . Ta
sẽ chỉ ra cách tô màu S n+1 = {1, 2,, n, n + 1} vói mọi kn+1 thỏa mãn 0  kn+1  2n+1 .
TH 1. 0  kn+1  2n . Áp dụng giả thiết quy nạp cho S n và kn = kn+1 ,
Ta thu được cách tô màu các tập con của S n thỏa mãn cả ba điều kiện trên. Các tập chưa được tô sẽ là
các tập con của Sn+1 chứa n + 1 , ta tô xanh hết. Dễ thấy cách tơ đó thỏa mãn
TH2. 2n + 1  kn+1  2n+1 . Theo TH1, ta có thể tô màu các tập con của tập Sn+1 thỏa mãn a) và b) và có
2n+1 − kn+1 tập đỏ. Bây giờ, đổi màu các tập: xanh thành đỏ và đỏ thành xanh. Ta được cách tô màu thỏa

mãn
Theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh


SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG
Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi

ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN THỨ BA
NĂM HỌC 2020-2021
Mơn: Tốn 11
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1. (3 điểm)
a) Giải phương trình 2 x 1  2 x

2

x

 x2  x 
 log 3 
 với x  1 .
 x 1 

b) Tính nguyên hàm  ( x 2  1) ln xdx .
c) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M ; N là trung điểm
SA; BC . Xét mặt phẳng ( P ) qua MN và song song với đường thẳng BD. Tìm thiết diện

của ( P ) và hình chóp S . ABCD .

 x1  3
Câu 2. (1,5 điểm) Cho dãy số thực {xn } xác định bởi 
với mọi n  1, 2,...
 xn 1  21  2x n  6
Chứng minh rằng dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 3. (2,5 điểm)
a) Tìm các hàm số f :



thỏa mãn điều kiện: f ((1  f ( x)). f ( y ))  y  xf ( y )

x; y 

b) Cho trước số nguyên dương n. Tìm số nguyên dương kn nhỏ nhất sao cho

3kn  1(mod 11n ) và 5kn  1(mod 11n ) .
Câu 4. (2 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp (O) . Giả sử tia AB cắt DC tại E , tia BC cắt AD tại F ,

đường thẳng AC cắt đường thẳng EF tại G . Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AEG cắt
lại (O) tại K khác A.
a) Chứng minh rằng KD đi qua trung điểm I của EF .
b) Giả sử EF lần lượt cắt BD , đường tròn ngoại tiếp tam giác IAC tại H ; J ( J  I ) .
Chứng minh rằng OH  OJ .
Câu 5. (1 điểm) Trong mặt phẳng cho 5 điểm. Những đường thẳng nối những điểm này khơng
song song, khơng vng góc và không trùng nhau. Qua mỗi điểm đã cho, kẻ những đường vng
góc với tất cả các đường thẳng đi qua 2 điểm trong 4 điểm cịn lại. Tìm số lượng lớn nhất những
điểm cắt nhau của những đường hạ vng góc, khơng tính 5 điểm đã cho.


HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1:

a)
Biến đổi phương trình (1) ta được 2 x 1  log 3 ( x  1)  2 x

2

x

 log 3 ( x 2  x) (được tách do x  1 )

Xét hàm số f (t )  2t  log 3 t với t  (0; ) . Ta có f '(t )  2t.ln 2 

1
0
t.ln 3

Như vậy f ( x 1)  f ( x2  x)  x 1  x2  x  x  1. (loại)

Vậy phương trình vơ nghiệm.
u  ln x

b) Theo công thức nguyên hàm từng phần với 

2
 dv  ( x  1)dx

1

1
1
 1) ln xdx   x3  x  ln x    x3  x . dx
3

3
 x
1

1

  x3  x  ln x    x 2  1dx
3

3


 (x

2

1
1

  x3  x  ln x  x3  x  C
9
3


c)

;ta có:


Kẻ NH song song với BD ; cắt AD ở P và AB ở L . Nối MP cắt SD ở K và ML
cắt SB ở Q . Khi đó thiết diện là MQNHK .
Câu 2:
Bằng quy nạp ta chứng minh được xn  3 và xn  5.
Ta có x2  x1 và
xn 1  xn 

2 xn  6  2 xn 1  6
xn21  xn2 (21  2 xn  6)  (21  2 2 xn 1  6)


 0 theo
xn 1  xn
xn 1  xn
xn 1  xn

nguyên lý quy nạp.
Như vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên bởi 5; suy ra dãy có giới hạn hữu hạn.
Đặt lim  L ta có L  21  2 L  6 .
Bình phương hai lần (hoặc sử dựng liên hợp) ta được L  5 .
Câu 3:
a)

f ((1  f ( x)). f ( y ))  y  xf ( y )

Từ (1) thay x  0 ta được f ((1  f (0)) f ( y ))  y; y 

(1)
(2)

Giả sử f (a)  f (b) , thay vào (2) ta được a  b . Như vậy f là đơn ánh
tồn tại x  (1  f (0)) f ( y ) sao cho f ( x)  y . suy ra f là toàn ánh, dẫn tới f là song ánh. Vì
thế tồn tại c 

sao cho f (c)  0. Từ (1) cho y  c được f (0)  c

Từ (1) cho x  y  0 ta được f ((1  c)c)  0
Vậy f ((1  c)c)  f (c), mà f là đơn ánh nên (1  c)c  c  c  0  f (0)  0
Từ (1) cho x  0 ta dược f ( f ( y ))  y, y 

(3)

Từ (1) thay x bởi f (x) , thay y bởi f (y) và sừ dụng (3) ta có:
f ( y (1  x))  f ( y )  yf ( x), x, y 

(4)

Từ (4), cho x  1, sừ dụng f (0)  0 và dặt a   f (1) ta được : f ( y )  ay, y 
Thay vào (3) và đồng nhất ta được a  {1; 1}
a) Ta sẽ chứng minh kn 

 (11n )
2

+) Thật vậy, đầu tiên ta chứng minh thỏa mãn điều kiện đồng dư.

   5 11   1 mod11n (định lý Euler),



 11n

Ta có: 3

n


Với  11n   11n  11n 1  10.11n 1   kn  5.11n 1 

   310.11  1 mod11n



 11n

3


Và  5

n1


 1 5


 1 11

 3kn  1 3kn  1 11n
kn

kn

n

Ta cũng có 35  55  1( mod11)

 35t  55t  1( mod11)
Vì vậy kn  5.11n 1 : 5
 3kn  1:11n và 5kn  1:11n

+) Ta chứng minh kn là số nhỏ nhất.
Gọi hn  kn là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho 5hn  1 mod11n   5hn t  1 mod11n 
Vì 5kn  1( mod11) và hn là số nhỏ nhất nên hn ∣ kn  5.11n 1 ; kn  hn .t
 hn  5.11r với 0  r  n  1 (ta cần 5 ở hn vì 55t  1 : 11).



Để ý rằng: 55.11  1  55.11
r



 

r 1
r 1
 55.11  1   55.11


r1



11

1

  5   5  
10

5.11r 1

9

5.11r 1

0

Vì 5k2 t  555.t  1 mod112 

 r  1  1 thì 55.11  1 mod112 
r1



r 1

 55.11

  5   5   11  q  1  11  q  1 
10

5.11r 1

9

5.11r 1

0

10

2

10

9

2

9

 1  112  Q1  11  11. 11.Q1  1
Làm tương tự đến  55.11  1 11r 1  (11.Q  1)  112  p 11r 1  (11.Q  1)
Để chia hết cho 11n  r  1  n
 rmin  n  1  hn  5.11n 1  kn

Làm tương tự trong trường hợp 3hn , ta có kết quả: hn  5.11n 2 . Nhưng kn thỏa mãn cả
hai điều kiện 3kn và 5kn  1 mod11n  .
Như vậy kn phải bằng 5.11n1 và ta có đpcm.
Câu 4:


a)

Giả sử KD  EF tại I , ta chứng minh I là trung điểm EF
+) IEK  GAK ( K  ( AEG ))  IDE ( K  (O)) nên IEK ~ IDE
Dẫn tới IE 2  ID.IK
+) Ta có K là điểm Miquel của tứ giác tồn phần EBCGAF do K thuộc ( ABC ), ( AEG )
nên K  ( FCG ). Từ đó, ta được IFK  ACK  ADK ( K  (O))
 IDF nên

b)

IFK ~ IDF , dần tối IF 2  ID.IK  IE 2 hay IE  IF