Tài liệu Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên_chương 7 pdf

Chươn
g
V. CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ
CỦA ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN
§1. Các đặc trưng số
Từ luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rút ra
vài số đặc trưng cho đại lượng ngẫu nhiên đó (giúp
ta so sánh giữa các đại lượng với nhau) được gọi là
các đặc trưng số.
1.1. Mod[X] (mode)
Đònh nghóa
Mod[X] là
g
iá trò mà tại đó X nhận xác suất lớn
nhất (nếu X rời rạc) ha
y
hàm mật độ đạt cực đại
(nếu X liên tục).
VD Cho X rời rạc có luật phân phối
X 0 1
2
4 5 8
P
X
0,1 0,2
0,3
0,05 0,25 0,1
Mod[X] = 2.
1.2. Trung vò
X
:

(Med[X])
Trun
g
vò là 1
g
iá trò của X mà tại đó xác suất được
chia đôi, nghóa là
PX X PX X
éùé
ù
£= ³
êúê
ú
ëûë
û
::
.
VD Cho X rời rạc có luật phân phối
X 1 2 3
4
5
P
X
0,1 0,2 0,15
0,1
0,45
XMed[X]4==
:
1.3. Kỳ vọng toán M(X)
1.3.1. Đònh nghóa

Cho X rời rạc có phân phối
Xx
1
x
2
…x
i
…x
n
P
X
p
1
p
2
…p
i
…p
n
thì
n
11 2 2 n n i i
i1
M(X) x p x p x p x p
=
=+ ++ =
∑
+ Nếu X liên tục thì
M(X) xf(x)dx
+

∞
−
∞
=
∫
.
VD Tron
g
bình đựn
g
10 quả cầu
g
iốn
g
nhau nhưn
g
khác trọn
g
lượn
g

g
ồm 5 quả nặn
g
1k
g
, 2 quả 2k
g
và
3 quả 3 kg. Lấ

y
n
g
ẫu nhiên 1 quả,
g
ọi X là trọn
g
lượng quả cầu đó. X có luật phân phối
X 1kg 2kg 3kg
P
X
0,5 0,2 0,3
Su
y
ra M(X) = 1.0,5 + 2.0,2 + 3.0,3 = 1,8k
g
.
Kỳ vọng là giá trò trung bình (theo xác suất) của đại
lượng ngẫu nhiên X, là trung tâm điểm của phâ
n
phối mà các giá trò cụ thể của X sẽ tập trung quanh
đó.
1.3.2. Ý nghóa
a/ Trường hợp X rời rạc
Xx
1
x
2
…x
i

…
x
n
P
X
p
1
p
2
…p
i
…
p
n
n
(x )
ϕ
Xét bảng
……
P
Y
p
1
p
2
…p
i
…
p
n

n
ii
i1
M[ (X)] (x )p
=
ϕ=ϕ
∑
(X)ϕ
1
(x )
ϕ
2
(x )
ϕ
i
(x )
ϕ
Bài toán
Cho đại lượng ngẫu nhiên X và
Y(X)
=
ϕ
.
Tính
M(Y) M[ (X)]=ϕ
.
VD Cho
2
Y(X)X=j =
, bieát

X –1 0 1 2
P
X
0,1 0,3 0,4 0,2
Ta coù
(X)
j
1 0 1 4
P
Y
0,1 0,3 0,4 0,2
M[ (X)] 1.0,1+ 0.0, 3+1.0, 4+ 4.0,2 1, 3Þj = =
Chú ý
Trong bảng phân phối của X có một Mod[X] và đối
xứng thì
Mod[X] X M(X).==
:

b/ Trườn
g
hợp X liên tục có hàm mật độ f(x)
thì
M[ (X)] (x)f(x)dx.
+¥
-¥
j=j
ò

X 1 2
4

6 7
P
X
0,1 0,2
0,4
0,2 0,1
VD
1.4. Phöôn
g
sai D(X)
VD
X 1 2 3
P
X
0,2 0,7 0,1
M(X) 1.0,2 2.0, 7 3.0,1 1,9m= = + + =
222
D(X)= (1 -1,9) .0,2+ (2 -1,9) .0,7+ (3 -1,9) .0,1Þ
1.4.1. Ñònh nghóa
2
D(X) M{[X M(X)] }=-

hoaëc
=-mm=
2
D(X) M[(X ) ], M(X).

Công thức thường dùng
22
D(X) M(X ) [M(X)]=-

Khi đó
2
nn
2
jj jj
j1 j1
D(X) x p x p
==
ỉư
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
èø
åå
, X rời rạc.
2
2
D(X) x f(x)dx xf(x)dx
+¥ +¥
-¥ -¥
ỉư
÷
ç
÷
=-

ç
÷
ç
÷
ç
èø
òò
, X liên tục.
VD Trong ví dụ trên ta có
222 2
D(X) 1 .0, 2 2 .0, 7 3 .0, 1 (1, 9)=++-
.
1.4.2. Ý nghóa
Phương sai là sai số bình phương trung bình của đại
lượng ngẫu nhiên X so với trung tâm điểm kỳ vọng.
Phương sai dùng để đo mức độ phân tán của X
quanh kỳ vọng.
1.5. Độ lệch tiêu chuẩn
(X) D(X)s=
Bài 1. Một bà mẹ sinh 2 con (mỗi lần sinh 1 con).
Xác suất sinh con trai là 0,51. Gọi X là số con trai
trong 2 lần sinh. Tính kỳ vọng và phương sai của X.
Bài tập
Bài 2. Một lô hàn
g
g
ồm 10 sản phẩm tốt và 2 phe
á

phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô hàng đó,

g
ọi X là số phế phẩm tron
g
2 sản phẩm lấ
y
ra. Tính
kỳ vọng và phương sai của X.
Bài 3. Theo thống kê, một người Mỹ 25 tuổi sẽ
sống thêm trên 1 năm có xác suất là 0,992 và người
đó chết trong vòng 1 năm tới là 0,008. Một chương
trình bảo hiểm đề nghò người đó bảo hiểm sinh
mạng cho 1 năm với số tiền chi trả là 1000 USD,
phí bảo hiểm là 10 USD. Hỏi công ty đó có lãi
không ?
Bài 4. Một người mua 1 vé xổ số trò giá 2.000 đồng.
Biết rằng vé số có 6 chữ số. Cơ cấu trúng giải:
+ Một giải 8 trúng 2 chữ số cuối thưởng 20.000đ.
+ Một giải 7 trúng 3 chữ số cuối thưởng 50.000đ.
+ Năm giải 6 trúng 4 chữ số cuối thưởng 100.000đ.
+ Hai giải 5 trúng 4 chữ số cuối thưởng 200.000đ.
+ Ba giải 4 trúng 5 chữ số cuối thưởng 500.000đ.
+ Hai giải 3 trúng 5 chữ số cuối thưởng 1 triệu.
+ Một giải nhì trúng 5 chữ số cuối thưởng 2 triệu.
+ Một giải nhất trúng 5 chữ số cuối thưởng 5 triệu.
+ Một giải đặc biệt trúng 5 chữ số cuối thưởng 50
triệu đồng. Hỏi người mua vé số có lãi không?
§2. CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA VECTOR (X, Y)
2.1. Đặc trưn
g
của phân phối có điều kiện

2.1.1. Trường hợp rời rạc
Xx
1
x
2
…x
i
…x
m
P
X/Y=y
j
P
1/j
p
2/j
…p
i/j
…p
m/j
Yy
1
y
2
…y
j
…y
n
P
Y/X=x

i
q
1/i
q
2/i
…q
j/i
…q
n/i
a/ Kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y = y
j
[]
m
j
ii/
j
i1
MX/Y y xp
=
==
å

Kỳ vọng có điều kiện của Y với điều kiện X = x
i
[]
n
i
jj
/i
j1

MY/X x yq
=
==
å

b
/ Kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y
+ M(X/Y) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trò
M(X/y
j
) khi Y = y
j
và
(Y) M(X/ Y)Y=
.
+ M(Y/X) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trò
M(Y/x
i
) khi X = x
i
và
(X) M(Y/ X)Y=
.
2.1.2. Trường hợp liên tục
M(X / y) xf(x / y)dx (y)==Y
ò

M(Y / x) yf(y / x)dy (x)==Y
ò
.

2.2. Kỳ vọng của hàm 1 vector ngẫu nhiên (rời rạc)
Cho (X, Y) có phân phối P[X=x
i
, Y=y
j
] = p
ij
và
Z(X,Y)=j
thì
mn
i
j
i
j
i1j1
M(Z) M[ (X,Y)] (x ,y )p .
==
=j = j
åå

VD Cho
Z(X,Y)XY=j = +
vaø baûng sau
(X, Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2)
p
ij
0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2
M(Z) (0 0).0,1 (0 1).0,2 (0 2).0,3=+ ++ ++
(1 0).0, 05 (1 1).0,15 (1 2).0, 2 1, 75++ + + + + =

.