Chuyen de viet phuong trinh tiep tuyen

Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
………………………………………………………………………………………………………

Bài 1 :

Chuyên Đề Tiếp Tuyến

Dạng 1 : Viết Phương Trình Tiếp tuyến tại điểm M( x0 , y0 )  (C ) : y  f ( x)
Cách giải :
* tính y '  f ' ( x ) ; tính k  f ' ( x0 ) ( hệ số góc của tiếp tuyến )
* tiếp tuyến tại M có dạng : y  k ( x  x0 )  y0
Ví dụ 1:
Cho hàm số y  x 3  3 x 2  2 x  5 (C ) . viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x = 1
Bài giải :
Với x = 1  y  - 4  M (1, 5)  (C )
y '  3x 2  6 x  2  y ' (1)  1 ; vậy tiếp tuyến tại M có dạng : y  1( x  1)  5  y   x  4
Ví dụ 2 : (Dự bị D2006)
x3
cho hàm số y 
(C ) . cho m M ( x0 , y0 )  (C ) . tiếp tuyến tại M cắt các tiện cận của đồ thị hàm số
x 1
(C) tại hai điểm A, B . chứng minh rằng M là trung điểm AB .
bài giải:
x 3
4
4
M ( x0 , y0 )  (C )  yo  0
, y' 
 k
, tiếp tuyến tại M có dạng (d) :

2
x0  1
( x  1)
( x0  1)2
2
x0  3
x0  5 x0  3
4
4
4
y
( x  x0 )  y0  y 
( x  x0 ) 
y
x
( x0  1)2
( x0  1) 2
x0  1
( x0  1) 2
( x0  1) 2
Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng x = 1 . suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :

x 2  5 x0  3
4
x  1
y
x 0
x 7



2
2
)
( x0  1)
( x0  1)  
x  7  A (1, 0

y 0
x0  1
x  1

x0  1



Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang y = 1 , suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ :
2

x0  5 x0  3
4
x
 x  2 x0  1
y 
 B (2 x0  1,1)
( x0  1)2
( x0  1)2  

y 1
y 1


 x A  xB 1  2 x0  1
 x0  xM
 2 
2

x 7
Nhận xét : 
 M là trung diem AB (đpcm)
1 0
 y A  yB
x0  1 x0  3


 yM

2
x0  1
 2
Ví dụ 3 : (D2005)
1
m
1
Cho hàm số y  x 3  x 2 
(Cm ) . cho M  (Cm ) , biết rằng xM  1 , tìm m để tiếp tuyến tại M
3
2
3
song song với đường thẳng 5x - y = 0
Bài giải :
y '  x 2  mx  hệ số góc tiếp tuyến tại M k  y ' (1)  1  m , để tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x –

y = 0  k  1 m  5  m  4

Nha Trang 8/2009


Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………

.c
o

m

Ví dụ 4 : (ĐH Thương Mại 2000)
Cho hàm số y  x 3  3x  1 (C ) , và điểm A( x0 , y0 )  (C) , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại
điểm B khác điểm A . tìm hồnh độ điểm B theo x0
Bài giải :
3
2
Vi điểm A( x0 , y0 )  (C)  y0  x0  3x0  1 , y '  3x 2  3  y ' ( x0 )  3 x0  3
Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng :
2
3
2
3
y  y ' ( x0 )( x  x0 )  y0  y  (3x0  3)( x  x0 )  x0  3 x0  1  y  (3x0  3)( x  x0 )  2 x0  1 (d ) phương trình
hồnh độ giao điểm của (d) và (C) :
2
3

2
3
x 3  3x  1  (3x0  3)( x  x0 )  2 x0  1  x 3  3 x0 x  2 x0  0  ( x  x0 )2 ( x  2 x0 )  0

h

s

 ( x  x0 )2  0
 x  x0


( x  0)
x  2 x0 0
x  2 x0  0



t

Vậy điểm B có hồnh độ xB  2 x0

w
.v

ie
t

m

a

Dạng 2 : Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số y  f ( x ) (C) khi biết trước hệ số góc của nó
Nếu hệ số góc của tiếp tuyến là k ta có thể lập tiếp tuyến bằng 2 cách sau
Cách 1 :
Tiếp tuyến (d) có dạng y  kx  m ( k đã biết )
 f ( x )  kx  m (1)
(d) tiếp xúc (C )   '
có nghiệm
 f ( x )  k (2)
Từ phương trình 2 ta giải ra được x  x0 ( hoành độ tiếp điểm ) thế vào (1) ta tìm được k  tiếp
tuyến
Cách 2 :
Gọi M ( x0 , y0 ) là tiếp điểm , giải phương trình f ' ( x0 )  k  x  x0 , y0  f ( x0 )
Đến đây trở về dạng một ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thi : y  k ( x  x0 )  y0

w

Khi sử lý các bài tốn dạng này thơng thường hệ số góc k cho ở dạng gián tiếp thơng thường bài tốn cho
tiếp tuyến song với đường thẳng : y  k1 x  m  hệ số góc của tiếp tuyến k  k1 . Nếu bài tốn cho tiếp
1
tuyến vng góc với đường thẳng : y  k2 x  m  hệ số góc của tiếp tuyến k 
(do k .k2  1) .
k2
Nếu bài toán cho tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) : y  k ' x  m một góc là  , các em có thể dùng cơng
k  k'
( tuy nhiên các em phải chứng minh khi sử dụng , xem cuốn: giúp trí
1  kk '
nhớ Tốn học , Nguyễn Dương 2008)
Một số ví Dụ Điển Hình

Ví Dụ 1 : (ĐH Ngoại Ngữ 2001)
1
2
cho hàm số y  x 3  x 
, viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
3
3
1
2
y   x  (d )
3
3

Nha Trang 8/2009

w

thức sau để tìm k : tan  


Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Bài giải :
Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d)  tiếp tuyến có dạng : y  3x  m
2
1 3
 x  x   3x  m (1)
Điều kiện tiếp xúc :  3
có nghiệm

3
 x 2  1  3 (2)

2
1 3
2
14
1 3

3 x  4x  3  m
 x  4x   m

 x  2, m   3
 3


3

x  2
2
x  4

 x  2, m  6

 x  2


14
14
Với m  

tiếp tuyến có dạng y  3 x 
3
3
Với m = 6 tiếp tuyến có dạnh y = 3x +6
Ví dụ 2 : (ĐH cảnh sát 1998)
x2  3x  3
Cho hàm số y 
; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng :
x2
y = -3x +2
Bài giải :
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 2  tiếp tuyến có dạng y = -3x + m
 x 2  3x  3
3

 x  2  3 x  m (1)
x   2

Điều kiện tiếp xúc  2
có nghiệm x  2 (2)  4 x 2  16 x  15  0  
x   5
 x  4 x  3  3 (2)
2

 ( x  2)

2

3
Với x    m  3

tiếp tuyến có dạng : y  3 x  3
2
5
Với x    m  11
tiếp tuyến có dạng : y  3x  11
2
Ví dụ 3 :
Cho hàm số y  3 x3  4 viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) :
3 y  x  6  0 một góc 300
Hướng dẫn giải:
1
1
x  2 3 có hệ số góc k1 
(d)  y 
; tiếp tuyến có hệ số góc k2
3
3
k1  k2
dễ dàng tính được k2
1  k1k 2
Sau đó áp dụng dạng 2 lập tiếp tuyến khi biết trước hệ số góc ta tìm được 3 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu của
bài tốn đó là :
11  3
11  3
(d1 ) : y  4 ; (d 2 ) : y  3x 
; (d 2 ) : y  3 x 
3
3
Ví dụ 4 : (ĐH Ngoại Thương 1998)
Cho hàm số y  x 3  3x 2  9 x  5 (C ) . trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm tiếp tuyến có hệ số góc

nhỏ nhất

Áp dụng cơng thức (*) : tan 300 



Nha Trang 8/2009


Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Bài giải :
TXĐ: D  R
Ta có : y ,  3 x 2  6 x  9 ; gọi M ( x0 , y0 )  (C )  hệ số góc tiếp tuyến của (C ) tại M :
2
k  f ( x0 )  3x0  6 x0  9

m

f ' ( x0 )  6 x0  6 ; f ' ( x0 )  0  x0  1  f (1)  -12
Bảng biến thiên :


-

f’(x 0 )



-1

.c
o

x0

0

+

+



f(x)

s

-12

m

a

t

h

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f ( x0 )  12  x0  1 , y0  16

Vậy tại điểm có M (1,16) thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị )
Cach khác :
2
Ta có : k  f ( x0 )  3x0  6 x0  9  3( x0  1) 2  12  12  min k  12, đạt được khi
x0  1  y0  12
Vậy tại điểm có M (1,16) thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị)

Dạng 3: viết phương trình tiếp tuyến biết nó đi qua một điểm cho trước

ie
t

Bài toán : cho hàm số : y  f ( x ) và điểm A( x0 , y0 ) viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi
qua điểm A
Cách giải :
bước 1 : tiếp tuyến đi qua A( x0 , y0 ) có dạng : y  k ( x  x0 )  y0

w
.v

 f ( x )  k ( x  x0 )  y0 (1)
bước 2: điều kiện tiếp xúc  '
có nghiệm
f ( x)  k (2)

bước 3: giải hệ này ta tìm được k  phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Một số ví Dụ Điển Hình

w

w

Ví dụ 1 : (ĐH Ngoại Thương 1999)
x2
Cho hàm số y 
; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(6,5)
x2
Bài giải :
Tiếp tuyến đi qua A(6,5) có dạng : y  k ( x  6)  5
x 2
 x  2  k ( x  6)  5 (1)

Điều kiện tiếp xúc : 
có nghiệm x  2
 4  k (2)
 ( x  2)2

x  0
x2
4

( x  6)  5  x 2  6 x  0  
2
x2
( x  2)
x  6
Với x = 0  k  1 tiếp tuyến có dạng : y   x  1

Nha Trang 8/2009

Thế

(2) vào (1)

ta được :


Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………

1
1
7
tiếp tuyến có dạng : y   x 
4
4
2
Như vậy ta kẻ được hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài tốn

Với x = 6  k  

Ví dụ 2 : (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 1998)
1
4 4
Cho hàm số : y  x3  2 x 2  3x viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua A( , )
3
9 3
Bài giải :
4 4

Tiếp tuyến đi qua A có dạng : y  k ( x  ) 
9 3
1 3
4 4

2
 x  2 x  3 x  k ( x  )  (1)
Điều kiện tiếp xúc :  3
có nghiệm
9 3
 x 2  4 x  3  k (2)

Thay (2) vào (1) ta được :
x  0

1 3
4 4
8
2
2
3
2
x  2 x  3 x  ( x  4 x  3)( x  )   3 x  11x  8 x  0   x 
3
9 3
3

x  1

Với x = 0  k  3 tiếp tuyến có dạng : y  3 x

8
5
5
128
Với x =  k   tiếp tuyến là : y   x 
3
9
9
81
4
Với x = 1  k  0 tiếp tuyến có dạng : y =
3
Vậy từ A vẽ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số
Ví dụ 3 : (dự bị B 2005)
x2  2 x  2
Cho hàm số : y 
(C ) , chứng minh rằng khơng có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua giao điêm I
x 1
của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (C )
Bài giải:
x2  2 x  2
1
y
 x 1
tiệm cận đứng x = -1 ; tiệm cận xiên y = x +1 . gọi I là giao điểm của hai
x 1
x 1
đường tiệm cận trên  I (1, 0)
Đường thẳng (d) qua I có dạng : y  k ( x  1)

 x2  2 x  2
 x  1  k ( x  1)

(d) là tiếp tuyến của (C )   2
 x  2 x  k (2)
 ( x  1) 2


(1)
có nghiệm x  1

x2  2 x  2 x 2  2 x
Thay (2) vào (1) ta được :

( x  1)  2  0 (vô nghiệm ) vậy từ I không kẻ được tiếp
x 1
( x  1)2
tuyến nào tới đồ thị hàm số (đpcm)


Nha Trang 8/2009


Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………

Dạng 4 :
Học

Một Số Bài Toán Nâng Cao Về Tiếp Tuyến Luyện Thi Đại

m

Một số ví dụ điển hình :
Ví dụ 1 : (D2007)

2x
(C ) tìm điểm M  (C ) sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ
x 1
1
tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
4
Bài giải :
2 x0
2
M ( x0 , y0 )  (C )  y0 
, y'
( x  1)2
x0  1
Tiếp tuyến tại M có dạng :
2
2 x0
2 x0
2
2
y  y '( x0 )( x  x0 )  y0  y 
( x  x0 ) 
y
x

(d )
( x0  1) 2
x0  1
( x0  1) 2
( x0  1) 2
Gọi A  (d )  ox  tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :

t

h

s

.c
o

Cho hàm số y 

2
2
 x  0 2 x0
2 x0

 B (0,
)
2
( x0  1)2
 y  ( x0  1)

ie

t

2

2 x0
2
y
x

( x0  1)2
( x0  1) 2

x  0


m

a

2

2 x0
2
2
y
x
 x   x0

2
2

2

 A( x0 , 0)
( x0  1)
( x0  1)

y  0
y  0

Gọi B  (d )  oy  tọa độ điểm B là nghiệm của hệ :

w
.v

2
2
Tam giác OAB vuông tại O ; OA =  x0  x0 ; OB =

Diện tích tam giác OAB : S =

2
2
2 x0
2 x0

( x0  1)2 ( x0  1) 2

1
OA.OB
2

w

1

2
2
4
 2 x0  x0  1
 2 x0  x0  1  0
1 2 x0
1
4
2
 x0   2  y0  2
=
.
  4 x0  ( x0  1)   2
 2


2 ( x0  1)2 4
 2 x0   x0  1  2 x0  1x0  1 (vn)


 x0  1  y0  1
1
Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán : M 1 ( ; 2)
2

M 2 (1,1)

w

Vi Dụ 2 : (A2009)

;

x2
(1)
2x  3
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hồnh, trục tung lần lượt
tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ .

Cho hàm số y 



Nha Trang 8/2009


Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Ví dụ 3 : (dự bị D 2007)
x
Cho hàm số y 
(C ) ; viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C ) ; sao cho (d) cắt hai đường tiệm cận
x 1

của (C) tạo thành một tam giác cân
Ví dụ 4: (dự bị B2007)
m
(Cm ) tìm m để hàm số có cực đại tại A và tiếp tuyến của (Cm ) tại A cắt
2 x
trục oy tại B mà tam giác OAB vuông cân

Cho hàm số y   x  1 

Ví dụ 5: (học viện BCVT 1998)
Cho hàm số y  x 3  12 x  12 (C ) . tìm trên đường thẳng y = - 4 những điểm mà từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến
phân biệt tới đò thị ( C)
Bài giải :
Điểm M nằm trên đường thẳng y = -4 nên M( m , - 4)
Tiếp tuyến qua M có dạng : y  k ( x  m)  4

 x 3  12 x  12  k ( x  m)  4 (1)

Điều kiện tiếp xúc :  2
có nghiệm
3 x  12  k (2)

Thế (2) vào (1) ta được :
x 3  12 x  12  (3 x 2  12)( x  m)  4  x 3  12 x  16  (3x 2  12)( x  m)
 ( x  2)( x 2  2 x  8)  3( x  2)( x  2)( x  m)  ( x  2)  2 x 2  (4  3m) x  8  6m   0


x  2

2

 g ( x )  2 x  (4  3m) x  8  6m  0
Để từ M có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị (C) thì g(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt  2
  m  4

2
2
 (4  3m)  8(8  6m)  0
3m  8m  16  0
4



 m 
3
 g (2)  24  12m  0
24  12m  0

m  2

4
Vậy M (m , -4) với m  (, 4)  ( ,  ) & m  2 là điểm cần tìm
3
Ví dụ 5 : ( học viện BCVT 199)
Cho hàm số y   x3  3x 2  2 (C ) . Tìm cá điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp
tuyến với đồ thị hàm số (C )
Bài giải :
3
2
M ( x0 , y0 )  (C )  y0   x0  3x0  2
; y '  3 x 2  6 x

3
2
Tiếp tuyến qua M : y  k ( x  x0 )  y0  k ( x  x0 )  x0  3 x0  2
Điều kiện tiếp xúc :

3
2
 x 3  3x 2  2  k ( x  x0 )  x0  3 x0  2 (1)


2
3x  6 x  k (2)

Thế (2) vào (1) ta được :

( có nghiệm )

Nha Trang 8/2009


Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
3
2
3
2
 x 3  3x 2  2  (3 x 2  6 x )( x  x0 )  x0  3 x0  2  2 x 3  3( x0  1) x 2  6 xx0  x0  3 x0  0 (1)

 x  x0

 ( x  x )(2 x  x0  3)  0

 x  3  x0

2
Để từ M vẽ được 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số thì phương trình (2) phải có một nghiệm
3  x0
 x0 
 x0  1  y0  0 vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : M ( 1, 0)
2
Lời bàn :
( vì tiếp tuyến có tọa độ tiếp điểm là M nên (1) ln có nghiệm kép x  x0 , dùng sơ đồ horney chia ra
ta được phương trình (2) thơi )
(2)

s

.c
o

m

2
0

a

t

h

Ví dụ 6 :
Cho hàm số : y  x 3  3x (C ) . tìm trên đường thẳng : x = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp
tuyến với đồ thị hàm (C )
Bài giải :
Điểm M  đường thẳng x = 2  M (2, a)
Tiếp tuyến qua M có dạng : y  k ( x  2)  a

w

w
.v

ie
t

m

x 3  3 x  k ( x  2)  a (1)

Điều kiện tiếp xúc :  2
có nghiệm
3 x  3  k (2)

Thay (2) vào (1) ta được phương trình :
x3  3x  (3 x 2  3)( x  2)  a  2 x 3  6 x 2  6 x  6  a  0  a  2 x 3  6 x 2  6 (*)
Xét hàm số : f ( x )  2 x 3  6 x 2  6 , TXĐ : D = R ; f '( x)  6 x 2  12 x
x  0
f '( x)  0   6 x 2  12  0  
x  2

Bảng biến thiên:
x

0
2

y’
0
+
0

2
y
-6

Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt . dựa vào
bảng biến thiên ta thấy (*) có 3 nghiệm phân biệt  6  a  2

w

Kết luận : vậy điểm M (2, a ) với a  (6, 2) là điểm nằm trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được 3 tiếp
tuyến tới đồ thị hàm (C )
Ví dụ 7 : (ĐH Y dược TP HCM 1998 )
Cho hàm số y   x 4  2 x 2  1 (C ) . tìm trên trục tung những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến
đến đồ thị hàm số (C)
Ví dụ 8 : (ĐH Sư Phạm TP HCM 2001 )
x2
Cho hàm số y 
(C ) , cho điểm A ( 0 , a ) tìm a để từ A có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến
x2

(C) đồng thời 2 tiếp điểm nằm về trục ox
Nha Trang 8/2009


Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Bài giải :
Phương trình tiếp tuyến qua A có dạng : y = kx + a
x 2
 x  1  kx  a (1)

Điều kiện tiếp xúc : 
có nghiệm x  1
 3  k (2)
2

 ( x  1)
x2
3 x

 a  g ( x)  (a  1) x 2  2(a  2) x  a  2 ( x  1) (*)
Thay (2) vào (1) ta được :
x  1 ( x  1)2
Để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C ) thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 :
  (a  2) 2  (a  1)(a  2)  3a  6  0
a  1

  a 1  0


(**)
a  2
 g (1)  3  0


Giả sử hai tiếp điểm lần lượt là : A( x1 , y1 ) ; B ( x2 , y2 ) là tọa độ hai tiếp điểm thì x1 , x2 là nghiệm của (*)
2(a  2)

 x1  x2  a  1
x 2
x 2

Và y1  1
; y2  2
; áp dụng định lý Vi-et ta được : 
x1  1
x2  1
x x  a  2
 1 2 a 1

( x1  2) ( x2  2)
x x  2( x1  x2 )  4
Để A, B nằm về 2 phía trục ox thì y y1 y2  0 
.
0 1 2
0
( x1  1) ( x2  1)
x1 x2  ( x1  x2 )  1
a2
2(a  2)

 2.
4
2
a 1
 a 1
 0  3a  2  0  a  
a2
2(a  2)
3
 2.
1
a 1
a 1
2
Dối chiếu với điêu kiện (**) thì ta tìm được : a   ; a  1
3
Lời bàn :
Nếu bài toán yêu cầu tìm a để từ a kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị , sao cho tiếp điểm nằm về 2 phía trục
oy thì chỉ cần phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1  0  x2
Ví dụ 9 :
Cho hàm số : y  x3  3x 2  2 (C ) . tìm trên đường thẳng : y = -2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ
thị hàm số (C ) hai tiếp tuyến vng góc với nhau ?
Hướng dẫn giải :
Diểm M  đường thẳng : y = -2  M (m, 2)
Sau đó các em lập phương trình tiếp tuyến qua M , sử dụng điều kiện tiếp xúc ta đưa ra được phương trình
sau :
x  2
( x  2)  2 x 2  (3m  1) x  2   0  
2



 g ( x )  2 x  (3m  1) x  2  0
Với x = 2 thì tiếp tuyến : y = 2 ; khơng tìm được tiếp tuyến nào của (C ) vng góc với đường thẳng trên
Vậy để từ M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vng góc với nhau thì g(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt
55
55
x1 , x2  2 và k1k2  1 làm tương tự như ví dụ trên ta tìm được m 
 M ( , 2)
27
27
Nha Trang 8/2009


Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………

Dạng 5 : Ý Nghĩa Hình Học của Tiếp Tuyến

m

( tham khảo thêm)

.c
o

Ta đã biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi ln nằm phía trên đồ
thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm ln nằm phía dưới đồ thị, cịn tại điểm uốn của đồ thị thì tiếp
tuyến xuyên qua nên ta có nhận xét sau

là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Nhận xét: Nếu

tại điểm

( A không phải là điểm uốn) , khi đó tồn tại một khoảng I chứa điểm
. Đẳng thức xảy ra khi

hoặc

s

sao cho

và

. Cmr :

a

t

Bài toán 1: Cho

h

Bây giờ ta vận dụng nhận xét này để chứng minh một số bất đẳng thức

Trong đó

với

Ta có:

và

là:

đpcm
tại điểm

thì ta ln phân tích được

. Cmr :

w

Bài tốn 2 :Cho

tại điểm có hồnh độ

là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

w

Chú ý: Nếu

và Bđt cần chứng minh có dạng :

.Nên ta đánh giá f(x) và tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ

w
.v

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

ie
t

*Nhận xét: Ta thấy đẳng thức xảy ra khi

m

Lời giải:

Lời giải : Ta thấy đẳng thức xảy ra khi

trong đó

và Bđt đã cho có dạng

với

Nha Trang 8/2009


Luyện thi ĐH chất lượng cao

ths. Ng Dương

093 252 8949

……………………………………………………………………………………………………………

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm có hồnh độ

Tiếp theo ta sẽ đánh giá

là:

. Thật vậy

điều này luôn đúng với mọi x và đẳng
thức xảy ra khi

. Vậy ta có:

Mặt khác :

đpcm

nên suy ra

Ta thấy rằng yếu tố quan trọng nhất để chúng ta có thể sử dụng phương pháp này là ta chuyển được Bđt về
dạng
hoặc

và

thỏa mãn điều

kiện nào đó.
Bài tốn 3: Cho

.Cmr : Cmr:

a
b
c
9



2
2
2
(b  c) (a  c ) (a  b)
4(a  b  c )

Lời giải: Vì nếu Bđt đúng với bộ số
thị cũng đúng với bộ số
.Khi đó Bđt đã cho trở thành

nên ta có thể giả sử

với

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm có hồnh độ

là

Ta có:

đpcm

Suy ra :
Bài tốn 4:Cho

.

a (b  c )
b( a  c )
c (b  a )
6
 2
 2

2
2
2
a  (b  c) b  (a  c) c  (b  a )
5
2

Nha Trang 8/2009

Luyện thi ĐH chất lượng cao

ths. Ng Dương

093 252 8949

……………………………………………………………………………………………………………

m

(Trích đề thi Olympic 30-4 Lớp 11 năm 2006)
Lời giải: Không mất tính tổng qt ta giả sử

.c
o

Khi đó bđt đã cho trở thành:

s

Hay

với 0
Ta thấy đẳng thức xảy ra khi

và tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm có hồnh độ

t

h

với

m

a

là:

Vậy

w
.v

Bài tập về tiếp tuyến

ie
t

Ta có:

Vấn Đề 5:

2

đpcm

Tiếp Tuyến Của Đồ Thị

x  2 x  10
. viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -1.
2( x  1)
x2  2x  2
bài 2 : cho hàm số y 
. viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục ox
x 1
x3
bài 3: cho hàm số y 
(C) , cho điểm M 0 ( x0 , y0 )  (C ) . tiếp tuyến của (C ) tại M 0 cắt các tiệm cận của (C
x 1
tại A và B . chứng minh rằng M 0 là trung điểm của AB và tam giác IAB có diện tích khơng phụ thuộc vào vị trí củ
điểm M 0 . (Dự Bị D 2006)
2x 1
bài 4: cho hàm số y 
(C) , gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận . tìm điểm M  (C )
x 1
sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M vng góc với đường thẳng IM ( Dự Bị B2003)
x2
bài 5 : cho hàm số y 
(C ) . viết phương trình tiếp tuyến của (C ) , biết rằng tiếp tuyến cắt hai đường tiêm
x3
Nha Trang 8/2009

w

w

bài 1: cho hàm số y 


Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
cận của (C ) tại hai điêm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O ( Khối A 2009)
Bài 6: cho hàm số y  2 x3  3x 2  5 viết phương trình tiếp tuyến ,biết rằng tiếp tuyến đi qua
19
A( , 4) ( ĐH Quốc Gia Thành Phố HCM 2001)
12
x2
Bài 7: cho hàm số y 
(C ) . viết phương trình tiếp tuyến tuyến với đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến đi qua
x2
điểm A ( -6,5) ( ĐH Ngoại Thương TPHCM 1995)
1
Bài 8 : cho hàm số y = x 
, CMR có thể kẻ từ A( 1,-1) tới đồ thị hai tiếp tuyến vng góc với nhau (ĐH
x 1
Bách Khoa 1996)
1
3
3
Bài 9: cho hàm số sau :
y  x 4  3x 2 
. viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua A(0, )
2

2
2
1 3
4 4
Bai10: cho hàm số :
y  x  2 x 2  3 x . qua điểm A( , ) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị hàm s
3
9 3
(ĐH Ngoại Ngữ 1998)
x2  2x  2
Bài 11 : cho hàm số
y
. chứng minh rằng từ giao điểm của hai đường tiệm cận không kẻ được tiế
( x  1)
tuyến nào tới đồ thị của hàm số (B 2005)
x 2  3x  3
Bài 12: cho hàm số
y
(C ) . Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vng góc với đường
x2
thẳng (d) : 3 y  x  6  0 (ĐH Cảnh Sát 1998)

Bài 13 : cho hàm số y  3 x 3  4 (C ) . viết phương trình tiếp tuyến ,biết rằng tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d)
3 y  x  6  0 một góc 300

Bài 14 : cho hàm số :
y  x3  3x 2  9 x  5 (C ) . trong các tiếp tuyến với đồ thị tìm tiếp tuyến có hệ số góc
nhỏ nhất ( ĐH Ngoại Thương 1998)
2x 1
Bài 15 : cho hàm số y 

, gọi I là tâm đối xứng của đồ thị . tìm điểm M thuộc đồ thị ,sao cho tiếp tuyến tạ
x 1
M vng góc với đường thẳng IM ( Dự bị B2003)
1
2
Bài 16: cho hàm số :
y  x 3  x  (C ) tìm trên đồ thị những điểm mà từ đó kẻ được tiếp tuyến vng gó
3
3
1
2
với đường thẳng y   x 
(ĐH Ngoại Ngữ 2001)
3
3
x 1
Bài 17: cho hàm số y 
(C ) . Tìm m để đường thẳng (d ) : y  2 x  m cắt đồ thị hàm số (C ) tại hai điểm
x 1
phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau (CĐSP 2005)

2x
(C ) , tìm điểm M  (C ) , biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M tại hai diểm A, B và
x 1
1
tam giác OAB có diện tích bằng
(D2007)
2
x
Bài 19: cho hàm số y 

(C ) , Viết phương trình tiếp tuyến (d ) của đồ thị cắt hai đường tiệm cận tại A,B sa
x 1
cho tam giác IAB cân , I là giao điểm của hai đường tiệm cận ( D2007_dự bị)

Nha Trang 8/2009

Bài 18: cho hàm số y 


m

Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………

o

Bài 20: cho hàm số y  x 3  12 x  12 (C ) tìm trên đường thẳng y = 4 mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến phân
biệt tới đồ thị (C ) ( HV Bưu Chính Viễn Thơng 1998)

w
w
w

.v

ie

t

m

a

t

h

s
.c

Bài 21: cho hàm số y   x3  3x 2  2 (C ) Tìm trên (C ) những điểm mà từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến vớ
đồ thị hàm số (C ) ( HV Bưu Chính Viễn Thơng 1999)
x2
Bài 22: cho hàm số y 
(C ) . và điểm A(0, a ) . tìm a để từ điểm A có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến (C ) .
x 1
sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía trục ox (ĐH Sư Phạm TP HCM 2001)
Bài 23 : cho hàm số y  x3  3x 2  2 (C ) tìm trên đường thẳng y  2 các điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị
hàm số (C) hai tiếp tuyến vng góc với nhau
Bài 24 cho hàm số y  x 3  3 x 2 (C ) Tìm trên đường thẳng x  2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đúng 3 tiếp
tuyến tới đồ thị hàm số
Bài 25: cho hàm số y   x 4  2 x 2  1 (C ) tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp
tuyến tới đồ thị (C ) (ĐH Y Dược TP HCM 1998)

Nha Trang 8/2009