Moment từ dị thường của electron và phương pháp pauli villars trong điện động lực học lượng tử
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (431.2 KB, 15 trang )
Moment từ dị thường của electron và phương
pháp Pauli-Villars trong điện động lực học
lượng tử
Trần Anh Bình
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Luận văn ThS chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán; Mã số: 60 44 01
Người hướng dẫn: GS. TSKH Nguyễn Xuân Hãn
Năm bảo vệ: 2012
Abstract: Nghiên cứu phương trình Pauli và moment từ của electron: phương trình Pauli
– villars; phương trình Dirac; các bổ chính. Trình bày các giản đồ Feynman cho đóng góp
vào moment từ dị thường của electron. Xuất phát từ Lagrangce tương tác của electron với
trường ngoài ta nêu vắn tắt các xây dựng S-matrận; phân tích các giản đồ Feynman trong
gần đúng một vũng đóng góp cho moment từ dị thường của electron; ý nghĩa vật lý của
hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương đối tính. Tìm hiểu moment từ dị
thường của electron trong gần đúng một vũng: bổ chính cho moment; moment dị thường.
Keywords: Vật lý toán; Phương trình vật lý toán; Phương trình Pauli; Động lực học
lượng tử
Content
MỞ ĐẦU
Lý thuyết lượng tử về tương tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi là điện động lực
học lượng tử QED, đã được xây dựng khá hoàn chỉnh. Sự phát triển của QED liên quan đến
những đóng góp của Tomonaga, J. Schwinger, R. Feynman. Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp
biến do tác giả đã nêu cùng với việc tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron, QED đã
lý giải thích thành công các quá trình vật lý qua tương tác điện từ, cả định tính lẫn định lượng. Ví
dụ như sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặc moment từ dị
thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùng nhau với độ chính
xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/
Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng cho moment từ dị
thường của electron trong QED. Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trình tính toán giản đồ Feynman,
ta sử dụng phương pháp điều chỉnh Pauli-Villars.
Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương, Kết luận, một số phụ
lục và tài liệu tham khảo.
CHƢƠNG 1
PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ ELECTRON
Phương trình Pauli và số hạng tương tác giữa moment từ của electron với trường điện từ ngoài
có thể thu được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trình Schrodinger bằng cách kể thêm
spin của electron và tương tác của moment từ với trường ngoài được giới thiệu ở mục $1.1; ii/
Từ phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tương
đối tính ở gần đúng bậc
v
c
ta có phương trình Pauli cho electron với moment từ. Nghiên cứu
các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng phép biến
đổi Fouldy-Wouthuyen.
1.1. Phƣơng trình Pauli
Phương trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trường điện từ ngoài với
điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng của hạt. Kết quả để cho hàm sóng
,,
z
r s t
là một spinor hai thành phần
1
2
,,
2
,,
,,
2
z
rt
r s t
rt
(1.1)
Vì hạt có spin nên nó có momen từ. Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann momen từ của hạt với
spin bằng
2
.
0
,
(1.2)
0
- là magneton Bohr, còn
là các ma trận Pauli. Khi đăt hạt vào trường điện từ ngoài, ta có
thêm năng lượng tương tác phụ.
0
0
2
e
e
U H s sH
mc m c
(1.3)
Hamiltonian của phương trình Schrodinger có dạng
2
0
()
2
p
H U r
m
(1.4)
Nếu hạt ở trong trường điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế dưới đây trong
phương trình Schrodinger
0
0
e
p p A
c
E E e
(1.5)
Kể thêm spin của hạt thì phương trình mô tả phải có thêm một năng lượng phụ
0
0
2
e
U H sH
mc
. Kết quả ta thu được phương trình
2
00
0
00
,,
1
,,
22
z
z
r s t
ee
i p A e r U r sH r s t
t m c m c
(1.6)
ở đây
r
,
()Ar
là thế vô hướng và thế véc tơ của trường điện từ. Phương trình (1.6) là
phương trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích được hiệu ứng Zeemann.
1.2. Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng ngoài trong giới hạn phi tƣơng đối tính
Xuất phát từ phương trình Dirac cho electron trong trường ngoài ở dạng chính tắc ta có:
02
0
00
()
()
e
x
i c p A e A m c x
tc
(1.7)
Để nghiên cứu giới hạn phi tương đối tính cho phương trình (1.7), thuận tiện ta viết các spinor
hai thành phần
13
24
,,
u
ud
d
(1.8)
Như vậy, phương trình (1.7) sẽ biến thành hệ phương trình
02
0
00
02
9
00
u
du
d
ud
e
i c p A e A m c
tc
e
i c p A e A m c
tc
(1.9)
Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dưới” (hai thành phần dưới). Kể
thêm
2
0 ( ) 2 ( )
0 , 0 ,
2
1
u d u d
v
i e A m c O
tc
(1.10)
Phương trình thứ hai của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm dương (+)
2
()
0
2
0
2
du
e
v
p A O
m c c c
(1.11)
Còn phương trình đầu của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm âm (-)
2
( ) ( )
0
2
0
2
ud
e
v
p A O
m c c c
(1.12)
Điều này có nghĩa như sau: trong trường hợp nghiệm dương thì spinor
d
liên hệ với
u
và
trong trường hợp nghiệm âm thì spinor
u
liên hệ với
d
thừa số
v
c
.
Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phương trình Dirac
2
3
20
0
3
00
1
ˆ
,
22
0
ˆ
0
nr
nr
iH
t
e e v
H m c p A eA B O
m c m c c
(1.13)
đúng đến bậc
2
2
v
c
cùng với toán tử và tự liên hợp .
nr
H
. Nếu chúng ta giới hạn ở nghiệm
dương, có nghĩa hai thành phần đầu , thì phương trình này với độ chính xác
2
0
mc
trùng với
phương trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trường điện từ ngoài Thật đáng chú ý đặc biệt ở
chỗ quá trình giới hạn phi tương đối tính hóa của phương trình Dirac ở trường ngoài sẽ tự động
dẫn đến số hạng tương tác
MB
giữa moment từ (hay spin ) của hạt với từ trường ngoài, trong
đó electron có moment từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn
()
00
,2
22
e
e eg
M S g
m c m c
(thừa số Lande) (1.14)
Ngược lại trong phương trình Pauli số hạng này đưa vào phương trình theo kiểu hiện tượng luận
– “đưa vào bằng tay”.
Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lưu ý các biểu thức để cho mật độ xác suất và
mật độ dòng xác suất tương ứng với phương trình (1.16) với độ chính xác
2
2
v
c
.
† † † †
2
,
2
ie
jA
im c
(1.15)
Chúng liên hệ với nhau bằng phương trình liên tục
/0tj
và trong trường hợp nghiệm
dương , các biểu thức này trùng với công thức của lý thuyết phi tương đối tính.
1.3. Các bổ chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli
Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac ở trường điện từ
ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc
2
2
v
c
và sai sót trong Hamilton ở bậc
3
3
v
c
.
Để đơn giản ta bắt đầu tử bậc
/vc
và phương trình Dirac ở dạng
2
0
0,m c K K
(1.16)
cùng
22
0
2 2 2
0
1
(1) ,
vv
i eA O O O
m c t c c
(1.17)
và
2
0
c e v
p A O
m c c c
(1.18)
Sử dụng việc chọn phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thích hợp
, ,
iS iS
U e U e
với mục
đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó
cao hơn và cao hơn bậc
/vc
sao cho không
động chạm đến điều nó sẽ đưa đến chéo hóa toán tử K đúng đắn tới bậc
/vc
. Như vậy sau
phép biến đổi thứ nhất, ta thu được
21
0
0, ,m c K U K UKU
(1.19)
23
23
,,
vv
K O O
cc
(hay cao hơn) (1.20)
Và phép biến đổi thứ hai ta có
21
0
0, ,m c K U K U K U
(1.21)
25
25
,,
vv
K O O
cc
(hay cao hơn) (1.22)
Chúng ta có thể nghiên cứu lại phép khai triển Baker-Hausdorff cùng với phép thay thế cho việc
tính toán
3
cho việc tính toán kết quả K. Điều này sẽ dẫn đến
K
(1.23)
cùng
2 6 12 8
2 6 12 8
2 4 2
2
1
, ,
2 8 8
v v v v
O O O O
c c c c
v
O
c
(1.24)
với
35
5
, , , ,
3 2 48
v
O
c
(1.25)
Như ta đã thấy
bây giờ đã nâng lên hai bậc
/vc
. Từ đây chúng ta nhận được toán tử
K
đúng đến bậc
3
3
v
c
, đúng trong phương trình Pauli
Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phép biến đổi
Fouldy –Wouthuyen thứ hai với
K
cùng
,
2
iS
i
U e S
(1.26)
Từ đây suy ra
K
(1.27)
cùng với
2 6 12 8
2 6 12 8
2 4 2
2
1
, ,
2 8 8
v v v v
O O O O
c c c c
v
O
c
(1.28)
và
35
5
, , , ,
3 2 48
v
O
c
(1.29)
Bỏ qua tất cả các số hạng
5
5
v
O
c
(hay cao hơn) ta nhận được toán tử chẵn
2 4 5
5
1
,,
2 8 8
v
KO
c
(1.30)
Cuối cùng kết quả dẫn đến phương trình Dirac
iH
t
(1.31)
TỔNG KẾT
- Phương pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ thích hợp cho các trường hợp, thứ nhất phép khai triển
/vc
là hội tụ; thứ hai là cách giải thích một hạt được chấp nhận.
Hamiltonian của phương trình có dạng
2
1
2
H p eA e H
m
H
mô tả tương tác của moment từ riêng
với từ trường ngoai
H
. Hạt có spin bằng ½ có điện
tích e, sẽ có moment từ
0
2
ee
S
mc mc
Theo lý thuyết Dirac moment từ của electron có dạng
0
2
e
mc
- magneton Bohr
Theo thực nghiệm phát hiện moment từ dị thường của electron
0
1 a
0
a
- gọi là phần dị thường – không thể giải thích trong cơ học lượng tử, vì chân không ở đây là
chân không toán học - không có gì. Trong QED ta xem xét dưới đây là chân không vật lý - chân
không có hạt ảo và kể thêm tương tác của hạt với chân không vật lý.
CHƢƠNG 2
CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP
VÀO MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON
2.1. S-ma trận
Quá trình tán xạ được mô tả bằng S-ma trận /1/
ex
int int
01
int
4
44
exp ; ;
1; ;
t
ext
S T L x d x L x ieN A
S S T L x d x T ie N A x d x
(2.1)
Yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến có thể
viết:
2 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1
2 1 2 1
| | | | | | | |
4
|
||
p S p p S p p S p p S p
ext
p p ieT p N A x d x p
(2.2)
trong đó
12
,pp
là các xung lượng ở trạng thái đầu và trạng thái cuối của electron. Quá trình tán
xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman. Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất
(a) theo điện tích e, và các giản đồ Feynman tiếp theo mô tả các bậc cao (bổ chính) cho quá
trình tán xạ này (xem Hình 1).
(a) (b1) (b2)
(b3) (b4)
Hình 1. Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn
hiệp biến trong gần đúng một vòng
Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với giản đồ Hình 1. (a)
theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:
2 1 0 2 1
4
1
|| | ( ) ( ) ( )|
ext
p S p e d xb p N x x A x p
. (2.3)
Xét yếu tố ma trận:
2 1 2 1 2 1
| | || 0 |0 0 |0
N c cp p p c p p c p
2 1 2 1
||0 |0 0 |0ccp c p p c p
(2.4)
Khi chuyển các toán tử sinh electron
1
()cp
từ phải sang trái và chuyển các toán tử hủy
electron
2
()c p
từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ tư của (2.6) bị triệt tiêu
chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma trận.
( ) ( )
2 1 2 1
||| 0 |0Ncp p p c p
21
1
2
3
10 20
2
21
.
1
2
i p p x
m
u p u p
pp
e
(2.5)
Ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của electron ở trường điện từ ngoài
trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :
0
2 1 0 2 1 2 1
1
2
ex
10 20
2
1
||
t
m
p S p e u p u p A p p
pp
, (2.6)
trong đó:
1
up
: spinor của electron ở trạng thái đầu ;
22
4
.u p u p
;
21
ex ex 4
21
i p p x
tt
A p p e A x d x
là thế điện từ ngoài .
2.2. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thƣờng
Để kể thêm các bổ chính bậc cao, thì chúng ta cần thay
21
uu
bằng đại lượng tổng quát hơn
mà nó tương ứng với các giản đồ Feynman mà ta gọi là các giản đồ đỉnh. Những giản đồ này
được chia làm hai loại: loại giản đồ đích thực và loại giản đồ không đích thực
1
. Các giản đồ đích
thực trước đây được gọi là « một hạt bất khả quy » được kết nối với nhau mà ta không thể tách
làm hai phần bằng việc cắt bỏ một đường trong. Các giản đồ không đích thực được lồng vào các
đường ngoài của giản đồ và chúng cho đóng góp vào việc tái chuẩn hóa lại khối lượng của các
đường ngoài, tương ứng với các hạt ngoài.
Lấy tổng các giản đồ đỉnh đích thực, bỏ qua các hàm sóng ngoài, ta xác định « phần đỉnh
đích thực »
1 2 1 2
,,p p p p
(2.7)
trong đó
là đỉnh « trần » , còn
12
,pp
được xác định bằng tập hợp các giản đồ Hình 1.
Tiết diện tán xạ ở bậc nhất theo trường ngoài cùng với tất cả các bổ chính được kể đến, được xác
định bằng, mà trong đó ta thay
21
uu
bằng
21
uu
.
2.3. Hệ số dạng điện từ
Bỏ qua việc chuẩn hóa các hàm sóng ngoài , thì hàm đỉnh
2 1 2 1
,,p p p p
(2.8)
trong đó số hạng
là đỉnh “trần” , còn
21
,pp
được xác định bởi tập hợp các giản đồ.
Tiết diện tán xạ ở gần đúng bậc nhất với trường ngoài, cùng với các bổ chính thì biểu thức
21
u p u p
được thay thế bằng
2 2 1 1
,u p p p u p
.
Bằng lập luận bất biến Lorentz, chúng ta viết lại toán tử đỉnh dưới dạng
22
2 1 1 2
1
,
2
p p F k F k i
m
(2.9)
Sử dụng sự khai triển của Gordon
1
Tiếng Anh là từ « proper » và « improper » - tiếng Nga gọi là « Compact » và « không
Compact », có thể gọi « thích hợp » hay « không thích hợp ».
2 1 2 1
1
2
u u u P i k u
m
(2.10)
Ta có thể viết
22
2 2 1 1 2 1 2 1
1
,
2
u p p u u F k P i k F k i k u
m
=
21
1
2
EM
u F P F i k u
m
(2.11)
Hai thừa số dạng
1E
FF
;
12M
F F F
(2.12)
tương ứng với với hệ số dạng điện và hệ số dạng từ.
Bây giờ ta chọn trường ngoài là từ trương tĩnh
B
với
0
0,
2
B
A A r
. Ta có
12
.
ext ij
ij
A P i k A p p iA k
(2.13)
Số hạng đầu không cho đóng góp vào giới hạn. Số hạng thứ hai có thể biến đổi như sau
. . .
ij i jk ij
i j i j
A k A k A k A i i B
(2.14)
như vậy
3
2 1 1 10 20 2 1
| | 2 .
ikr
ie
p S p p p d r e u S Bu
m
(2.15)
trong đó
2S
. Công thức này mô tả tán xạ của hạt với moment từ
0
e
S
m
(2.16)
mà nó là moment Dirac, cùng với g thừa số 2
Bây giờ xem số hạng
2
F
ở phần đỉnh . Yếu tố S-ma trận để cho tán xạ phía trước trong từ
trường ngoài ở gần đúng phi tương đối tính bằng
3
0
2 2 1 2 10 20 2 1
| | 0 2 .
ikr
e
p S p F i p p d re u S Bu
m
(2.17)
mà nó mô tả hiệu ứng của moment từ bổ xung
0
12
0
e
FS
m
(2.18)
Số hạng này gọi là moment từ dị thường . Tổng moment như vậy bằng
2
1
0
1
0
F
e
S
mF
(2.19)
Và nhân tử g được xác định
2
1
0
21
0
F
g
F
Thừa số 2 xuất phát từ việc biểu diễn moment từ qua đơn vị magneton
/2e mc
.
CHƢƠNG 3
BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG
Trong Luận văn này tôi sử dụng phương pháp điều chỉnh Pauli-Villars và cuối cùng tôi
thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm. Trong mục.3.1 tôi trình bày tính toán bổ chính cho
moment từ trong gần đúng một vòng bằng phương pháp điều chỉnh Pauli-Villars.
3.1. Bổ chính cho moment dị thƣờng trong gần đúng một vòng
Từ giản đồ Feynman bậc hai trong Hình 1 ta có
2
12
4
0
12
4
22
2 2 2
12
ˆ ˆ ˆ ˆ
( , )
2
p q m p q m
ie
p p d q
q i p q m i p q m i
(3.1)
Trong bản Luận văn này tôi sử dụng phương pháp điều chỉnh Pauli-Villars vì nó thông dụng
trong lý thuyết trường hiện đại.
Để làm tăng bậc theo q ở mẫu số ta đưa vào khối lượng phụ trợ M
2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 M
q i q i q M i
q i q M i
(3.2)
Ta được
24
12
2
12
4
22
2 2 2 2 2
12
ˆ ˆ ˆ ˆ
( , )
2
p q m p q m
M d q
p p ie
p q m i p q m i q M i q i
1
11
42
2
4
4
0 0 0
6
2
xy
x
d q M N
ie dx dy dz
D
(3.3)
Với
2
2 2 2 2
D q m x y xyk M z i
(3.4)
2
2 2 2
2 1 1 4 1 2 1 1
N m x y x y x y k q
2 (1 )( )im k x y x y
(3.5)
Ta được
12
( , )pp
11
1 1 1 1
44
22
44
0 0 0 0 0 0
6 6 2
22
x y x y
xx
d q d q
ie dx dy Adz ie dx dy im k Bdz
Trong đó
2
2 2 2 2
4
2
2 2 2 2
2 1 1 4 1 2 1 1M m x y x y x y k q
A
q m x y xyk M z i
(3.6)
2
4
2
2 2 2 2
(1 )( )M x y x y
B
q m x y xyk M z i
(3.7)
Do đó
1
11
4
2
12
4
0 0 0
( , ) 6
2
xy
x
dq
p p ie dx dy Adz
1
11
4
2
4
0 0 0
12
2
xy
x
dq
ime dx dy i k Bdz
(3.8)
Mặt khác
22
1 2 1 2 1 2
( , ) ( , ) 1 ( ) ( )
2
ik
p p p p F k F k
m
nên
1
11
4
22
1
4
0 0 0
( ) 6
2
xy
x
dq
F k ie dx dy Adz
(3.9)
1
11
4
2 2 2
2
4
0 0 0
( ) 24
2
xy
x
dq
F k im e dx dy Bdz
(3.10)
Tính tích phân
2
F (0)
Ta được
11
22
2
22
00
1
(0)
48
x
e x y e
F dx dy
xy
(3.11)
3.2. Moment từ dị thƣờng cùng với các bổ chính lƣợng tử
Theo công thức (2.33) tổng moment từ của electron bằng
2
1
0
1
0
F
e
S
mF
(3.12)
trong thừa số g được xác định bằng công thức (2.34)
2
1
0
21
0
F
g
F
(3.13)
ta có thể thay thế
21
00FF
bằng
2
0F
, và
0
e
bằng
e
, khi
2
10
01F O e
. Như vậy ta
có
21
2
g
(3.14)
KẾT LUẬN
Trong Bản Luận văn Thạc sỹ khoa học chúng tôi nghiên cứu moment từ dị thường
của electron trong điện động lực học lương tử. Việc tính bổ chính cho moment từ dựa vào lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến qua giản đồ Feynman. Những kết quả chủ yếu của Luận văn Thạc sỹ
bao gồm
1/ Phương trình Pauli chưa số hạng tương tác giữa moment từ của electron với từ trường
ngoài, nhận được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trình Schrodinger từ tư duy hiện tượng
luận; ii/ Thực hiện phép gần đúng phi tương đối tính cho phương trình Dirac của electron trong
trường điện từ ngoài.
2/ Sự dị thường của moment từ xuất hiện do tương tác của electron với chân không vật
lý của trường điện từ. Việc tính bổ chính cho moment từ electron qua quá trình tán xạ của
electron với trường điện từ ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến
3/ Sử dụng phương pháp Pauly-Villars tôi đã tách được phần phân kỳ và phần hữu hạn
của số hạng bổ chính cho moment từ. Phần phân kỳ của số hạng bổ chính được gộp vào việc tái
chuẩn hóa khối lượng và điên tích của electron, còn phần hữu hạn của số hạng bổ chính cho đóng
góp vào moment từ dị thường .
4/ Kết quả tính số moment từ dị thường phù hợp khá tốt với số liệu thu được từ thực
nghiệm
Những kết quả thu được trong Luận văn Thạc sỹ sẽ là cơ sở để nghiên cứu việc tính
moment từ của các hạt cơ bản trong các lý thuyết trường phức tạp hơn
References
Tiếng Việt
1. Hà Huy Bằng (2006), Các bổ chính vòng trong lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG,
Hà Nội.
2. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội.
3. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội.
4. Hoàng Ngọc Long (2005), Cơ sở vật lý hạt cơ bản, NXB Thống kê, Hà Nội.
5. Phạm Phúc Tuyền (2007), Lý thuyết hạt cơ bản, ĐHQG, Hà Nội.
Tiếng Anh.
6. A.I. Akhiezer and V.B. Berestetski. (1959), Quantum Electrodynamics, Moscow.
7. A. Wachter. (2010), Relativistic Quantum Mechanics, Springer.
8. L. H. Ryder. (1985), Quantum field theory, Cambridge University Press.
9. R. P. Feynman. (1998), Quantum Electrodynamics, Westview Press.
10. S. Fradkin. (1985), Quantum Field Theory and Quantum Statistics, Adam Hilger, Bristol.
