SKKN xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo euler” nhằm phát triển năng lực giải toán tổ hợp xác suất của học sinh THPT

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Hội đồng thẩm định sáng kiến tỉnh Ninh Bình
1. Nhóm tác giả sáng kiến: Chúng tơi gồm:

T

Họ và tên

T

1

Doãn Huy Tùng

2

Đinh Cao Thượng

3

Lê Thịị̣ Lan Anh

4

Nguyễn Xuân Trường

Là đồng tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Xây dựng một số dạng toán
đếm dựa trên bài toán “chia kẹo Euler” nhằm phát triển năng lực giải toán Tổ hợp Xác suất của học sinh THPT.
2. Lĩnh vực và năm áp dụng sáng kiến:

-

Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và đào tạo.

-

Năm áp dụng sáng kiến: Bắt đầu từ năm học 2019 – 2020.

3. Các từ viết tắt:
-

THPT: Trung học phổ thông


1


-

SGK: Sách giáo khoa

4. Nội dung sáng kiến
4.1. Thực trạng và giải pháp cũ thường làm - Hạn chế của giải pháp cũ
Trong chương trìì̀nh tốn THPT các bài tốn đêm va xac śt ln là các bài tốn
khiến đa sớ học sinh gặp nhiều khó khăn và lúng túng.
Xét bài toán nổi tiếng trong toán học Tổ hợị̣p Xác suấấ́t “Chia kẹo Euler”
“Có bao nhiêu cách chia n chiếc kẹo cho k em bé”.
Kết quả và cách tư duy lời giải của bài toán này đượị̣c ứng dụng giải quyết một sớấ́
bài tốn sau:
+ Trích đề thi đầu vàà̀o sinh viên lớp Công nghệ thông tin Chấấ́t lượợ̣ng cao (20212022) (ĐHCN-ĐHQGHN)

Alice vừa đoạt giải quán quân trong một kìì̀ thi lập trìì̀nh danh giá. Ban tổ chức
trao thưởng theo cách thức sau: Có n hộp xếp trên một hàng dài và trong n hộp đó có k
hộp có quà đặc biệt. Alice đượị̣c phép chọn ra đúng k hộp và lấấ́y tấấ́t cả quà trong k hộp
đãã̃ chọn. Ban tổ chức cho Alice biết rằng, khơng có hai hộp quà đặc biệt nào đượị̣c xếp
cạnh nhau. Nhằm tăng xác suấấ́t chọn đượị̣c cả k hộp quà đặc biệt. Alice quyết địị̣nh sẽ
chọn k hộp q mà khơng có hai hộp nào cạnh nhau.
Yêu cầu: Cho hai sốấ́ nguyên dương n và k. Gọi C là sốấ́ cách chọn k hộp mà khơng có
hai hộp nào đứng cạnh nhau trong dãã̃y n hộp, hãã̃y tính C%(10^9+7)(trong đó % là phép
tốn chia lấấ́y dư).
+ Trích đề thi họợ̣c sinh giỏi q́ấ́c gia năm họợ̣c 2020 – 2021 (VMO)
Bài 6: Một học sinh chia tấấ́t cả 30 viên bi vào 5 cái hộp đượị̣c đánh sốấ́ 1, 2, 3, 4, 5 (sau
khi chia có thể có hộp khơng có viên bi nào).
a. Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau
nếu có một hộp có sớấ́ bi trong hau cách chia là khác nhau).
+ Trích đề tham khảả̉o kì thi tớấ́t nghiệp THPT năm 2020
Câu 39. Có 6 chiếc ghế đượị̣c kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học
sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó,

2


sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Xác suấấ́t để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học
sinh lớp B bằng:
A.
+
-

B.

C.

D.

Mợợ̣t sớấ́ bàà̀i toáấ́n kháấ́c
(Bài tốn liên quan vấn đề trồng rừng) Ơng An trơng 3 cây lim, 4 cây long

não va 5 cây xa cư trên môt hang môt cach ngâu nhiên. Tinh xac suất đê không co 2 cây
xa cư nao được trơng canh nhau?
-

(Bài tốn bầu cử): Trong một cuộc bầu cử, ứng cử viên A đượị̣c a phiếu bầu,

ứng cử viên B đượị̣c b phiếu bầu (a > b). Cử tri bỏ phiếu tuần tự từng người. Có bao
nhiêu cách sắp xếp việc bỏ phiếu để lúc nào A cũng hơn B về sốấ́ phiếu bầu?
-

(Bài tốn mua vé): Có m + n

người đang đứng quanh quầy vé, trong đó

có n người chỉ có tiền 5.000 và m người chỉ có tiền 10.000. Đầu tiên ở quầy khơng có
tiền, vé giá 5.000. Hỏi có bao nhiêu cách xếp m + n người thành một hàng để khơng một
người nào phải chờ tiền trả lại?
Nhìn nhận các vấn đề xung quanh các bài toán trên, chúng tôi nhận thấy một
số vấn đề liên quan đến thực trạng dạy và học các vấn đề liên quan đến nội dung Tổ
hợp Xác suất, thực trạng nội dung các đề thi cũng như ưu, nhược điểm của các giải
pháp trong dạy và học để giải quyết các bài toán trong nội dung này.


Các bài toán nêu trên đều ở mức vận dụng và vận dụng cao có nội dung thực

tiễn, xuấấ́t phát từ những vấấ́n đề trong thực tế. Điều này phùì̀ hợị̣p với cách tiếp cận
chương trìì̀nh PT mới 2018 nhằm phát triển năng lực giải quyết tìì̀nh h́ấ́ng.
 Để giải quyết các bài tốn cần sử dụng toán nền tảng (kiến thức chương II
ĐS> 11 Tổ hợị̣p – Xác suấấ́t theo chương trìì̀nh hiện tại và cịn đượị̣c trang bịị̣ trong nội
dung chương trìì̀nh cả 3 khớấ́i 10,11,12 theo chương trìì̀nh GDPT mới 2018) và sử dụng
phương pháp tư duy đượị̣c đề cập đến trong bài tốn “Chia kẹo Euler”.
 Sách giáo khoa viết cịn mang tính hàn lâm: các bài tập chỉ chủ yếu dừng lại
mức nhận biết và thông hiểu; trong khi nội dung này đượị̣c đề cập đến trong các đề thi
đại học ; thi THPT Quốấ́c gia trước đây (bây giờ là kìì̀ thi tớấ́t nghiệp THPT); thi học sinh
3


giỏi tỉnh, quốấ́c gia; thi kiểm tra đánh giá năng lực của các trường Đại học…có cả mức
vận dụng và vận dụng cao. Mặt khác các bài tập đượị̣c đề cập trong sách giáo khoa cũng
không đượị̣c phân chia theo dạng và địị̣nh hướng các phương pháp tư duy cho học sinh.
 Sách tham khảo; nguồn tài liệu trên mạng Internet…hầu như không đề cập đến
một cách hệ thốấ́ng các bài tốn theo phương pháp tư duy đượị̣c trìì̀nh bày trong lời
giải bài toán “Chia kẹo Euler” mà chỉ xuấấ́t hiện rải rác.
 Vấấ́n đề dạy học của giáo viên:
Khi giảng dạy các phần kiến thức thuộc nội dung tô hợp xac suất giáo viên gặp
phải rấấ́t nhiều khó khăn trong việc địị̣nh hướng cũng như hướng dẫn học sinh tiếp cận lời
giải cho bài toán, chia cac dang toan sao cho hợp lý nhất. Thông thương đa số giao viên
chi day sao cho hoc sinh năm được cang nhiêu bai cang tốt, đê tư đo khi đi thi găp bai
quen thc la co thê lam được. Hoặc nếu có địị̣nh hìì̀nh chia dạng để dạy cho học sinh thìì̀
cũng chỉ là chia theo đặc điểm của đốấ́i tượị̣ng tham gia vào bài tốn (đếm người; đếm đồ
vật; đếm hìì̀nh học…), mà rõ ràng trong mỗi dạng đó có rấấ́t nhiều cách tư duy để giải
quyết (đa dạng phương pháp trong cùì̀ng một dạng). Điều này hạn chế tính logic trong
việc xâu chuỗi các bài toán trong cùng một cách tư duy, gây khó khăn cho việc học sinh
phải ghi nhớ rất nhiều phương pháp giải trong cùng một dạng tốn. Từ đó khơng phát

huy được tính chủ động, sáng tạo của học sinh trong q trình giải tốn.
 Vấấ́n đề học của học sinh:
Đa sốấ́ học sinh tiếp thu kiến thức một cách thụ động, lười tư duy tìì̀m tòi và sáng
tạo; khả năng tự học chưa cao. Do đó, khi tiếp cận bài tốn thuộc nội dung này tuy rằng
có thể hiểu đượị̣c lời giải nhưng khả năng vận dụng để giải quyết các bài tốn khác cịn
hạn chế do chưa hiểu rõ phương pháp tư duy.
4.2. Giải pháp mới:
- Sáng kiến đượị̣c hìì̀nh thành theo dạng một chủ đề dạy học (Phụ lục 2), cung cấấ́p
các dạng bài tập (7 dạng) với nội dụng gắn với thực tiễn:
+ Vận dụng kết quả của bài toán “Chia kẹo Euler” (Dạng 1 đến dạng
6)
+

Vận dụng tư duy của lời giải bài tốn “Chia kẹo Euler” đó là tư duy

“vách ngăn”.
cùì̀ng với đó là các phương pháp dạy học đổi mới phát triển năng lực của học sinh.
4


-

Hệ thớấ́ng lýấ́ thuyết đượị̣c trìì̀nh bày một cách cơ đọng và ngắn gọn nhấấ́t.

Các dạng bài tập đượị̣c xây dựng một cách hệ thớấ́ng, có phân chia các mức độ,
q trìì̀nh hìì̀nh thành lời giải có sự phân tích về cách tư duy và con đường tìì̀m lời giải
trên cơ sở giả thiết từ đó giúp học sinh tạo đượị̣c thói quen tư duy liên kết khi gặp các
bài tốn lạ.
-

Bài tập đượị̣c thiết kế chủ yếu theo hìì̀nh thức trắc nghiệm để tạo điều kiện cho

học sinh có khả năng phát huy hết năng lực của bản thân.
*

Nộợ̣i dung giảả̉i pháấ́p trong sáấ́ng kiếấ́n (Phụ lục

1) Có thể đượị̣c tóm tắt như sau:
- Phần thứ nhất: Cung cấấ́p lại một cách có hệ thớấ́ng các kiến thức cơ bản của đai số tô
hợp va xac suất.
Phần thứ hai: Giơi thiêu nôi dung bai toan “chia keo Euler”, cach giai va cac kêt
qua.
- Phần thư ba: Xây dưng môt số dang toan thương găp vân dung kêt qua va cach tư duy
cua bai toan “chia keo Euler”, cu thê gôm 7 dang:
+ Dạng 1: Đêm số nghiêm nguyên cua phương trình, bất phương trình.
+ Dạng 2: Đêm số cach phân phối đô vât, san phẩm.
+ Dạng 3: Đêm số.
+ Dạng 4: Đêm số tâp con.
+ Dạng 5: Đêm hình hoc.
+ Dạng 6: Lươi toa đô.
+ Dạng 7: Cac bai toan vân dung “tư duy vach ngăn”.
-

Phần thư tư: Hê thống bai tâp vân dung dươi hình trăc nghiêm.

- Phân thứ năm: Thiết kế hệ thốấ́ng câu hỏi đánh giá, kiểm tra sau nội dung kiến thức
giúp học sinh nắm đượị̣c bài và vận dụng kiến thức vào giải quyết các tìì̀nh h́ấ́ng có liên
quan trong q trìì̀nh học tập.
Như vậy: Giải pháp mới đãã̃ giúp học sinh giảm bớt gánh nặng trong quá trìì̀nh học
tập. Kiến thức cần thiết chỉ nằm trong khuôn khổ của sách giáo khoa hiện hành, không

phải nhớ quá nhiều dạng bài tập một cách máy móc, khơng phải tớấ́n kém trong q trìì̀nh
mua tài liệu tham khảo. Khi tiếp cận cách học theo giải pháp mới, học sinh có thể tự chủ
động tìì̀m lời giải độc lập cho một bài toán dựa trên lượị̣ng kiến thức đãã̃ có sẵn. Do đó
học sinh có thể chủ động và linh hoạt trước một bài tốn khơng phải áp đặt theo một
khuôn mẫu địị̣nh sẵn.
5


Các giải pháp mới nêu ra đều sử dụng phần lớn những kiến thức mà học sinh
đượị̣c học ngay trên lớp. Sự liên kết giữa các phần kiến thức cùì̀ng với những địị̣nh hướng
ban đầu khiến cho bài toán trở nên quen thuộc và dễ tiếp cận. Việc vận dụng một cách
phùì̀ hợị̣p vào từng bài tốn cụ thể ln tạo ra sự mới mẻ nhưng cũng rấấ́t quen thuộc với
học sinh. Các bài tập vận dụng giải pháp mới hầu như là những bài toán đãã̃ xuấấ́t hiện
trong các tài liệu tham khảo cũng như trong các Đề thi đại học trong những năm gần
đây nhưng đượị̣c tiếp cận một cách hoàn toàn mới mẻ nhưng đồng thời rấấ́t gần gũi với
mức độ suy luận của các em học sinh.
5. Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được
5.1.

Hiệu quảả̉ về kinh tếấ́:

+ Tai liệu in ấấ́n giá thành thấấ́p.
+ Học sinh có thể tự học và tự nghiên cứu tài liệu do đó tránh đượị̣c việc học thêm
gây lãã̃ng phí và tớấ́n kém.
5.2. Hiệu quảả̉ xã hợợ̣i
+ Có tính thực tiễn cao: Kiến thức chỉ nằm trong SGK hiện hành. Sáng kiến tập
trung vào việc phân tích tư duy giúp học sinh tìì̀m lời giải. Hệ thớấ́ng ví dụ và bài
tập mang tính sáng tạo, đáp ứng đượị̣c yêu cầu về đổi mới. Bài tập đượị̣c xây dựng
kết hợị̣p giữa tự luận và trắc nghiệm; đặc biệt bài tập tự luyện chỉ xây dựng dưới
hìì̀nh thức trắc nghiệm phùì̀ hợị̣p với tìì̀nh hìì̀nh thi cử hiện tại. Các bài toán trong đề

thi đại học trước đây; đề thi tốấ́t nghiệp THPT trong những năm gần đây; đề thi
HSG tỉnh và quốấ́c gia và các đề ĐGNL của các trường ĐH sử dụng cách địị̣nh
hướng tư duy của giải pháp có thể giải quyết một cách dễ dàng.
+ Hình thành các phẩm chất năng lực của học sinh, phùì̀ hợị̣p với các yêu cầu của
chương trìì̀nh giáo dục PT mới: Học sinh chủ động, sáng tạo trong học tập. Phát
huy đượị̣c sự hứng thú và niềm đam mê trong học tập. Từ đó tự tin tham gia các kìì̀
thi kiểm tra địị̣nh kìì̀ hoặc các cuộc thi học sinh giỏi;
+ Tính kết nối và chia sẻ: Thơng qua trao đổi và chia sẻ sáng kiến này với các giáo
viên trong trường cũng như các đơn vịị̣ khác đãã̃ giúp giáo viên trong việc dạy học
theo phương pháp mới, xác địị̣nh đượị̣c các nội dung trọng tâm của bài, giáo viên
sử dụng như tài liệu tham khảo, sáng kiến giúp cho giáo viên giảm bớt đượị̣c
nhiều công sức trong việc soạn bài, chuẩẩ̉n bịị̣ bài lên lớp. Đặc biệt, giúp giáo viên
có đượị̣c một sớấ́ dạng tốn hay để có thể áp dụng trong q trìì̀nh biên soạn đề thi.
Trong nhóm tác giả của sáng kiến, đều từng là thành viên ban soạn thảo đề thi của
Sở; ngân hàng đề thi của Sở và có người tham gia ban soạn thảo đề của Bộ.
6


+
Tính giáo dục định hướng: địị̣nh hướng cho học sinh khi học tập và nghiên
cứu cần đề cao phương pháp tư duy và khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết các
vấấ́n đề thực tiễn.
Đặc biệt, khi ứng dụng sáng kiến trong mơn Tốn tại trường THPT Kim Sơn A,
huyện Kim Sơn, tỉnh Ninh Bìì̀nh đãã̃ cho kết quả nổi bật như sau:
Nội dung

Kết quả
THPT cấấ́p tỉnh

Kết quả Học sinh giỏi lớp

12 cấấ́p tỉnh
Sớấ́ lượị̣ng
nhận giải
Bộ Lĩnh do có kết quả
cao trong
Q́ấ́c gia

Điểm trung bìì̀nh m
Tốn trong kìì̀ thi
nghiệp THPT

Khi ứng dụng sáng kiến trong mơn Tốn tại trường THPT n Mơ A, huyện
n Mơ , tỉnh Ninh Bìì̀nh đãã̃ cho kết quả nổi bật như sau:
Nội dung
Kết quả Học sinh giỏi
THPT cấấ́p tỉnh


7


Kết quả Học sinh giỏi
lớp 12 cấấ́p tỉnh

Sốấ́ lượị̣ng học sinh
đượị̣c nhận giải thưởng
Đinh Bộ Lĩnh do có
kết quả cao trong kỳ
thi THPT Q́ấ́c gia

Điểm trung bìì̀nh mơn
Tốn trong kìì̀ thi tớấ́t
nghiệp THPT

Các kết quả nổi bật khác:
Trong nhóm tác giả, có thầy Doãã̃n Huy Tùì̀ng giáo viên Tốn THPT Kim
Sơn A trong hai năm học gần đây dạy đội tuyển HSG Tốn lớp 12 đều có học sinh đạt
giải Nhấấ́t kìì̀ thi chọn HSG lớp 12 cấấ́p tỉnh.
Các thầy cơ trong nhóm tác giả đều là những người hướng dẫn và giảng
dạy trực tiếp bộ mơn Tốn cho em Nguyễn Thịị̣ Thu Hằng – học sinh lớp 12B1 trường
THPT Kim Sơn A đạt vịng nguyệt quế chương trìì̀nh chung kết năm “Đường lên đỉnh
Olympia” năm thứ 20.
Năm học 2020 – 2021: giảng dạy em Nguyễn Hoàng Anh lớp 12B1
trường THPT Kim Sơn A đạt điểm 9.8 mơn Tốn, trở thành thủ khoa của tỉnh Ninh Bìì̀nh
ở 2 khớấ́i thi là B và D07.
6. Điều kiện và khả năng áp dụng:
6.1. Điều kiện áấ́p dụng:
-

Học sinh lớp 11,12 THPT theo chương trìì̀nh hiện hành; sau này cả lớp

10,11,12 THPT và học sinh THCS (theo chương trìì̀nh GDPT mới).
-

Kiến thức nền tảng: TỔ HỢP XÁC SUẤT


8

6.2. Khảả̉ năng áấ́p dụng:
+
Đáp ứng nhu cầu dạy học của giáo viên: đổi mới phương pháp dạy học tích cực
nhằm phát triển năng lực phẩẩ̉m chấấ́t. (Do giải pháp đượị̣c trìì̀nh bày dưới dạng một chủ
đề dạy học).
+

Đáp ứng cho nhiều đốấ́i tượị̣ng học sinh, phát triển năng lực giải quyết vấấ́n đề

thực tiễn của học sinh cũng như nâng cao khả năng tư duy
+

Phùì̀ hợị̣p với nội dung chương trìì̀nh GDPT hiện hành và CT GDPT mới 2018;

xu thế ra đề thi trong các kìì̀ thi q́ấ́c gia; kìì̀ thi ĐGNL….
+
Trong tìì̀nh hìì̀nh dịị̣ch bệnh như hiện nay, việc dạy và học có thể phải tiến hành
theo hìì̀nh thức trực tuyến. Khi đó rõ ràng việc tương tác giữa thầy và trị có hạn chế
hơn, u cầu với người học cũng cao hơn ở tính tự giác và tìì̀m tịi. Vìì̀ vậy, càng thấấ́y
đượị̣c tính khả thi của giải pháp đượị̣c đề cập đến.
Ninh Bình, tháấ́ng 05 năm 2021
XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG

ĐẠI DIỆN NHÓM TÁC GIẢ

Doan Huy Tùng

9

PHỤ LỤC 1
Phần 1. MÔ TẢ NỘI DUNG SÁNG KIẾN
Sáng kiến đượị̣c thiết kế theo dạng chủ đề dạy học đãã̃ đượị̣c nhóm tác giả áp dụng trong q
trìì̀nh giảng dạy ôn tập cho cac lơp va ôn thi hoc sinh gioi tại 02 nhà trường THPT Kim sơn A và THPT
n Mơ A. Tùì̀y theo mức độ của học sinh từng lớp mà các tác giả đãã̃ đưa vào các phần nội dung để
giảng dạy cho phùì̀ hợị̣p với tìì̀nh hìì̀nh thực tiễn.
Nội dung sáng kiến đượị̣c nhom tac gia xây dưng thanh cac dang toan thương găp trong đo vân
dung kêt qua va tư duy lơi giai cua bai toan “chia keo Euler”, ơ môi dang được thiêt kê theo cấu truc:
Vi du – Lơi giai – Nhân xet, hương suy luân va tư duy.
Sáng kiến ngoài là nguồn tài liệu cho các thầy cơ trong q trìì̀nh giảng dạy còn là tư liệu để các
em học sinh tự học một cách tốấ́t nhấấ́t. Các em học sinh có thể đọc lời giải và các hướng dẫn suy luận
trong các ví dụ từ đó vận dụng vào làm các bài tập trong hệ thớấ́ng bài tập đượị̣c trìì̀nh bày trong sáng
kiến.
Phần 2. MÔT SỐ DANG TOAN THƯƠNG GẶP VÂN DUNG KÊT QUA VA TƯ DUY
LƠI GIAI CUA BAI TOAN “CHIA KẸO EULER”
2.1. KIÊN THỨC CƠ BAN
2.1.1. Hai quy tăc đêm cơ ban
Số phân tư cua tâp hợp hưu han A được ki hiêu la

hoăc

2.1.1.1. Quy tăc công
Môt công viêc đươc hoan thanh bởi môt trong hai hanh đông. Nêu hanh đông nay co m
cach thưc hiên, hanh đông kia co n cach thưc hiên không trung vơi bât ki cach nao cua hanh đông thư
nhât thi công viêc đo co m + n cach thưc hiên.
Chú y:
+
Quy tăc công được phat biêu ơ trên co thê tông quat cho công viêc được hoan thanh
bơi nhiêu hanh đông.
+ Quy tăc công được phat biêu ơ trên thưc chất la quy tăc đêm số phân tư cua hai tâp hợp hưu

han không giao nhau:
Nêu A va B la cac tâp hơp hữu han không giao nhau, thi:
+

Quy tăc công con được mơ rông đối vơi cac tâp hợp hưu han, co giao khac rông. Co

thê chưng minh được răng, vơi hai tâp hợp hưu han A va B bất kì, ta co:
(quy tắc bao ham va loai trư)
Hoăc vơi 3 tâp hợp hưu han A,B,C ta co:
2.1.1.2. Quy tăc nhân
Môt công viêc đươc hoan thanh bởi hai hanh đông liên tiêp. Nêu co m cach thưc
hiên hanh đông thư nhât va ưng vơi môi cach đo co n cach thưc hiên hanh đông thư hai thi co m.n
cach hoan thanh công viêc.
Chú y: Quy tăc nhân co thê mơ rông cho công viêc được hoan thanh bơi nhiêu hanh đông liên
tiêp.
2.1.2. Hoan vi – Chỉnh hơp – Tô hơp

10


2.1.2.1. Hoan vi
Cho tâp A gôm n phân tư
. Môi kêt qua cua sư săp xêp thư tư n phân tư cua tâp hợp A
được goi la môt hoán vị của n phân tư đo.
Số cac hoan vị cua n phân tư:
2.1.2.2. Chỉnh hơp
Cho tâp A gôm n phân tư
. Kêt qua cua viêc lấy k phân tư khac nhau tư n phân tư cua
tâp hợp A va săp xêp chung theo môt thư tư nao đo được goi la môt chỉnh hợp châp k của n phân tư
đã cho.

Số cac chinh hơp:
Chu y:
2.1.2.3. Tô hơp
Cho tâp A gôm n phân tư
châp k của n phân tư đã cho.

. Môi tâp con gôm k phân tư cua A được goi la môt tổ hợp

Số cac tô hợp:
Chu y:
2.1.3. Xac suât cua biên cô
2.1.3. Đinh nghia
Gia sư A la biên cố liên quan đên môt phep thư chi co môt số hưu han kêt qua đông

kha năng xuất hiên. Ta goi ti số

Chu y:
con

la xac suất cua biên cố A, ki hiêu la

la số phân tư cua A hay cung la số cac kêt qua thuân lợi cho biên cố A,

la số cac kêt qua co thê xay ra cua phep thư.
2.1.3. Tinh chât

Chu y: Tinh chất c) la công thưc công xac suất va ta co hê qua:
la biên cố đối cua biên cố A.
2.2. BAI TOAN “CHIA KẸO EULER”
2.2.1. Nôi dung bai toan:

Co bao nhiêu cach chia n cai keo giông nhau cho k em be?

11


2.2.2. Lơi giai:
Trươc hêt ta xet cac bai toan sau:
Bài toán 1: “Có bao nhiêu cách chia n cái kẹo giống nhau cho k em bé sao cho em nào cũng
có kẹo,

”.
Đăt n cai keo trên môt hang ngang, khi đo giưa n chiêc keo se co n – 1 khoang trống.
Nêu ta đăt k – 1 chiêc que vao k – 1 khoang trống bất kì trong số n – 1 khoang trống trên ta
thấy n chiêc keo se được chia thanh k phân đê cho k em be theo thư tư.
Do đo số cach chia keo băng số cach chon k – 1 khoang trống trong số n – 1 khoang trống tưc
la
Nhân xét:
+ Tư lơi giai trên ta nhân thấy, khi xêp cac đối tượng trên môt hang thì giưa cac đối tượng luôn
hình thanh khoang trống (hay con goi vach ngăn), va dê thấy răng đê hai đối tượng trên hang
đo không đưng canh nhau ta chi cân xêp môt đối tượng khac vao khoang trống đo. Đê cho đơn
gian ta goi đây la “tư duy vach ngăn”.
+
Nêu goi số keo nhân được cua k em be ưng vơi môi cach chia lân lượt la
thì
. Va hiên nhiên, số nghiêm cua phương trình đo băng chinh số cach chia. Tư đo
ta co kêt qua bai toan sau.
Bài toán 2: “Tim số nghiêm nguyên dương của phương trinh
”
Đap số:
Bài toán 3: “Tim số nghiêm nguyên không âm của phương trinh

”
Đăt

va phương trình đã cho trơ thanh:

(*)
Số nghiêm phương trình đã cho băng số nghiêm nguyên dương cua phương trình (*), ap dung
bai toan 2, ta được số nghiêm đo băng:
Nhân xét: Đên đây, theo sư tương ưng giưa số cach chia keo va số nghiêm cua phương trình thì
đap số cua bai toan “chia kẹo Euler” la:
2.3. MÔT SỐ DANG TOAN LIÊN QUAN
Tư kêt qua cua bai toan chia keo Euler cung như cach tư duy đê tìm ra kêt qua đo, ta rut ra
được môt số kêt luân quan trong sau:
*
KÊT LUÂN 1: Số cach chia (phân phôi) n cai keo (san phẩm) cho k em be (đôi tương) sao cho
em nao cung co keo (đôi tương nao cung co san phẩm) hay số nghiêm nguyên dương cua phương
trình
*
hay

la:
KÊT LUÂN 2: Số cach chia (phân phôi) n cai keo (san phẩm) cho k em be (đôi tương)

số nghiêm nguyên không âm cua phương trình

la:

12

*
KÊT LUÂN 3: Hình thanh “tư duy vách ngăn” trong viêc giai quyêt cac bai toan đêm co gia
thiêt yêu câu cac đối tượng được xêp hoăc không xêp canh nhau.
Sau đây ta se xet môt số dang toan đêm thương găp vân dung cac kêt luân trên đây.
2.3.1.DANG 1: Đếm số nghiêm nguyên của phương trinh, bất phương trinh
Vi du 1: Cho phương trình:
phương trình thoa mãn:

Tìm số nghiêm nguyên cua

1.
2.
3.
4.

la cac số tư nhiên chia 4 dư 1, vơi

5.
LƠI GIAI
1.

Số nghiêm nguyên không âm cua phương trình:

2.

Số nghiêm nguyên dương cua phương trình:

3. Đăt:
điêu

. Số nghiêm phương trình thoa mãn

kiên băng số nghiêm nguyên dương cua phương trình:
Số nghiêm la:
4. Đăt

Số nghiêm phương trình thoa mãn điêu kiên băng số nghiêm

phương trình:
Số nghiêm la:
5.Cach 1: Xet cac trương hợp

Số nghiêm phương trình thoa mãn điêu kiên la:

Cach 2: (Sư dung biên cố đối)
+

Số nghiêm nguyên không âm cua phương trình la:

+ Số nghiêm nguyên không âm cua phương trình thoa mãn
Số nghiêm la:

: Đăt

.

Suy ra: số nghiêm phương trình thoa mãn điêu kiên:
Nhân xet:
Khi đêm sô nghiêm co điêu rang buôc:
+

Điêu kiên rang buôc dang:

đặt ẩn phu.

+

Điêu kiên rang buôc dang:
Nêu chỉ co 1 biên co điêu kiên đo thi ap dung 2 cach trên.

13


Nêu co nhiêu biên co điêu kiên rang buôc ta ap dung cach giai 2 nhưng cân
chu ý quy tắc bao ham va loai trư. Cu thê ta xet trong vi du tiêp theo.
Vi du 2: Cho phương trình:
phương trình thoa mãn:

Tìm số nghiêm nguyên cua

1.
2.
LƠI GIAI
1. + Số nghiêm nguyên không âm cua phương trình la:
+ Goi

lân lượt la tâp cac nghiêm nguyên không âm cua phương trình thoa mãn điêu

kiên:

. Khi đo: số nghiêm thoa mãn điêu kiên la:
-

Ta co:

-

Suy ra:

-

Do đo số nghiêm thoa mãn điêu kiên:

2. * Đăt
Số nghiêm phương trình thoa mãn điêu kiên băng số nghiêm nguyên không âm phương trình
vơi điêu kiên
* Goi Y la tâp tất ca cac nghiêm nguyên không âm cua phương trình (*), suy ra:
* Goi

lân lượt la tâp cac nghiêm nguyên không âm cua phương trình (*) thoa mãn

lân lượt cac điêu kiên:

*

Khi

đo

số

nghiêm

phương

trình

thoa

mãn

điêu

kiên

bai

toan

la:

Vi du 3: Tìm số nghiêm nguyên không âm cua bất phương trình :

+

LƠI GIAI
Cach 1: Số nghiêm nguyên không âm cua bất phương trình băng tông số nghiêm nguyên

không âm cua 12 phương trình:
Số nghiêm la:

14


+

Cach 2: Đăt

Khi đo số nghiêm thoa mãn điêu kiên bai toan

băng số nghiêm nguyên không âm cua phương trình:
Số nghiêm la:
Vi du 4: Tìm số nghiêm nguyên không âm cua bất phương trình :
thoa mãn
LƠI GIAI
Lân lượt cho

va vân dung cach giai cua bai 3 ta được kêt qua số nghiêm thoa mãn

điêu kiên:
2.3.2.DANG 2:Đêm sô cach phân phôi đô vât, san phâm.
Vi du 1: Co bao nhiêu cach xêp (phân phối) 4 viên bi giống nhau vao 3 chia hôp A, B, C.
LƠI GIAI
Goi x, y, z lân lượt la số viên bi được xêp (phân phối) vao cac hôp A, B, C.
Khi đo:
Môi nghiêm cua phương trình nay la môt cach phân phối 4 viên bi vao 3 chiêc hôp, do đo số
cach phân phối la:
Nhân xét:
+ Ta co thê hiêu đơn gian hơn răng, viêc phân phối 4 viên bi cho 3 hôp cung la công viêc chia 4
cai keo cho 3 em be. Do đo co thê suy ra ngay đap an bai toan.

+
Tư đo, môt cach khac ta co thê phat biêu bai toan chia keo Euler theo “ngôn ngữ” khac
như
sau: Số cach phân phối n san phẩm cho k đối tượng la:
(trong toan hoc đây chinh la số tô hợp
lăp châp n cua k phân tư). Do đo, khi giai cac bai toan tương tư ta co thê sư dung ngay “ngôn ngư” nay
đê giai quyêt rất nhanh gon.
Vi du 2: Môt cưa hang co 6 loai kem khac nhau. Môt ngươi khach muốn mua 9 que
kem. Hoi ngươi khach đo co bao nhiêu sư lưa chon?
LƠI GIAI
Số cach lưa chon cua ngươi khach chinh la số cach phân phối 9 que kem mua đươc cho 6
loai kem, do đo số cach lưa chon la:
Vi du 3: Co bao nhiêu cach xêp (phân phối) 30 viên bi giống nhau vao 5 chiêc hôp
khac nhau sao cho:
1. Cach xêp la bất kì vê số lượng viên bi trong môi hôp.
2. Hôp 1 co it nhất 5 viên bi.
3. Hôp 1 co it nhất 5 viên bi; hôp 2 va hôp 3 co không qua 6 viên bi.
LƠI GIAI
1.

Ta co ngay số cach xêp (phân phối) la:


1
5


2. Do hôp 1 cân it nhất 5 viên bi nên ta lấy luôn 5 viên bi cho hôp 1, con lai 25 viên bi ta phân
phối cho 5 hôp. Số cach phân phối la:
3.

Số cach phân phối thoa mãn băng số cach phân phối 25 viên bi cho 5 hôp va thoa mãn điêu
kiên hôp 2 va 3 đêu co số bi nho hơn hoăc băng 6.
+

Số cach phân phối 25 viên bi cho 5 hôp la:

+
Số cach phân phối 25 viên bi cho 5 hôp sao cho hôp 2 chưa số bi lơn hơn hoăc băng 7 la:
Tương tư: Số cach phân phối 25 viên bi cho 5 hôp sao cho hôp 3 chưa số bi lơn hơn hoăc băng 7 la:

.

.
Số cach phân phối 25 viên bi cho 5 hôp sao cho ca hôp 2 va 3 chưa số bi lơn hơn hoăc băng 7
la:
Do đo, số cach phân phối thoa mãn điêu kiên la:
Vi du 4: Co bao nhiêu cach chon ra 6 số (co thê giống nhau) tư 9 chư số tư nhiên
1,2...,9?
LƠI GIAI
Số cach chon ra 6 số băng số cach phân phối 6 số đo cho 9 chư số tư 1 đên 9, tưc la co:
cach chon.
2.3.3.DANG 3: Đêm sô.
Vi du 1: Co bao nhiêu số tư nhiên co 5 chư số dang

thoa mãn:

1.
2.
LƠI GIAI
1.Cach 1: + Ta viêt cac chư số 1,2,3,...,9 theo thư tư tăng dân.

+ Ta chon 5 số dãy 9 số đo được 1 số thoa mãn.
Do đo số cac số thoa mãn la:
Cach 2: + Tư tô hợp 9 chư số tư nhiên ta chon ra 5 chư số khac nhau:
(Chon
thanh phân). + Môi cach chon đo ta săp xêp chi dc môt số thoa mãn điêu kiên. (Sắp
xêp)
Do đo số cac số thoa mãn la:
Nhân xet: cach lâp luân thư 2 la cach lâp luân thông thường vơi cac bai toan lâp sô, tưc la
trai qua 2 bươc: Chọn thành phân va sắp xếp.
2.+ Chon thanh phân : chon 5 số tư 9 số (cac chư số co thê lăp lai) băng cach phân phối 5 số
chon được cho 9 chư số tư nhiên, do đo số cach chon la:
+ Săp xêp: Môi cach chon đo chi co duy nhất môt số thoa mãn điêu
kiên. Do đo, số cac số thoa mãn la:
Vi du 2: Co bao nhiêu số tư nhiên co 5 chư số dang

thoa mãn:

1.

16


2.
LƠI GIAI
1. + Chon thanh phân: chon 5 số tư nhiên đôi môt khac nhau tư 10 chư số tư nhiên, co
cach chon.
+ Săp xêp: môi cach chon thanh phân chi co duy nhất môt cach xêp đê cac chư số giam dân. Do
đosố cac số thoa mãn la:
2. + Chon thanh phân: chon 5 số tư nhiên (co thê giống nhau) tư 10 chư số tư nhiên băng số
cach phân phối 5 chư số đo vê cho 10 chư số tư nhiên tư 0 đên 9, co

cach chon.
+ Săp xêp: môi cach chon thanh phân chi co duy nhất môt cach xêp đê cac chư số giam dân
(trong đo co cach xêp 00000 không la số tư nhiên co 5 chư số).
Do đo, số cac số thoa mãn la:
Vi du 3: Co bao nhiêu số tư nhiên co 5 chư số dang

thoa mãn:

LƠI GIAI
Đăt
Ap dung cach giai Vi du 1 ta được kêt qua:

Vi du 4: (Vé hạnh phúc) Môi ve xe co môt dãy 6 chư số được goi la ve hanh phuc nêu
tông 3 chư số đâu băng tông 3 chư số cuối. Hoi co tất ca bao nhiêu ve hanh phuc?
LƠI GIAI
+

Nhân xet: nêu

+
+

Goi dãy 6 chư số cua môt ve xe la:
Ve xe hanh phuc thì:

.

Do đo: số ve xe hanh phuc băng số nghiêm nguyên không âm cua phương trình (*) thoa mãn
điêu kiên
+

Số nghiêm nguyên không âm cua phương trình (*):
+
Goi Mi la tâp hợp cac nghiêm nguyên không âm cua phương trình (*) ma
Ta cân tinh:

+

Tinh

+
+

Tinh
Giao tư 3 tâp Mi trơ lên đêu co phân tư băng 0.

Do đo số ve hanh phuc la:
2.3.4. DANG 4: Đêm sô tâp con.

17


Vi du 1: Cho tâp hợp A gôm 100 số nguyên dương đâu tiên. Tìm số tâp con cua tâp hợp A
co 3 phân tư sao cho không co 2 phân tư nao cua môi tâp con đo la hai số tư nhiên liên
tiêp?
LƠI GIAI
Cach 1: + Goi a, b, c la 3 phân tư cua 1 tâp con thoa mãn, gia sư a < b < c.
+
Ta co : 1,2,3,...a,...,b,...,c,...,100.
+

Gia sư

lân lượt số cac số nguyên trong tâp

Khi đo:
+
Số tâp con thoa mãn băng số nghiêm nguyên cua phương trình (*) thoa mãn (1).
+
Dê dang tinh được số nghiêm băng:
Cach 2: + Ta đăt 3 phân tư cua tâp con được chon vao 98 khoang trống được tao ra tư 97 số
không được chon trong tâp con, số cach đăt la:
Đo cung chinh la số tâp con thoa mãn điêu kiên.
Nhân xet: Rõ rang cach đêm sô 2 co vẻ ngắn va nhanh hơn, cach lam đo vân dung tư duy vach
ngăn đê giai quyêt. Tuy nhiên, cach lam đo chỉ ap dung vơi bai co yêu tô không liên tiêp. Còn
cach lam sô 1 ap dung ngay ca khi khoang cach giữa cac phân tử cua tâp con tuy ý.
Vi du 2: Môt thang lam viêc tai công ty, Lan được nghi phep 4 ngay. Hoi Lan co bao
nhiêu cach chon 4 ngay nghi phep trong thang 1 năm 2021 sao cho không co 2 ngay nghi
phep nao liên tiêp?
LƠI GIAI
Thang 1 năm 2021 co 30 ngay, khi chon được 4 ngay nghi thì se con lai 26 ngay không được
nghi.
Ta đăt 4 ngay nghi vao 27 khoang trống được tao ra tư 26 ngay không được nghi, môi cach đăt
đo cho ta môt cach chon thoa mãn yêu câu. Do đo, số cach chon thoa mãn:
Vi du 3: Cho tâp hợp A gôm 2021 số nguyên dương đâu tiên. Co bao nhiêu tâp con cua A
co 3 phân tư sao cho tông cac phân tư cua tâp con đo băng 2019?

+

LƠI GIAI

Goi a, b, c la 3 phân tư cua môt tâp con cua A.

+ Khi đo:
+
Tưc la ta cân đêm số nghiêm nguyên dương cua phương trình (*) ma a, b, c đôi môt
phân
biêt.
+
+

Số nghiêm nguyên dương cua phương trình (*) la:
Số nghiêm nguyên dương ma a = b = c la: 1 nghiêm la (673;673;673).

+

Số nghiêm nguyên dương ma

Suy ra số nghiêm la:

Phương trình (*)

le.

, (trư đi c nhân gia trị 673 va 2019).

18


+ Tương tư vơi 2 trương hợp

cung co số nghiêm la 1008.

Do đo số nghiêm thoa mãn yêu câu:
+ Vì môi tâp con co 3 phân tư cua A thoa mãn yêu câu sinh ra 3! nghiêm đã tinh được.
Do đo số tâp con thoa mãn la:
2.3.5. DANG 5: Đêm hinh hoc.
Vi du 1: Cho đa giac đêu co 2021 đinh. Co bao nhiêu tam giac, tư giac co đinh la đinh cua
đa giac đêu đã cho sao cho không co canh nao la canh cua đa giac đêu đã cho?
LƠI GIAI
Tư gia thiêt suy ra cac đinh cua tam giac, tư giac không la cac đinh kê nhau cua cac đinh đa
giac ban đâu, tư đo cho ta ý tương cach giai như dang toan tâp con. Nhưng do cac đinh cua đa giac
được xêp trên đương tron nên khi đêm ta cân cố định môt đinh trươc, tưc la chon 1 đinh cua tam giac,
tư giac thoa mãn trươc.
+
Đêm sô tam giac thỏa mãn: Gia sư tam giac ABC la tam giac co 3 đinh la cac đinh cua đa
giac đêu đã cho ma không canh nao la canh cua đa giac.
- Chon đinh A co 2021 cach chon.
- Chon 2 đinh con lai: Goi

la số đinh giưa A va B; B va C; C va A.

Khi đo:
Số cach chon 2 đinh con lai chinh la số nghiêm nguyên dương cua phương trình (*) va băng:

- Do môi tam giac được đêm 3 lân nên số tam giac cân đêm la:
+ Tương tư vơi số tư giac thoa mãn:
Nhân xet: Dê dang co thê suy ra bai toan tông quat: đêm số k – giac tư n – giac đêu sao cho
không co canh nao cua k – giac la canh cua n – giac. Đap số la:
Vi du 2: Cho đa giac đêu co 2013 đinh. Ngươi ta tô mau đo cho 100 đinh cua đa giac đêu
đo. Hoi co bao nhiêu cach tô mau sao cho giưa 2 đinh được tô co it nhất 3 đinh không

được tô mau?
LƠI GIAI
+

Chon đinh tô đâu tiên

+ Chon 99 đinh con lai: Goi

: co 2013 cach chon.
la số đinh giưa 100 đinh vơi nhau.

Khi đo:

19


Dê dang đêm được số nghiêm phương trình (*) thoa mãn (1) la:
Đo cung chinh la số cach chon 99 đinh con lai.
+ Do môi 100 – giac đo được đêm 100 lân, nên số cach tô mau la:
Vi du 3: Cho tam giac co diên tich băng 27. Môt điêm P năm trong tam giac được goi la
“điểm tốt” nêu co thê tìm được 27 tia chung gốc P chia tam giac thanh 27 tam giac con co
cùng diên tich? Đêm số điêm P?
LƠI GIAI
+

Nhân xet: - Cac tia PA, PB, PC đêu thuôc 27 tia chung gốc P cua điêm tốt P.
-

+

đêu la cac số nguyên dương.

Vơi môi điêm tốt P , đăt

Dê thấy số nghiêm nguyên dương cua phương trình (*) la
Bô đê: “Vơi môi điêm P năm trong tam giac ABC, ta luôn co:
”
Tư hê thưc nay ta dê dang chưng minh được răng vơi môi bô (x; y; z) chi tôn tai duy nhất môt
điêm P.
Do đo, số điêm tốt P la: 325.
2.3.6. DANG 6: Lươi toa đô.
Vi du 1: Cho 1 lươi gôm cac ô vuông, cac nut được đanh số tư 0 đên m theo chiêu tư trai
sang phai va tư 0 đên n theo chiêu tư dươi lên trên (như hình ve):

Hoi co bao nhiêu đương đi khac nhau tư nut (0; 0) đên nut (m; n) nêu chi cho phep
đi trên canh cac ô vuông theo chiêu tư trai sang phai hoăc tư dươi lên trên.
LƠI GIAI
+ Môt con đương đi thoa mãn yêu câu bai toan trên trai qua m + n bươc do môi bươc chi co 2
cach di chuyên (đây cung chinh la con đương ngăn nhất đê di chuyên tư nut (0;0) đên nut (m;
n)).

20


+ Trong m + n bươc đo, ta chon ra m bươc đê đê di chuyên sang phai, con n bươc con lai ta di
chuyên lên trên. Khi đo số con đương di chuyên la:
Vi du 2: Trên ban cơ 5x4 ô vuông như hình ve dươi đây, ngươi chơi chi được di chuyên
quân theo cac canh cua hình vuông, môi bươc đi được môt canh. Co bao nhiêu cach di
chuyên quân tư điêm A đên điêm B băng 9 bươc?

LƠI GIAI
Di chuyên quân tư A đên B băng 9 bươc do đo đây chinh la con đương di chuyên ngăn nhất, tưc
la ơ môi bươc di chuyên chi được phep lên trên hoăc sang phai. Do đo theo ý trên ta suy ra số cach
di chuyên la:
2.3.7. DANG 7: Vân dung tư duy vach ngăn.
Vi du 1: Thây Bình trông 3 cây lim, 4 cây long não va 5 cây xa cư trên môt hang môt
cach ngâu nhiên. Tinh xac suất đê không co 2 cây xa cư nao được trông canh nhau?
LƠI GIAI

+
+

Ta co:
Biên cố A: “Không co 2 cây xa cư nao được trông canh nhau”
Trông 7 cây gôm lim va long não co 7! cach.
Môi cach trông 7 cây đo, giưa 7 cây co 8 khoang trống, ta chon 5 khoang trống
trong 8

khoang trống đo đê trông cac cây xa cư, số cach chon vị tri la:
- Môi cach chon vị tri đo co 5! cach trông cac cây xa cư.
Do đo:
Vi du 2: Trong môt giai bong đa co 10 trân đấu được diên ra trong vong 30 ngay. Hoi ban
tô chưc co bao nhiêu cach săp xêp lịch thi đấu cac trân đấu sao cho 2 trân đấu kê nhau
phai cach nhau it nhất môt ngay?

21