Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ điện tử phonon âm)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (721.58 KB, 24 trang )
Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu
theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu
mạng hợp phần (trường hợp tán xạ điện tử-
phonon âm)
Nguyễn Thị Loan
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Luận văn Thạc sĩ ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán; Mã số: 60 44 01
Người hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Vũ Nhân
Năm bảo vệ: 2012
Abstract: Giới thiệu về siêu mạng hợp phần và bài toán về hệ số hấp thụ sóng điện từ
trong bán dẫn khối. Nghiên cứu phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của
hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện mạnh biến điệu theo từ bởi điện tử giam cầm trong
siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ phonon – âm): Hamiltonian tương tác của điện
tử - phonon trong siêu mạng hợp phần; phương trình động lượng tử cho điện tử trong
siêu mạng hợp phần; tính hệ số hgấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi
điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần. Tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu mạng
hợp phần GaAs - Al0.3Ga0.7As .
Keywords: Vật lý toán; Sóng điện từ; Tán xạ điện tử; Phonon âm
Content
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, việc chế tạo và nghiên cứu các tính chất của các vật liệu có
cấu trúc nano là vấn đề mang tính thời sự thu hút nhiều nhà khoa học hàng đầu trong nước và
quốc tế tham gia nghiên cứu. Trong đó, bán dẫn thấp chiều là một điểm nóng trong các nghiên
cứu hiện đại vì khả năng ứng dụng rộng rãi trong đời sống và trong khoa học kĩ thuật, tạo ra
các linh kiện hiện đại siêu nhỏ, đa năng, thông minh.
Chính sự hạn chế chuyển động này đã làm cho các hiệu ứng vật lý, các tính chất vật lý
trong dây lượng tử khác nhiều so với bán dẫn khối.
Khi các nguồn bức xạ cao tần ra đời đã mở ra một hướng nghiên cứu mới về các hiệu
ứng cao tần gây bởi tương tác của các trường sóng điện từ cao tần lên bán dẫn siêu mạng. Khi
2
sóng điện từ cao tần (có tần số
thỏa mãn điều kiện
>>1,
: thời gian hồi phục xung
lượng) tương tác với vật liệu thì định luật bảo toàn xung lượng bị thay đổi do sự tham gia của
photon vào quá trình hấp thụ và phát xạ phonon (trong đối số của hàm Delta - Dirac mô tả
định luật bảo toàn khi
>>1, ngoài năng lượng electron, phonon còn có cả đại lượng liên
quan tới năng lượng photon
l
,
l
là số nguyên). Kết quả là hàng loạt các hiệu ứng mới xuất
hiện - hiệu ứng cao tần. Khi đó electron có thể tương tác với phonon và gây ra các hiệu ứng
có bản chất mới khác hoàn toàn trường hợp không có sóng điện từ cao tần (khi không có đại
lượng liên quan tới năng lượng photon
l
vào đối số của hàm Delta - Dirac).
Trong số các hiệu ứng vật lý gây bởi tương tác trường sóng điện từ mạnh cao tần
(lazer) lên bán dẫn nói chung và bán dẫn thấp chiều nói riêng thì đáng chú ý trong đó có hấp
thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần. Bài toán
này đã được giải quyết vào những năm 80 của thế kỉ XX đối với bán dẫn khối nhưng bài toán
hấp thụ phi tuyến sóng điên từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu
mạng hợp phần vẫn bị bỏ ngỏ. Bởi vậy trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu lý thuyết
hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu
mạng hợp phần có tính toán cụ thể cho trường hợp tán xạ phonon - âm và khảo sát kết quả thu
được đối với siêu mạng hợp phần GaAs - Al
0.3
Ga
0.7
As .
2. Về phƣơng pháp nghiên cứu:
- Để tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong siêu mạng hợp phần có thể
sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như phương pháp hàm Green, phương pháp tích phân
phiếm hàm, phương pháp phương trình động lượng tử…Trong luận văn này, chúng tôi sử
dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử để giải quyết. Đây là phương pháp
được sử dụng nhiều khi nghiên cứu các hệ thấp chiều và cho hiệu quả cao[11,12,13,14,15].
Chƣơng 1: Giới thiệu về siêu mạng hợp phần và bài toán về hệ số hấp thụ sóng điện
từ trong bán dẫn khối.
Chƣơng 2: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ phi
tuyến sóng điện mạnh biến điệu theo từ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần
(trường hợp tán xạ phonon – âm).
Chƣơng 3: Tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu mạng hợp phần GaAs - Al
0.3
Ga
0.7
As .
3
Các kết quả chính của luận văn được chứa đựng trong chương 2 và chương 3. Trong đó, trên
cơ sở phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần dưới ảnh hưởng của
sóng điện từ mạnh theo biên độ với giả thiết tán xạ điện tử - phonon âm là chủ yếu, đã thu
được hàm phân bố không cân bằng của điện tử và lấy nó là cơ sở tính hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần.
Phân tích sự phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính của hệ số hấp thụ vào cường độ điện
trường E
0
và tần số
của sóng điện từ mạnh, nhiệt độ T của hệ. Ngoài ra, với sóng điện từ
mạnh biến điệu theo biên độ, sự thay đổi biên độ sóng theo thời gian với tần số
cũng
ảnh hưởng tới hệ số hấp thụ. Từ kết quả giải tích thu được, tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu
mạng hợp phần GaAs-Al
0.3
Ga
0.7
As.
CHƢƠNG 1
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ BÀI TOÁN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
BIẾN ĐIỆU THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần
1.1.1. Khái niệm về siêu mạng hợp phần
Siêu mạng hợp phần là vật liệu bán dẫn mà hệ điện tử có cấu trúc chuẩn hai
chiều, được cấu tạo từ một lớp mỏng bán dẫn với độ dày d
1
, ký hiệu là A, độ rộng vùng cấm
hẹp
A
g
(ví dụ như GaAs) đặt tiếp xúc với lớp bán dẫn mỏng có độ dày d
2
ký hiệu là B có
vùng cấm rộng
B
g
(ví dụ AlAs). Các lớp mỏng này xen kẽ nhau vô hạn dọc theo trục siêu
mạng (hướng vuông góc với các lớp trên). Trong thực tế tồn tại nhiều lớp mỏng kế tiếp dưới
dạng B/A/B/A…, và độ rộng rào thế đủ hẹp để các lớp mỏng kế tiếp nhau như một hệ tuần
hoàn bổ sung vào thế mạng tinh thể. Khi đó, điện tử có thể xuyên qua hàng rào thế di chuyển
từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp này sang lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp khác. Do đó, điện tử
ngoài việc chịu ảnh hưởng của thế tuần hoàn của tinh thể nó còn chịu ảnh hưởng của một thế
phụ. Thế phụ này được hình thành do sự chênh lệch năng lượng giữa các cận điểm đáy vùng
dẫn của hai bán dẫn siêu mạng, và cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất
4
nhiu so vi hng s mng. S cú mt ca th siờu mng ó lm thay i c bn ph nng
lng ca in t. H in t trong siờu mng hp phn khi ú l khớ in t chun hai chiu.
Cỏc tớnh cht vt lý ca siờu mng c xỏc nh bi ph in t ca chỳng thụng qua vic
gii phng trỡnh Schodinger vi th nng bao gm th tun hon ca mng tinh th v th
ph tun hon trong siờu mng.
1.1.2. Ph nng lng v hm súng ca in t giam cm trong siờu mng hp
phn.
Cỏc tớnh cht vt lý ca siờu mng c xỏc nh bi ph in t ca chỳng
thụng qua vic gii phng trỡnh Schrodinger vi th nng bao gm th tun hon ca mng
tinh th v th ph tun hon trong siờu mng. Bng cỏch gii phng trỡnh Schrodinger trong
ú ta a vo th tun hon mt chiu cú dng hỡnh ch nht ta thu c hm súng v ph
nng lng ca in t trong siờu mng hp phn cú dng nh sau:
2 cos cos
n x y
k k d k d
(1.1)
Trong biu thc (1.1),
l rng ca vựng mini; d=d
1
+d
2
l chu k siờu mng; k
x
,
k
y
l cỏc vộc t xung lng ca in t theo hai trc ta x,y trong mt phng siờu mng.
Ph nng lng ca mini vựng cú dng:
cos
n n n z
k k d
(1.2)
n
là độ rộng của mini vùng thứ n, xác định bởi biểu thức:
2
2
00
0
2
2
0
00
exp 2 /
41
2/
n
nn
m d d U
d
dd
m d d U
(1.3)
Trong cụng thc (1.3), d
0
l rng ca h th bit lp;
0 cv
U
l sõu ca
h th bit lp;
AB
c c c
l sõu ca h th giam gi in t c xỏc nh bi cc
tiu ca hai vựng dn ca hai bỏn dn A v B;
AB
v v v
l sõu ca h th giam gi
l trng c xỏc nh bi hiu cỏc cc i ca cỏc khe nng lng gia hai bỏn dn A v B;
n l ch s mini vựng;
22
2
2
2
n
n
md
l cỏc mc nng lng trong h th bit lp [5,17,23].
5
22
12
1 2 1 2
12
cos cos sinh sin sinh
2
z
kk
k d k a k b k a k b
kk
1/2
2
1
1
2
sz
k m E k
;
1/2
2
1
2
sz
k m r k
Từ đó ta có:
2 2 2 2 2
2
cos
22
n n z
kn
k k d
m m d
(1.4)
cv
r
là thế siêu mạng được xác định bởi hiệu các khe năng lượng hai
bán dẫn. Như vậy, thế của siêu mạng bằng tổng năng lượng chênh lệch của các vùng dẫn
c
và độ chênh lệch năng lượng các vùng hóa trị
v
của hai lớp bán dẫn kế tiếp. Đối với
các vùng năng lượng đẳng hướng không suy biến, phương trình Schrodinger có dạng:
2
2
2
r r r E r
m
Vì
r
là tuần hoàn nên hàm sóng của điện tử
r
có dạng hàm Block thỏa mãn
điều kiện biên trên mặt tiếp xúc giữa hố thế và hàng rào thế. Hàm sóng tổng cộng của điện tử
trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần (trong gần đúng liên kết mạnh) có dạng[15]:
1
1
exp exp
d
N
x y z s
m
xy
r i k x k y ik md z md
L L N
(1.5)
Trong đó, L
x
, L
y
là độ dài chuẩn hóa theo hướng x và y; d và N
d
là chu kỳ và số
chu kỳ siêu mạng hợp phần;
()
s
z
là hàm sóng của điện tử trong hố cô lập.
1.2. Bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên
độ trong bán dẫn khối.
Hệ số hấp thụ sóng điện từ chỉ phụ thuộc vào phần thực của tensor độ dẫn điện. Khi
không xét tới tương tác điện tử-phonon cũng như bỏ qua các tương tác khác, biểu thức phần
thực độ dẫn điện có dạng giống như quy tắc Fermi:
2
,
Re
m
E
xx m n
mn
e
m H n E E
Z
(1.6)
6
Đại lượng đặc trưng cho quá trình giảm cường độ của sóng điện từ khi đi sâu vào
trong bán dẫn gọi là hệ số hấp thụ sóng điện từ, ký hiệu
zz
, có dạng[1,6,19,22,23,25]
4
Re
zz zz
cN
(1.7)
Ở đây, N
*
là chiết suất tinh thể; c là vận tốc ánh sáng.
Hệ số hấp thụ sóng điện từ tỷ lệ thuận với
Re
, vì vậy hệ số hấp thụ tuyến tính sóng
điện từ không phụ thuộc vào cường độ điện trường
E
(ở đây ta chỉ tính đến số hạng bậc nhất
của tensor độ dẫn cao tần). Trong trường hợp sóng điện từ có cường độ mạnh cao tần, đóng
góp của số hạng bậc cao vào tensor độ dẫn cao tần là đáng kể và phải được tính đến. Khi đó
xuất hiện sự phụ thuộc phi tuyến của tensor độ dẫn cao tần vào cường độ điện trường
0
E
của
sóng điện từ.Vì vậy, hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ là đại lượng phụ thuộc phi tuyến vào
cường độ điện trường
0
E
.
1.2.1. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn
khối
Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt
trường sóng điện từ mạnh. Ta có Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là:
phephe
HHHH
(1.8)
Với:
+
k
kk
e
aa)t(A
c
e
kH
+
q
qqq
ph
bbH
+
k,q
qqkqkq
phe
bbaaCH
+
k
+
q
là trạng thái của điện tử trước và sau tán xạ;
k
là năng lượng của điện tử.
+
,
kk
aa
lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ( kiểu hạt fecmi )
7
' ' , '
{ , } { , }=
k k k k k k
a a a a
;
''
[ , ]=[ , ] 0
k k k k
a a a a
+
,
bb
lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon (kiểu hạt boson)
' , '
[ , ]
k k k k
bb
;
''
[ , ]=[ , ] 0
k k k k
b b b b
+
q
C
là hằng số tương tác điện tử - phonon âm, có biểu thức:[16,19,22,23,25]
2
2
0
2
q
s
q
C
V
(1.9)
+
()
e
k A t
c
là hàm năng lượng theo biến
()
e
k A t
c
+
At
là thế vector của trường điện từ, được xác định bởi biểu thức:
0
1
( )sin
d A t
Et
c dt
Ta có
00
os( ) ( )
( ) os( ) os( )
E c c E c
A t c t c t
(1.10)
Từ đó ta suy ra Hamilton của hệ điện tử - phonon âm trong bán dẫn khối là:
,
k k q q q q k q k q q
k q q k
e
H k A t a a b b C a a b b
c
(1.11)
Để thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối, sử
dụng:
w
t
Tr
, với
w
là toán tử ma trận mật độ,
t
là kí hiệu trung bình thống kê
tại thời điểm t:
,
k
k k k k
t
nt
i i a a a a H
tt
(1.12)
Hay:
' ' ' '
' , '
()
, ' ( ) ( )
k
q q q q q q
k k k k k q k
q
k q k
t
nt
e
i a a k A t a a b b C a a b b
tc
(1.13)
8
Ta lần lượt tính từng số hạng.
k
nt
00
2
22
,
eE eE
1
il t
k k l
q
kl
q
C J J e
m m l
11
k k q k k q
q q q q
n N n N n N n N
k q k k i k q k k i
11
k q k k q k
q q q q
n N n N n N n N
k k q k i k k q k i
(1.20)
Biểu thức (1.20) là hàm phân bố điện tử không cân bằng trong bán dẫn khối. Phương
trình này là cơ sở để tính hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử
giam cầm trong bán dẫn khối .
1.2.2: Biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ trong bán dẫn
khối
2
2
0
2
2
2
1
,
0
eE
32
k
q
q k q
k
kq
q
C N n kJ k q k k
m
cE
(1.35)
Biểu thức (1.35), là công thức tổng quát tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
mạnh biến điệu theo biên độ trong bán dẫn khối
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH
9
CHO HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU
THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM)
2.1.Hamiltonian tƣơng tác của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng hợp phần
Siêu mạng hợp phần là loại vật liệu bán dẫn có cấu trúc điện tử chuẩn hai chiều. Do
đó, phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần bị lượng tử hóa. Biểu thức
Hamiltonian tương tác của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng hợp phần khi có mặt trường
sóng điện từ ngoài biến điệu theo biên độ.
,,
,
n
n k n k q q q
n k q
e
H k A t a a b b
c
,'
', ,
, ',
n n z
q n k q n k q q
q n n k
C I q a a b b
(2.1)
+
k
;
q
là trạng thái của điện tử trước và sau tán xạ;
+
k
là năng lượng của điện tử.
+
q
: Tần số phonon âm.
+
,,
;
n k n k
aa
: Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái
,
nk
.
,'
, ', ' ', ' , , ' , ', ' , ', '
; ; ; ; ; 0
nn
n p n p n k n k k k n k n k n k n k
a a a a a a a a
+
q
b
,
q
b
: Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái
q
.
' ' , ' ' '
; ; ; ; ; 0
q q q q q q q q q q
b b b b b b b b
+
k
: Xung lượng của điện tử trong mặt phẳng vuông góc với trục của siêu mạng hợp phần.
+
At
là thế vector của trường điện từ xác định bởi biểu thức:
12
12
1 ( )
( ) sin( ) sin( )
At
E t e t e t
ct
(2.2)
10
22
0
12
1 2 1 1 2 2
2
( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( )
2
e
E t e t e t t t
00
22
1 2 1 2
2
[ sin( ) sin( )] sin( ) sin( )
22
ee
t t t t
0
1 2 1 2
( ) | |
2sin os
2 2 2
e t t
c
1 2 1 2
00
( ) | |
sin os os( )sin( )
22
tt
e c e c t t
Do: ∆Ω=|β
1
-β
2
| <<Ω nên cos(∆Ωt) biến đổi cực chậm so với sin(Ωt), do đó ta có thể coi
cos(∆Ωt) như một hằng số khi sin(Ωt) thay đổi hay lấy tích phân theo t. Như vậy, để thuận
tiện tính toán sau này, ta chuyển:
0
00
os( ) os( ) ( )e c t e c E
00
( ) ( ) os( )E t E c t
0
()
: ( ) os( )
Ec
Suyra A t c t
(2.3)
+
q
C
là hằng số tương tác điện tử-phonon, phụ thuộc vào loại cơ chế tán xạ.
2
2
0
2
q
s
q
C
V
(2.4)
+
,'n n z
Iq
là thừa số dạng điện tử trong siêu mạng hợp phần[11,12], có dạng:
, ' ' z
0
exp iq
d
N
n n z n n
I q z z z dz
(2.5)
+ Phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng :
22
n
//
osk
2
n n n
k
k c d
m
(2.6)
2.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần
Tương tự như cách làm đối với bán dẫn khối, để xây dựng phương trình động lượng tử
cho điện tử trong siêu mạng hợp phần chúng tôi sử dụng phương trình động lượng tử tổng
quát cho toán tử số hạt (hàm phân bố điện tử)
, , ,n k n k n k
t
n a a
:[3]
11
,,
,
,,
,
n k n k
nk
t
n k n k
t
aa
n
i i a a H
tt
(2.7)
ở đây
t
là trung bình thống kê của toán tử
;
w
t
Tr
, (
w
là toán tử ma
trận mật độ). Đặt biểu thức Hamiltonian (2.1) vào (2.7). Các số hạng có trong vế phải (2.7),
lần lượt được tính như sau:
Tính 3 số hạng trong vế phải của (2.7)
Thay các số hạng tính được vào (2.6), ta được phương trình:
, , , ,
12
12
12
2
12
1
// //
,,
cos cos
n k n k q
nn
n
n k n k q
Ft
i
k d k d
t
13
, , , ,
32
12
1 1 1 1
12
12
3
1
12
,
,,
,
n k n k q
nn
q n k q n k q q q
t
nq
ei
k k A t F t C I a a b b b
mc
23
13
12
1 1 1
,
,,
nn
n k n k q q q q
t
I a a b b b
(2.10)
Trước hết ta đi giải phương trình vi phân thuần nhất sau:
12
12
12
1 2 1 2
1 2 1 2
0
, , , ,
0
12
// //
, , , , , ,
()
(cos cos ) ( ) ( )
n k n k q
nn
n
n k n k q n k n k q
Ft
i
t
e
k d k d k k A t F t
mc
(2.11)
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt
12
12
, , , ,
ln ( ) 0
t
n p n p q
Ft
, ta dễ dàng tính được nghiệm của
phương trình thuần nhất trên có dạng:
12
1 2 1
1 2 1 2
2
0
// // 1 1
, , , , , ,
2
i
( ) exp cos cos ( )
t
nn
n
n k n k q n k n k q
e
F t k d k d k k A t dt
mc
(2.12)
Để giải phương trình vi phân không thuần nhất trên ta dùng phương pháp biến thiên hằng số.
Đặt:
1 2 1 2
1 2 1 2
0
, , , , , , , ,
( ) ( )
n k n k q n k n k q
F t M t F t
(2.13)
12
Suy ra:
1 2 1 2
1 2 1 2
12
12
0
, , , , , , , ,
0
, , , ,
( ) ( )
()
( ) ( )
n k n k q n k n k q
n k n k q
F t F t
Mt
i F t i M t i
t t t
(2.14)
Thay (2.13) vào (2.10), thay (2.13), (2.12) vào (2.14) và đồng nhất số hạng của (2.10)
và (2.14) ta được kết quả sau:
1 4 2 3
2 1 2
4 2 1 3
1
1 1 1 1 1 1
43
11
,,
, , , ,
,,
( ) i
( ) ( )
n n z n n z
q n k q n k q q q q n k n k q q q q
t
t
n q n q
Mt
C I q a a b b b C I q a a b b b
t
12
12
12
1
// // 2 1 1
,,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k n k q
e
k d k d k k A t dt
mc
Suy ra:
1 4 2 3
2 1 2
4 2 1 3
1
1 1 1 1 1 1
2
2
43
11
,,
, , , ,
,,
i
( ) ( ) ( )
t
n n z n n z
q n k q n k q q q q n k n k q q q q
t
t
n q n q
M t C I q a a b b b C I q a a b b b
1
12
12
12
1
// // 2 2
,,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k n k q
e
k d k d k k A t dt
mc
(2.15)
Thay kết quả tìm được vào (2.14) ta được kết quả sau:
1 4 2 3
1 2 1 2
1 2 2 4 2 1 3
1
1 1 1 1 1 1
2
2
43
11
,,
, , , , , , , ,
,,
i
( ) ( ) ( )
t
n n z n n z
n k n k q q n k q n k q q q q n k n k q q q q
t
t
n q n q
F t C I q a a b b b C I q a a b b b
12
12
12
2
1
// // 2 2 1 1 2
,,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k n k q
t
ie
k d k d t t k k A t dt dt
mc
(2.16)
Thay (2.16) vào (2.7) ta được:
''
4
4
1 1 1 1
'
2
4
1
,
2
2
,,
,,
,
,
()
1
( ) ( )
t
nk
zz
q q n k q q n k q q q
n n n n
t
nq
nq
nt
C I q dt C I q a a b b b
t
'
3
3
1 1 1 1
2
3
1
,
,
,
,
()
n n z
q n k q q q q
n k q
t
nq
C I q a a b b b
13
'
2
'
// // 2 1 1
,
,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k q
n k q
t
ie
k d k d t t q A t dt
mc
''
4
43
13
1 1 1 1 1 1 1 1
22
43
11
,
, , ,
,,
,,
( ) ( )
n n z z
q n k q q q q q n k q q n k q q q
n k q n n
tt
n q n q
C I q a a b b b C I q a a b b b
'
2
'
// // 2 1 1
,
,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k q
n k q
t
ie
k d k d t t q A t dt
mc
''
4
4
3
1 1 1 1 1 1 1 1
22
43
11
,
, , ,
,,
,,
( ) ( )
n n z z
q n k q q q q q n k n k q q q q q
n k q n n
tt
n q n q
C I q a a b b b C I q a a b b b
'
2
'
// // 2 1 1
,
,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k q
n k q
t
ie
k d k d t t q A t dt
mc
''
3
43
4
1 1 1 1 1 1 1 1
22
43
11
,
, , ,
,,
,,
( ) ( )
z n n z
q n k n k q q q q q q n k q q q q
n n n k q
tt
n q n q
C I q a a b b b C I q a a b b b
'
2
'
// // 2 1 1
,
,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k q
n k q
t
ie
k d k d t t q A t dt
mc
(2.17)
Toán tử số hạt của điện tử:
2
2
, , ,
()
n k n k n k
t
n t a a
' ' '
2
2
, , ,
()
n k q n k q n k q
t
n t a a
Toán tử số hạt của phonon:
q q q
t
N b b
1
q q q
t
N b b
Do tính đối xứng mạng tinh thể nên
qq
và
Bỏ qua số hạng chứa
t
bb
và
t
bb
Khi đó phương trình (2.18) được viết lại dưới dạng:
''
'
2
2
,
2 2 2
2
,
,,
,
()
1
( ) ( ) ( ) 1
t
nk
z
q n k q q
n n n k q
nq
nt
C I q dt n t N n t N
t
14
'
2
'
// // 2 1 1
,
,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k q
n k q
t
ie
k d k d t t q A t dt
mc
'
'
2
22
,
,
'
// // 2 1 1
,
,
( ) 1 ( ) *
i
*exp cos cos ( )
n k q q
n k q
t
nn
n
n k q
n k q
t
n t N n t N
ie
k d k d t t q A t dt
mc
'
'
2
22
,
,
'
// // 2 1 1
,
,
( ) ( ) 1 *
i
*exp cos cos ( )
q n k q
n k q
t
nn
n
n k q
n k q
t
n t N n t N
ie
k d k d t t q A t dt
mc
'
'
2
22
,
,
'
// // 2 1 1
,
,
( ) 1 ( ) *
i
*exp cos cos ( )
q n k q
n k q
t
nn
n
n k q
n k q
t
n t N n t N
ie
k d k d t t q A t dt
mc
(2.19)
Chú ý
22
1
12
1
12
0
1 1 1 1 2 2 1
* * 2
0
1 1 2 1
*2
0
1 2 1 2
11
*2
[ os( ) os( )]
2
[sin( ) sin( )]
2
os( )sin( )]
22
tt
tt
tt
tt
tt
tt
cq E
ie ie
q A t dt c t c t dt
m c m c
qE
i t t
m
qE
i c t t
m
(2.20)
Đặt
12
1
||
2
. Với sóng điện từ có tần số biến điệu nhỏ so với tần số sóng tức là
12
1
( ( ))
2
, thì trong thời gian lấy tích phân là ngắn, có thể đưa gần đúng
2
os( ) os( ) os( )c t c t c
vào (2.20) ta thu được:
2
11
*
()
(sin( ) sin( ))
t
t
ie
q A t dt i t t
mc
(2.21)
Trong đó:
0
*
os( )
()
eq E c
m
Từ đây, chúng tôi nhận được:
15
2
2
00
,
,'
2 2 2
,
',
eE eE
exp '
t
n k t
n n l s
q
ls
nq
n
i
C I J J i s l dt
t m m
n' n
// //
', ,
exp osk osk
n
n k q n k q
i
c d c d l i
, ',
' ' ' 1
n k q n k q q
t t n t N n t N
n' n
// //
', ,
exp osk osk
n
n k q n k q
i
c d c d l i
, ',
' ' 1 '
n k q n k q q
t t n t N n t N
n n'
// //
, ',
,
',
1
exp osk osk
' ' ' 1
n
n k n k q
q
q
nk
n k q q
c d c d l i
t t n t N n t N
n n'
// //
, ',
1
exp osk osk
n
n k n k q q
c d c d l i
', ,
' ' 1 '
n k q q n k q
t t n t N n t N
(2.22)
Biểu thức (2.22) là phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng
hợp phần. Việc giải phương trình (2.22) trong trường hợp tổng quát rất khó khăn và phức tạp.
Do đó, chúng tôi sử dụng phương pháp gần đúng lặp liên tiếp[17], cụ thể chúng tôi đặt:
', ', ',
', ', ',
;;
n k n k q n k q
n k n k q n k q
n t n n t n n t n
. (2.23)
Tích phân hai vế phương trình (2.22) theo t’, sau đó theo t, ta được:
00
2
2
,'
2 2 2
,
,
,'
1
exp
q
n n l l s
nk
ls
qn
eE q eE q
n t I C J J is t
m m s
, ', , ',
'
1
1 ( 1)
( ) ( ) ( ) ( )
n k n k q n k n k q
q q q q
n n n
n
n N n N n N n N
k q k l i k q k l i
16
', , ', ,
''
11
( ) ( ) ( ) ( )
n k q n k n k q n k
q q q q
nn
nn
n N n N n N n N
k k q l i k k q l i
(2.24)
Ở đây,
,nk
n
(
NN
) là hàm phân bố cân bằng điện tử (phonon). Phương trình (2.24) là
biểu thức giải tích hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong siêu mạng hợp phần.
Phương trình này là cơ sở để tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam
cầm trong siêu mạng hợp phần ( trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm). Tiếp theo, từ biểu
thức (2.24), chúng tôi thiết lập công thức tính hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo
biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần.
2.3. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam
cầm trong siêu mạng hợp phần.
Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh được xác định bởi công thức:[11,21,22,25]
0
2
0
8
( )sin
t
J t E t
cE
(2.25)
Mật độ dòng hạt tải:
2
, , ,
, , ,
n k n k n k
n k n k n k
e e e e
J t k A t n A t n k n
m c m c m
(2.26)
Với thế véc tơ của trường điện từ có dạng:
00
os( ) ( )
( ) os( ) os( )
E c c E c
A t c t c t
(2.27)
Đặt
,
0
,
nk
nk
nn
là mật độ điện tử trong siêu mạng hợp phần, biểu thức vector mật độ dòng
được viết lại:
2
0
0
,
,
os
nk
nk
e n E c t
e
J t k n
mm
(2.28)
Đặt (2.28) vào (2.25), ta được:
17
00
2
0
0
,
2
,
0
os
8
sin sin
nk
nk
t
t
e n E c t
e
E t k n E t
mm
cE
(2.29)
Tính các số hạngt của (2.29).
Đổi biến,
k k q
;
kk
qq
;
'nn
và sử dụng
1
i
x i x
ta thu
được phần thực của :
'
'
,,
22
*
,
,
1
,,
,
0 0 0
* 2 * 2 * 2
21
( ) sin( ) | | | ( ) |
( 1)
n k n k q
z
n k q
nn
s
n k q k
nn
l l s l s
l
ee
k n t s t k C q I q
m m l
eE q eE q eE q
J J J n N n N
m m m
1
( ) ( )
nn
q
k q k l
(2.32)
Kết hợp (2.32) và sử dụng
0
0 s 1
sin( )sin( )
s 1
2
T
khi
t s t dt
T
khi
Thu được
,,
1
2
2
0
,'
*2
, ' 1
,
0
0 0 0
* 2 * 2 * 2
8
( ) | | ( )
()
( 1) ( ) ( )
n k n k q
n n z
q
n n l
kq
l l s l s
nn
q q q
e
E q C I q
c m E
eE q eE q eE q
J J J
m m m
n N n N k q k l
(2.33)
Ta có
1
q
N
và
B
q
s
kT
N
q
. Dùng tính chất của hàm Bessel
11
2
( ) ( ) ( )
l l l
l
J x J x J x
x
và
thay hằng số tương tác điện tử - phonon âm ở (2.4) vào (2.33) ta thu được hệ số hấp thụ α( với
l=1 cho trường hợp hấp thụ 1 photon)
18
'
,
22
2
0
2
,'
*2
22
, ' 1
,
0
4 ( )
()
()
( ) ( )
nk
B
n n z l
n n l
kq
s
n
q
n
k T eE q
I q J
m
cE
n k q k
(2.34)
Hệ số hấp thụ α cho bởi (2.34) chính là biểu thức giải tích tổng quát của hệ số hấp thụ sóng
điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (trường
hợp tán xạ điện tử - phonon âm).
Trƣờng hợp hấp thụ gần ngƣỡng
3
2 2 2 2
22
2
n' n
0
, ' // //
2
2 3 6
, ',,
'
.
1
exp osk osk
2
B
n n n
n n q
B
s
nn
e m n k T
I c d c d
k T m L
c
2 2 2
2
2
0
24
3 os ( )
exp 1 1 3 12
2 32
BB
B B B
e E c
k T k T
k T k T m k T
(2.40)
Trong đó,
2 2 2 2
n' n
// //
2
'
osk osk
2
n
nn
c d c d
mL
Biểu thức (2.40) là công thức tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến
điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần cho trường hợp hấp thụ gần
ngưỡng. Biểu thức (2.40) không chỉ cho thấy sự phụ thuộc phi tuyến của hệ số hấp thụ α vào
nhiệt độ T, biên độ sóng điện từ mạnh E
0
, tần số sóng điện từ Ω mà còn cho thấy sự phụ thuộc
của hệ số hấp thụ vào tần số biến điệu ∆Ω và thời gian(
)
CHƢƠNG 3
3.1: TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ CHO SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
GaAs - Al
0.3
Ga
0.7
As
Trong phần tiếp theo, chúng tôi thực hiện tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý
thuyết hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh cho siêu mạng hợp phần GaAs- Al
0.3
Ga
0.7
As.
Các tham số được sử dụng để tính toán như sau:
= 10:9;
0
= 12:9; n
0
= 10
23
m
-3
;
19
9
0
10
36
, m = .067m
0
(m
0
là khối lượng hiệu dụng của điện tử); d=134
0
A
, là chu kỳ của siêu
mạng;
0
=36.25meV;
3
5320 /kg m
;
5370 /
s
ms
;
0.85.300
n
meV
; e=
2.07e
0
, e
0
= 1.6.10
-19
C, E
0
= 3.5.10
14
V/cm.
34
1.054599 10 .Js
;
= 2.10
14
s
-1
.
Hình 3.1. Sự phụ thuộc của
vào T (tán xạ điện tử-phonon âm)
Hình 3.2: Sự phụ thuộc của
vào năng lượng điện trường
(tán xạ điện tử-phonon âm)
20
Hình 3.3: Sự phụ thuộc của
vào tần số sóng
(tán xạ điện tử-phonon âm)
Hình 3.4: Sự phụ thuộc của
vào tần số biến điệu ∆Ω
3.2: BÀN LUẬN
Kết quả thu được đã cho thấy, giữa bán dẫn siêu mạng và bán dẫn khối có sự khác nhau cơ
bản về sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng điện từ vào các thông số của hệ. Cụ thể, sự phụ
thuộc của hệ số hấp thụ sóng điện từ của hai loại vật liệu này vào cùng một thông số của hệ
(nhiệt độ T, cường độ điện trường E,…) khác nhau. Có sự khác biệt này là do ở bán dẫn khối
các điện tử trong hệ hoàn toàn chuyển động tự do theo mọi hướng trong vật liệu, nhưng đối
21
với siêu mạng hợp phần thì chuyển động tự do của các điện tử trong hệ bị hạn chế (các điện tử
chỉ chuyển động tự do trên mặt phẳng siêu mạng, bị lượng tử theo trục siêu mạng). Đây chính
là nguyên nhân dẫn đến sự khác biệt của siêu mạng hợp phần với bán dẫn khối.
Mặt khác trong trường hợp biên độ sóng điện từ biến điệu theo thời gian thì ngoài phụ
thuộc vào các đại lượng như nhiệt độ T, cường độ E
0
, tần số sóng Ω, tần số biến điệu
∆Ω…còn biến thiên một cách tuần hoàn theo thời gian.
KÊT LUẬN
Luận văn nghiên cứu sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ
bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần GaAs - Al
0.3
Ga
0.7
As (trường hợp tán xạ điện
tử - phonon âm) và thu được kết quả như sau:
1.Từ Hamiltonian của hệ điện tử - phonon, đã thiết lập được phương trình động
lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần khi có mặt sóng điện từ mạnh biến
điệu theo biên độ. Bằng phương pháp gần đúng lặp đã thu được biểu thức phụ thuộc thời gian
của hàm phân bố không cân bằng của điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần.
2. Từ biểu thức hàm phân bố không cân bằng của điện tử đã xây dựng được biểu
thức giải tích cho hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện
tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần cho trường hợp tán xạ điện tử -phonon âm. Từ đó xây
dựng biểu thức hệ số hấp thụ trong trường hợp cụ thể “hấp thụ sóng điện từ gần
ngưỡng
q
s
”. Đã phân tích được sự phụ thuộc không tuyến tính của hệ số hấp
thụ vào cường độ sóng điện từ E
0
, tần số Ω và tần số biến điệu ∆Ω của sóng điện từ, nhiệt độ
T và vào cả thời gian.
3. Thực hiện tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu mạng hợp phần. Từ kết quả tính số
và vẽ đồ thị đã chỉ ra rằng:
-Hệ số hấp thụ giảm phi tuyến khi nhiệt độ tăng, đặc biệt giảm mạnh từ 250K tới
290K. Ngoài ra hệ số hấp thụ còn biến đổi tuần hoàn theo thời gian.
-Hệ số hấp thụ gần như không thay đổi khi biên độ sóng điện từ nhỏ, nhưng biến đổi
gần như tuần hoàn theo thời gian khi biên độ sóng điện từ lớn.
22
References
Tiếng Việt
1. Nguyễn Quang Báu, Đỗ Quốc Hùng, Vũ Văn Hùng, Lê Tuấn (2010), “Lý
thuyết bán dẫn”, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà nội.
2. Nguyễn Quang Báu, Hà Huy Bằng (2002), “Lý thuyết trường lượng tử cho hệ
nhiều hạt”, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà nội.
3. Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (1998), “Vật lý thống
kê”, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà nội.
4. Nguyễn Quang Báu (1998), “Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh biến điệu lên
sự hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn”, Tạp chí vật lý, VIII (3-4), tr. 28-35.
5. Nguyễn Quang Báu, Nguyễn Vũ Nhân, Phạm Văn Bền (2010), Vật lý bán dẫn
thấp chiều, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, Hà nội.
6. Nguyễn Quang Báu (1998), “Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh biến điệu lên
sự hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn”, Tạp chí Vật lý, VIII (3-4), tr. 28-33.
7. Nguyễn Xuân Hãn (1998), “Cơ sở lý thuyết trường lượng tử”, Nhà xuất bản
Đại học Quốc gia Hà nội.
8. Nguyễn Văn Hùng (2000), “Lý thuyết chất rắn”, Nhà xuất bản Đại học Quốc
gia Hà nội.
9. Nguyễn Vũ Nhân (2002), “Một số hiệu ứng cao tần gây bởi trường sóng điện
từ”. Luận án tiến sỹ vật lý.
10. Tran Cong Phong, (1997), “cấu trúc và các tính chất quang trong hố lượng tử
và siêu mạng bán dẫn”. Luận án tiến sỹ vật lý.
11. Lương Văn Tùng (2008), “Một số hiệu ứng cao tần trong bán dẫn siêu mạng”.
Luận án tiến sỹ vật lý
12. Đinh Quốc Vương (2007), “Một số hiệu ứng động và âm-điện tử ”. Luận án
tiến sỹ vật lý.
Tiếng Anh
13. Abouelaoualim (1987), “Electron-confined LO-phonon scattering in GaAs-
Al
0.45
Ga
0.55
As superlattice”, Pramana Journal of Physics, Vol. 66, p. 455.
23
14. Ayhan Özmen, Yusuf Yakar, Bekir Çakýr, Ülfet Atav (2009), “Computation of
the oscillator strength and absorption coefficients for the intersub-band transitions of the
spherical quantum dot”, Opt. Communications. 282, p. 3999.
15. Blencowe M. and Skik A. (1996), “Acoustic conductivity of quantum wires”,
Phys. Rev. B 54, p. 13899.
16. Do Manh Hung, Nguyen Quang Bau, Hoang Dinh Trien, Nguyen Thi Nhan
(2008), “Calculations of The Nonlinear Absorption Coefficient of a Strong Electromagnetic
Wave by Confined Electrons in the Compositional Super- lattices”, VNU Journal of Science,
Mathematics Physics., No. 24, 1S, p. 236.
17. Epstein E. M. (1975), “Interaction of intensive electromagnetic wave on
electron properties of semiconductors”, Communications of HEE of USSR, ser. Radio
Physics, 18, p. 785.
18. I. Karabulut, and S. Baskoutas, (2008) “Linear and nonlinear optical
absorption coefficients and refractive index changes in spherical quantum dots: Effects of
impurities, electric field, size, and optical intensity”, J. Appl. Phys., Vol. 103, 073512.
19. Nguyen Quang Bau, Do Manh Hung and Dang The Hung “The Influence of
Confined Phonons and Electrons on the Absorption coefficient of a Weak Electromagnetic
Wave by Free Electrons in Quantum Wells”. In Osaka Univ. Asia Pacific-VNU, p. 259.
20. Nguyen Quang Bau, Nguyen The Toan, Chhoumm Navy, Nguyen Vu Nhan
(1995), “The influence of quantizing magnetic field on the absorption of a weak
electromagnetic wave by free electrons in semiconductor superlattices”, Proceed. Secon.
IWOMS-95, Hanoi, Vietnam, p. 207.
21. Nguyen Quang Bau, Nguyen The Toan, Chhoumm Navy, and Tran Cong
Phong (1996), “The theory of absorption of weak electro-magnetic wave by free electrons
in semiconductor superlattices”, Communications in Physics, 6(1), p. 33.
22. Nguyen Quang Bau, Tran Cong Phong (1998), “Calculations of the
Absorption Coefficient of a Weak Electromagnetic Wave by Free Carrier in Quantum Wells
by the Kubo-Mori Method”, J. Phys. Soc. Japan, 67, p. 3875.
23. Nguyen Hong Son and Nazareno H. N. (1996), “Hopping conduction in
semiconductor supperlattices in a quantized magnetic field”, Phys. Rev B, 53(12), pp. 7937-
7944.
24
24. Ploog K., Dholer G. H. (1983), “Compositional and doping superlattices in III-
V semiconductors”, Advances in Physics, 32(3), p. 285.
25. P. Vasilopoulos, M. Charbonneau and C. M. Van Vliet (1987), “Linear and
nonlinear electrical conduction in quasi two- dimensional quantum wells”, Phys. Rev. B, Vol.
35, p.1334.
