nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

B.S Phạm Công Như - 1 -
Kiên trì là chìa khóa của sự thành công
NGUYÊN HÀM–TÍCH PHÂN–ỨNG DỤNG
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1- Nguyên hàm
a- Khái niệm: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm
của f(x) trên K nếu ∀ x ∈ K : F
/
(x) = f(x). Nếu hàm số f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì
∀ C ∈ R, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x). Họ tất cả các nguyên hàm
của hàm số f(x) là : F(x) + C. Kí hiệu :
(
)
∫
+= CxFdxxf )(
b- Bảng các nguyên hàm:
∫
+= Cxdx

)1( .
1
1
−≠+
+
=
∫
+
α
α
α
α

C
x
dxx

)0( .ln ≠+=
∫
xCx
x
dx

.Cedxe
xx
∫
+=

∫
≠<+= 1). a(0 .
ln
C
a
a
dxa
x
x

∫
+= .Cxsinxdxcos

∫
+−= .Cxcosxdxsin

Ctgx
xcos
dx
2
+=
∫

Cgxcot
x
sin
dx
2
+−=
∫

∫
+= Cudu

)1( .
1
1
−≠+
+
=
∫
+
α
α
α

α
C
u
duu
)0( .ln ≠+=
∫
uCu
u
du

.Cedue
uu
∫
+=

∫
≠<+= 1). a(0 .
ln
C
a
a
dua
u
u

∫
+= .Cusinuducos

∫
+−= Cucosudusin

Ctgu
ucos
du
2
+=
∫

Cgucot
u
sin
du
2
+−=
∫


2- Tính chất:
∫ ∫ ∫
+=+ dx)x(gbdx)x(fadx)]x(bg)x(af[
(Với a,b là các hằng số ≠ 0)
3- Công thức nguyên hàm từng phần:
() () ()() () ()
∫ ∫
−= dxxuxvxvxudxxvxu
//

4- Công thức đổi biến số:
∫
∫

+=⇒+= CxuFdxxuxufCtFdttf )]([)(')]([)()(
II. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
1- Khái niệm: Tích phân từ a đến b của hàm số : f(x) là:
)()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
−==
∫
, trong đó:
F(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x)
2- Công thức đổi biến số:loại 1:
∫ ∫
=
b
a
dttutufdxxf
β
α
)(')]([)( , ( a= u(α), b = u(β) )
và loại 2 :
()
[ ]
()
∫ ∫
=
b
a
duufdxxuxuf

β
α
)(
/
( α = u(a), β = u(b) )
3- Công thức tích phân từng phần:
() () ()() () ()
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu
//

4- Diện tích hình phẳng :
B.S Phạm Công Như - 2 -
Kiên trì là chìa khóa của sự thành công
a- Hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành, 2 đường
thẳng đứng: x = a, x = b : S =
∫
b
a
dxxf )(

b- Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a,b], các
đường thẳng x = a, x= b : S =

()
∫
−
b
a
dxxgxf )(
5- Thể tích vật thể :
a- Vật thể do Hình D giới hạn bởi các đường: y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành, 2 đường
thẳng x = a, x = b; khi D quay quanh trục hoành: V =
()
∫
b
a
dxxf
2
π
b- Vật thể do Hình D giới hạn bởi các đường: x = g(y) liên tục theo biến y trên đoạn [c;d],
trục tung, 2 đường thẳng y = c, y = d; khi D quay xung quanh trục tung: V =
()
∫
d
c
dyyg
2
π
III. BÀI TẬP
1- Tìm nguyên hàm của các hàm số:

xxf
x

xexd
xcxbxa
8
2
5
)
1
2
1
)
3
1
5
2
)
9)2)1)
2
3
2
2
32
+−+
−+−

2- Tìm nguyên hàm của các hàm số:
(
)
(
)
(

)
(
)
( )
( )
( )
12)3)
13)32)
3
3
2
++−
+−−+
xxxdxc
xxxbxxa

3- Tìm :

( )
( )
∫∫
∫∫
++
−+−
dx
x
x
ddx
x
x

c
dx
x
xx
bdx
x
xx
a
2
2
2
4
2
2
232
1
)
2
)
154
)
3
)

4- Tìm:
( )
( )
( ) ( )
∫∫
∫∫







+






−++−
+−−+
−−−−
−
dxx
x
xxxddxxxxc
dxxxxxbdxxxa
32223
2
1
4
3
3
1
32)42)
12))5()

5- Tìm hàm số y = f(x) biết rằng:

() () () ()
() () () ()
21,2
1
)04,4)
3
7
2,2)51,12)
2
//
2//
=+−==−=
=−==+=
f
x
xxfdfxxxfc
fxxfbfxxfa

6- Tìm hàm số y = f(x) biết rằng:

(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
() ( )( ) () () ( )
31234)10,111)
21,1)80,23)
23//
3
3
/
2
/
=−+−==+−+=
=++==+=
fxxxfdfxxxfc
fxxxfbfxxfa

7- Tìm hàm số f(x) nếu biết f
/
(x) = ax +
2
x
b
, f(–1) = 2, f(1) = 4 và f
/
(1) = 0
8- Tìm hàm số f(x) biết
() () ()
94,41,
14

15
/
=== ff
x
xf
9- Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác sau:
B.S Phạm Công Như - 3 -
Kiên trì là chìa khóa của sự thành công
a) (2tgx + cotgx)
2
, b)
x
x
22
cos
sin
1
c) 3
2
sin
2
x

10- Tìm nguyên hàm của các hàm số bằng phương pháp đổi biến:
a) (5x + 3)
5
b) sin
4
xcosx c)
1

+
x
x
e
e

11- Tìm nguyên hàm của các hàm số:
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
268
63
49)25)37)
53)14)
−−
−+−
+−
xexdxc
xbxa

12- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
( )
x
x
cxxb
x
x
a

25
4
3
cos
sin
)1cos2sin)
56
) −
+

13- Tìm nguyên hàm các hàm số bằng phương pháp đổi biến số
( )
∫∫
∫∫
−+
+
+
++
dx
xx
x
d
x
xdx
c
dxxxbdxxxa
54
42
)
93

)
.1.3).12)
24
2
322

14- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số:
dxxed
xx
dx
c
e
dxe
bdx
x
e
a
x
x
xtgx
∫∫
∫∫
+
−
−
+
4
2
2
2)

ln
)
1
)
cos
)

15- Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng
()
t
tN
5,01
4000
/
+
= , và lúc đầu đám vi
trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu?
16- Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc
()
(
)
2/
/
1
3
sm
t
tv
+
=

. Vận tốc ban đầu của
vật là 6m/s. Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây ( làm tròn đến hàng đơn vò)
17- Gọi h(t) (cm) là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng h
/
(t) =
3
8
5
1
+t và
lúc đầu không có nước. Tìm mức nước ở bần sau khi bơm được 6 giây ( chính xác đến 0,01cm)
18- Tìm nguyên hàm của các hàm số:
3
sin)ln)
ln))
x
xdxxc
xxbxea
x−

19- Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
( )
∫∫
∫∫
xdxxddxxxc
xdxxbdxexa
x
3cos)2ln)
2cos3))
23

22

20- Giả sử sau khi áp dung công thức tính nguyên hàm từng phần ta có : ∫ f(x)dx = aG(x) – b∫ f(x)dx .
Chứng minh rằng :
()
(
)
C
b
xaG
dxxf +
+
=
∫
1

21- Sử dụng kết quả bài 20 để tìm:
a) ∫ e
x
cosxdx b) ∫ e
x
sinxdx c) ∫ e
x
sin2xdx
22- Tìm nguyên hàm các hàm số:
a) x
3
sinx b) sin(lnx)
23- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
B.S Phạm Công Như - 4 -

Kiên trì là chìa khóa của sự thành công
( )
( )
( )
( )
( )( )
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
−
+−
+
−
−
+
−
−
+
+
−
−
dx
x
x
o
x
dx
ndx

xx
x
m
x
xdx
ldx
x
x
kdxj
dx
xx
xx
i
ee
dx
h
x
xdx
g
x
xdx
fdx
x
x
e
xx
dx
d
dx
x

x
cdxxebdxxxa
xx
xx
x
2
32
22
2
3 2
2
2
2
2
3 32
cos
sin
)
1
)
32
4
)
sin
)
cos
sinln
)32)
cossin
sincos

))
cos
sin
)
ln
)
1
.
1
sin)
1
)
1
))1)
2

24- Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
∫∫∫
∫∫∫
+
+
dx
x
x
f
xx
dx
exdxxd
xdxxc
x

dx
bxdxa
cos1
sin1
)
sincos
)cossin)
cossin)
sin
)sin)
2
44
43
3
4

25- Đặt: I
n
= ∫ x
n
e
x
dx ( n ∈ N
*
)
a) Chứng minh rằng : I
n
= x
n
e

x
– nI
n-1

b) Tìm: I
1
, I
2
, I
3

26- Đặt I
n
= ∫ sin
n
xdx ( n ∈ N
*
)
a) Chứng minh rằng :
2
1
1cos.sin
−
−
−
+
−
=
n
n

n
I
n
n
n
xx
I
b) Tìm I
3
27- Tính các tích phân sau:
( )
( )
∫∫
∫∫
−
−
−−






+
+







+
0
2
5
2
4
1
0
2
4
2
2
)43)
1
3
)
1
)
dxexddxxc
dx
x
ebdx
x
xa
x
x

28- Tính các tích phân sau:
( )

( )
( )
( )
∫∫
∫∫∫
+−
−
+−−
−
−
3
1
23
4
1
2
1
0
3
2
0
2
1
42
)1)
1))3)
dx
x
xxx
edxxd

dxxxcdxxxxbdxxxa

29- Tính các tích phân :
( ) ( )
( )
∫∫
∫∫∫
−
−
−
−
−
−+
1
1
21
1
0
1
1
2
1
2
1
0
)1)
)
4
)1)
dxeedxed

dxeecdx
e
bdxea
xx
xx
x
x

30- Giả sử :
a)
()
∫
3
3
0
=dxxf và
()
7
4
0
=
∫
dzzf
. Tính
()
∫
4
3
dttf

b)
( )
∫
5
1
1
=
−
dtxtf và
()
6
3
1
=
∫
−
drrf
. Tính
()
∫
3
1
duuf

B.S Phạm Công Như - 5 -
Kiên trì là chìa khóa của sự thành công
31- Giả sử M và m theo thứ tự là giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a;b].
Chứng minh rằng :
( ) () ( )
abMdxxfabm

b
a
−≤≤−
∫

32- a) Dùng bài 29 đánh giá các tích phân:
∫∫∫
+
=
+
=
+
=
1
5,0
2
5,0
0
2
1
0
2
1
;
1
,
1 x
dx
K
x

dx
J
x
dx
I
b) Từ công thức I = J + K, hãy đưa ra một đánh giá chính xác hơn cho I
33- Tính tích phân:
∫
e
e
dxx
1
ln
34- Một vật chuyển động với vận tốc :
()
(
)
( )
sm
t
tv /
sin
2
1
π
π
π
+=
. Tính quãng đường di chuyển của vật
đó trong khoảng thời gian 1,5 giây ( chính xác đến 0,01 m)

35- Một vật chuyển động với vận tốc :
() ( )
sm
t
t
tv /
3
4
2,1
2
+
+
+=
. Tính quãng đường di chuyển của vật
đó trong khoảng thời gian 4 giây ( chính xác đến 0,01 m)
36- Tính các tích phân sau:
∫∫∫
−+
−
16
0
2
00
9
)1)cos)
xx
dx
cdxxbdxxa
π

37- Tính các tích phân sau:
∫∫
∫∫∫
−+
+
+
+
−






+
−
12
10
2
1
0
3
2
1
1
2
2
1
5
4

2
2
12
)
1
2
)
1
2
)
21
3
)
1
)
dx
xx
x
e
x
dxx
d
x
xdx
cdx
x
bdx
x
xa

38- Tính các tích phân:
( )
( )
∫∫∫∫
+
+
+
3
4
0
12
0
2
2
0
2sin
)2cos)
313cos
)
sin1
cos
)
π
π
π
ππ
π
x
dx
ddxxc

xtgx
dx
bdx
x
x
a
39- Tính các tích phân:
( )
∫∫∫
+
++
−
2
0
1
1
4
2
1
2
cos1
)23)3)
π
x
dx
cdxxbdxxxa

40- a) Cho a > 0 . Chứng minh rằng:
( )
kr

a
ax
dx
−=
+
∫
1
22
β
α
, trong đó r và k là các số thực thỏa mãn :
a
tgk
a
tgr
α
β
== ;
b) Tính :
∫
+
2
0
cos2
π
x
dx

41- Chứng minh rằng hàm số :
()

∫
+
=
x
t
tdt
xf
0
4
1
x ∈ R là một hàm số chẵn
42- Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [–a;a], Chứng minh rằng :
B.S Phạm Công Như - 6 -
Kiên trì là chìa khóa của sự thành công
()
()





=
∫
∫
−
0
2
0
lẻ hàmlà f khi
chẵn hàmlà f khi

a
a
a
dxxf
dxxf , Áp dụng tính
(
)
∫
−
++
2
2
2
1ln dxxx

43- Tính các tích phân sau:
( )
( )
∫∫
∫∫∫
+−
1
01
2
1
0
2
0
3
2

0
)ln)
1ln)sin)cos12)
dxxeexdxxd
dxxxcxdxxbxdxxa
x
e
π
π

44- Tính các tích phân sau:
( )
∫∫∫
∫∫∫
+
+
++
+
−−−
−
π
0
2
2
1
4
2
1
1
2

9
1
3
2ln
0
2
1
5
cos1
sin
)
1
)
1
12
)
1)1)1)
x
xdxx
fdx
x
x
edx
xx
x
d
dxxxcdxebdxxxa
x

45- Đặt:

∫
=
2
0
sin
π
xdxI
n
n
. Chứng minh rằng :
2
1
−
−
=
nn
I
n
n
I . Từ đó tính I
5
,
46- Đặt:
∫
=
2
0
cos
π
xdxI

n
n
. Chứng minh rằng :
2
1
−
−
=
nn
I
n
n
I . Từ đó tính I
6
, I
7
.
47- a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số : y = sinx, trục hoành, trục tung và đường
thẳng x = 2π
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số : y = 2 – x, y = x
2
, trục hoành trong miền x
≥ 0
48- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số : y = x
3
– 3x
2
+ 2x, trục hoành trục tung và
đường thẳng x = 3
49- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số :

a) y = x
3
, trục hoành và đường thẳng x = 2
b) y = 4 – x
2
và trục hoành
c) y = x
3
– 4x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = –2
d) y = x
3
– 4x, trục hoành, trục tung, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = 4
e) y =
x
– x và trục hoành
50- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số :
a) y = e
x
+ 1, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1
b) y = e
2x
– 1, trục hoành, đường thẳng x = 1 và đường thẳng x = 2
c) y = e
x
– e
–x
, trục hoành, đường thẳng x = –1 và đường thẳng x = 1
51- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số :
a) y =
1

2
+
x
, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 4
b) y =
x
−
2
3
, trục hoành, đường thẳng x = –1 và đường thẳng x = 1
52- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số :
a) y =
x
x
1
+ , trục hoành, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = –1
B.S Phạm Công Như - 7 -
Kiên trì là chìa khóa của sự thành công
b) y =
2
1
1
x
− , trục hoành, đường thẳng x = 2 và đường thẳng x = 1
c) y =
2
1
1
x
− , đường thẳng y =

2
1
và đường thẳng y = –
2
1

53- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong: y
2
= 4ax (a > 0) và đường thẳng x = a bằng ka
2
.
Tìm k
54- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thò hàm số:
( )
2
1
2
−
=
x
y
, trục hoành, đường thẳng x = 2 và đường thẳng x= 3
b) Đồ thò hàm số
( )
2
1
2
−
=

x
y , đường thẳng y = 2 và dtang y = 8
55- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số :
a) y = x
2
+ 2 , đồ thò hàm số : y = x, và2 đường thẳng x = 0, x = 2
b) y = 2 – x
2
, đồ thò hàm số : y = x và 2 đường thẳng x = 0, x = 1
c) y = 2 – x
2
, đồ thò hàm số : y = x
d) y = x , đồ thò hàm số y = 6 – x và trục hoành.
56- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số :
a) y = x
2
+ 4 va ø y = 7 – 2x
2
b) x – y
2
= 0 và: x + 2y
2
= 3
c) x = y
3
– y
2
và x = 2y
57- Tính thể tích phần vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng x = 0, x = 3, biết rằng thiết diện của vật thể bò
cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật

có 2 kích thước là x và
2
92 x−

58- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn
bởi:
a) Đồ thò hàm số y = x(4–x) và trục hoành
b) Đồ thò hàm số y = e
x
, trục hoành và 2 đường thẳng x = 0, x = 3
c) Đồ thò hàm số: y =
x
1
, trục hoành và 2 đường thẳng x = 1, x = 2
d) Đồ thò hàm số y = x , trục hoành và 2 đường thẳng x = 0, x= 2
59- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thò hàm số y = x
2
, trục tung và 2 đường thẳng y = 0, y = 4
b) Đồ thò hàm số y = x
3
, trục tung và 2 đường thẳng y = 1, y = 2
c) Đồ thò hàm số: y = lnx , trục tung và 2 đường thẳng y = 1, y = 0
d) Đồ thò hàm số y = 3 – x
2
, trục tung và đường thẳng y = 1
60- Tính đạo hàm các hàm số sau:
∫∫
∫∫
==

==
2
01
2
sin
1
2
0
.cos)()sin)()
3)()cos)()
xx
xx
dttxGddttxGc
dttxGbtdtxGa

61- Tính các tích phân sau:
B.S Phạm Công Như - 8 -
Kiên trì là chìa khóa của sự thành công
( )
(
)
( )
∫∫
∫∫
−
−









−
+
2
2
4
1
8
1
2
3
3
2
3
1
4
1
2
1
0
2
)3cos(3sin15)1)
1
)5sin)
π
π
π

dxxxddxxxc
du
u
u
bdtta

62- Tìm f(4) biết rằng :
a)
() ( )
xxdttf
x
πcos
2
0
=
∫
b)
( )
(
)
∫
=
xf
xxdtt
0
2
cos π

63- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) parabol: y

2
= 2x , tiếp tuyến của nó tại điểm A(2,2) và trục hoành
b) parabol :y = x
2
– 4x + 5 và tiếp tuyến của nó kẻ từ điểm M(
2
5
;–1)
c) đồ thò hàm số : y =
2
1
2
−
+−
x
xx
, tiệm cận xiên của nó và 2 đường thẳng x = 0, x= 1
64- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số :
a) y = x
2
– 4 và y =
2
1
x
2
+ 4
b) x + y
4
= 2 ,
3

2
yx = vàtrục hoành
c) x = y
2
, x + 2y
2
= 3 và trục hoành
65- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi
các đường sau
a) y = 2x – x
2
và y = 0
b) y = lnx, y = 0 , x = 2
c) y = sinxcosx, y = 0, x = 0 x =
x
π
.
66- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi
các đường sau:
a) x =
1
2
2
+y
y
, y = 0, y = 1
b) y = 2x – x
2
, y = 0, x = 2
c) Đường tròn tâm I(2,0) , bán kính R = 1

67- Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt trụ sau: x
2
+ y
2
= a
2
và: x
2
+ z
2
= a
2

68- Cho hàm số: y =
x
x−1
, 0 < x ≤ 1
a) Tính diện tích hình phẳng A giới hạn bởi đồ thò hàm số, trục hoành và đường thẳng x =
2
1

b) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trục hoành
c) Chứng minh rằng :
2
1
1
y
x
+
= , và từ câu a) suy ra giá trò của

∫
+
1
0
2
1 y
dy