(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động đối với ánh xạ Co Geraghty hữu tỉ trong không gian b2Metric

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
———————o0o——————–

SITPHACHANH PHANITSAVONG

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI
ÁNH XẠ CO GERAGHTY HỮU TỈ TRONG
KHƠNG GIAN b2 -METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2021


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
———————o0o——————–

SITPHACHANH PHANITSAVONG

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI
ÁNH XẠ CO GERAGHTY HỮU TỈ TRONG
KHƠNG GIAN b2 -METRIC

Ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN - 2021


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là
trung thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong
các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn
này đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ
rõ nguồn gốc.
Tác giả

SITPHACHANH PHANITSAVONG

Xác nhận của
Khoa chuyên môn

Xác nhận của
Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS. Trần Nguyên An

PGS.TS. Phạm Hiến Bằng

i


LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin cảm ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phịng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban
chủ nhiệm Khoa Tốn, các thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng
dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu
khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ giáo và các bạn
học viên để luận văn này được hồn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2021
Tác giả

ii


Mục lục
LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Không gian b2 -metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Sự hội tụ trong không gian b2 -metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Ánh xạ co kiểu Geraghty suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 2. Định lí điểm bất động đối với ánh xạ co Geraghty hữu
tỉ trong không gian b2 -metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1. Điểm bất động dưới các điều kiện co kiểu Geraghty hữu tỉ loại I, II,
III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2. Kết quả sử dụng hàm so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3. Kết quả đối với ánh xạ co yếu hầu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

iii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Năm 1973, M. A. Geraghty [5] đã nghiên cứu điểm bất động trên
không gian metric đối với một loại ánh xạ đặc biệt, gọi là ánh xạ kiểu
Geraghty, là một mở rộng của nguyên lý ánh xạ co Banach. Vào năm 2014,
Z. Mustafa [6] đã giới thiệu không gian b2 -metric, là tổng quát hóa của cả hai
khơng gian 2-metric và b-metric. Từ đó người ta bắt đầu quan tâm nghiên
cứu điểm bất động trên loại không gian mới này và đạt được nhiều kết quả

quan trọng. Gần đây đã có nhiều tác giả đạt được một số kết quả về điểm
bất động dưới các điều kiện co khác nhau trong không gian b2 -metric, trong
đó có các điều kiện kiểu Geraghty, điều kiện có sử dụng hàm so sánh và
các điều kiện co yếu hầu tổng quát. Năm 2019, R.Jala; Shahkoohi and Z.
Bagheri [9] đã định nghĩa khái niệm ánh xạ (ψ, ϕ)s,a -co hầu tổng quát và
đạt được một số kết quả về điểm bất động đối với các ánh xạ kiểu này. Các
kết quả đạt được là mở rộng các kết quả của Ciric và các cộng sự [2] trong
không gian b2 -metric.
Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Định lí điểm bất
động đối với ánh xạ co Geraghty hữu tỉ trong không gian b2 -metric”.
Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà tốn
học trong và ngồi nước quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về
điểm bất động đối với ánh xạ co kiểu Geraghty suy rộng trong không gian
b2 -metric.
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp của giải tích hàm.

1


4. Bố cục luận văn
Nội dung đề tài được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [6] và [9], gồm
41 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và
danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tơi trình bày
lại một số khái niệm, ví dụ về không gian b-metric, không gian 2-metric,
không gian b2 -metric. Sự hội tụ trong không gian b2 -metric. Định nghĩa ánh
xạ co kiểu Geraghty suy rộng loại I, II, III, hàm so sánh, ánh xạ co yếu hầu

tổng quát để phục vụ cho việc nghiên cứu trong chương 2.
Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về
điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểu Geraghty suy rộng loại I, II, III.
Một số kết quả sử dụng hàm so sánh, một số kết quả đối với ánh xạ co yếu
hầu tổng quát.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

2


Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian b2-metric
Định nghĩa 1.1.1 ([1]). Cho X là một tập không rỗng và s ≥ 1 là một số
thực. Một hàm d : X × X → R+ được gọi là một b-metric trên X nếu với
mọi x, y, z ∈ X, các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(b1 ) d(x, y) = 0 ⇔ x = y,
(b2 ) d(x, y) = d(y, x),
(b3 ) d(x, z) ≤ s[d(x, y) + d(y, z)].
Cặp (X, d) được gọi là một không gian b-metric.
Định nghĩa 1.1.2 ([4]). Cho X là một tập không rỗng và d : X 3 → R là
một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) Với mỗi cặp điểm phân biệt x, y ∈ X, tồn tại một điểm z ∈ X sao cho

d(x, y, z) = 0.
(2) Nếu có ít nhất hai trong ba điểm x, y, z trùng nhau, thì

d(x, y, z) = 0.

3


(3) Tính đối xứng:

d(x, y, z) = d(x, z, y) = d(y, x, z) = d(y, z, x) = d(z, x, y) = d(z, y, x),
với mọi x, y, z ∈ X.
(4) Bất đẳng thức hình hộp chữ nhật:

d(x, y, z) ≤ d(x, y, t) + d(y, z, t) + d(z, x, t),
với mọi x, y, z, t ∈ X.
Khi đó d được gọi là 2-metric trên tập X và cặp (X, d) được gọi là một
không gian 2-metric.
Năm 2014, Mustafa và các cộng sự [6] đã giới thiệu một cấu trúc mới
của không gian metric tổng quát, gọi là khơng gian b2 -metric, là tổng qt
hóa của khơng gian 2-metric.
Định nghĩa 1.1.3 ([6]). Cho X là một tập không rỗng, s ≥ 1 là một số
thực và d : X 3 → R là một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) Với mỗi cặp điểm phân biệt x, y ∈ X, tồn tại một điểm z ∈ X sao cho

d(x, y, z) = 0.
(2) Nếu có ít nhất hai trong ba điểm x, y, z trùng nhau, thì

d(x, y, z) = 0.
(3) Tính đối xứng:

d(x, y, z) = d(x, z, y) = d(y, x, z) = d(y, z, x) = d(z, x, y) = d(z, y, x),
với mọi x, y, z ∈ X.
(4) Bất đẳng thức kiểu hình hộp chữ nhật:

d(x, y, z) ≤ s[d(x, y, t) + d(y, z, t) + d(z, x, t)],
với mọi x, y, z, t ∈ X.

4


Khi đó d được gọi là một b2 -metric trên X và (X, d) được gọi là một không
gian b2 -metric với tham số s.
Ví dụ 1.1.4. Cho X = [0, +∞) và d(x, y, z) = [xy + yz + zx]p nếu
x = y = z = x, và d(x, y, z) = 0 trong các trường hợp khác, trong đó p ≥ 1
là một số thực. Khi đó (X, d) là một không gian b2 -metric với s = 3p−1 .
Ví dụ 1.1.5. Cho d : R3 → [0, +∞) là ánh xạ được xác định bởi

d(x, y, z) = min{|x − y|, |y − z|, |z − x|}.
Khi đó d là 2-metric trên R và

dp (x, y, z) = [ min{|x − y|, |y − z|, |z − x|}]p ,
là b2 -metric trên R với s = 3p−1 .
Định nghĩa 1.1.6. Một quan hệ hai ngôi trên tập X được gọi là quan hệ
thứ tự bộ phận nếu nó thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, phản đối xứng và
bắc cầu. Kí hiệu quan hệ thứ tự bộ phận bởi
và nếu x y hoặc y
x
thì ta nói hai phần tử x và y là so sánh được với nhau. Tập X khác rỗng,
trên đó có một quan hệ thứ tự bộ phận được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận
và kí hiệu là (X, ).
Định nghĩa 1.1.7. Cho X là tập khác rỗng. Khi đó (X, d, ) được gọi là
không gian b2 -metric sắp thứ tự bộ phận nếu d là một b2 -metric trên tập
sắp thứ tự bộ phận (X, ).
Định nghĩa 1.1.8. Cho X là tập sắp thứ tự. Một phần tử a ∈ X được gọi

là phần tử bé nhất của X nếu a x với mọi x ∈ X. Tập X được gọi là tập
sắp thứ tự tốt nếu mọi bộ phận khác rỗng của nó đều có một phần tử bé
nhất.
Định nghĩa 1.1.9. Cho (X, ) là một tập sắp thứ tự bộ phận và
f : X → X là một tự ánh xạ. Ánh xạ f được gọi là không giảm nếu với
mọi x, y ∈ X,
x y ⇒ f x f y.

1.2. Sự hội tụ trong không gian b2-metric
Định nghĩa 1.2.1 ([6]). Cho {xn } là một dãy trong không gian b2 -metric
(X, d).

5


(1) {xn } gọi là b2 -hội tụ đến x ∈ X và kí hiệu là lim xn = x, nếu
n

lim d(xn , x, a) = 0 với mọi a ∈ X.

n→∞

(2) {xn } gọi là một dãy b2 -Cauchy trong X nếu với mọi a ∈ X,

lim d(xn , xm , a) = 0.

n,m→∞

(3) (X, d) gọi là b2 -đầy đủ nếu mọi dãy b2 -Cauchy trong (X, d) đều là một
dãy b2 -hội tụ trong nó.

Định nghĩa 1.2.2 ([6]). Cho (X, d) và (X , d ) là hai không gian b2 -metric
và một ánh xạ f : X → X . Khi đó f gọi là b2 -liên tục tại một điểm z ∈ X
nếu với ε > 0 cho trước, tồn tại δ > 0 sao cho x ∈ X và d(z, x, a) < δ với
mọi a ∈ X đều kéo theo d (f z, f x, a) < ε. Ánh xạ f gọi là b2 -liên tục trên
X nếu nó là b2 -liên tục tại mọi z ∈ X.
Mệnh đề 1.2.3 ([6]). Cho (X, d) và (X , d ) là hai không gian b2 -metric.
Khi đó một ánh xạ f : X → X là b2 -liên tục tại một điểm x ∈ X nếu và
chỉ nếu nó là dãy b2 -liên tục theo dãy tại x; tức là, nếu {xn } là b2 -hội tụ
đến x, thì {f xn } là b2 -hội tụ đến f (x).
Ta cần bổ đề sau đây về dãy b2 -hội tụ trong chứng minh kết quả chính.
Bổ đề 1.2.4 ([6]). Cho (X, d) là một khơng gian b2 -metric và giả sử {xn }
và {yn } là b2 -hội tụ đến x và y, tương ứng. Khi đó ta có

1
d(x, y, a) ≤ lim inf d(xn , yn , a) ≤ lim sup d(xn , yn , a) ≤ s2 d(x, y, a),
2
n→∞
s
n→∞
với mọi a ∈ X. Nói riêng, nếu yn = y là hằng số, thì

1
d(x, y, a) ≤ lim inf d(xn , y, a) ≤ lim sup d(xn , y, a) ≤ sd(x, y, a),
n→∞
s
n→∞
với mọi a ∈ X.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức hình chữ nhật ta có

d(x, y, a) = d(x, a, y)

≤ s[d(x, a, xn ) + d(a, y, xn ) + d(y, x, xn )]
≤ sd(x, a, xn ) + s2 [d(a, y, yn ) + d(y, xn , yn ) + d(xn , a, yn )] + sd(y, x, xn )
6


và

d(xn , yn , a) = d(xn , a, yn )
≤ s[d(xn , a, x) + d(a, yn , x) + d(yn , x, xn )]
≤ sd(xn , a, x) + s2 [d(a, yn , y) + d(yn , x, y) + d(x, a, y)] + sd(yn , x, xn ).
Lấy giới hạn trên khi n → ∞ trong bất đẳng thức thứ nhất và giới hạn dưới
khi n → ∞ trong bất đẳng thức thứ hai ta được điều phải chứng minh.
Nếu yn = y thì ta có

d(x, y, a) ≤ sd(x, y, xn ) + sd(y, a, xn ) + sd(a, x, xn )
và

d(xn , y, a) ≤ sd(xn , y, x) + sd(y, a, x) + sd(a, xn , x).
Từ đó, lấy giới hạn trên khi n → ∞ trong bất đẳng thức thứ nhất và giới
hạn dưới khi n → ∞ trong bất đẳng thức thứ hai ta được điều phải chứng
minh.
Năm 1973, Geraghty [5] đã chứng minh định lí sau đây, có thể coi là
định lí Geraghty cổ điển để từ đó nhiều tác giả đã có các kết quả mở rộng
cho ánh xạ kiểu này.
Kí hiệu F là lớp các hàm thực β : [0, +∞) → [0, 1) thỏa mãn điều
kiện sau
β(tn ) → 1 ⇒ tn → 0.
Định lí 1.2.5 ([5]). (Điểm bất động Geraghty trong không gian metric)
Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ, f : X → X là một tự ánh xạ.
Giả sử tồn tại β ∈ F sao cho

d(f x, f y) ≤ β(d(x, y))d(x, y)

(1.1)

với mọi x, y ∈ X. Khi đó f có điểm bất động duy nhất a ∈ X và với mỗi
x ∈ X dãy Picard {f n x} hội tụ đến a khi n → ∞.

1.3. Ánh xạ co kiểu Geraghty suy rộng
Định nghĩa 1.3.1 ([9]). Cho (X, d) là một không gian 2-metric đầy đủ,
f : X → X là một tự ánh xạ và α : X 3 → [0, ∞) là một hàm số. Ta nói

7