Bài tập Xác xuất thống kê BA 2019

ĐÀO HOÀNG DŨNG

BÀI TẬP

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

- 2019 -


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

Chương 1

Biến cố và xác suất
Tính xác suất bằng định nghĩa. Mối quan hệ giữa các biến cố
1. Một người rút tiền ở cây ATM nhưng quên mất 3 số cuối của mã PIN và chỉ nhớ rằng chúng
khác nhau. Tìm xác suất để người đó nhập một lượt được đúng mã PIN của mình.
2. Một cơng ty cần tuyển ba nhân viên. Có 30 người nộp đơn, trong đó có 18 nam và 12 nữ.
Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 30 người là như nhau.
a) Tính xác suất để 3 người trúng tuyển đều là nam.
b) Tính xác suất để cả 3 người trúng tuyển đều là nữ.
c) Tính xác suất để có ít nhất một nữ trúng tuyển.
3. Thang máy của một tòa nhà 10 tầng xuất phát từ tầng 1 với 5 khách. Coi như mọi người
chọn tầng một cách ngẫu nhiên và độc lập. Tìm khả năng xảy ra các tình huống sau:
a) Tất cả cùng ra ở tầng 7.
b) Tất cả cùng ra ở một tầng.
c) Mỗi người ra ở một tầng khác nhau.
4. Có 10 khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy. Tính xác suất để có 3 người vào
quầy số 1.

5. Một đoàn tàu gồm 3 toa đỗ ở sân ga. Có 5 hành khách bước lên tàu. Mỗi hành khách độc
lập với nhau chọn ngẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất một hành khách mới
bước lên tàu.
6. Tìm xác suất để gặp ngẫu nhiên ba người khơng quen biết nhau ở ngồi đường (giả thiết
những người này đều không sinh vào năm nhuận) thì họ:
a) Có ngày sinh nhật khác nhau.
b) Có ngày sinh nhật trùng nhau.
7. Một người bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì đã ghi sẵn địa chỉ. Tính xác suất để:
a) Chỉ có một lá thư bỏ đúng địa chỉ.
b) Cả 3 lá thư đều được bỏ không đúng địa chỉ.
8. Một công ty tham gia đấu thầu 2 dự án. Gọi Ak là biến cố cơng ty đó thắng thầu dự án k
( k  1, 2) . Hãy viết bằng kí hiệu các biến cố biểu thị rằng:

a) Công ty chỉ thắng thầu một dự án.
b) Công ty không thắng thầu dự án nào.

1


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

9. Ba người cùng bắn vào một mục tiêu. Gọi Ak là biến cố người thứ k bắn trúng mục tiêu
(k  1, 2,3) . Hãy viết bằng kí hiệu các biến cố biểu thị rằng:

a)
b)
c)
d)

Chỉ có người thứ nhất bắn trúng mục tiêu.
Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu.
Chỉ có hai người bắn trúng mục tiêu.
Có người bắn trúng mục tiêu.

Cơng thức cộng, công thức nhân xác suất, công thức Becnulli
10. Một người mua ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số.
a) Tính xác suất để được vé khơng có chứ số 1 hoặc khơng có chữ số 5.
b) Tính xác suất để được vé có chữ số 2 và có chữ số lẻ.
11. Ba người chia nhau 2 vé đi xem phim. Chứng minh bốc thăm là phương thức công bằng.
12. Một sinh viên phải thi 3 môn một cách độc lập nhau. Xác suất nhận cùng một điểm số nào
đó ở cả 3 mơn đều như nhau. Xác suất để thu được một môn điểm 8 là 0,18, dưới 8 là 0,65,
xác suất cả 3 môn đều được điểm 10 là 0,000343. Tính xác suất để sinh viên thi 3 mơn được
ít nhất là 28 điểm. Điểm thi được cho theo thang điểm 10, khơng có điểm lẻ.
13. Một công ty đầu tư vào hai dự án A và B. Khả năng gặp rủi ro khi đầu tư vào 2 dự án này
tương ứng là 9%, 7% và gặp rủi ro đồng thời khi đầu tư cả hai dự án là 4%. Nếu đầu tư cả
hai dự án, tính xác suất để:
a) Ít nhất một dự án gặp rủi ro.
b) Chỉ dự án A gặp rủi ro.
14. Một lơ hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt 3 sản
phẩm. Nếu có phế phẩm trong 3 sản phẩm kiểm tra thì khơng mua lơ hàng. Tính xác suất lơ
hàng được mua.
15. Một máy có ba bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để các bộ phận bị hỏng lần
lượt là 0,1; 0,3 và 0,2. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Có đúng 2 bộ phận bị hỏng.
b) Có ít nhất 1 bộ phận bị hỏng.
16. Có ba người A, B và C cùng phỏng vấn xin việc ở một công ty. Xác suất trúng tuyển của
mỗi người lần lượt là 0,8; 0,6 và 0,7. Việc trúng tuyển của mỗi người là độc lập.
a) Tính xác suất có hai người trúng tuyển.

b) Biết rằng có hai người trúng tuyển. Tính xác suất để hai người đó là A và B.
17. Một tờ tiền giả lần lượt được hai người A và B kiểm tra. Xác suất để người A phát hiện ra
tờ này giả là 0,7. Nếu người A cho rằng tờ này là giả, thì xác suất để người B cũng nhận

2


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

định như thế là 0,8. Ngược lại, nếu người A cho rằng tờ này là tiền thật thì xác suất để người
B cũng nhận định như thế là 0,4.
a) Tính xác suất để chỉ đúng một trong hai người A hoặc B phát hiện ra tờ này giả.
b) Biết tờ tiền đó đã bị ít nhất một trong hai người này phát hiện là giả, tính xác suất để
A phát hiện ra nó là giả.
18. Tỉ lệ phế phẩm của một lô hàng là 3%. Chọn ngẫu nhiên có hồn lại lần lượt từng sản phẩm:
a) Tính xác suất phải chọn đến lần thứ tư mới được phế phẩm.
b) Phải chọn bao nhiêu lần để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm không nhỏ hơn 0,9.
19. Một sinh viên phải thi 6 mơn kết thúc học kì. Khả năng thi được trên 5 điểm của mỗi môn
là 0,8 và độc lập nhau. Tính xác suất để trong học kì này người đó:
a) Được 5 mơn trên 5 điểm.
b) Được ít nhất 4 môn trên 5 điểm.
20. Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm. Xác suất làm ra một phế phẩm của máy là 0,01.
a) Cho máy xản suất 10 sản phẩm. Tính xác suất có 2 phế phẩm; có ít hơn 3 phế phẩm.
b) Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một chính phẩm trên
0,99.
21. A chơi cờ với B với xác suất thắng mỗi ván là p. Tìm giá trị của p để A thắng chung cuộc
trong bốn ván dễ hơn trong sáu ván. Biết rằng để thắng chung cuộc thì phải thắng ít nhất 1
nửa tổng số ván.

22. Có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 10 viên đạn vào cùng một bia. Xác suất bắn trúng đích mỗi lần
của 2 xạ thủ tương ứng là 0,7 và 0,8. Tính xác suất:
a) Bia bị trúng đạn.
b) Bia bị trúng 2 viên đạn.
23. Theo điều tra của một ngân hàng về sử dụng thẻ tín dụng ở cơng ty, có 50% dùng thẻ A,
40% dùng thẻ B, 30% dùng thẻ C, 20% dùng thẻ A và B, 15% dùng thẻ A và C, 10% dùng
thẻ B và C, 5% dùng cả ba thẻ A, B, C. Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một người ở
cơng ty đó, thì:
a) Người ấy dùng ít nhất một trong ba loại thẻ nói trên.
b) Người ấy dùng thẻ B, biết rằng người ấy dùng thẻ A.
24. Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến chào hàng ở công ty Phương Đông ba lần. Xác suất
để lần đầu bán được hàng là 0,8. Nếu lần trước bán được hàng thì xác suất để lần sau bán
được hàng là 0,9, còn nếu lần trước khơng bán được hàng thì xác suất để lần sau bán được
hàng chỉ là 0,4. Tìm xác suất để:
a) Cả ba lần đều bán được hàng.
b) Có đúng hai lần bán được hàng.
3


Đào Hồng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

Cơng thức xác suất đầy đủ. Cơng thức Bayes
25. Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỉ lệ chính phẩm của máy thứ nhất là 0,9; của
máy thứ hai là 0,85. Từ một kho chứa

1
sản phẩm của máy thứ nhất (còn lại của máy thứ
3

hai) lấy ngẫu nhiên một sản phẩm để kiểm tra.
a) Tính xác suất lấy được phế phẩm.
b) Nếu sản phẩm lấy ra là chính phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó do máy thứ hai sản
xuất.
26. Trong 20 tờ tiền có 3 tờ giả. Một tờ bị rút đi không rõ thật hay giả. Người ta rút ngẫu nhiên
trong các tờ cịn lại hai tờ.
a) Tính xác suất để hai tờ tiền được rút ra ở lần thứ hai là tiền thật.
b) Nếu biết rằng hai tờ tiền rút ra ở lần thứ hai là tiền thật. Tìm xác suất để tờ tiền bị rút đi
trước đó cũng là tiền thật.
27. Người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 500 khách hàng về một loại sản sẩm mới dự định đưa ra
thị trường và thấy có: 160 người trả lời “Sẽ mua”, 240 người trả lời “Có thể sẽ mua”, 100
người trả lời “Không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm
tương ứng với những cách trả lời trên là 40%, 20% và 2%.
a) Hãy ước tính tỉ lệ người thực sự mua sản phẩm đó?
b) Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có khoảng bao nhiêu phần trăm đã trả
lời “Sẽ mua”?
28. Một công ty bảo hiểm chia dân cư (đối tượng bảo hiểm) làm 3 loại: ít rủi ro, rủi ro trung
bình, rủi ro cao. Theo thống kê cho thấy tỉ lệ dân cư gặp rủi ro trong 1 năm tương ứng với
các loại trên là: 5%, 10%, 25% và trong tồn bộ dân cư có 20% ít rủi ro; 50% rủi ro trung
bình; 30% rủi ro cao.
a) Tính tỉ lệ dân gặp rủi ro trong một năm.
b) Nếu một người không gặp rủi ro trong năm thì xác suất người đó thuộc loại ít rủi ro là
bao nhiêu?
29. Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất để câu được cá ở những chỗ đó
tương ứng là: 0,6; 0,8 và 0,7. Biết rằng ở một chỗ người đó đã thả câu 3 lần và chỉ câu được
một con cá. Tìm xác suất để cá được câu ở chỗ thứ nhất.
30. Xác suất bắn trúng mục tiêu của 3 người đi săn tương ứng là 0,7; 0,6 và 0,5. Ba người này
cùng bắn một con nai và con nai bị trúng 1 viên đạn. Tính xác suất bắn trúng của mỗi người.

4


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

31. Trong một kho rượu số lượng chai rượu loại A và loại B bằng nhau. Người ta lấy ngẫu nhiên
1 chai rượu trong kho và đưa cho 4 người sành rượu nếm thử để xác định xem đây là loại
rượu nào. Giả sử mỗi người có khả năng đốn đúng là 0,8. Có 3 người kết luận chai rượu
thuộc loại A và một người kết luận chai rượu thuộc loại B. Vậy chai rượu được chọn thuộc
loại A với xác suất bằng bao nhiêu?
32. Trong những hộ vay tiền ngân hàng để ni tơm, tỉ lệ hộ làm ăn khơng có lãi là 5%. Trong
các hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tơm mà làm ăn khơng có lãi, tỉ lệ trả nợ ngân hàng không
đúng hạn là 88%. Trong các hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm mà làm ăn có lãi, tỉ lệ trả
nợ ngân hàng khơng đúng hạn là 2%.
a) Một hộ đã vay tiền ngân hàng để ni tơm, thì xác suất hộ đó khơng trả nợ ngân hàng
đúng hạn là bao nhiêu.
b) Một hộ nuôi tôm đã khơng trả nợ ngân hàng đúng hạn, thì xác suất hộ đó làm ăn khơng
có lãi là bao nhiêu.
33. Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5%. Người ta dùng một thiết bị kiểm tra tự động đạt được
độ chính xác khá cao song vẫn có sai sót. Tỷ lệ sai sót đối với chính phẩm là 4% còn đối
với phế phẩm là 1%. Nếu sản phẩm bị kết luận là phế phẩm thì bị loại.
a) Tìm tỷ lệ sản phẩm được kết luận là chính phẩm mà thực ra là phế phẩm.
b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị kết luận là phế phẩm mà thực ra là chính phẩm.
34. Sản phẩm sản xuất ra phải qua hai máy kiểm tra 1 và 2. Nếu được máy 1 chấp nhận thì mới
được chọn để máy 2 kiểm tra tiếp. Sau khi máy 2 chấp nhận thì sản phẩm mới được đưa ra
thị trường. Xác suất máy 1 chấp nhận là 0,9 và xác suất để máy 2 chấp nhận là 0,8. Biết
rằng việc kiểm tra của 2 máy là độc lập.
a) Tính tỉ lệ sản phẩm sản xuất ra không được đưa ra thị trường.

b) Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm khơng được đưa ra thị trường. Tính xác suất để sản
phẩm đó bị loại là do máy 2.
35. Một túi chứa 9 nhẫn bạc và 1 nhẫn vàng. Túi kia có 1 nhẫn bạc và 5 nhẫn vàng. Từ mỗi túi
rút ra ngẫu nhiên một nhẫn. Những chiếc nhẫn còn lại được dồn vào một túi thứ ba. Từ túi
thứ ba này lại rút ngẫu nhiên một chiếc nhẫn. Tính xác suất để ta rút ra được nhẫn vàng ở
túi thứ ba.

5


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

HƯỚNG DẪN, ĐÁP SỐ
1.

1
10.9.8

2.
3.
4.
5.

𝑪𝟑𝟏𝟎 .𝟐𝟕
𝟑𝟏𝟎

150
243

7. a)

1
2

b)

1
3

10. a) Gọi A = “vé có chữ số 1”, B = “vé có chữ số 5”
5

 9  8
Xs cần tìm là P  A  B   P ( A)  P ( B )  P ( A.B )  2     
 10   10 

5

b) Gọi C = “vé có chữ số 2”, D = “vé có chữ số lẻ”. Cần tính P(C D)  1  P(C D)
11. HD: Có 3 lá thăm, lần lượt mỗi người rút 1 lá. Chứng minh xác suất để mỗi người bốc
thăm được vé xem phim đều bằng

2
.
3

12. 0,002415
16. a) Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố người A, B, C trúng tuyển và K là biến cố có 2

người trúng tuyển.
Xs cần tính là P( K )  P  ABC  ABC  ABC  , đ/s 0,452.
b) Xs cần tính là P( AB | K ) 

36
P( ABK ) P( ABC )

, đ/s
.
113
P( K )
P( K )

17. Gọi A, B lần lượt là các biến cố người A, B phát hiện tiền giả. Từ giả thiết có: P(A) =
0,7; P(B|A) = 0,8; P( B | A)  0, 4.
a) Cần tính P( AB  AB )
b) Gọi K = “ít nhất một trong hai người phát hiện tờ tiền là giả”, cần tính
P( A | K ) 

P ( AK ) P ( AB  AB )

,tương tự ý b bài 16.
P( K )
P( K )

18. a) ≈ 0,0274
b) P(“có ít nhất một phế phẩm trong n lần chọn”) = 1 - P(“khơng có phế phẩm nào
trong n lần chọn”) ≥ 0,9.
Đ/s: ít nhất 76 lần.
20. a) ≈ 0,0274

b) P(“có ít nhất một phế phẩm trong n lần chọn”) = 1 - P(“khơng có phế phẩm nào
trong n lần chọn”) ≥ 0,9.
Đ/s: ít nhất 76 lần.
6


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hồng Dũng

21. Cần tìm p để: P(“A thắng chung cuộc trong bốn ván”) > P(“A thắng chung cuộc trong
sáu ván”)
 C42 p 2 (1  p ) 2  C43 p 3 (1  p )1  C44 p 4 (1  p )0  C63 p 3 (1  p )3  C64 p 4 (1  p ) 2  C65 p 5 (1  p )1  C66 p 6 (1  p )0

28. Chọn ngẫu nhiên một người. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người được chọn
thuộc loại ít rủi ro, rủi ro trung bình và rủi ro cao. {H1, H2, H3} lập nên một nhóm đầy
đủ các biến cố. Gọi A = “chọn được người gặp rủi ro”.
a) Tính P(A) bằng cơng thức xs đầy đủ. Tính được P(A) = 0,135. Suy ra, tỉ lệ dân gặp rủi
ro trong một năm là 13,5%.
b) Xác suất cần tính là P(H1|𝐴̅), sử dụng cơng thức Bayes để tính.
29. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người đó chọn câu chỗ thứ nhất, thứ hai và thứ 3
tương ứng. {H1, H2, H3}lập nên một nhóm đầy đủ các biến cố.
Gọi A = “thả câu ba lần và chỉ câu được 1 con cá”, tính P(A) theo cơng thức xs đầy đủ,
các xs P(A|Hi) có thể tính theo cơng thức Becnulli.
Xác suất cần tính là: P(H1|A), sử dụng cơng thức Bayes để tính xs này.
30. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba bắn
trúng mục tiêu. A = “con nai bị trúng một viên đạn” = H1 H 2 H 3  H1H 2 H 3  H1H 2 H 3 .
Cần tính các xác suất P(H1|A), P(H2|A) và P(H3|A)
31. Gọi A = “chai rượu lấy ra thuộc loại A”, B = “chai rượu lấy ra thuộc loại B”, K = “3
người kết luận chai rượu loại A và 1 người kết luận loại B”. XS cần tính là P(A|K), tính

xs này theo cơng thức Bayes (nhóm đầy đủ các biến cố là A, B).
Chú ý, biến cố (K|A) = “3 người kết luận đúng và 1 người kết luận sai” và (K|B) = “3
người kết luận sai và một người kết luận đúng” do đó các xs P(K|A) và P(K|B) có thể
tính theo công thức Becnulli.
Đ/s: P ( A | K ) 

16
17

35. Gọi H1 = “Hai nhẫn được ra từ mỗi túi là nhẫn vàng”, H1 = “Hai nhẫn được rút ra từ
mỗi túi là nhẫn bạc”, H3 = “Hai nhẫn được rút ra từ mỗi túi gồm 1 vàng và 1 bạc”. {H1,
H2, H3}lập nên nhóm đầy đủ các biến cố.
Gọi A = “rút ra được nhẫn vàng ở túi thứ ba”. Tính P(A) theo cơng thức xs đầy đủ.

7


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

Chương 2

Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất
1. Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau, xác suất trong thời gian t các bộ
phận bị hỏng tương ứng là 0,15; 0,1; 0,13. Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian t.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X .
b) Viết biểu thức hàm phân phối của X .
c) Tìm xác suất trong thời gian t thiết bị có khơng q một bộ phận bị hỏng.
d) Tìm E ( X ),V ( X ), m và m0 .

2. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có quy luật phân phối xác suất như sau:
X

x1

x2

P

p1

0,7

Tìm x1 , x2 và p1 biết E (X)  2, 7 và V ( X )  0, 21 (x2  x1 ) .
3. Ba máy ATM 1, 2, 3 có xác suất không cho giao dịch tại cùng một thời điểm lần lượt là
0,02; 0,03; 0,05. Tại thời điểm đó, mỗi máy được một người rút tiền. Tính số máy không
cho giao dịch tin chắc nhất trong ba máy trên vào thời điểm đó, biết rằng ba máy ATM này
hoạt động độc lập.
4. Trong 100 000 vé xổ số phát hành có 1 giải trị giá 100 triệu đồng, 20 giải trị giá 20 triệu
đồng, 150 giải trị giá 5 triệu đồng, 1500 giải trị giá 1 triệu đồng. Tìm số tiền lãi kì vọng của
một người khi mua một vé xổ số, biết giá vé là 10 000 đồng.
5. Có hai hộp sản phẩm; hộp thứ nhất có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm, hộp thứ hai có 8 chính
phẩm và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm.
a) Lập bảng phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra.
b) Tìm xác suất để sai lệch giữa số chính phẩm được lấy ra và kỳ vọng tốn của nó nhỏ
hơn 1.
6. Một hộp có 10 sản phẩm gồm chính phẩm và phế phẩm. Gọi X là số phế phẩm có trong
hộp. X có bảng phân phối xác suất như sau:
0
1

2
X
P
0,6
0,3
0,1
Lấy ngẫu nhiên từ hộp 2 sản phẩm. Gọi Y là số phế phẩm có trong 2 sản phẩm lấy ra. Tìm
quy luật phân phối xác suất của Y .

8


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

7. Tại một cửa hàng, lượng hàng bán được trong ngày về một loại thực phẩm có bảng phân
phối xác suất như sau:
Lượng bán (kg)
Xác suất

30
0,05

31
0,1

32
0,2

33
0,3

34
0,15

35
0,12

36
0,08

Mỗi kg thực phẩm mua vào với giá 20 ngàn đồng, bán ra với giá 25 ngàn đồng song nếu
bị ế thì cuối ngày phải bán với giá 15 ngàn đồng mới bán hết. Để lợi nhuận trung bình là
lớn nhất thì mỗi ngày cửa hàng nên đặt mua bao nhiêu kg thực phẩm.
8. Một công ty thuê một luật sư trong một vụ kiện với hai phương án trả công như sau:
Phương án 1: Trả 7 triệu đồng bất kể thắng hay thua kiện.
Phương án 2: Trả 1 triệu đồng nếu thu kiện và 15 triệu đồng nếu thắng kiện.
Luật sư đã chọn phương án 2. Vậy theo đánh giá của luật sư thì khả năng thắng kiện của
công ty tối thiểu là bao nhiêu.
9. Theo thống kê, một người ở độ tuổi 40 sẽ sống thêm một năm nữa với xác suất 0,995. Một
công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm một năm cho những người ở độ tuổi đó với giá là
1 triệu đồng. Trong trường hợp người mua bảo hiểm bị chết thì số tiền bồi thường là 100
triệu đồng. Giả thiết bỏ qua tồn bộ các chi phí khác ngồi việc chi trả tiền bảo hiểm cho
khác thì lợi nhuận trung bình của công ty khi bán mỗi thẻ bảo hiểm loại này là bao nhiêu.
10. Trong một cuộc thi, người ta có hai hình thức thi như sau:
Hình thức thứ nhất: Mỗi người phải trả lời hai câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm.
Hình thức thứ hai: Nếu trả lời đúng câu thứ nhất thì mới được trả lời câu thứ hai, nếu
khơng thì dừng. Trả lời đúng câu thứ nhất được 5 điểm, trả lời đúng câu thứ hai được 10
điểm.

Trong cả hai hình thức thi, các câu trả lời sai đều không được điểm. Giả sử xác suất trả lời
đúng mỗi câu đều là 0,8; việc trả lời đúng mỗi câu là độc lập với nhau. Theo bạn, nên chọn
hình thức nào để số điểm trung bình đạt được nhiều hơn.
11. Biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất như sau:
P( X  k )  Cnk p k (1  p ) n  k , (k  0,1, 2,..., n)

Tìm m0 (mốt) của X .
12. Biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất như sau:
k
 
P( X  k )  e .

k!

, (k  0,1, 2,...)

với  là số dương cho trước. Tìm m0 (mốt) của X .
13. Theo dõi hiệu quả kinh doanh của một công ty qua nhiều năm, các chuyên gia thiết lập bảng
phân phối xác suất của lãi suất đầu tư của công ty như sau:
9


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

X (%)

P

8
0,07

9
0,14

10
0,2

11
0,3

12
0,16

13
0,1

14
0,03

a) Khả năng đầu tư vào cơng ty đó để đạt lãi suất ít nhất 11% là bao nhiêu?
b) Tìm mức lãi suất nhiều khả năng nhất và mức lãi suất trung bình khi đầu tư vào cơng
ty đó.
c) Tìm mức độ rủi ro khi đầu tư vào cơng ty đó.
14. Thống kê về tai nạn giao thông cho thấy tỉ lệ tai nạn xe máy (vụ/tổng số xe/năm) chia theo
mức độ nhẹ và nặng tương ứng là 0,001 và 0,005. Một cơng ty bán bảo hiểm xe máy với
mức thu phí hàng năm là 30 000 đồng và số tiền bảo hiểm trung bình một vụ là 1 triệu đồng
đối với trường hợp nhẹ và 3 triệu đồng đối với trường hợp nặng. Hỏi lợi nhuận trung bình
hàng năm mà cơng ty thu được đối với mỗi hợp đồng bảo hiểm là bao nhiêu? Biết rằng thuế

doanh thu phải nộp là 10% và tổng tất cả các chi phí khác chiếm 15% doanh thu.
15. Một cửa hàng mua vào bốn thùng hàng với giá 120 nghìn đồng/thùng. Số thùng hàng chưa
bán được, khi hết hạn sử dụng được nhà phân phối mua lại với số tiền bằng

3
số tiền cửa
4

hàng đã mua vào. Gọi X là số thùng hàng bán được của cửa hàng, X có phân phối xác suất
như sau:
X

0

1

2

3

4

P

1
15

2
15

2
15

6
15

4
15

Nếu giá bán ra của mỗi thùng hàng trên như nhau, thì giá đó là bao nhiêu để lợi nhuận kì
vọng đối với 4 thùng hàng này là 40 nghìn đồng/thùng.
16. Thống kê về mức độ hỏng và chi phí sửa chữa của hai loại động cơ A và B, có bảng số liệu
sau:
Mức độ hỏng
1
2
3
Chi phí sửa chữa (triệu
A
5,5
7,2
12,5
đồng/năm) của một động cơ
B
6,0
7,5
10,8
Tỉ lệ hỏng (%/năm)
A
2

5
3
B
1
4
5
Một công ty đang sử dụng 6 động cơ loại A và 4 động cơ loại B. Tính chi phí sửa chữa trung
bình hàng năm cho cả hai loại động cơ trên của công ty.
17. Cơ quan dự báo khí tượng thủy văn chia thời tiết thành các loại “xấu”, “bình thường”, “tốt”
với xác suất tương ứng là 0,25; 0,45; 0,3. Với tình trạng trên thì khả năng nông nghiệp được
mùa tương ứng là 0,2; 0,6; 0,7. Nếu như sản xuất nơng nghiệp được mùa thì mức xuất khẩu
lương thực tương ứng với tình trạng trên là: 2,5 triệu tấn, 3,3 triệu tấn, 3,8 triệu tấn. Hãy tìm
mức xuất khẩu lương thực có khả năng nhất.
10


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

18. Tuổi thọ của một loại sản phẩm (đơn vị: năm) là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối
xác suất dạng
khi x  5
0

F ( x)   k
1
khi x  5

 x2

a) Tìm k ? Tính xác suất để trong 10 sản phẩm có 3 sản phẩm hỏng trước 6 năm.
b) Một công ty kinh doanh sản phẩm này khi bán được một sản phẩm lãi 500.000 đồng.
Nếu sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành thì phải bỏ ra 1.000.000 đồng cho chi
phí sửa chữa. Muốn có tiền lãi trung bình là 300.000 đồng cho một sản phẩm bán được
thì cơng ty phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu năm.
19. Thời gian (phút) xếp hàng chờ mua hàng của khách là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm
phân phối xác suất như sau:
voi x  0
0
 3
2
F( x)  ax  3x  2 x voi 0  x  1
1
voi x  1


a) Tìm a .
b) Tìm thời gian xếp hàng trung bình.
20. Tuổi thọ của một loại sản phẩm (đơn vị: năm) là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ
xác suất:
0 khi x  5

f ( x)   k
khi x  5

 x3

a) Tìm k ? Tính tuổi thọ trung bình của sản phẩm.
b) Nếu muốn tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành là 20% thì phải quy định thời gian bảo hành

là bao nhiêu?
21. Tuổi thọ (tính theo năm) của một thiết bị điện tử là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất
như sau:
k.e2 x víi x  0
f ( x)  
víi x  0
0

Xác định k và tính xác suất để thiết bị này sử dụng được ít nhất 2 năm.
22. Cho hàm số
k (1  x), x   1;0 

f ( x)  k (1  x), x  0;1

x   1;1
 0,

11


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

a) Xác định k để f ( x) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X và tìm hàm phân
phối xác suất.
b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X .
23. Nhu cầu hàng năm về mặt hàng A là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
như sau (đơn vị: ngàn sản phẩm):
k (30  x), x   0;30 

f ( x)  
x   0;30 
 0,

a) Xác định k ?
b) Tìm xác suất để nhu cầu về loại hàng đó khơng vượt quá 12 ngàn sản phẩm trong một
năm.
c) Tìm nhu cầu trung bình hàng năm về mặt hàng A.
24. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất như sau:

 k .sin x,

f (x)  

0,


 
víi x   0; 
 2
 
víi x   0; 
 2

a) Xác định k.
  
b) Tính xác suất để khi thực hiện 3 phép thử độc lập X nhận giá trị trong khoảng  ; 
6 3




ít nhất một lần.
25. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
ax  bx 2 , víi x   0;1
f ( x)  
víi x   0;1
 0,


Biết E ( X )  0, 6 . Tìm hàm phân phối xác suất của X ; tính P  1  X   và V ( X ) .
2
1





26. Giả sử hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X là:
 A.e  x víi x  0
f ( x)  
(  0)
víi x  0
 0

a) Tìm A .
b) Tìm hàm phân phối của X .
c) Tìm kì vọng và phương sai của X .

12

Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

27. Thống kê về lãi cổ phần tính cho 100 USD của 2 ngân hàng A và B trong một số năm tương
ứng là X (đơn vị %), Y (đơn vị %) kết quả cho trong bảng:
Y
-2
5
10
X
-1
0,1
0,15
0,1
4
0,05
0,2
0,1
10
0,1
0,15
0,05
a)
b)
c)
d)

Lập bảng phân phối biên của X, của Y. Tính lãi cổ phần trung bình cho từng ngân hàng.
Khi Y = 5%, tính lãi cổ phần trung bình của X.
X và Y có độc lập với nhau khơng? Tính 𝜌𝑋𝑌 .
Lập bảng phân phối của T = X + Y. Tính E(T) và V(T).

28. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp có 3 cầu đỏ, 4 cầu trắng, 5 cầu vàng. Gọi X, Y tương
ứng là số cầu đỏ, cầu vàng có trong 3 quả chọn ra.
a) Lập bảng phân phối đồng thời của X và Y
b) Tìm các phân phối biên của X và Y.
c) Tìm phân phối của số cầu đỏ biết số cầu vàng đã chọn được là 1.
d) Tính 𝜌𝑋𝑌 .
29. Điều tra thu nhập hàng năm (đơn vị 10 triệu đồng) của các cặp vợ chồng đang làm việc.
Thu nhập của vợ, chồng tương ứng là X, Y được cho trong bảng:
Y
Y
10
20
30
40
X
10
0,2
0,04
0,01
0
20
0,1
0,36
0,09
0

30
0
0,05
0,1
0
40
0
0
0
0,05
a) Tìm phân phối biên của thu nhập của chồng, của vợ; thu nhập trung bình hàng năm của
họ.
b) Tìm phân phối thu nhập của vợ có chồng thu nhập 20 triệu/năm; thu nhập trung bình
của họ.
c) Tìm 𝜌𝑋𝑌 , từ đó cho kết luận về sự phụ thuộc giữa thu nhập của vợ chồng
d) Lập bảng phân phối xác suất của tổng thu nhập của các cặp vợ chồng. Tính trung bình
của tổng thu nhập đó.

13


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

Hướng dẫn, đáp số
4. Gọi X là tiền lãi (ngàn đồng) khi mua 1 vé xổ số, lập bảng phân phối xác suất của X,
tính E(X).

6. HD: ( X  0), (X  1), (X  2) là các biến cố tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố. Tính xs

của các biến cố (Y  0), (Y  1), (Y  2) qua nhóm đầy đủ này.
P(Y  0)  P( X  0).P(Y  0 | X  0)  P( X  1).P(Y  0 | X  1)  P( X  2).P(Y  0 | X  2)
C92
C82
 0, 6 1  0,3  2  0,1 2
C10
C10

8. HD: Luật sư lựa chọn phương án 2, như vậy theo đánh giá của luật sự thì:
E(“lợi nhuận khi lựa chọn phương án 2”)  E(“lợi nhuận khi lựa chọn phương án 1”).
9. Gọi X là lợi nhuận (triệu đồng) của công ty khi bán 1 thẻ bảo hiểm, lập bảng phân phối
xác suất của X, tính E(X).
10. Gọi X, Y lần lượt là số điểm đạt được khi chọn hình thức thi 1 và 2 tương ứng. Lập bảng
ppxs của X, Y, tính và so sánh E(X), E(Y).
17. HD: Gọi H1, H2, H3 tương ứng là các biến cố tình trạng thời tiết năm đó là “xấu”, “bình
thường” và “tốt”, { H1, H2, H3} tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố; A = “sản xuất
nông nghiệp được mùa” và X = “mức xuất khẩu lương thực” (triệu tấn).
Khi đó: (X = 2,5) = (H1|A); (X = 3,3) = (H2|A); (X = 3,8) = (H3|A).
18. a) k = 25. Sử dụng công thức công thức Becnulli.
19. a) a = 2
b) Gọi X là thời gian (phút) xếp hàng chờ mua hàng của khách, cần tính E(X).
20. a) k = 50. Gọi X là tuổi thọ (năm) của sản phẩm, cần tính E(X).
b) Gọi t (năm) là thời gian bảo hành sản phẩm. Cần tìm t sao cho: P(X ≤ t) = 0,2.

14


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

Chương 3

Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng
Phân phối nhị thức – B(n, p)
1. Thống kê cho thấy cứ 3 lần chào hàng thì có một lần bán được hàng. Nếu chào hàng 20 lần
và gọi X là số lần bán được hàng thì X tuân theo quy luật gì?
2. Một người trả lời ngẫu nhiên 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời
trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Gọi X là số câu trả lời đúng của người đó.
a) Nêu quy luật phân phối xác suất của X.
b) Tìm số câu trả lời đúng trung bình của người đó.
c) Tìm số câu trả lời đúng có xác suất cao nhất của người đó.
3. Gieo 100 hạt đậu tương. Xác suất nảy mầm của mỗi hạt là 0,9. Tính xác suất để trong 100
hạt.
a) Có đúng 80 hạt nảy mầm.
b) Có ít nhất 1 hạt nảy mầm.
c) Có nhiều nhất 98 hạt nảy mầm.
4. Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên độc lập 14 viên đạn vào một mục tiêu với xác suất bắn trúng
đích của mỗi viên là 0,2. Tìm số viên đạn trúng đích với khả năng lớn nhất.
5. Một lơ hàng chứa rất nhiều sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm là 0,02. Cần phải lấy một mẫu cỡ
bằng bao nhiêu, sao cho xác suất để có ít nhất một phế phẩm trong mẫu đó khơng bé hơn
0,95.
6. Xác suất để máy bị hỏng trong một ngày hoạt động là 0,01. Mỗi lần máy hỏng chi phí sửa
chữa hết 1 triệu đồng. Vậy có nên kí một hợp đồng bảo dưỡng là 120 ngàn đồng một tháng
để giảm xác suất hỏng của máy đi một nửa hay không và nếu kí thì hiệu quả mang lại là bao
nhiêu.
Phân phối siêu bội – H(N, M, n)
7. Trong 20 giấy báo thuế có 3 giấy mắc sai sót. Lấy ngẫu nhiên 5 giấy để kiểm tra. Tìm phân
phối xác suất; trung bình và phương sai của số giấy mắc sai sót có trong 5 giấy lấy ra.
8. Để thanh toán 1 triệu đồng tiền hàng, một khách hàng gian lận đã xếp lẫn 5 tờ 50 ngàn tiền

giả với 15 tờ tiền thật. Chủ cửa hàng rút ngẫu nhiên 3 tờ đem đi kiểm tra và giao hẹn, nếu
phát hiện có tiền giả thì cứ mỗi tờ giả khách hàng phải đền hai tờ thật. Tìm số tiền phạt trung
bình mà khách hàng phải trả.

15


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

Phân phối Poisson – P(λ)
9. Một cửa hàng có 4 chiếc ơ tơ cho thuê, lượng cầu (đơn vị chiếc) thuê xe trong một ngày là
biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với E ( X )  2 .
a) Tìm luật phân phối xác suất của số ô tô cửa hàng này cho th được trong một ngày.
b) Tính số ơ tơ trung bình mà cửa hàng cho th trong một ngày?
10. Số khách hàng vào một siêu thị trong 20 phút là biến ngẫu nhiên phân phối Poisson với số
khách trung bình là 6. Tính xác suất để trong 10 phút nào đó có hơn 2 khách vào siêu thị.
11. Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 150 cú điện thoại trong 1 giờ. Tìm xác suất
để trung tâm này nhận được không quá 2 cuộc điện thoại trong 1 phút.
12. Một cửa hàng có 3 xe ơ tô cho thuê. Hàng ngày phải nộp thuế 50 ngàn đồng/1 xe dù xe có
được th hay khơng. Mỗi chiếc xe được thuê với giá 700 ngàn đồng/1 ngày. Giả sử yêu
cầu thuê xe của cửa hàng là biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số   2,8 .
Tính số tiền lãi trung bình của trạm thu được trong một ngày.
Phân phối đều – U(a; b)
13. Một xe buýt xuất hiện tại bến đợi lúc 7 giờ sáng, cứ 15 phút một chuyến. Giả sử thời gian
xuất hiện tại bến đợi ( kí hiệu là X ) tại bến đợi của một hành khách có phân phối đều từ 7
giờ đến 7 giờ 30.
a) Viết hàm phân phối xác suất của X .
b) Tìm xác suất để hành khách đó phải đợi ít hơn 5 phút; nhiều hơn 10 phút.

14. Một nhà kinh doanh muốn đầu tư 10 triệu đồng vào một công ty mà nếu trong năm tới cơng
ty làm ăn thuận lợi có thể sẽ mang lại lãi suất đến 14% còn nếu gặp khó khăn thì lãi suất có
thể giảm đến mức 4%. Trong khi đó nếu gửi tiền vào ngân hàng thì lãi suất đảm bảo 8%/năm.
Vậy nếu dùng tiền để đầu tư thì khả năng có lãi hơn gửi ngân hàng là bao nhiêu.
Phân phố mũ – E(λ)
15. Thời gian phục vụ mỗi khách hàng (phút/khách hàng) tại một cửa hàng là biến ngẫu nhiên
có phân phối mũ với hàm mật độ xác suất như sau:
5e5 x voi x  0
f ( x)  
voi x  0
0

a) Tìm xác suất để thời gian phục vụ khách hàng nào đó sẽ nằm trong khoảng từ 0,4 đến 1
phút.
b) Tìm thời gian trung bình để phục vụ một khách hàng.
16. Khoảng thời gian mà hai khách hàng kế tiếp nhau đến ngân hàng là biến ngẫu nhiên phân
phối mũ với trung bình là 3 phút. Giả sử vừa có một khách đến. Tìm xác suất để trong vịng
ít nhất 2 phút nữa mới có người khách tiếp theo đến ngân hàng.
16


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

Phân phối chuẩn – N(μ; σ2)
17. Chiều cao của một người trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 175 cm và độ
lệch chuẩn 4 cm. Hãy xác định:
a) Tỉ lệ người trưởng thành có tầm vóc trên 180 cm.
b) Tỉ lệ người trưởng thành có chiều cao từ 166 cm đến 177 cm.

c) Giá trị m, biết 33% người trưởng thành có chiều cao dưới mức m.
d) Giới hạn biến động chiều cao của 90% người trưởng thành xung quanh giá trị trung
bình.
18. Thời gian (tính bằng tháng) từ lúc vay tới lúc trả tiền của một khách hàng tại một ngân hàng
là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 18 tháng, độ lệch tiêu chuẩn 4 tháng.
a) Tính tỉ lệ khách hàng trả tiền cho ngân hàng trong khoảng từ 10 đến 19 tháng; khơng
ít hơn một năm; ít hơn 9 tháng.
b) Khoảng thời gian tối thiểu là bao nhiêu để tỉ lệ khách hàng trả tiền cho ngân hàng vượt
thời gian đó khơng q 1%.
19. Gọi X là lượng điện tiêu thụ (tính bằng kWh) hàng tháng của một hộ gia đình.Giả sử X là
biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn với tham số   70 kWh và   40 kWh. Giá
tiền điện một tháng là 1500 đồng/kWh nếu lượng điện tiêu thụ trong tháng đó khơng q 50
kWh. Tháng nào dùng q mức này sẽ phải trả 700 đồng cho 1 kWh dơi ra. Gọi Y là tiền
điện (nghìn đồng) phải trả hàng tháng của một hộ gia đình. Tính các xác suất:
a) P(60  Y  317)

b) P(Y  251)

HD: a) (60  Y  317)  (60  Y  75)  (75  Y  317)  (4  X  50)  (50  X  160) .
20. Thời gian hoạt động tốt (không phải sửa chữa) của một máy tính là biến ngẫu nhiên có phân
phối (xấp xỉ) chuẩn với   4300 giờ và   250 giờ. Giả thiết mỗi ngày một chiếc máy loại
này được dùng trong 10 giờ.
a) Tìm tỉ lệ máy tính loại này phải bảo hành, nếu thời gian bảo hành là 360 ngày.
b) Phải nâng chất lượng máy tính loại này bằng cách làm cho thời gian hoạt động tốt
trung bình của sản phẩm lên bao nhiêu để tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành và  vẫn như
trên song có thể nâng thời gian bảo hành lên thành 720 ngày.
21. Khi thâm nhập một thị trường mới, doanh nghiệp chỉ dự kiến được rằng doanh số hàng
tháng có thể đạt tuân theo luật phân phối (xấp xỉ) chuẩn. Khả năng đạt được doanh số trên
40 triệu là 0,2 và dưới 25 triệu là 0,1.
a) Tìm kì vọng và phương sai của doanh số hàng tháng này.

b) Tìm xác suất để doanh nghiệp đạt được doanh số ít nhất là 32 triệu/tháng.

17


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

22. Tuổi thọ của một loại bóng đèn (đơn vị: năm) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung
bình 4,2 năm, phương sai 2,25 (năm)2. Khi bán một bóng đèn thì cơng ty lãi 100 ngàn đồng,
song nếu đèn phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng.
a) Nếu quy định thời gian bảo hành là 3 năm thì tiền lãi trung bình khi cơng ty bán một
bóng đèn là bao nhiêu.
b) Để tiền lãi trung bình khi bán một bóng đèn là 30 ngàn đồng thì phải quy định thời gian
bảo hành là bao nhiêu?
23. Độ dài chi tiết (cm) do một máy tự động sản xuất là biến ngẫu nhiên phân phối (xấp xỉ)
chuẩn với độ lệch chuẩn là 9 cm. Nếu được biết 84,13% chi tiết do máy sản xuất có độ dài
khơng vượt q 84 cm thì xác suất để lấy ngẫu nhiên 3 chi tiết được ít nhất 1 chi tiết có độ
dài khơng dưới 80 cm là bao nhiêu.
24. Đầu tư vào hai thị trường A và B, có lãi suất là các biến ngẫu nhiên độc lập và phân phối
chuẩn.
Lãi trung bình Độ lệch chuẩn
10%
4%
Thị trường A
9%
3%
Thị trường B
a) Muốn có lãi hơn 8%, trong ba phương án sau phương án nào là tốt nhất:

Phương án 1: Đầu tư toàn bộ tiền vào thị trường A.
Phương án 2: Đầu tư toàn bộ tiền vào thị trường B.
Phương án 3: Chia đều vốn vào cả hai thị trường.
b) Muốn rủi ro (phương sai) là nhỏ nhất thì phải đầu tư vào hai thị trường theo tỉ lệ nào.

18


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO fx – 570VN PLUS

19


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

20


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

21

Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

Chương 4

Cơ sở lý thuyết mẫu

1. Tính trung bình mẫu và độ lệch tiêu chuẩn từ mẫu số liệu sau:
X
2
3
4
5
6
7
8
9
ni
15
30
25
12
41
11
52
8
2. Tính trung bình mẫu và độ lệch tiêu chuẩn từ mẫu số liệu sau:
X

114
115
116
117
118
Tần số
22
67
54
73
45

10
33
119
18

11
23
120
13

3. Tính trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu từ các số liệu sau:
a)
Khoảng 0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 70 – 80 80 – 90
Tần số
7
15
30
28

42
19
34
18
7
b)
Khoảng
Tần số

0,5 – 3,5
25

3,5 – 6,5
30

6,5 – 9,5
5

9,6 – 12,5
9

12,5 – 15,5
3

15,5 – 18,5 18,5 – 21,5
0
3

22

Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO fx – 570VN PLUS

23


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

24