Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng tích phân 12 (Phần 3: Ứng dụng Tích phân)24472

Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

CHỦ ĐỀ 3
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Dạng 1
Tính diện tích hình phẳng
1. Diện tích hình thang cong
Dạng 1: Cho hàm số y  f x  liên tục trên a; b . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  f x  , trục Ox ( y  0 ) và hai đường thẳng x  a và x  b là:
b

S   f ( x) dx
a

xb
(C ) : y  f ( x)

y
xa

O

y0

a

x
b

Phương pháp giải:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số y  f ( x) trên đoạn a; b .
b

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân :



f ( x) dx .

a

b

Chú ý: có 2 cách tính tích phân



f ( x) dx

a

+ Cách 1: Nếu trên đoạn a; b  hàm số f x  khơng đổi dấu thì:

b



f ( x ) dx 

a

b

 f ( x )dx

a

+ Cách 2: Lập bảng xét dấu hàm số f x  trên đoạn a; b  rồi khử trị tuyệt đối.
Dạng 2: Cho hàm số x  f  y  liên tục trên a; b . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

x  f  y  , trục Oy ( x  0 ) và hai đường thẳng y  a và y  b là:
b

S   f ( y ) dy
a

y
b
x0

a

yb
(C ) : x  f ( y )

ya
x

O

Trang 1
ThuVienDeThi.com


Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093

2. Diện tích hình phẳng
Dạng 1: Cho 2 hàm số y  f x  và y  g x  liên tục trên a; b . Khi đó diện tích của hình phẳng (H) giới
hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f x  và y  g x  và hai đường thẳng x  a và x  b là:
b

S   f ( x)  g ( x) dx
a

y

xb
(C1 ) : y  f ( x)

xa
(H )

O

(C2 ) : y  g ( x)

x

a

b

Phương pháp giải:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f x   g x  trên đoạn a; b .
b

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân



f ( x)  g ( x) dx .

a

Dạng 2: Cho hai hàm số y  f x  và y  g x  liên tục trên a; b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường y  f x  và y  g x  là: S 





f ( x)  g ( x) dx .



Trong đó  ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f x   g x 

a      b 

Phương pháp giải:
Bước 1. Giải phương trình f x   g x   0 . Giả sử ta tìm được  ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn
nhất của phương trình a      b  .
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số : f x   g x  trên đoạn  ;  .


Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân:




f ( x)  g ( x) dx .

Dạng 3: Cho hai hàm số x  f  y  và x  g  y  liên tục trên a; b . Khi đó diện tích của hình phẳng (H)
giới hạn bởi đồ thị hai hàm số x  f  y  và x  g  y  và hai đường thẳng y  a và y  b là:
b

S   f ( y )  g ( y ) dy
a

y

(C2 ) : x  g ( y )

yb

b

(H )

a

ya
x

O
(C1 ) : x  f ( y )
Phương pháp giải:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f  y   g  y  trên đoạn a; b .
Trang 2
ThuVienDeThi.com


Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
b

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân



f ( y )  g ( y ) dy .

a

Dạng 4: Cho hai hàm số x  f  y  và x  g  y  liên tục trên a; b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường x  f  y  và x  g  y  là: S 



 g ( y)  g ( y) dy .
1

2



Trong đó  ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f  y   g  y 

a      b 

Phương pháp giải:
Bước 1. Giải phương trình f  y   g  y   0 . Giả sử ta tìm được  ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn
nhất của phương trình a      b  .
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số : f  y   g  y  trên đoạn  ;  .


Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân:




f ( y )  g ( y ) dy .

Dạng 5: khi tính diện tích giới hạn 3 hàm số trở lên thì phương pháp chung là vẽ đồ thị rồi dựa vào đồ
thị để tính.
Cách tính giới hạn của 3 hàm số: Cho 3 hàm số y  f x  , y  g x  và y  h x  liên tục trên a; b . Khi
đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số y  f x  , y  g x  và y  h x  là:

S

Với:

x2

x3

x1

x2

 f x  g x dx   h x  g x  dx

+ x1 là nghiệm phương trình: f x   g x 
+ x2 là nghiệm phương trình: f x   h x 
+ x3 là nghiệm phương trình: h x   g x 
Trong đó: a  x1  x2  x3  b

Tóm lại khi giải tốn ta thường gặp các dạng sau:

 y  f(x)
b

1. Diện tích S của miền giới hạn:  y  0
 S   f ( x ) dx
 x  a; x  b
a

 y  f(x)
b


2. Diện tích S của miền giới hạn:  y  g( x )  S   f ( x )  g( x ) dx
 x  a; x  b
a

 x f( y)
b

3. Diện tích S của miền giới hạn:  x  g( y )  S   f ( y )  g( y ) dy
 y  a; y  b
a


Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y  x 2  2 x  3, y  0, x  0, x  4

b) y  x 3  4 x , y  0 , x  2 , x  4

c) y  x 2  4 x  6, x  2, x  4 , trục Ox.

d) y  x 3 , y  0, x  2, x  1

e) y 

x
1 x4

, y  0, x  0, x 

1

f) y  x 4  x 2  1, y  x 3  3 x , x  1, x  3

2

g) y  2 x 2  2 x , y  x 2  3 x  6, x  0, x  4

h)
Trang 3

ThuVienDeThi.com


Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

y  x 2  4 x , y  2 x  7  1, x  1; x  2

x3  3x  1
i) y 
, x  1, x  1 , trục Ox.
x2

j) y 

a) y  x  2 e 2 x , y  0 , x  0 , x  3

b) y 

Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

1  ln x
, y  0, x  1, x  e
x
1
e) y  ln x , x  , x  e , trục Ox.
e

4x
, y  0 , x  1, x  1
x 1
2

ln x
2 x

, x  e, x  1 , trục hoành.

d) y  x.ln 2 x; y  0; x  1; x  e.

c) y 

ln x
1
, y  0, x  , x  e
x
e
1
h) y  log x , y  0, x 
, x  10
10

f) y 

g) y  x.e x ; x  1; x  2 ; trục Ox.

1
i) y  ln x , y  0, x  , x  e
e

j) y 

1 x
2
x .e 2 , y

 0, x  1, x  2

Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y  sin 2 x.cos3 x , x  0, x 


, trục Ox.
2

d) y  x  sin 2 x; y  ; x  0; x  .

c) y  x  sin x; y  x; x  0; x  2.
e) y  sin 2 x  sin x  1, y  0, x  0, x 
g) y  sin

x
2

cos x; y  0; x  0; x 

b) y  sin x  cos2 x , x  0, x   , trục hoành.


2


2

f) y  sin x  2 cos x , y  3, x  0, x  
h)

Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y  4  x 2 , y  x 2  2 x

c) y 

1 2
1
x , y   x2  3
4
2

e) y  x 2  2, y  4  x



b) y  x 2  2 x , y  x  2

d) y 

x2
1
,y
2
1  x2

f) y  x 2  2 x , y   x 2  4 x

g) y  x , y  2  x 2
h) y  x 2  4 x  3 , y  x  3
Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y  x 3  12 x , y  x 2

b) y  4  4 x 2 , y  1  x 4

c) y   4  x 2 , x 2  3y  0

d) y  1  1  x 2 , y  x 2

e) y  2 1  x 2 , y  2 1  x 

f) y  4 

Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y  x x  1x  3, y  0

c) y 

x , x  y  2  0 , trục Ox.

e) y  x , y  4  x , trục Ox.

b) y 

x2
x2
,y
4
4 2

x , y  2  x, y  0

3 x  1
, y  0, x  0
x 1
3
3
f) y  x 2  x  , y  x , trục hồnh.
2
2
d) y 

Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y  5 x 2 ; x  0; y  3  x , trục hoành.



y  tan 3 x; y  0; x   ; x  .
4
4

b) y  x , y 

Trang 4
ThuVienDeThi.com

1
, y  0, x  e
x


Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

c) y  e x , y  2, x  1

d) y  ( x  1)5 ; y  e x ; x  1.

e) y  e x ; y  e x ; x  1.

f) y 

2

2

1
e

2 x

, y  e x , x  1

g) y  x  2 x  2, y  x  4 x  5, y  1

h) y  2 x 2 , y  x 2  2 x  1, y  2

i) y  2 x 2 , y  x 2  4 x  4, y  8

k) y  x 2 , 2 x  y  1  0, y  0

Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

x2
27
a) y  x 2 , y 
,y
27

x
8
x  2x  1
,y 
c) y  ( x  1)2 , y 
8

x 1
2

b) y   x 2  6 x  5, y   x 2  4 x  3, y  3 x  15
d) y  8  3 x  2 x 2 , y  2  9 x  2 x 2 , y  x  10

e) y  x 2  4 x  5, y  2 x  4, y  4 x  11
f)
Bài 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y 2  2 x , y  x , y  0, y  3

b) y 2  x  5  0, x  y  3  0

c) y 2  2 y  x  0, x  y  0

d) y 2  2 x  1, y  x  1

e) y  x 2 , x   y 2

f) x 2  y 2  8, y 2  2 x

g) y 2  6 x , x 2  y 2  16
Bài 10. Tính diện tích các elip sau:
a)

x 2 y2

1
16 4

b)

h) y 2  (4  x )3 , y 2  4 x

x 2 y2

1
9
4

c)

x 2 y2

1
25 9

Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

d)

x2
 y2  1
4

a) (C ) : y  x 3  3 x 2  3 x  1 , và tiếp tuyến với (C) tại A(0; 1).

2x  1
, y  0 , và tiếp tuyến với (C) tại A(-2; 1).
x 1

c) ( P ) : y  x 2  4 x  5 và hai tiếp tuyến với (P) tại A(1;2) và B(4;5).
b) (C ) : y 

x2  x  2
d) (C ) : y 
, trục Ox và tiếp tuyến của (C ) vẽ từ O.
x 1

Bài 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) (C ) : y  x 3  2 x 2  4 x  3, y  0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hồnh độ x = 2.

b) (C ) : y  x 3  3 x  2, x  1 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hồnh độ x = –2.
c) (C ) : y  x 2  2 x và tiếp tuyến với (C) tại điểm O(0 ; 0) và tại A(3; 3) trên (C).

1 3
x  3 x , và tiếp tuyến với (C) tại điểm M thuộc đồ thị có hồnh độä x = 2 3 .
4
1
e) (C ) : y  x 
, tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3.
2x2
x2  2x  1
, y  0 , tiệm cận xiên của (C), x = –1 và ø x = 2
f) (C ) : y 
x2
d) y 

Trang 5
ThuVienDeThi.com

Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093

Dạng 2
Tính thể tích vật thể trịn xoay
y

y
d

f(x)

f(x)
O

a

b

x

c

x
O

Quay quanh trục Ox

Quay quanh trục Oy

Dạng 1: Thể tích của vật thể trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f x  , trục Ox và hai
b

đường thẳng x  a và x  b a  b  quay xung quanh trục Ox là: VOx    f x  dx .



2

a

xb
(C ) : y  f ( x)

y
xa

O

x

y0

a

Chú ý: Hàm số y  f x   0

b

x  a; b  và liên tục trên đoạn a; b .

Dạng 2: Thể tích của vật thể trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x  f  y  , trục Oy và hai
b

đường thẳng y  a và y  b a  b  quay xung quanh trục Oy là: VOy    f  y  dy .


a

y
b
x0

a

yb
(C ) : x  g ( y )

ya
x

O
Chú ý: Hàm số x  f  y   0

y  a; b  và liên tục trên đoạn a; b .
Trang 6
ThuVienDeThi.com

2


Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

Dạng 3: Cho hai hàm số y  f x  và y  g x  liên tục, cùng dấu trên đoạn a; b . Hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng x  a và x  b
trịn xoay có thể tích là: VOx  

b

  f x 

2

a  b  quay xung quanh trục Ox tạo nên một khối

  g x  dx
2

a

Dạng 4: Cho hai hàm số x  f  y  và x  g  y  liên tục, cùng dấu trên đoạn a; b . Hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng y  a và y  b
khối trịn xoay có thể tích là: VOy  

b

  f  y 

2

a  b  quay xung quanh trục Ox tạo nên một

  g  y  dx
2

a

Tóm lại khi giải tốn ta thường gặp các dạng sau:

 y  f(x)

1. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau:  y  0
quanh Ox một
 x  a; x  b

b

vòng là : VOx   f 2 x .dx .


a

 y  f(x)

2. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau:  y  g( x ) quanh Ox một
 x  a; x  b


b

vòng là : VOx  



f 2 x   g 2 x  .dx .

a

 x f( y)

3. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau:  x  0
quanh Oy một
 y  a; y  b

b

vòng là : VOy   f 2  y .dy .


a

 x f( y)

4. Thể tích của khối trịn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau:  x  g( y ) quanh Oy một
 y  a; y  b

b

vòng là : VOy  



f 2  y   g 2  y  .dy .

a

Bài 1. Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
a) y 

4
, x  2, x  1 , trục Ox.
2 x

b) y 

c) y  x 3  3 x  1, y  0, x  0, x  1
e) y 

d) y  x 3  1, x  1, x  1 , trục hoành.

1
1
x 1
, x  2, x  4 , trục hoành.
2
x 1

g) y  x ln x , y  0, x  1, x  e

1 3
x  x 2 , x  0, x  3 , trục Ox.
3
2x

f) y  2
, x  0, x  1 , trục Ox.
x 1
h) y  x ln x , y  0, x  1, x  e

Bài 2. Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
Trang 7
ThuVienDeThi.com


Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

a) y  sin x , y  0, x  0, x 


4

b) y  cos2 x , y  0, x  0, x  

c) y  sin 6 x  cos6 x , y  0, x  0, x 


2

d) y  sin x , y  cos x , x 


4

,x


2

Bài 3. Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
b) y  x 2 , y 

x, x  4

a) y 

x

x2
x3
,y
4
8

c) y   x 2  4 x , y  x  2

d) y 

e) y  x 2  4 x  6, y   x 2  2 x  6

f) y  4  x 2 , y  x 2  2

g) y  
h) y 

1 4
9
x  2x2  , y  0
4
4

 x2  x
, y0
x 1

h) y  x 2  2 x , y   x 2  4 x
h) ( x  2)2  y 2  9, y  0

Bài 4. Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
a) y 

x , y  0, x  3

2x  1
, y  0, x  0
x 1
1
e) y   1, y  0, y  2 x

x
c) y 

g)

y  ln x , y  0, x  2

b) y  xe x , y  0, x  1
d) y  2 x  x 2 , y  0, x  3
f) y  x 3 , y  0, x  1
h) y  e x , y  2, x  1

Bài 5. Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Oy:
a) x  ye y , x  0, y  1

b) y 2  4  x , x  0

c) x 

2
, y  1, y  4
y

d) y  x 2 , y  4
e) y  e x , x  0, y  e
f) y  x 2 , y  1, y  2
Bài 6. Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox ; Oy:
a) y  ( x  2)2 , y  4
c) y 

x  1, y  2, y  0, x  0
2

b) y  x 2 , y  4 x 2 , y  4
d) y  2 x  x 2 , y  0
2

e) x 2  y  2   1

f)  x – 4   y 2  1 

g) y  x 2 , y 

h) y  x 2 ( x  0), y  3 x  10, y  1

i)

x2 y 2

1
9
4

x

j) x  y 2  0, y  2, x  0

Trang 8
ThuVienDeThi.com