(SKKN CHẤT 2020) chuyên đề phương trình bậc hai chứa tham số

Chuyên đề

: Phơng trình bậc hai chứa
tham số

Bài toán 1 :
Giải ph ơng trình bậc hai có chứa tham số .
Ph ơng pháp : Xét các trờng hợp của hệ sè a :
- NÕu a = 0 th× t×m nghiƯm phơng trình bậc nhất .
- Nếu a 0 thì tiến hành các bớc sau:
+Tính biệt số.
+ Xét các trờng hợp của

số ).

( Nếu

chứa tham + Tìm

nghiệm của phơng trình theo tham số.
Bài 1 : Giải phơng trình bậc hai ( m lµ tham sè ) sau :
a) x2 - 2(3m - 1)x + 9m2 - 6m - 8 = 0
b) x2 - 3mx+ 2m2 - m - 1 = 0
c) 3x2 - mx + m2 = 0
d) x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0
HDÉn :

a/ = 9 ; x = 3m + 2 ,
b/ = (m + 2)2 : + m -2 : x = 2m + 1 ,

=m-

1
kÐp)
c/ = -11m2
kÐp)
d/ = m2 - 3m + 4 = (m - )2 + > 0 :
x =m-1+

Bµi 2 : Giải phơng trình (m là tham số) :
(m - 1)x2 - 2mx + m + 2 = 0
HDÉn :

* m =1
*m

:x=
1
+m>2

+m=2

:
=2-m
: Vô nghiệm.
:x=2
(nghiệm kép )

+m<2

:

Bài 3 : Giải phơng trình (m là tham số) :
(m - 1)x2 + 3mx + 2m + 1 = 0
1

;


download by :


HDẫn :

Bài 4 : Giải phơng trình ( m là tham số) :
HDẫn : =m2 - 9
kép)
Bài 5 : Giải phơng trình (m là tham số) :
(4m2 + 4m + 1)x2 - 2m(2m + 1)x + m2 = 0 HDÉn :
m =- vô nghiệm.
m

-

,

=0

:x=

(nghiệm kép)

Bài toán 2 :
T ìm giá trị của tham số để ph ơng trình có nghiệm kép,có hai
nghiệm
phân biệt, có nghiệm,vô nghiệm.
Ph ơng pháp:
Điều kiện để phơng trình bậc 2 có :
- Nghiệm kép
- Hai nghiệm ph©n biƯt
- Cã nghiƯm :+XÐt a= 0 (NÕu a chøa tham số )
+Xét
- Vô nghiệm : + Xét a= 0
Bài 6 : Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có 2 nghiệm
phân
biệt :
a) 2x2
b) 5mx2 - 4 x - 3m = 0
c) mx2
Bài 7 : Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm kÐp :
a) 3x2 - 2mx + 1 = 0
b) 4mx2 - 6x - m - 3 = 0
c) (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + 4 = 0
Bµi 8 : Tìm các giá trị của m để phơng trình sau v« nghiƯm :
a) 3x2 + 2mx + 4 = 0
b) x2 - (2m + 3)x + m2 = 0
2


download by :

c) m2 x2 + mx + 3 = 0

(

m)

Bµi 9 : Tìm các giá trị của m để phơng trình sau cã nghiÖm :

a) mx2 - 2(m + 1)
b) (m2 - m)x2
HDẫn : a/
b/

Bài 10 : Cho phơng trình : mx2

Tìm các giá trị c
a) Có ngh
b) Có 2 ng

c) Vô nghi
HDẫn :

Bài 11 :
a) Tìm các giá trị nguyên
x2 - 4x + k = 0 có 2

2;3)

b) Tìm các giá trị nguyên

2x2 - 6x + m + 7 = 0

- 4; - 5; ......)
Bài 12 : Cho phơng trình (m là tham số ) :
(2m - 7)x2
Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép.Tính
nghiệm kép ®ã.
HDÉn :
+ Víi m = 2
+ Víi m =
Bµi 13 : Cho phơng trình (m là tham số) : (m + 3)x2 + 3(m - 1)x + (m - 1) (m
+ 4) = 0
Tìm điều kiện của m để phơng trình có 2 nghiệm phân
biệt.
3

download by :


HDẫn :
Bài toán 3 :
Tìm giá trị của tham số để ph ơng trình bậc 2 nhận một số k

cho

tr ớc làm nghiệm .

(k

R)

Ph ơng pháp :
Thay giá trị x = k vào phơng trình tìm tham số.
Thay giá trị của tham số vừa tìm đợc vàohoặc
để tìm nghiệm còn lại
(nếu cần).
Bài 14 : Xác định giá trị của tham số m để phơng trình :
a) (3m + 4)x2 - (5m - 1)x + m - 3 = 0 nhËn 3 lµm nghiƯm.
(m=-

)

b) (m2 + 1)x2 + (3
nghiƯm.

(

Bµi 15 : Tìm giá trị của m để phơng trình :
a) mx2 - 3x

(m=2)

b) x2 - 2(m - 1)x

(m=2)
Bài 16 : Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm bằng
1.Tìm
nghiệm còn lại :

a) 2x2 - 3x + m =

b) 3x2 + 7x + m =
)
Bµi 17 : Víi giá trị nào của k thì phơng trình :
a) 2x2 + kx - 10 = 0
cã mét nghiƯm b»ng 5.T×m nghiệm
còn lại .
b) k 2x2 - 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7.Tìm nghiệm
còn lại .
c) (k - 4)x2 - 2kx + k - 2 = 0 có một nghiệm bằng .Tìm nghiệm
còn lại .
HDẫn :

a/ k = 8 , x = - 1
b/ k =

,

x

c/ k = 7
,x
Bài 18 : Cho phơng trình (2m - 1)x2 - 4mx + 4 = 0 (1)
Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm bằng m.
4


download by :

HDẫn :+

ta có :

;

Phơng trình có nghiệm bằng m thì

+

m = phơng trình (1) có nghiệm x = 2 không

thoả mÃn.
Bài 19 : Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0
cả các

số nguyên m để

phơng trình (1) có nghiệm
HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0
*m :

Bµi 20 : Cho phơng trình x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 . Xác định m và n để
phơng trình có 2
nghiệm là 3 và -2.
HDẫn :
Bài 21

: Tìm m, n để phơng trình

nhất là

:

mx2 + (mn +
HDẫn :
Bài 22
sao cho
HDẫn : *

: Xác định các số m, n của
các nghiệm của
phơng trình cũng là m
= m2 - 4n 0
*

Bài toán 4 :
Chứng minh ph ơng trình bậc 2 có nghiệm .
Ph ơng pháp :
- Cách 1 : Chứng minh
- C¸ch 2 : Chøng minh ac < 0
5

download by :


( Chú ý : Cả 2 cách đều phải xét các trờng hợp a = 0 và a
)
tham số
Bài 23 : CMR các phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m :

a) x2 + (m + 1) x + m = 0d) x2
b) x2 - mx + m - 4 = 0
c) -3x2 + 2(m - 2)x + 2m + 5 f) x2
=0

Bài 24 : CMR phơng tr×nh ax2 + bx + c = 0 ( a
r»ng 5a + 2c = b .
HDÉn : = b2 - 4ac = (5a + 2c)2 - 4ac = ( 4a + 2c)2 + 9a2
Bài 25 : Cho phơng trình mx2 - (2m - 1)x + m = 0
2 nghiƯm cđa phơng
trình (1) . Chứng minh rằng nếu
trình (1) có nghiệm kép.
HDẫn :+
+
Bài 26 : CMR phơng trình sau có nghiệm víi mäi a, b, c :
a) x.(x - a) + x.(x - b) + (x - a).(x - b) = 0
b) (x - a ).(x - b) + (x - b).(x - c) + (x - c).(x - a) = 0
c) a.(x - b).(x - c) + b.(x - c).(x - a) + c.(x- a).(x - b) = 0 (Víi a + b
+c

0)

HDÉn :

a/ 3x2- 2.(a + b + c)x + ab = 0
=(a -

) 2+

b/ 3x2- 2.(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0

c/ (a + b + c)x
=a
abc2
=
Bài 27 : Cho phơng trình (a, b lµ tham sè ) : ax2
0
a) Chøng minh phơng trình luôn có nghiệm.

6


download by :


b) Tìm giá trị của a, b để phơng trình cã mét nghiƯm
kÐp lµ

.

HDÉn :

a) a = 0 : x = b
a 0 : = (ab-1)2
b)

0

Bµi 28 : CMR : Nếu phơng trình cx2 + bx + a = 0 (1) có nghiệm
thì phơng trình ax2 + bx + c = 0 (2) cịng cã

nghiƯm .
HDÉn :

= b2- 4ac =

Bµi 29 : CMR phơng trình sau có nghiệm với mọi a vµ b :
x2 + (a + b)x - 2(a2 - ab + b2) = 0
HDÉn :

= (3a + b)2+ 8b

Bài toán 5 :
Chứng minh ít nhất 1 trong 2 ph ơng trình đà cho có nghiệm .
Ph ơng pháp :
- Tính các biệt số
- Chứng minh
không âm (Chú ý kết hợp giả thiết nếu có)
Bài 30 : Cho hai phơng trình : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) vµ x2
2m - 10
nghiƯm .

CMR : V

HDÉn :
Bài 31
bx - c = 0 (2)

: Cho hai phơng tr×nh bËc hai :
CMR víi mäi a, b, c Ýt nhÊt
HDÉn :

Bµi 32
2mx - m = 0 (2)

nghiƯm .

: Cho hai phơng trình : x2 + (m

CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có
HDẫn :

Bài 33
0

: Cho hai phơng trình : x2 - 3x (2)

CMR với mọi a trong
phơng trình có hai nghiệm


download by :


HDẫn :
Bài 34 : Cho hai phơng trình : x2 + (m - 2)x + = 0
(1)
(2)

nghiƯm .

CMR víi mäi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có

HDẫn :
Bài 35 : Cho b, c là các số thoả mÃn :
một trong hai phơng
trình sau có nghiệm : x2
.
HDẫn :
Bài 36 : Cho hai phơng trình bậc hai : x2 + ax + b = 0 (1)
cx + d
BiÕt b + d =
trình trên có nghiệm .
HDẫn :
Bài 37: Cho hai phơng trình bậc hai : x2 +
có các hệ số thoả
mÃn điều kiện :
hai phơng trình trên có
nghiệm .
HDẫn : Giả sử 2 phơng trình vô nghiệm :
<0
0
( mâu thuẫn
với giả thiết)
bài toán 6:
Tìm giá trị của tham số để 2 ph ơng trình có ít nhất một nghiệm
chung.
Ph ơng pháp :
* Cách 1 :
Giả sử
là nghiệm chung, lập hệ 2 phơng trình ( ẩn x và tham số )

Giải hệ phơng trình tìm
, tìm tham số .
8


download by :


- Thử lại : Thay các giá trị của tham số vào từng phơng trình, giải cácph-ơng
trình, tìm nghiệm chung.
- Rót kÕt ln .
* C¸ch 2 : - Rót tham số từ 1 phơng trình đà cho
- Thế giá trị của tham số vào phơng trình còn lại tìm x .
- Thay giá trị của x tìm m .
- Rút kết luận .
Bài 38 : Với giá trị nào của k thì hai phơng trình sau có ít nhất một
nghiệm chung :
x2 - (k + 4)x + k + 5 = 0
x2 - (k + 2)x + k +1 = 0
HDÉn : x = 2 ; k = 1
Bµi 39 : Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít
nhất 1
nghiệm chung.
HDẫn : (m -2)x = m - 2
+ m =2 : hai phơng trình có dạng : x2 + 2x +2 = 0 ( vô nghiƯm)
+m 2 : x = 1 ; m = -3
Bµi 40 : Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1
nghiệm chung.
x2 + (m - 2)x + 3 = 0
2x2 + mx + (m + 2) = 0

HDÉn : (m - 4)x = m - 4 : + m = 4 : hai ph¬ng trình có dạng : x2 + 2x +3 = 0
( vô nghiệm)
+m

4 : x = 1 ; m = -2

Bài 41 : Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít

nghiệm chung.

nhất 1

2x2 + (3m - 5)x - 9 = 0 (1)
6x2 + (7m - 15)x - 19 = 0

(2)

HDÉn :
* C¸ch 1 : m x = 4 : + m = 0 : hai ph¬ng trình không có nghiệm
chung.
+m

0:x =

; m = 4 hoặc m

=
* Cách 2 : (1)

m=

(x

thay vào (2) :

4x2 - 10x + 6 = 0 ta cã x = 1 ; x =
.x =1
m = 4 ( nghiƯm
chung lµ 1)

9

download by :

x2
x2


.x =
chung là

m=

( nghiệm

)

Bài 42 : Với giá trị nào của m thì 2 phơng trình sau đây có ít
nhất 1
nghiÖm chung.

2x2 - (3m + 2)x +

4x2 - (9m - 2)x +
HDÉn : (1)

m=

(x

thay vµo (2) :
x2 - 4x = 0

là 4)
Bài 43 : Tìm giá trị của m để 2 phơng trình :

x2 + (m - 2)x + 8 =
HDẫn : (2)

m=
x3

chung là 2)
Bài 44: Tìm giá trị nguyên của a để 2 phơng trình sau có ít nhất
1 nghiÖm chung.

2x2

6x2 - (2a - 3)
HDÉn : (11a - 6)x = 8 :

nghiệm.
+

a

khi đó :

(loại)

Bài toán 7 :
Khi ph ơng trình bậc hai
liên hệ giữa 2
m.
Ph ơng pháp :
-

Tìm điều kiện để phơng

trình có nghiệm : 10


download by :


- TÝnh tỉng S, tÝch P cđa hai nghiƯm x
vµ x .
TÝnh m theo S, P.
Khư m t×m hƯ thøc chØ cßn S, P . Thay S = x
+x ,P=x .x
Bài 45: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình : x2 - (m + 3)x

+ 2m - 5 = 0
mà hệ thức này không phụ thuộc vµo m.
HDÉn : .

= (m -1)2+ 28
. m = S - 3 vµ m =

ta cã hƯ thøc : 2(x

Bµi 46 : Cho phơng trình : x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 . Không giải phơng
trình, hÃy tìm 1
biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào
m.
HDẫn : .

= (m -

)2 +
Chuyên đề PTB2 chøa tham sè

*10*
.m =

vµ m = P + 4 ta có hệ thức : x

Bài 47 : Cho phơng tr×nh : x2 - 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0 . Khi phơng trình có
nghiệm, hÃy
tìm 1 hệ thức giữa x và x không phụ thuộc vào m.
HDÉn : .
.m=

vµ m =

ta cã hƯ thøc :

Bµi 48 : Cho phơng trình : (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 . Khi phơng
trình có nghiệm,
hÃy tìm 1 hệ thức giữa x
và x không phụ thuộc vào
m.
HDẫn : .
.m=

và m
và m =

ta có hệ thức : 4

Bài 49 : Cho phơng trình : (2m - 1)x2 - 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0 . Khi phơng
trình có nghiệm,
11

download by :


tham số m.

hÃy tìm 1 hệ thức giữa x

và x không

phụ thuộc vào HDẫn : .
.m=

và m =

ta có hệ thức : ( x

Bài 50 : Trong các phơng trình sau, giả sử chúng có nghiệm x và x .

HÃy tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của mỗi phơng trình
không phụ thuộc vào tham số k.
a) (k - 1)x2 - 2kx
b) (k + 3)x2 - 3(k + 4)x - k + 7 = 0
c) kx2 - 2(k + 1)x + (k - 4) = 0
HDÉn :
a/ .
.k=
(x
b/ .
.k=

c/ .
.k=

vµ k =

ta cã hƯ thøc :

Bµi 51 : Cho phơng trình : (m + 1)x2 - (2m - 3)x + m + 2 = 0 . Khi ph¬ng trình có hai nghiệm

hÃy tính nghiệm này theo nghiệm kia.
HDẫn :

Bài 52 : Cho phơng trình :
trình có hai nghiệm
HDẫn :
+
+
12

download by :


Bài toán 8 :
Tìm giá trị của tham số để ph ơng trình bậc hai có 2 nghiệm thoả
mÃn
một đẳng thức liên hệ giữa 2 nghiệm.
Ph ơng pháp :
-

Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm :

- Tính tổng S, tích P của hai nghiệm x
và x .
Kết hợp đẳng thức của giả thiết lập hệ phơng
trình gồm 3 phơng trình.
Giải hệ phơng trình tìm tham số.
Đối chiếu điều kiện, thử lại, rút kết luận.
Bài 53 : Cho phơng trình : 3x2 - 4x + m = 0. Tìm các giá trị của m
để phơng trình có các

HDẫn :

x2
HDẫn :
Bài 55 : Cho phơng trình : x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0. Xác định m để
giữa hai nghiệm
ta
có hệ thức :
HDẫn :
Bài 56 : Cho phơng trình : x2
của phơng trình, không

giải phơng trình hÃy t
HDẫn :
Bài 57 : Cho phơng trình : 3x2
giữa hai nghiệm

HDẫn :
Bài 58 : Cho phơng trình : (m + 3)x2
m ®Ĩ
13


download by :


HDẫn :
Bài 59 : Gọi
- 2)x (1) thoả mÃn :

(3k + 1) = 0

Tìm những giá trị của k để các nghiệm của phơng trình

HDẫn :
Bài 60 : Cho phơng tr×nh : x2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0. Xác
định m để giữa hai nghiệm
HDẫn :
Bài 61 : Cho phơng trình : x2
trị của

HDẫn :
m=1
Bài 62
0. Xác

: Cho
định k để giữa

HDẫn :
Bài 63 : Cho phơng trình : x2
ơng trình có hai nghiệm

HDẫn :
Bài 64 : Cho phơng trình : x2

*

m để

phơng trình có

HDẫn :
Bài 65 : Tìm giá trị của m để phơng trình : x2 - 3mx + m2
c¸c nghiƯm
m·n :
14


download by :


HDẫn :
Bài 66 : Xác định m để hai nghiệm
+ 3x +

HDẫn :
Bài 67 : Tìm m để phơng trình : x2
nghiệm
HDẫn :
(t/m)
Bài 68 : Tìm giá trị của m ®Ĩ c¸c nghiƯm
mx2 - 2(m - 2)x + m - 3 = 0

HDẫn :
Bài 69 : Xác định m để phơng trình : mx2 - (12 - 5m)x - 4(1 + m)
= 0 có

HDẫn :
Bài 70 : Cho phơng trình bËc hai : x2 - 2(k - 2)x - 2k - 5 = 0 ( k lµ

tham sè). Gäi lµ hai nghiệm của phơng trình, tìm giá trị của k sao cho :

HDẫn :

*

*

(t/m)

Bài 71 : Xác định m sao cho phơng trình : 3x2 + mx - 2 = 0 có các
nghiệm
thoả
mÃn :
HDẫn :

*

*m=

(t/m)

Bài 72 : Cho phơng trình bËc hai : (2m - 1)x2 + 2(1 - m)x + 3m = 0. Xác định
m để
giữa hai nghiệm

ta có hÖ thøc :
15

download by :