Bài tập bất đẳng thức cosi lớp 9 có đáp án

Bài tập về bất đẳng thức – Toán lớp 9
Bài 1: Cho a 3 , tìm giá trị nhỏ nhất của

Giải:

Bài 2: Cho a 2 , tìm giá trị nhỏ nhất của

Giải:

1
a

1 8a a 1
24
a 1 10
 (  )  2 . 
a 9
9 a
9
9 a 3

S a 

S a 

S a 

S a 

1
a2

1 6a a a 1
12
a a 1 12 3 9
  (   2 )   33 . . 2   
2
a
8
8 8 a
8
8 8 a
8 4 4

Bài 3: Cho a, b > 0 và a  b 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của
S ab 

1
1
15
1
(ab 
)
2 ab

ab
16ab 16ab
16ab

Giải:
Bài 4: Cho a, b, c> 0 và

Tìm giá trị nhỏ nhất của

a b c 
S  a2 

S ab 

17

4
 a b 
16 

 2 

3
2

1
1
1
 b2  2  c2  2
2
b
c
a

Giải:
Cách 1:

Cách 2:
S  a2 

1
1
1
 b2  2  c 2  2
2
b
c
a

(12  42 )(a 2 
Tương tự

1
1
) (1.a  4. ) 2
2
b
b

15

a2 

1
ab

1
1
4

(a  )
2
b
b
17

2


1
1
4
1
1
4

(b  ); c 2  2 
(c  )
2
c
c
a
a
17
17

b2 

Do đó:
1
4 4 4
1
36
(a  b  c    ) 
(a  b  c 
)
a b c
a b c
17
17

S


1
17


 3 17
9
135
 (a  b  c  4( a  b  c) )  4(a  b  c)   2



Bài 5: Cho x, y, z là ba số thực dương và x  y  z 1 . Chứng minh rằng:

x2 

1
1
1
 y 2  2  z 2  2  82
2
y
z
x

Giải:
1
1
(1.x  9. ) 2 (12  92 )( x 2  2 ) 
y
y

x2 

1
1
9

(x  )
2
y
y
82

1
1
9
1
1
9

( y  ); z 2  2 
(z  )
2
z
z
x
x
82
82
1
9 9 9
1
81
S
(x  y  z    ) 
(x  y  z 
)
x y z
x yz
82
82

TT : y 2 



1
82


1
80 
 ( x  y  z  x  y  z )  x  y  z   82



Bài 6: Cho a, b, c > 0 và a  2b  3c 20
3 9 4
S a  b  c   
a 2b c
Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải: Dự đoán a =2, b = 3, c = 4
12 18 16
12  
18   16 

  a  2b  3c   3a     2b     c   
a b c
a  
b  
c 

20  3.2.2  2.2.3  2.4 52  S 13

4 S 4a  4b  4c 

1 1 1
  4
x
y z
Bài 7: Cho x, y, z > 0 và
P
Tìm giá trị lớn nhất của
Giải:
Ta có

1
1
1


2x  y  z x  2 y  z x  y  2z


1 1
4 1 1
4
1 1 1 1
4
4
16
1
1 1 2 1
 

;  
    



    
x y x y y z yz
x y y z x  y y  z x  2y  z
x  2 y  z 16  x y z 
TT :
1
1  2 1 1
1
1  1 1 2
    ;
    
2 x  y  z 16  x y z  x  y  2 z 16  x y z 
1  4 4 4
S      1
16  x y z 
Bài 8:
x

x

x

 12   15   20 
x
x

x
        3  4  5
Chứng minh rằng với mọi x  R , ta có  5   4   3 
Giải:
x

x

 12   15 
 12 
     2  
 5  4
 5

x

x

x

x

x

x

 15 
 20   15 
 20   12 
.   2.3x ;      2.5x ;      2.4 x

 4
 3   4
 3   5

Cộng các vế tương ứng => đpcm.
Bài 9:
x
y
z
x 1
y 1
z 1
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 6 . Chứng minh rằng 8  8  8 4  4  4

Giải:
Dự đoán x=y=z = 2 và

3

8x.8x  3 64 x 4 x nên:

8 x  8 x  82 3 3 8 x.8x.82 12.4 x ;
8 y  8 y  82 3 3 8 y.8 y.82 12.4 y ;
8 z  8 z  82 3 3 8z.8 z.82 12.4 z
8 x  8 y  8z 3 3 8 x.8 y.8z 3 3 82.82.82 192
Cộng các kết quả trên => đpcm.
Bài 10:
Cho x, y, z> 0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng
1  x3  y3
1  y3  z3

1  z3  x3


3 3
xy
yz
zx
Giải:
x 3  y 3  xy  x  y   1  x 3  y 3  xyz  xy  x  y   xy  x  y  z  3 xy 3 xyz 3xy
1  x3  y 3
3xy
3 yz
3 1  y3  z3
3 1  z 3  x3
3 zx
3


;


;


xy
xy
xy
yz
yz
yz

zx
zx
zx
 1
1
1 
S  3


 3 3
 xy
yz
zx 


1
2

x y2 z 2

3 3


Bài 11:
Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
 x  y   1  xy 
P
2
2
1 x 1 y 


biểu thức
Giải:
2

 x  y  1  xy 

 x  y   1  xy    x  y   1  xy  
2
  1   1 P  1
P 
2
2
2
2
2
4
 1  x   1  y   1  x   1  y   x  y 1  xy  4 4
Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
KL: Khi dấu = xảy ra.
Bài 12:
a3 b3 c 3
  ab  bc  ca
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: b c a
Giải:
2

a 3 b3 c 3 a 4 b 4 c 4 (a 2  b 2  c 2 ) 2  ab  bc  ac 
     


ab  bc  ac
ab  bc  ac
ab  bc  ac
Cách 1: b c a ab bc ca
a3
b3
c3
 ab 2a 2 ;  bc 2b 2 ;  ca 2a 2
c
a
Cách 2: b
a 3 b3 c3
  2( a 2  b 2  c 2 )  ab  bc  ac ab  bc  ac
b c a
Bài 13:
Cho x,y > 0 và x  y 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

A

3x 2  4 2  y 3
 2
4x
y

Giải: Dự đoán x = y = 2
3x 2  4 2  y 3 3x 1 2
 1 x  2 y y  x y 9
A


   2  y      2     

2
4x
y
4 x y
4 4  2  2
 x 4  y
P
Bài 14: Cho x, y > 0 và x+y = 1. Chứng minh rằng
Giải: Ta có

1
1
 4  2 3
3
x y
xy
3


 x  y
P=

3

x 3  y 3  3xy(x+y)  x 3  y 3  3xy=1

x3  y 3  3xy x3  y 3  3xy
3xy

x3  y 3


4


4  2 3
x3  y 3
xy
x3  y 3
xy

1
1
1
1


2
xyz 
8
Bài 15: Cho x, y, z > 0 và 1  x 1  y 1  z
. Chứng minh rằng
Giải:
1
1
1
1
1
y

z
2 

1 
1 


2
1 x
1 y 1 z
1 y
1 z 1 y 1 z
TT :

1
2
1 y

xz
1
;
2
1 x 1 z  1 z

yz
1 y  1 z 

xy
1 x 1 y 

Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm
S
Bài 16: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của

x
y
z


x 1 y 1 z 1

Giải:
S

 1
x
y
z
1
1 
9
9 3


3  


3  
 3 
x 1 y 1 z 1

x y  z 3
4 4
 x 1 y 1 z 1 

Bài 17:
4a 2 5b 2 3c 2


48
Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng: a  1 b  1 c  1
Giải:
2
4a 2 4  a  1  4
4
4

4  a  1 
4  a  1 
 8 8  8 16
a 1
a 1
a 1
a 1
5b 2
5
3c 2
3
5  b  1 
 10 20;
3  c  1 

 6 12 dpcm
b 1
b 1
c 1
c 1

Bài 18:
Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng:
1 1 1
1
1 
 1
  3 



a b c
 a  2b b  2c c  2a 
Giải:
1 1 1
9
1 1 1
9
1 1 1
9
  
;   
;   
a b b a  2b b c c b  2c c a a c  2a cộng ba bất đẳng thức =>đpcm
Bài 19:

Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:


1 4 9
36
  
a b c a b c
Giải:
2

1 4 9  1  2  3
36
  

a b c
a b c
a b c
Bài 20:
Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng:
1 1 4 16
64
   
a b c d a bc d
Giải:
1 1 4
16
16
16
64
  

;
 
a b c a b c a b c d a b c  d

Cần nhớ:

a 2 b2 c 2  a  b  c 
  
x
y z
x yz

2

Bài 21:
4 5 3
2
1 
 3
  4 



 a b b c c  a 
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng: a b c
Giải:
1 1
4
3 3
3 1 1

4
2 2
8 1 1
4
 
  
;  
  
;  
a b a b
a b a b b c b c
b c b c c a c a
Bài 22:
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó.
1
1
1
 1 1 1


2    
 a b c
Chứng minh rằng p  a p  b p  c

Giải:
1
1
1
2
2

2





p  a p  b p  c  a b c a  b c a b  c


1
1
1
1
1
1
 1 1 1





2    
 a b c a  b c a b  c  a b c a  b c a b  c
a b c

Bài 23:


Cho x, y, z> 0 và x  y  x 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

P

x2
y2
z2


yz zx x y

Giải:
2

Cách1:

 x  y  z   x  y  z  4 2.
x2
y2
z2
P



y  z z  x x  y 2 x  y  z
2
2

Cách 2:
x2
yz
y2

zx
z2
xy

 x;

 y;

z
yz
4
zx
4
xy
4
x yz x yz 4
 P x  y  x 

 2.
2
2
2
Bài 24:
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng
2 y  3z  5 3z  x  5 x  2 y  5 51



1 x
1 2 y

1  3z
7
Giải:
2 y  3z  5 3 z  x  5 x  2 y  5


1 x
1 2 y
1  3z
2 y  3z  5
3z  x  5
x  2y 5

1 
1 
1  3
1 x
1 2y
1  3z
 1
1
1 
9
 x  2 y  3z  6  


3
  3 24.
x  2 y  3z  3
 1  x 1  2 y 1  3z 

9
51
24.  3 
21
7
Bài 25:
Chứng minh bất đẳng thức:
a 2  b 2  1 ab  a  b

Giải:
Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương.
Bài 26:
Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì
p  a  p  b  p  c  3p
Giải:
Bu-

nhi

-a
2

2

2

ta

p  a  p  b  p  c  (1  1  1 )( p  a  p  b  p  c)  3(3 p  2 p)  3 p
Bài 27:

có:


1
1
A a   b 
a
b
Cho hai số a, b thỏa mãn: a 1; b 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
a
Giải:

1
1 15b  b 1  15.4
1 17
21
2; b  
   
 2.   A 
a
b 16  16 b  16
4 4
4

Bài 28:
4
4
3
3

Chứng minh rằng a  b a b  ab

Giải:
  a 2  2   b 2  2  (12  12 )  a 2  b 2  2  a 2  b 2   a 2  b 2  2ab  a 2  b 2   a 4  b 4 a 3b  ab3


Bài 29:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

A

( x  y  1) 2 xy  y  x

xy  y  x ( x  y  1) 2 (Với x; y là các số thực dương).

Giải:
( x  y  1) 2
1
a; a  0  A a 
a
Đặt xy  y  x

Có

A a 

1 8a a 1 8
a 1 8 2 10
10
  (  )  .3  2. .     A 

a 9
9 a 9
9 a 3 3 3
3

Bài 30:
Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt.

a2
b2
c2


2
2
2
2
(
b

c
)
(
c

a
)
(
a


b
)
Chứng minh
Giải:

a
b
b
c
c
a
.

.

.
 1
(b  c) (c  a ) (c  a ) (a  b) (a  b) (b  c )
2

 a
b
c 
VT 


 0
 (b  c) (c  a ) (a  b) 
(Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =)
Bài 31:

Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3 . Chứng ming rằng
1
2009

670
2
2
a b c
ab  bc  ca
2


Giải:
1
2009

2
2
a  b  c ab  bc  ca
1
1
1
2007
9
2007
 2






670
2
2
2
2
a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b  c 
 a  b  c
3
Bài 32:
2

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a  b  c 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P a 2  b 2  c 2 

ab  bc  ca
a 2b  b 2c  c 2 a

Giải:
3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2
Mà a3 + ab2  2a2b ;b3 + bc2  2b2c;c3 + ca2  2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) > 0
2
2
2
ab  bc  ca  P a 2  b 2  c 2  9  (a  b  c )
P a  b  c  2
2(a 2  b2  c 2 )
a  b2  c 2

Suy ra
2

2

2

t = a2 + b2 + c2, với t  3.

P t 
Suy ra

9 t t 9 t 1
3 1
    3   4
2t
2 2t 2 2
2 2
P4

a=b=c=1

Bài 33:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
1 1


16
x

4
y
z
P=
Giải:
P=

 1
1
1 1
1 1  y
x   z
x  z

  x  y  z  

  
  
  

16x 4 y z
 16x 4 y z   16 x 4 y   16 x z   4 y

y
x 1
z y
z
x 1



 1
 
16 x 4 y 4 có =khi y=2x; 16 x z 2 khi z=4x; 4 y z
khi z=2y
Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7

Bài 34:

y  21

z  16

=>P  49/16


4 5
 23
x
y
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:
B 8x 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

6
7
 18y 
x
y

Giải:

B 8x 

6
7 
2 
2  4 5
 18y   8x     18y       8  12  23 43
x
y 
x 
y  x y

Dấu bằng xảy ra khi

1 1
1 1
; 
 x; y   ; 
 2 3  .Vậy Min B là 43 khi
 2 3

 x; y  

Bài 35
Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng khơng vượt q 5. Chứng minh rằng
x2 + y2 + z2  9
Giải:
1 x 2  x  1 0 và x  2 0  ( x  1)( x  2) 0
 x 2 3x  2

2
2
Tương tự y 3y  2 và z 3z  2

 x2 + y2 + z2  3( x + y +z) – 6  3. 5 – 6 = 9
Bài 36:
Cho a, b, c là các số thuộc
a  b  c 0 .

  1; 2

thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 6. Chứng minh rằng

Giải:

 a  1  a  2  0  a 2  a 

2 0; b 2  b  2 0; c 2  c  2 0

 a  b  c a 2  b 2  c 2  6 0
Bài 37:
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a  b  c 2 . Chứng minh rằng:
a2 

1
1
1
97
 b2  2  c 2  2 
2

b
c
a
2

Giải:
2

9 1   2 81   2 1 

 1.a  .   1    a  2  
4 b 
16  
b 

b2 

a2 

1
4 
9 

 a ;
2
b
4b 
97 

1

4 
9 
1
4 
9 
2

b  ; c  2 
c 
2
c
4c 
a
4a 
97 
97 

cộng các vế lại


Bài 38:
Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng
p
p
p


9
p a p b p c
Giải:

p
p
p
1
1
1
9
9


9




p a p b p c
hay p  a p  b p  c p  a  p  b  p  c p
Bài 39:
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng:
3(a 2  b 2  c 2 )  2abc 52
Giải:
abc ( a  b  c)(a  b  c)(a  b  c ) (6  2a)  6  2b   6  2c   abc  24 
 2abc  48 

 a  2

2

8
 ab  bc  ac 

3

16  36  (a 2  b 2  c 2 ) 
8
 (a 2  b 2  c 2 )  2abc 48 (1)


3 
2
3

2

  b  2   c  2

2

a 2  b2  c2
0 
4 (2)
3

(1)and(2)  dpcm

2
2
2
Có chứng minh được 3(a  b  c )  2abc  18 hay không?

Bài 40:

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
3
3
3
biểu thức P 4(a  b  c )  15abc .
Giải:
2
2
2
2
2
2
Có a a  (b  c) (a  b  c)(a  b  c ) (1) , b b  (c  a) (b  c  a )(b  c  a ) (2)

c 2 c 2  (a  b)2 (c  a  b)(c  a  b) (3) . Dấu ‘=’ xảy ra  a b c
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1),
(2), (3) ta có: abc (a  b  c)(b  c  a )(c  a  b) (*)
Từ a  b  c 2 nên (*)  abc (2  2a )(2  2b)(2  2c)  8  8(a  b  c )  8(ab  bc  ca)  9abc 0
 8  9abc  8(ab  bc  ca ) 0  9abc  8( ab  bc  ca)  8 (*)
3
3
3
3
Ta có a  b  c (a  b  c)  3(a  b  c )(ab  bc  ca )  3abc 8  6(ab  bc  ca )  3abc

Từ đó

4(a3  b3  c3 )  15abc 27 abc  24(ab  bc  ca )  32 3 9abc  8(ab  bc  ca)  32

3

3
3
Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a  b  c ) 15abc 3.( 8)  32 8

(**)


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a b c 

2
3.
a b c 

Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi

2
3

Bài 41:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng
2
1
a3  b3  c3  3abc 
9
4.
Giải:
*P a 3  b3  c3  3abc
Ta có a 3  b3  c 3  3abc (a  b  c )(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac )

 a3  b3  c3  3abc (a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac ) (1)
có abc ( a  b  c)(a  b  c)(a  b  c ) (1  2a)(1  2b)(1  2c) 
2 8
 1  4(ab  bc  ca )  8abc  6abc    ab  bc  ca  (2)
3 3
2 5
(1) and(2)  a 3  b3  c3  3abc a 2  b2  c 2    ab  bc  ca 
3 3
1  a2  b2  c2
1
1
mà ab  bc  ca 
 P  a 2  b2  c 2 
2
6
6



2

2







2

1 
1 
1
1
1 1 1 2

2
2
2
 a     b     c   0  a  b  c   P  .  
3 
3 
3
3
6 3 6 9

*P a 3  b3  c 3  3abc
abc ( a  b  c)(a  b  c)(a  b  c ) (1  2a)(1  2b)(1  2c)  1  4(ab  bc  ca )  8abc  0
1
 ab  bc  ca )  2abc 
(3)
4
P  a 3  b3  c 3  3abc ( a  b  c )(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac )  6abc
2

a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac  6abc  a  b  c   3  ab  bc  ca   6abc
1 1
1  3  ab  bc  ca  2abc   1  3. 
4 4

Bài 42:
Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:

x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  xyz 8


Giải:
Chứng minh được
xyz   x  y  z   x  y  z   x  y  z 
(6  2 x)(6  2 y )(6  2 z ) 216  72( x  y  z )  24( xy  yz  zx)  8xyz
8
 xyz  24  ( xy  yz  zx) (1)
3
2

mà  x  y  z  9  x 2  y 2  z 2  2xy  2 yz  2xz 9
 x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz 36  3xy  3 yz  3xz
(2)
8
Nên xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz   24  ( xy  yz  zx)+ 36  3xy  3 yz  3xz
3
1
2
 xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  12  ( xy  yz  zx) mà  x  y  z  3( xy  yz  zx)
3
2

 xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  12 

1  x  y  z
36
.
12 
8
3
3
9

Bài 43:
Cho a 1342; b 1342 . Chứng minh rằng
ra khi nào?

a 2  b 2  ab 2013  a  b  .

Dấu đẳng thức xảy

Giải:
Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:

 a  1342 

2

2

  b  1342  0;  a  1342   b  1342  0; a  1342  b  1342 0

Thật vậy:
2

2

(1)
 a  1342    b  1342  0  a 2  b2  2.1342.  a  b   2.13422 0
(2)
 a  1342   b  1342  0  ab  1342a  1342b  13422 0
2
2
2
2
 a  b  2.1342.  a  b   2.1342  ab  1342a  1342b  1342 0
 a 2  b 2  ab 3.1342.  a  b   3.1342 2 2.2013.  a  b   3.13422
2013.  a  b   2013.  a  b   2.2013.1342 2013.  a  b   2013.  a  b  1342  1342  2013.  a  b 
Bài 44:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4

4

A  x  1   x  3  6  x  1

Giải:
Cách 1:

2

 x  3

2

Cách 2:
4

4

A  x  1   x  3  6  x  1

2

 x  3

2

2

2
2
2
2
A   x  1   x  3   4  x  1  x  3


2

A  2x 2  8x  10   4  x 2  4x  3
2

A  2( x  2) 2  2   4  ( x  2) 2  1

2

2

A 4( x  2) 4  8( x  2) 2  4  4( x  2) 4  8( x  2) 2  4
A 8( x  2) 4  8 8
Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
ab
bc
ca
1



c 1 a 1 b 1 4
Giải:

Bài 46
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng:
1
1
1


1
3
3
3

3
1  x  y 1  y  z 1  z 3  x3
Giải:


x 2  y 2 2xy   x  y   x 2  y 2  2xy  x  y   x 3  y 3 xy  x  y 
 1  x 3  y 3  xy  x  y  z  


1
3

3



1
3

1 x  y

3



1
xy  x  y  z 

z
1

x
1
y
;

;

 dpcm
3
3
3
3
x  y  z 1 y  z
x  y  z 1 z  x
x yz

1 x  y
Bài 47
Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:
a b
2
2a b  2b a
 a  b 
2
Giải:
a b
1

1 
1

2

 a  b   a  b    a  b    a     b    2 ab  a  b  2a b  2b a
 a  b 
2
2
4 
4


Bài 48
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:
1
1
1


1
3
3
1  8a
1  8b
1  8c3
Giải:
1
1
1
2
1



 2
 2
2
3
2
1  8a
 2a  1  4a  2a  1 2a 1  4a  2a  1 4a  2 2a  1
2
1
1
1
1
;
 2 ;
 2
3
3
2b  1 1  8c
2c  1
1  8b
 VT 

1
2



1
2



1
2

2a  1 2b  1 2c  1



9
2

2a 1  2b 2  1  2c 2  1

1

Bài 49
a3 b3 c 3
  a 2  b 2  c 2
Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng: b c a
Giải:
Cách 1:
2

2
2
2
a 2  b2  c 2   a 2  b 2  c 2 


a 3 b3 c3 a 4 b 4 c 4  a  b  c 
     

a 2  b 2  c 2
b c a ab bc ca
ab  bc  ca
ab  bc  ca
Cách 2
a3
b3
c3
 ab 2a 2 ;  bc 2b 2 ;  ca 2c 2  VT 2  a 2  b 2  c 2   (ab  bc  ca ) a 2  b 2  c 2
b
c
a
Bài 50
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
x2
y2
z2
3



y 1 z 1 x 1 2
Giải:
x2
y 1
y2
z 1

z2
x 1
3
3 3
3 3

 x;

 y;

 z  VT   x  y  z    .3  
y 1
4
z 1
4
x 1
4
4
4 4
4 2

Bài tập về bất đẳng thức và cực trị đại số


Bài 1: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 –
2010)
a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
3

b) Từ đó suy ra:

3

abc +

3

xyz  3 (a + x)(b + y)(c + z)

3 3 3  3 3

3

.

3 2 3 3

Bài 2: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 –
2011)
1
1 1 1
 (  )
a) Cho 2 số dương a và b. Chứng minh rằng : a  b 4 a b
1 1 1
  2010.
b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x y z

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

1
1
1


2 x  y  z x  2 y  z x  y  2z

Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 –
2012)
2
1

2
a) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 : x  2y  3 xy  y  1 .
2

b) Cho 3 số dương a,b,c với abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M

1
a 2  2b 2  3



1
b2  2c 2  3



1
c 2  2a 2  3 .

Bài 4: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1  xy , trong đó x, y là các số thực thoả mãn
2013
2013
1006 1006
điều kiện: x  y 2 x y .

Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)
a
b
c
3



Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: b  c c  a a  b 2

Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 –
2016)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y 3 .
a) Chứng minh rằng xy  y 4 .


b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

2
6

3 xy y  4 .

Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)
1
1
1


2
1

2
x
1

2
y
1

2
z
Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn
.

Chứng minh rằng

xyz 

1
64 .

Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)
2
2
Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho m  n 5 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: Q m  n  mn  1 .

Bài 9: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 –
2018)
a) Với

0
1
4
³ x
2
x
4
3
x
(
)
3 , chứng minh rằng
.

4

b) Cho a, b, c là ba số dương nhỏ hơn 3 sao cho a + b + c = 3. Chứng minh

rằng:
1
1
1
+
+
³ 3
a 2 ( 3b + 3c - 5) b2 ( 3c + 3a - 5) c 2 ( 3a + 3b - 5)

.

Bài 10: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)
Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:
a)

a
a

a  2b a  b ;

a
b
c


1
b  2c
c  2a

b) a  2b
.

Bài 11: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 –
2019)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2.
 1 1 1
     2  9 xyz  21 
Chứng minh rằng  x y z 

Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 12: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)
Với a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  ab  bc  ca  6abc 0.


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

1 1 1
  .
a 2 b2 c 2

Bài 13: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 –
2020)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca 1 . Chứng minh rằng

a b 2  1  b c 2  1  c a 2  1 2 .
Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài 14: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)

2
2
Tìm x, y để biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất: F 5 x  2 y  2 xy  4 x  2 y  3

Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NM HC 2008 2009)
a)Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y=

x +1
.
x + x +1
2

b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của mét tam gi¸c cã chu vi b»ng 6.
Chøng minh r»ng: 3(a2 + b2 + c2) + 2abc  52.
Bài 16: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
ab
bc
ca
1



c 1 a 1 b 1 4 .

Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho ba số dương a, b và c thoả mãn abc 1 . Chứng minh rằng:
1

1
1
1
 2
 2

2
2
2
a  2b  3 b  2c  3 c  2a  3 2 .
2

Bài 18: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh
1
1
1
3



ab  a  2
bc  b  2
ca  c  2 2

Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z xyz .
1  1  x2 1  1  y 2 1  1  z 2



xyz
x
y
z
Chứng minh rằng:

Bài 20: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cho ba số không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a  b  c 4. Tìm giá trị
3
3
3
2
3
3
3
2
lớn nhất của biểu thức P  a b  b c  c a  abc  ab  bc  ca  bca .

Bài 21: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 – 2010)


a)Tìm x. y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất: P = 3x2 + 11y2 – 2xy – 2x + 6y – 1 .
b)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 6abc. Chứng minh
rằng:

bc
ca
ab
 3
 3

2
a  c  2 b  b  a  2c  c  b  2 a 
3

c)Cho ba số thực  ,  ,   0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M

x
y
z


y  z z  x x  y . Với mọi x, y, z > 0.

Bài 22: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012)
Cho x, y là các số thực dương thõa mãn xy = 1 .
4
Chứng minh rằng : (x + y + 1)(x2 + y2) + x  y

 8

Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2014 – 2015)
Cho 3 số x , y , z > 0 thỏa điều kiện x+ y+ z=1 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=

x
y
z
+

+
x+ 1 y+ 1 z+ 1

Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:
1
1
1
1 1
1
1
 2
 2
 

 
x  yz
y  xz z  xy 2  xy
yz zx 
2

Bài 25: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017– 2018)
a)Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn điều kiện
a 2 + b 2 + c 2  2  ab + bc + ca 

và p, q, r

là ba số thỏa mãn p + q + r = 0. Chứng minh rằng: apq + bqr + crp  0.
b)Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a.b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:

M=

 a + b + 1  a 2 + b 2 

+

4
a+b

Bài 26: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018– 2019)
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3
3
3
3
Chứng minh rằng a b  1  b c  1  c a  1  5

Bài 27: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018– 2019)
Cho x, y là các số thực thỏa mãn x  y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:










P  2x4  x3 2y  1  y3 2x  1  2y4

Bài 28: (HSG TĨNH GIA – THANH HểA NM HC 2013 2014)
Cho các số x,y,z thoả mÃn x+y+z =1
Tìm giá trị bé nhất của biểu thức : M =

x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x 2

Bài 29: ( HSG TỈNH DAKLAK NĂM HỌC 2012– 2013)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c 3 .
a 1 b  1 c 1


3
2
2
2
1

b
1

c
1

a
Chứng minh rằng:

Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016– 2017)
a) Cho a, b là hai số thực , x, y là hai số thực dương.
2

a2 b2  a  b 
 
xy .
Chứng minh rằng: x y

b) Cho x, y là hai số thực dương sao cho x + y = 1.
x
y
4


2
2
3.
Chứng minh rằng: 1  x 1  y

Bài 31: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018– 2019)
Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh:

a b c
b
c 
 a
   3 4 



b c a
 a b bc c a 
Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009– 2010)

Cho 3 số dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức:

2
2
2
a b
b c
ca





a
b
c
ab
bc
ca .
Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2012– 2013)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c 3 . Chứng minh rằng:
a 1 b 1 c 1


3
1  b2 1  c2 1  a2

Bài 34: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HC 2008 2009)
Các số thực x,y,z thoả mÃn: x 4 + y4 + z4 = 3. Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc :
P = x2(y + z) + y2(x + z) + z2(y + x) .

Bài 35: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2010– 2011)