Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng tích phân 12 (Phần 2: Tích phân)24109
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (371.5 KB, 20 trang )
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093
CHỦ ĐỀ 2
TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b
F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
f ( x )dx :
b
f ( x )dx F (b) F (a)
a
a
Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức laø:
b
a
b
b
a
a
f ( x )dx f (t )dt f (u)du ... F (b) F (a)
Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình
b
thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: S f ( x )dx
a
2. Tính chất của tích phaân
0
f ( x )dx 0
0
b
a
b
b
a
a
a
f ( x )dx f ( x )dx
b
kf ( x )dx k f ( x )dx (k: hằng số)
b
b
b
a
a
a
f ( x ) g( x )dx f ( x )dx g( x )dx
b
a
c
b
a
c
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
Neáu f(x) 0 trên [a; b] thì
b
f ( x )dx 0
a
Nếu f(x) g(x) trên [a; b] thì
b
b
f ( x )dx g( x )dx
b
f u( x ).u '( x )dx
a
a
3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số:
a
u( b )
f (u)du
u( a )
trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b
K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
b
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b K thì:
b
b
udv uv vdu
a
a
a
Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho
b
– Khi tính
b
b
a
a
vdu dễ tính hơn udv .
f ( x)dx cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên a; b khơng ? Nếu có thì áp
a
dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho cịn nếu khơng thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại.
Trang 1
ThuVienDeThi.com
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093
VẤN ĐỀ 1
Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng ngun hàm
+ Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
b
f ( x )dx F (b) F (a)
+ Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghóa tích phân:
a
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Biến đổi biểu thức để có ngun hàm.
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
d)
2
x 2 dx
1
7
7
e 3e 4
ĐS: a) 3ln 2
3
3
3
e 1 2
d) e 2
3 e 3
e
1
2
1
x x x
1
x 1
b) 2 dx
x
1
3
a) x 2 e3 x 1 dx
x
1
2
e)
2
1
c)
4
x 2x
dx
x3
f)
1
1
2
4
2
dx
x2
2
e2
2
b) ln 2
x
2 x 5 7x
dx
x
c)
f) 4 e 7e 8
e) ln 2 3
Bài 2. Tính các tích phân sau:
2
a)
2
x 1dx
x 1 x x 1 dx
1
2
d)
b)
d)
3
1
2
e)
1
ĐS: a)
8
x2
x3
x
2
dx
c)
1
5
x x 3 x dx
f)
2
3 32 2
3
3
2 1
8
71 8 2 9 3 3
e)
60
5
4
b)
8 2 3
5
2
1
8
3
4 x 3
dx
x2
1
3
dx
x2 x2
c) 125
f)
1
7 7 3 3 8
6
Bài 3. Tính các tích phân sau:
e2 x 4
dx
a) x
e 2
0
1
e 2 x 1 e 3 x 1
dx
d)
x
e
0
d)
Bài 4.
1 e4
e4
2
ex
b) x dx
2
0
1
ĐS: a) e 3
e x
c) e 1
dx
x
1
1
1
e)
e
0
e
b) 1
2
e)
9e3 4e 2 4e 1
e2
x
x
2
2
e x 1
1
dx
f)
0
2015
x
1
e 3 x
2
dx
c) e 2 e ln 2
2015 2
3
e
x
x
2015
2. 3
e 1 3x
f)
e C
2
2015
3
2015
ln 3
ln 3
e
e
Tính các tích phân sau:
Trang 2
ThuVienDeThi.com
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
a)
0 sin 2 x 6 dx
6
2
b)
2sin x 3cos x x dx
c)
sin 3x cos 2 x dx
0
3
d)
3
4
2
3 tan xdx
e)
4
6
b) 6
3 3 2
2
18
c)
2
2
x 5 dx
f)
dx
1 sin x
0
2 3
4
d) 3 3 3
4
e)
4
3 1
f) 1
Tính các tích phân sau:
Bài 5.
1 cos x
0 1 cos x dx
2
2
a)
2 cot
ĐS: a) 0
b)
3
2
2
sin x cos xdx
tan x cot x dx
c)
0
sin x
3
4
dx
d)
e) cos 4 xdx
0
x
sin
2
4
4
1 1
ĐS: a)
b)
c) 0
2
8 2 4
6
2
4
f)
tan x
dx
2
x
cos
0
d) ln 2
e)
1
3 7
32
f)
2
3
Bài 6. Tính các tích phân sau:
2
a)
cos x 3 dx
b)
2
1
sin x cos x x dx
0
6
c)
3
cos
xdx
0
3
4
3
4
sin x dx
d)
e)
3
2
cos x dx
0
4
g)
3
dx
x
x
0 1 2sin .cos
2
2
(tan x cot x )2 dx
6
x
2 dx
h)
1 cos x
2
6
2
f)
1 cos
2
i)
sin
3
x.cos3 xdx
0
VẤN ĐỀ 2
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
b
Dạng 1: Giả sử cần tính tích phân:
f ( x )dx
.
a
Nếu f ( x ) f u( x ).u '( x ) thì :
b
f ( x )dx
u( b )
f (u)du
u( a )
a
b
Dạng 2: Giả sử cần tính tích phân:
f ( x )dx . Nhưng tính theo dạng 1 không được, lúc này ta chuyển về hàm
a
lượng giác. Ta thường gặp các dạng sau:
a2 x 2 dx
1
dx
2
aa2 xx 22 dx
1
dx
đặt : x a cos t
Đặt x a sin t
đặt : x a cot t
hoặc
Trang 3
Đặt x a tan t
ThuVienDeThi.com
hoặc
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
x 2 a2 dx
1
dx
2
2
x a
Đặt x
a
sin t
a
cos t
hoặc đặt x
ĐỔI BIẾN DẠNG 1
Bài 1. Tính các tích phân sau
1
1
x 1 x dx
19
a)
b)
0
0
1
d)
0
dx
3
c)
1 x
2
1
xdx
2x 1
1
ĐS: a)
420
1
x3
e)
1
2
x 1 x dx
f)
0
x
1 x 2 dx
3
0
2 ln 2 1
c)
4
7
b)
16
x5
0 1 x 2 dx
1
d)
3
e)
1
3
f)
1
4
Bài 2. Tính các tích phân sau
1
1
xdx
a) 2
x 1
0
b)
x
d)
2 3
x 9dx
2
9 1
2
3
1
ln 2
2
ĐS: a)
b) 1
c)
3
f)
2
3
dx
1 x2
0
d)
1 x3
x5 2 x3
3
x x2 4
5
x2
0
dx
e)
0
c)
1 x2
0
4
2
xdx
dx
e)
1 9
ln
2 10
c)
e x e x
0 e x e x dx
f)
15
ln 2
4
Bài 3. Tính các tích phân sau:
1
a)
1 ln xdx
x
e
e x dx
0 e x 1
b)
1
1
x 1
dx
d) 2
x x ln x
1
2
ĐS: a) ln e 1
ln 2
e)
0
b)
x
2
e
dx
x
e 1
f) ecos x sin xdx
0
e 1
2e
2
2
2 2 1
3
c) ln
d) ln 2 ln 2
e) ln 3 ln 2
Bài 4. Tính các tích phân sau
e
a)
1
2 ln x
dx
2x
4
x
xe dx
2
e)
0
ĐS: a)
3 32 2
3
1
1
d)
1 3ln x
ln xdx
x
e
b)
e
1
b)
116
135
ln 3
c)
0
e
x
1
3
e
x
x
e x dx
dx
f)
c) 4 2 2
d)
1
e 1
2
ln x
dx
x
1
e) 2 e 2 e
f)
1
2
Bài 5. Tính các tích phân sau :
a)
2
2
0
d)
sin 2 x
cos x 4sin x
2
2
dx
cos x sin x
dx
b)
1 sin 2 x
0
4
2
0
tan x .dx
2
cos x
3
e)
2
sin x
4
dx
sin x
4
Trang 4
ThuVienDeThi.com
6
c)
sin 2 xdx
2
x cos 2 x
2sin
0
6
f)
cos
0
2015
x sin 2 xdx
f) e 1
ĐS: a)
4
3
1 ln 2
2
b)
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093
c) ln
5
4
d)
e)
f)
Bài 6. Tính các tích phân sau
2
a)
5
x 1dx
b)
1
1
2
e)
3
0
3x 2
1 x
3
dx
f)
2
dx
2
x2 x 2
1
1
c)
1 x
2
x
2
2
dx
d)
e
0 1 e
x
dx
g)
ln x
x dx
1
h)
xdx
dx
0
1 x2
e
ln2 x
1
1 ln x
x.
ĐỔI BIẾN DẠNG 2
Bài 1. Tính các tích phân sau
1
2
a)
1
dx
1 x
dx
d) 2
x 3
0
b)
dx
c)
4 x
dx
e) 2
2
0 x 1x 2
2
0
3
ĐS: a)
2
x3
2
2
3 3
3
b)
6
c)
2
3
3
2
d)
f)
x
4
0
3
9
e)
4
4 x 2 dx
2
1
1
0
1
x
xdx
x2 1
3
f)
9
Bài 2. Tính các tích phân sau
1
2
a)
1 x
0
3 1
d)
0
ĐS: a)
2
1
2
dx
b)
2
dx
1
c)
dx
1 x
2
0
0
e)
b)
6
c)
0
dx
2
x 2x 2
1
4 x 2 dx
x2 2 x 2
d)
4
f)
12
1
e) 0
x2 1
dx
x3
f)
2
8
Bài 3. Tính các tích phân sau
1
a)
2
3
dx
b)
1 x
2 3
0
2
1
2
d)
x
2 x x dx
2
e)
0
ĐS: a)
2
2
0
b)
6
c)
2
8
2
2
dx
c)
x x2 1
0
1 x2
1
dx
f)
1 x
2 5
d)
x2
2
3
0
e)
dx
x 2 dx
4 x2
f)
VẤN ĐỀ 3
Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các daïng sau:
Trang 5
ThuVienDeThi.com
3
9
dx
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
b
P( x ).e
x
b
b
a
a
a
P( x ).cos xdx
dx
a
Đặt u
Đặt dv
b
P(x)
e x dx
P( x ).sin xdx
P(x)
P(x)
cos xdx
sin xdx
P( x ).ln xdx
lnx
P(x)
Bài 1. Tính các tích phân sau
1
a)
e
2
x.e dx
x
b)
0
x .cos xdx
2
c)
0
ln xdx
1
e
d)
e)
1
ĐS: a) 1
b)
2 8
x
0 cos2 x dx
4
f)
2x
3 x 1 dx
1
e4 1
d)
32
c) 1
x e
0
4
3
2
x ln xdx
e)
4
ln
2
2
f)
9
28
Bài 2. Tính các tích phân sau
ln 2
a)
1
xe x dx
b)
0
c)
0
x sin x cos xdx
2
e)
ĐS: a) 2 ln 2 1
x
e
2
cos xdx
5 1 e
4 2e 2 4
x ln xdx
1
2
b)
f)
0
0
x sin 2 xdx
0
2
2
d)
4
2x
x 2 e dx
c)
1
4
d)
2
2
3
e) 4
f)
e2 1
4
Bài 3. Tính các tích phân sau
2
e
a)
e
3
ln xdx
b)
1
4
ln x
1 x 2 dx
c)
x cos xdx
0
e
e
3
d)
x tan
2
xdx
e)
ln x
1
1 ln x dx
2
f)
1
1 x 2 dx
0
4
ĐS: a) 6 2e
b)
2
e
c)
2
2
4
d)
2 1
3
3
ln 2
4
4 24 2
e)
Bài 4. Tính các tích phân sau
x
e .sin xdx
a)
b)
2
c)
e
3x
sin 5 xdx
0
e
e
cos ln x dx
e)
1
e 1
ĐS: a)
2
cos x
e sin 2 xdx
0
0
d)
2
2
cos ln x dx
1
b) 2
c)
e
3
1
10
2
e 1
d)
2
2
f)
1 sin x
1 cos x e dx
x
0
e)
VẤN ĐỀ 4
Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Trang 6
ThuVienDeThi.com
f)
f)
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
b
Dạng 1: Giả sử cần tính tích phân I
f ( x) dx , ta thực hiện các bước sau:
a
+ Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x
f(x)
b
+ Bước 2. Tính I
x1
0
a
+
x2
0
-
b
+
x1
x2
b
a
x1
x2
f ( x) dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx .
a
b
Dạng 2: Giả sử cần tính tích phân I f ( x) g ( x) dx , ta thực hiện:
a
b
b
Cách 1. Tách I f ( x) g ( x) dx
a
Cách 2.
a
b
f ( x) dx g ( x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
a
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
b
b
Dạng 3: Để tính các tích phân I max f ( x), g ( x)dx và J min f ( x), g ( x)dx , ta thực hiện các bước
a
sau:
a
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h( x) f ( x) g ( x) trên đoạn [a; b].
Bước 2.
+ Nếu h( x) 0 thì max f ( x), g ( x) f ( x) và min f ( x), g ( x) g ( x) .
+ Nếu h( x) 0 thì max f ( x), g ( x) g ( x) và min f ( x), g ( x) f ( x) .
Bài 1. Tính các tích phân sau
2
a)
2
x 2 dx
b)
0
3
d)
x
c)
0
5
2
1 dx
e)
3
ĐS: a) 2
2
x3 x dx
x 2 x 2 dx
40
d)
3
c) 5
2
2 x 3 dx
x
4 dx
0
3
f)
2
5
b)
2
x
2
0
f) 4
e) 44
1
ln 2
Bài 2. Tính các tích phân sau
4
a)
x 2 dx
b)
x x a dx
(a là tham số)
e)
5
2
b)
4 x dx
x 2 6 x 9dx
c)
16
3 3
3
x x 1 dx
1
3
f)
1
0
ĐS: a)
1
4
1
1
d)
2
1
x3 4 x 2 4 xdx
0
1
3
d)
c) 0
a
2
e)
5
2
f)
18 3 16 2
2
5
5
Bài 3. Tính các tích phân sau
2
a)
1 cos 2xdx
b)
0
d)
1 sin xdx
e)
1 sin 2xdx
2
c)
sin x dx
0
2
1 cos 2xdx
0
f)
0
Trang 7
ThuVienDeThi.com
2
1 cos 2xdx
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
3
g)
3
tan 2 x cot 2 x 2dx
cos x
h)
6
b) 2 2
ĐS: a) 4 2
cos x cos3 xdx
2
d) 4 2
c) 2
e) 4 2
g) ln 3 2 ln 2 h) 0
f) 2 2
Bài 4. Tính các tích phân sau
4
a)
max x
2
2
1, 4 x 2dx
min 3 ,
x
b)
2
4 xdx
0
0
0
3
d)
max x , x dx
e) max sin x, cos x dx
3
2
f)
3
sin x cos x dx
0
0
0
Bài 5. Tính các tích phân sau
a) min x, x 2 3 dx
3
4
2
2
c) min 1, x 2 dx
b) max x 2 , 4 x 3 dx
2
x 2
5
c)
x 1 x 2 x 1 dx
1
VẤN ĐỀ 5
Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
- Loại 1: Nếu bậc của P(x) bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
- Loại 2: Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng
của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
Các dạng dùng phương pháp hệ số bất định thường gặp:
Dạng 1: Mẫu số có nghiệm đơn:
P( x )
P( x )
A
B
Q( x ) ( x a)( x b) x a x b
P( x )
P( x )
A
B
C
Q( x ) ( x a)( x b)( x c) x a x b ( x c)
Dạng 2: Mẫu số có nghiệm đơn và bậc 2 vơ nghiệm:
P( x )
P( x )
A
Bx C
, với b2 4ac 0
Q( x ) ( x m)(ax 2 bx c) x m ax 2 bx c
Dạng 3: Mẫu số có nghiệm bội:
P( x)
P( x)
A
B
2
2
Q ( x ) x a x a x a
P( x)
P( x)
A
B
C
3
3
2
Q ( x ) x a x a x a x a
P( x )
P( x )
A
B
C
D
2
2
2
Q( x ) ( x a ) ( x b )
x a ( x a)
x b ( x b)2
P( x )
P( x )
A
B
C
D
E
2
3
2
2
Q( x ) ( x a ) ( x b )
x a ( x a)
x b ( x b) ( x b)3
- Loại 3: Một số nguyên hàm ta dùng phương pháp đổi biến hoặc từng phần
Bài 1. Tính các tích phân sau
Trang 8
ThuVienDeThi.com
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
3
a)
1
1
d)
1
dx
x x3
x
1 2 x
3
3
dx
x3 dx
c) 2
x 2x 1
0
4
x 2 dx
1 x
e) )
f)
9
0
2
ln 3 ln 2
2
ĐS: a)
3
dx
b) 2
x 5x 6
0
c)
b) 2 ln 2 ln 3
dx
x 1 x
2
1
3
10 ln 2
4
d)
1
9
f) ln 5 3ln 2
e)
Bài 2. Tính các tích phân sau
2
a)
2
1 x 7 x 12
1
d)
2
x2
3
0 ( x 1)
5
3
1x x
dx
e)
ĐS: a) 1 25ln 2 16 ln 3
f)
3
2
4 x 2 x 5x 6
0
3
1
3
ln 2 ln 5
2
2
8
c)
e) ln 3 ln 2
f)
3x 2 1
1
dx
2 x x 1
b)
1
8
d)
c)
4
x
5
dx
b)
dx
dx
4 x 11dx
x2 5x 6
2 4 13 7 14
ln ln ln 2
3 3 15 6 5
1
ln 2
2
Bài 3. Tính các tích phân sau
1
1
d)
x
0
ĐS: a)
b)
2
x
1
1 x 2
2
0
dx
c)
3x 2
e)
2
9 2 3
2
b) ln
4
9
x 1
2 x 2 x 1 dx
c) ln
4
3
d)
x
2
0
3
dx
4x 2
1
dx
a) 4
x 3x 2 3
0
5
f)
x
2
2
2
ln 3 3ln 2
3
e)
dx
3x 2
dx
2x 3
f)
Bài 4. Tính các tích phân sau
x3 x 1
dx
a)
x 1
0
2 x3 6 x 2 9 x 9
dx
b)
x 2 3x 2
1
1
1
d)
x2
3
3x 1
dx
3
e)
0
ĐS: a)
d)
x
2
11
ln 2
6
b) 32 ln 2 19 ln 3 1
2
1
ln 2
9
96
e)
2
3
1
dx
a) 2
x 2x 2
0
1
b)
1
x 2 x 3
2
e)
0
ĐS: a)
2
b) 3 3
0
1
dx
2
2
3
c) 6
1
2
dx
f)
3
ln 5
2
9 ln 2 ln 1 28 ln 1 28 ln 2
f)
2008
2007
3x
2
2
x2 1
d)
16
1 x 2008
1 x 1 x 2008 dx
c)
x3 2 x 2 4 x 9
dx
0
x2 4
2
dx
c)
x3 x 1
0 x 2 1 dx
3
2
x4
1
3
Bài 5. Tính các tích phân sau
d)
3x 2 3x 3
dx
c) 3
x 3x 2
2
0
7
12
1
f)
x
0
e)
1
2 3
4
x
dx
1
f)
8
Bài 6. Tính các tích phân sau
2
1
a)
dx
4
1 x 1 x
2
1
b)
dx
4 x2
0
Trang 9
ThuVienDeThi.com
1 x2
1 1 x 4 dx
2
c)
3
4
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
1
2 x4
dx
d)
2
1
x
0
1
e)
4
0 (2 x 1)
3ln 2 ln 5
4
ĐS: a)
b)
c)
8
7 x 199
1
( x 1)2
f)
dx
101
0 2 x 1
6 2
ln
2 2 6 2
1
d)
4
2
3
e)
dx
1
9
f)
Bài 7. Tính các tích phân sau
4
1
a)
5
3 6
x (1 x ) dx
b)
0
2
d)
3
1 x7
1
168
b)
e)
c)
c)
dx
x.( x
1
2
dx
f)
x 6 (1 x 2 )
1
1 3
ln
4 2
2
1
dx
x ( x 4 1)
1
dx
7
x
(1
x
)
1
ĐS: a)
3
d)
e)
10
1)2
x 2001
2 1002
1 (1 x )
117 41 3
135
12
f)
.dx
1
2002.21001
Bài 8. Tính các tích phân sau
x3 1
dx
a) 3
4x x
1
2
1
b)
3
2 5
0 (1 x )
ĐS: a) b)
dx
c)
e)
1
8
1
x
dx
4
x 3x 2 2
2
x7
d)
2
1 x2
4
1 1 x
d) 128
5x
c)
0 (x
2
dx
f)
4)2
1 x2
4
1 1 x
2 1
ln
2 2 2 1
1
e)
2
dx
dx
f)
Bài 9. Tính các tích phân sau
2
a)
1 x
2
3
1 xx
1
d)
0
1
dx
b)
x4 x2 1
4
5
b)
x 1
6
0 x 1
1 5
2
xdx
ĐS: a) ln
.
e)
1
c)
3
3
3
4
dx
0
x2 1
x4 x2 1
1
ln(2 3)
4
12
c)
d)
dx
f)
e)
6 3
x2
x4 1
dx
1
x1006
0
x 2014 2 x1007 1
4
f)
Vấn đề 6
Tính tích phân các hàm số vô tỉ
+ Dạng 1: f x R x , m
ax b
cx d
1
+ Dạng 2: f x R
( x a)( x b)
+ Dạng 3: f x R x , n ax b , m ax b
+ Dạng 4:
a2 x 2 dx
1
dx
2
2
a x
tm
đặt:
đặt: t
ax b
cx d
xa xb
đặt: t n.m ax b
Đặt x a sin t,
2
t
2
hoaëc: x a cos t, 0 t
Trang 10
ThuVienDeThi.com
1
2100 1
900
dx
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
a2 x 2 dx
1
dx
2
2
a x
+ Dạng 5:
+ Dạng 6:
ax
dx
ax
ax
dx
ax
Đặt x a tan t,
2
t
hoaëc: x a cot t, 0 t
2
Đặt x a cos 2t
x a b x dx
+ Dạng 7:
Đặt x a b a sin 2 t
Bài 1. Tính các tích phân sau
1
a)
9x2 1
0 3x
4
d)
0
dx
2
1
b)
1 2x
0
dx
e)
c)
4 x2
x 1
x2 1
3
10 1
d) 2 ln 2
3
1
x 3dx
8
x 1
37
27
ĐS: a)
2
x
dx
f)
x 1 x2
x 2
3
x x2
1
38
43 2
25
e) 1 ln
1 1
27
b)
1
4
dx
dx
c) 1
2 5
3 12
3 2 ln 8 3
f) 5 3 1 ln
Bài 2. Tính các tích phân sau
1
a)
x2 x
1 x x
0
4
dx
b)
c)
2
e) ( x 1)3 2 x x 2 dx
0
f)
0
b) 2 ln 2
c) ln
3 1
2 12
d)
dx
2x 1
4x 1
2
1
3
2
x 1 x dx
ĐS: a)
dx
2x 1
0
1
d)
1
6
2x 1
2
15
e)
2 x3 3x 2 x
2
x x 1
0
2
15
f)
dx
4
3
Bài 3. Tính các tích phân sau
1
a)
1 x
1
x
0
5
d)
x
1
ĐS: a)
3
dx
b)
x 1
3x 1
3. x 1 x 3dx
0
3
2
dx
e)
b) 3 6 ln
3
2
c)
2x x 1
x 1
c)
9
28
x.
dx
d)
3
x 1dx
1
1
2
0
11
4 ln 2
3
0
x 3
f)
100
9
ln
27
5
e)
54
5
2 x 2 dx
0 ( x 1)
f)
x 1
16 11 2
3
Bài 4. Tính các tích phân sau
1
a)
2
x x 1
0
2 2 3
d)
2 2
1
1
dx
x x 3 2011x
x4
b)
3
x4
dx
1 2
x x x 1
1
dx
e)
0 (1
3
x2
0
x 1 x x 1
2( x 1) 2
3
dx
3 3
c)
x ). 1 x
3
Trang 11
ThuVienDeThi.com
f)
x2
2
2
0 (1 1 x ) (2 1 x )
dx
dx
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
32 3
3
ĐS: a) ln
b)
1
3
c)
2
2
3
d)
14077 213 7
16
128
e) 12 42 ln
4
3
f)
19
2 4 2
ln
3
4 4 2
Bài 5. Tính các tích phân sau
13
x x3
a)
x4
1
3
3
b)
x
2
( x 1) x 5
3
10 x 2 dx
e)
c)
1 15
ln
4 7
f)
Bài 6. Tính các tích phân sau
1
1 x
a)
2 x ln 1 x dx
1 x
0
1
b)
(x
2
e)
b) 2
c)
2
1
7 2 3
16
d)
x ) 4 x dx
c)
1
f)
x 2 dx
3 2x x2
0
f)
2
3 3
4
2
Bài 7. Tính các tích phân sau
8
1
a)
x x 2 dx
b)
3
1
2
2014
e)
x 2 2014
0
b) ln 2
16
dx
dx
1 x
2
2
dx
d)
ĐS: a)
x
12
c)
2
2
f)
(1 x 2 )3
3 1
8 8
1 2 x 1 x 2 dx
0
dx
0
c)
1
2
0
d)
e)
x 2 dx
1 x2
f)
Bài 8. Tính các tích phân sau
1
2 2
a)
x x 2 1dx
b)
0
0
2
d)
x
1
1
6
x
x 1
dx
e)
1
x3
x2 1
dx
2
0
2
dx
2x 1
c)
4x 1
f)
dx
x 1 x
x4
x5 1
0
dx
Bài 9. Tính các tích phân sau
10
a)
5
x 2 x 1
7
3
d)
0
1
dx
x 1
3
3x 1
b)
3
2
x x 1dx
0
2 3
dx
e)
5
dx
2
x x 4
Bài 10. Tính các tích phân sau
Trang 12
ThuVienDeThi.com
4x 3
1
c)
2
0
3
f)
0
3x 1
x5 x3
1 x
4 x 2 dx
2x4
1
e) 2
18
3
2
2
2 x
dx
x2
0
3
2
5
2
4 x6
0
ĐS: a)
2
x 2 dx
d)
dx
0
2 3
2 3
5 2
1
ln 2 1 ln 2
2
4
3
f)
x x 1
2
2
2
b) 3 ln
ĐS: a) 6
x
c)
x 3dx
0
2
d)
1
e)
2 5
4 x2
dx
x
1
x 2 1dx
d)
2
dx
2
dx
dx
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
2
2
a)
0
2
3
1 x
dx
1 x
b)
2
2
dx
c)
x x2 1
1
1
dx
d)
x x3 1
1 1
dx
x x2 1
Bài 11. Tính các tích phân sau
1
a)
3
2
2
x 1 x dx
b)
0
2014
d)
1
1
x 2 2014dx
e)
x2 1
x2 x2 1
1
dx
c)
0
5
4
1 x 2 dx
f)
0
0
dx
(1 x 2 )3
12 x 4 x 2 8dx
1
VẤN ĐỀ 7
Tính tích phân các hàm số lượng giác
sin ax.sin bxdx
Dạng 1: Các dạng: sin ax.sin bxdx
sin ax.sin bxdx
1
cos a.cos b 2 cos a b cos a b
1
Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi thành tổng: sin a.sin b cos a b cos a b
2
1
sin a.cos b 2 sin a b sin a b
n
sin axdx
Dạng 2:
n N
n
cos
axdx
+ Với n lẻ : sin n axdx sin n1 ax. sin axdx sin n1 ax. sin axdx
cos
sin 2 ax
n
n 1
2
. sin axdx 1 cos 2 ax
sin
n
n 1
2
. sin axdx . Đặt : u cos x
axdx . Phân tích như trên sau đó đặt: u sin x
+ Với n chẵn: Sử dụng công thức hạ bậc: cos 2 ax
Dạng 3:
1 cos 2ax
1 cos 2ax
; sin 2 ax
2
2
ax. cos m axdx (n, m N)
+ Với n lẻ hay m lẻ : n lẻ Đặt u = cosax
;
+ Với n và m chẵn: Sử dụng công thức hạ bậc:
cos 2 ax
1 cos 2ax
;
2
sin 2 ax
m lẻ Đặt u = sinax
1
1 cos 2ax
; sin x. cos x sin 2 x
2
2
1
1 cos ax dx
Dạng 4:
1
dx
1 cos ax
Sử dụng công thức: 1 cos ax 2 cos 2
ax
ax
và 1 cos ax 2 sin 2
2
2
Trang 13
ThuVienDeThi.com
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
sin a cos a 2 sin a 4
Cần nhớ: sin a cos a 2 cos a
4
sin a cos a 2 cos a
4
1
sin ax dx
Dạng 5:
1
dx
cos ax
Phương pháp:
1
sin n ax dx
Dạng 6:
1
dx
cos n ax
Phương pháp:
1
sin ax
sin ax
dx
dx . Đặt u cos x
2
ax
1 cos 2 ax
1
cos ax
cos ax
cos ax dx cos2 ax dx 1 sin 2 ax dx . Đặt u sin x
sin axdx sin
n N
1
sin n ax dx
1
cosn ax dx
tan n axdx
Dạng 7:
n
cot axdx
Phương pháp:
1
sin
2
ax
n2
2
1
n2
2
cos ax
2
.
.
n2
2
1
dx 1 tan 2 ax
2
sin ax
1
dx 1 cot 2 ax
cos 2 ax
n2
2
.
1
dx ; Đặt u tan ax
sin 2 ax
1
dx ; Đặt u cot ax
cos 2 ax
n N
+ Biến đổi sao cho tan 2 ax làm thừa số chung
+ Thay : tan 2 ax
tan n ax
dx
cos 2 ax
Dạng 8:
n N .
n
cot
ax
dx
sin 2 ax
dx
Dạng 9:
a.sin x b.cos x c
Cách 1: Phương pháp chung:
1
1
cos 2 ax
Phương pháp: đặt u tan ax hoặc u cot ax
2dt
dx
x
1 t2
Đặt : t tan
2
2
sin x 2t ; cos x 1 t ; tan x 2t
1 t2
1 t2
1- t 2
Cách 2: Phương pháp riêng: Nếu c a 2 b 2 .
Ta có:
.
1
1
1
1
.
a sin x b cos x c c 1 cos x - 2c cos 2 x
2
Trang 14
ThuVienDeThi.com
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093
a
Trong đó : sin
b
; cos
a 2 b2
a 2 b2
1
dx
1
x
Khi đó : I
tan
C
2c cos 2 x c
2
2
a.sin x b.cos x
Dạng 10:
dx
c.sin x d .cos x
a. sin x b. cos x
B(c. cos x d . sin x)
Phương pháp: Phân tích
A
c. sin x d . cos x
c. sin x d . cos x
Sau đó dùng đồng nhất thức tìm A, B.
Dạng 11:
a.sin x b.cos x m
c.sin x d .cos x n dx
Phương pháp:
Phân tích
a. sin x b. cos x m
B(c. cos x d . sin x)
C
A
c. sin x d . cos x n
c. sin x d . cos x n c. sin x d . cos x n
Sau đó dùng đồng nhất thức tìm A, B, C.
Dạng 12:
dx
sin x a sin x b
Ta thực hiện theo các bước sau :
+ Bước 1: Sử dụng đồng nhất thức : 1
sin a b sin x a x b
sin a b
a b
+ Bước 2: Ta được :
sin x a x b
1
dx
sin x a sin x b sin a b sin x a sin x b dx
sin x a cos x - b sin x b cos x - a
1
dx
sin a b
sin x a sin x b
cos x b
cos x a
1
dx
dx
sin a b sin x b
sin x a
1
ln sin x b ln sin x a
sin a b
sin x b
1
C
ln
sin a b sin x a
* Chú ý: phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau :
cos x a cos x b
dx
sử dụng đồng nhất thức : 1
sin a b
sin a b
dx
sử dụng đồng nhất thức : 1
cos a b
.
cos a b
sin x a cos x b
Dạng 13:
dx
sin x sin
* Dùng công thức tổng thành tích biến đổi về dạng 12 rồi giải bình thường.
* Chú ý : Phương pháp trên cũng áp dụng cho các dạng tích phân sau :
dx
cos x cos ;
dx
cos x m
dx
sin x m ;
Trang 15
ThuVienDeThi.com
m 1 .
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
a1 sin 2 x b1 sin x cos x c1 cos 2 x
dx .
Dạng 14:
a2 sin x b2 cos x
+ Biến đổi : a1 sin 2 x b1 sin x cos x c1 cos 2 x A sin x B cos x a2 sin x b2 cos x C sin 2 x cos 2 x
+ Khi đó:
A sin x B cos x a2 sin x b2 cos x C sin 2 x cos 2 x
a2 sin x b2 cos x
dx
A sin x B cos x C
a2 sin x b2 cos x
C
A cos x B sin x
b2
Trong đó : sin
dx
a22 b22
sin x A cos x B sin x
a2
; cos
C
a22 b22
ln tan
x
C
2
.
a b
a b22
dx
Dạng 15:
2
a sin x b sin x cos x c cos 2 x
dx
dx
+ Biến đổi về dạng :
2
2
2
a sin x b sin x cos x c cos x
atan x b tan x c cot 2 x
2
2
2
2
2
2
1
dt
dx 1 tan 2 x dx 1 t 2 dx dx
2
cos x
1 t2
dx
dt
+ Khi đó
2
.
2
2
a sin x b sin x cos x c cos x
at bt c
+ Đặt: t tan x dt
Dạng 1
Tính tích phân lượng giác bằng cách biến đổi lượng giác
Bài 1. Tính các tích phân sau
a)
sin 2 x cos xdx
b)
0
c)
e)
0
2 1
2 3
sin
3
c) 0
2
x cos 4 x dx
f)
cos3 x
0 cos x 1 dx
e)
4
3
2
x cos3 x dx
0
b)
4
2
2
4
sin x cos xdx
cos 2 x sin
0
2
ĐS: a)
2
2
sin xdx
0
d)
4
d)
32
f)
3 8
4
Bài 2. Tính các tích phân sau
a)
1 sin 2 x cos 2 x
sin x cos x dx
2
2
cos x
0
1 cos x dx
2
2
b)
2
cos 3xdx
c)
0
6
d)
4
4
6
6
(sin x cos x )(sin x cos x )dx . e)
0
ĐS: a) 1
b)
c)
2
2
1
d)
2
4
4
cos 2 x(sin x cos x )dx
f)
0
cos
2
x cos 2 xdx
0
33
128
e) 0
f)
8
Bài 3. Tính các tích phân sau
6
a)
2
2
8cos x sin 2 x 3
dx
sin
x
cos
x
0
b)
0
Trang 16
ThuVienDeThi.com
1 sin xdx
c)
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
4sin3 x
1 cos x dx
0
2
ĐS: a)
3 3
6
2
b) 4 2
c) 2
Dạng 2
Tính tích phân lượng giác bằng phương pháp đổi biến
Bài 1. Tính các tích phân sau
a)
d)
4
2
0
sin x
0 1 3cos x dx
2
4
tan xdx
b)
2
3
sin x cos xdx
e)
0
2
c)
sin
3
xdx
4
xdx
0
3
3
tan xdx
f)
0
tan
4
ln 2
ĐS: a)
2
2 ln 2
b)
3
2
c)
3
3 ln 2
e)
2
2
d)
15
f)
2
3
Bài 2. Tính các tích phân sau
a)
3
2
dx
sin x cos3 x
b)
3
3
sin x
0 1 cos2 x dx
c)
4
2
4
dx
x.cos x
6
d)
sin
3
1 cos3 x sin x cos5 xdx
e)
0
cos x
4
tan x
1 cos x
2
dx
f)
tan x e
sin x
cos x dx
0
4
ĐS: a)
d)
ln 3 2
2
b)
4
45
e) 2 2
2
c)
1
14 ln 3 8 3 2 3 1 3 2
ln
3
2
27
3
2 3 2
f) ln 2 e
2
2
1
Bài 3. Tính các tích phân sau
a)
2
2
0
sin 2 x cos x
0 1 cos x dx
4
5
sin x cos xdx
b)
3
d)
e)
48
315
0
2
c)
1 sin x sin 2 xdx
2
0
sin 3 x
tan
2
3
x 1 cos x
2
2 2
2
b) 2 2 ln
5
c) 4
dx
f)
sin
d)
2
2
1
a)
dx
sin x
ln 2 1
2
dx
b)
2 cos x
0
3
Trang 17
ThuVienDeThi.com
2
c)
dx
2 cos x
0
2
1
dx
x 9 cos 2 x
3
Bài 4. Tính các tích phân sau
3
4
sin x ln cos x dx
0
ĐS: a)
e)
1
ln 2
2
f)
2
27
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
2
ĐS: a)
2
cos x
d)
dx
2
cos
x
0
1
ln 3
2
b)
c)
3 3
3
d)
3
1 sin x cos x
2
sin x
e)
dx
2
sin
x
0
f)
1 sin x 2 cos x dx
2
0
2
3 3 2
e)
2
2 3
9
f)
1
ln 2
2
Bài 5. Tính các tích phân sau
2
2
1
a)
dx
sin x cos x 1
0
b)
sin x 7 cos x 6
0 4sin x 3cos x 5 dx
3
2
d)
b)
ĐS: a) ln 2
2
sin x cos x 1
dx
sin x 2 cos x 3
1
4sin x 3cos x 5 dx
c)
0
2
dx
dx
sin x.cos x
4
4
1
9 1
c)
d) ln
6
2
8 6
e)
ln 2
2
3
dx
sin
x
.sin
x
6
6
2
3
e)
ln 3 f) 2 ln
2
2
f)
Dạng 3
Tính tích phân lượng giác bằng phương pháp từng phần
Kết hợp với đổi biến
Bài 1. Tính các tích phân sau
a)
2
3
2 x 1cos xdx
0
4
c)
e)
0
ĐS: a) 1
b)
2
2
x cos xdx
4
2
2 x 1cos xdx
f)
0
3
3
ln 2
c)
xdx
1 cos 2 x
0
2
d)
xdx
b)
cos 2 x
0
1
ln 2
8 4
d)
2
4
dx
cos
4
0
2
e)
x
12
1
2 4 2
f)
4
3
Bài 2. Tính các tích phân sau
a)
4
2
2
x tan xdx
b)
0
3
sin xdx
c)
0
3
2
x sin x cos xdx
d)
0
ln sin x
cos 2 x
6
ĐS: a)
1
ln 2
4 2
32
2
b)
c)
d)
3
3
3ln 2
ln 3
2
6
3
Bài 3. Tính các tích phân sau
2
a)
sin 2 x.e
2 x 1
dx
b)
0
ĐS: a)
1
e
2
e
e
0
b)
5e
2
7
12
2
2x
2
sin xdx
c)
4
cos ln x dx
d)
1
c) sin ln 2
d)
BÀI TẬP TỔNG HỢP
TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Tính các tích phân sau
Trang 18
ThuVienDeThi.com
ln 1 tan x dx
0
8
ln 2
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
2
0
0
3
cos x
dx
2 cos 2 x
0
e)
0
2
cos x
dx
f)
4
x sin x
3
ĐS: a)
c) tan 6 xdx
3
g)
4
b) cos5 xdx
d)
2
cos xdx
a)
(sin x 1) 4
0
x cos 2 x
2
1 sin 2 x
7
24
b)
h)
8
15
c)
g)
h)
0
x
dx
2
i)
0
sin x.cos x
a 2 .sin 2 x b 2 .cos 2 x
dx
4
13
15 4
f) e 2
x 1
dx
1 cos 2 x
1 cos x .e
5
4
dx
2 1 sin x
d)
2
4 16
i)
e)
4 2
4
2 3
ln
3
2 3
1
2a
Bài 2. Tính các tích phân sau
a)
2
4
3
2
(cos x 1) cos x.dx
b)
0
0
d) I
6
dx
c)
cos6 x
0
2
e)
3 sin x cos x
3
dx
3
2
dx
1
2sin x
sin 2 x.cos x
1 cos x dx
0
f)
sin
2
x tan xdx
0
3
ĐS: a)
8
15 4
b)
28
15
c)
d)
1
e) 2 ln 2 1
4 3
f) ln 2
3
8
Bài 3. Tính các tích phân sau
a)
sin
2
x (2 1 cos 2 x )dx
b)
2
4
2
d)
6
3
sin x
cos 2 x dx
e)
0
dx
2
2
4
sin x.cos x
e
c)
sin 2 x
2 sin x dx
2
0
2
sin x
.sin x.cos3 x. dx
2
f)
sin x
0
1
sin2 x dx
2
6
ĐS: a)
2
2
3
b)
8 34
3
c) 2 ln
3 2
2 3
d)
1
2 2
ln
32 2
52 6
e)
1
e 1
2
f)
3
( 2)
16
Bài 4. Tính các tích phân sau
a)
4
2
0
sin 4 x
6
6
sin x cos x
dx
b)
0
d) I
6
sin x
0
sin x
sin x
3 cos x
3
dx
2
3 cos x
dx
e)
sin x 1 cos2 x
cos2 x
3
1
4
c)
1 3 sin 2 x 2 cos2 xdx
0
Trang 19
ThuVienDeThi.com
f)
2
sin xdx
0
(sin x cos x )3
dx
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
2
3
ĐS: a)
3
6
b)
c)
7
3 1
12
d)
1
ln 3
4
e) 3 3
f)
1
2
Bài 5. Tính các tích phân sau
2
a)
0
0
b)
(sin x cos x )3
0
dx
c)
cos3 x sin3 x
dx
e)
1
2
b)
c)
x sin x
2
0 1 cos x
dx
1
tan2 (cos x ) dx
2
cos (sin x )
0
2
cos x sin x
ĐS: a)1
3sin x 2 cos x
4
2
dx
(sin x cos x )3
d)
2
7sin x 5cos x
2
d)
8
1
4
e)
2
f)
f)
4
cos x sin x
0
3 sin 2 x
dx
12
Bài 6. Tính các tích phân sau
3
a)
cos x 3 sin x
tan x
4 dx
cos 2 x
0
ĐS: a)
2
0
6
d)
sin x
b)
dx
2
x ( x sin x )sin x
dx
sin3 x sin2 x
3
c)
1 3
2
f)
2
2
cos x 4sin x
3
1
sin2 x.cos4 x
dx
4
c)
2
3
2
2
ln 3
3
f)
8 34
3
3
e)
cot x
dx
sin x.sin x
6
4
42 3
b)
sin 2 x
3
e)
0
1 15 4
ln
2 3 2
d)
2
3
Bài 7. Tính các tích phân sau
4
a)
0
sin x
5sin x.cos2 x 2 cos x
dx
2
sin x cos x
1 sin 2 x
2
4
cos4 x (tan 2 x 2 tan x 5)
2
2
sin xdx
b)
d)
6
f)
1
4
tan xdx
0
cos x 1 cos2 x
4
1
2
ln 3 ln 2
2
3
1
d) ln 2
2
b) 2 ln
ĐS: a)
e)
sin2 x
dx .
sin 3 x
6
4
e) 2. 1 cos3 x .sin x.cos5 xdx
dx
c)
2 3
3 8
c)
12
91
1
ln(2 3)
4
3 2
f)
Bài 8. Tính các tích phân sau
a)
2
4
3
0 (cos x sin x 3)
6
d)
cos 2 x
0
dx
b)
0
tan( x )
4 dx
cos 2 x
sin 4 x
2
4
cos x. tan x 1
4
dx
c)
e)
sin 4 x
2
0 1 cos x
dx
6
2
3
tan x
0 cos 2 xdx
Trang 20
ThuVienDeThi.com
f)
0
cos x
7 cos 2 x
dx
dx
