chuyen de phuong trinh bac hai

Chuyên đề Giải, biện luận ph ơng trình bậc hai
A.Lý thuyết
1. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) (1) trong đó a, b, c là các
hệ số đẵ biết, x là ẩn.
2. Công thức nghiệm:

= b
2
4ac

< 0 phơng trình vô nghiệm

= 0 phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
= -
a
b
2


> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1

a

b
2
+
=
; x
2

a
b
2

=
.

= b
2
ac. (
2bb
=

)

< 0 phơng trình vô nghiệm.

= 0 phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
= -
a

b'

> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a
b
x


+


=
1
; x
2

a
b ''

=
.
3. Hệ thức Vi-ét:
* Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) thì







=
=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
*ứng dụng:
+Nhẩm nghiệm:
- Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x
1
= 1; x
2
=
a
c

- Nếu a - b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x
1
= - 1; x
2
=
a
c

+ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S
2
4P

0 thì hai số đó
là hai nghiệm của phơng trình X
2
SX + P = 0 .
4. Một số bài toán biện luận phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
1) Phơng trình có nghiệm:
0



,
; 2) Phơng trình có nghiệm:
0
>

,
;
3) Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu





=



0
0
21
a
c
xx .
,
4) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu:





=

0
0
21
a
c
xx .
,
;
5) Phơng trình có hai nghiệm dơng









=
=+



0
0
0
21
21
a

c
xx
a
b
xx
.
,
; 6) Phơng trình có hai nghiệm âm









==
=+=



0
0
0
21
21
a
c
xxP

a
b
xxS
.
,
;
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai Nguyễn Thanh Hùng Trờng THCS Tiên Nha
năm 2008
1
5.Một số bài toán ứng dụng hệ thức Vi- ét:
1)
P
S
xx
xx
xx
=
+
=+
21
21
21
11
.
;
2)
( )
PSxxxxxxxxxxxx 2222
2
21

2
2121
2
221
2
1
2
2
2
1
=+=++=+
...
;
3)
2
2
2
21
2
2
2
1
2
2
2
1
211
P
PS
xx

xx
xx

=
+
=+
).(
;
4)
( )
( )
PSSPSSxxxxxxxxxxxxxxxx 3332
32
21
2
221
2
1212
2
221
2
121
3
2
3
1
==+++=++=+
)(.).().)((
;
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai Nguyễn Thanh Hùng Trờng THCS Tiên Nha

năm 2008
2
B.Bài tập áp dụng.
Bài tập 1: Giải các phơng trình bậc hai sau:
TT PTBH KQ TT PTBH KQ
1 x
2
- 11x + 30 = 0 5; 6 41 x
2
- 16x + 84 = 0
2 x
2
- 10x + 21 = 0 3; 7 42 x
2
+ 2x - 8 = 0
3 x
2
- 12x + 27 = 0 3; 9 43 5x
2
+ 8x + 4 = 0
4 5x
2
- 17x + 12 = 0 12/5;1 44
x
2
2(
)23
+
x + 4
6

=
0
5 3x
2
- 19x - 22 = 0 22/3;-1 45 11x
2
+ 13x - 24 = 0
6
x
2
- (1+
2
)x +
2
= 0
2
;1
46 x
2
- 11x + 30 = 0
7 x
2
- 14x + 33 = 0 47 x
2
- 13x + 42 = 0
8 6x
2
- 13x - 48 = 0 48 11x
2
- 13x - 24 = 0

9 3x
2
+ 5x + 61 = 0 49 x
2
- 13x + 40 = 0
10
x
2
-
3
x - 2 -
6
= 0
50 3x
2
+ 5x - 1 = 0
11 x
2
- 24x + 70 = 0 51 5x
2
+ 7x - 1 = 0
12 x
2
- 6x - 16 = 0 52
3x
2
- 2
3
x - 3 = 0
13 2x

2
+ 3x + 1 = 0 53
x
2
- 2
2
x + 1 = 0
14 x
2
- 5x + 6 = 0 54
x
2
- 2
( )
13

x - 2
3
= 0
15 3x
2
+ 2x + 5 = 0 55 11x
2
+ 13x + 24 = 0
16 2x
2
+ 5x - 3 = 0 56 x
2
+ 13x + 42 = 0
17 x

2
- 7x - 2 = 0 57 11x
2
- 13x - 24 = 0
18
3x
2
- 2
3
x - 2 = 0
58 2x
2
- 3x - 5 = 0
19 -x
2
- 7x - 13 = 0 59 x
2
- 4x + 4 = 0
20
2
x
2
2(
)13

x -3
2
=
0
60 x

2
- 7x + 10 = 0
21 3x
2
- 2x - 1 = 0 61 4x
2
+ 11x - 3 = 0
22 x
2
- 8x + 15 = 0 62 3x
2
+ 8x - 3 = 0
23 2x
2
+ 6x + 5 = 0 63 x
2
+ x + 1 = 0
24 5x
2
+ 2x - 3 = 0 64 x
2
+ 16x + 39 = 0
25 x
2
+ 13x + 42 = 0 65 3x
2
- 8x + 4 = 0
26 x
2
- 10x + 2 = 0 66 4x

2
+ 21x - 18 = 0
27 x
2
- 7x + 10 = 0 67 4x
2
+ 20x + 25 = 0
28 5x
2
+ 2x - 7 = 0 68 2x
2
- 7x + 7 = 0
29 4x
2
- 5x + 7 = 0 69 -5x
2
+ 3x - 1 = 0
30 x
2
- 4x + 21 = 0 70
x
2
- 2
3
x - 6 = 0
31 5x
2
+ 2x -3 = 0 71 x
2
- 9x + 18 = 0

32 4x
2
+ 28x + 49 = 0 72 3x
2
+ 5x + 4 = 0
33 x
2
- 6x + 48 = 0 73 x
2
+ 5 = 0
34 3x
2
- 4x + 2 = 0 74 x
2
- 4 = 0
35 x
2
- 16x + 84 = 0 75 x
2
- 2x = 0
36 x
2
+ 2x - 8 = 0 76 x
4
- 13x
2
+ 36 = 0
37 5x
2
+ 8x + 4 = 0 77 9x

4
+ 6x
2
+ 1 = 0
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai Nguyễn Thanh Hùng Trờng THCS Tiên Nha
năm 2008
3
38
x
2
2(
)23
+
x + 4
6
= 0
78 2x
4
+ 5x
2
+ 2 = 0
39 x
2
- 6x + 8 = 0 79 2x
4
- 7x
2
- 4 = 0
40 3x
2

- 4x + 2 = 0 80 x
4
- 5x
2
+ 4 = 0
Bài tập 2. Tìm x, y trong các trờng hợp sau:
a) x + y = 17, x.y = 180 e) x
2
+ y
2
= 61 , x.y = 30
b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40
c) x + y = 30, x
2
+ y
2
= 650 g) x - y = 5, x.y = 66
d) x + y = 11 x.y = 28 h) x
2
+ y
2
= 25 x.y = 12
Bài tập 3.Không giải phơng trình,hãy tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình sau.
a) x
2
+ 6x + 8 = 0 e) x
2
+ 13x + 42 = 0
b) 11x
2

+ 13x - 24 = 0 f) 11x
2
- 13x - 24 = 0
Tính giá trị của biểu thức A = x
1
2
+ x
2
2
.
Bài tập 4.a)Tìm một phơng trình bậc hai có hai nghiệm là:
6
23
+
và
6
23

.
b)Không giải phơng trình, hãy tìm tổng lập phơng các nghiệm của phơng trình sau: 3x
2
- 5x - 2 = 0.
Bài tập 5.Với giá trị nào của b thì phơng trình:
a) 2x
2
+ bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5.
b) bx
2
- 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7.
c) ( b - 1 )x

2
- ( b + 1 )x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 6.Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của k phơng trình:
a) 7x
2
+ kx - 23 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
b) 12x
2
+ 70x + k
2
+ 1 = 0 không thể có hai nghiệm dơng.
c) x
2
- ( k + 1 )x + k = 0 có một nghiệm bằng 1.
Bài tập 7.Chứng tỏ rằng các phơng trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m:
a) x
2
- 4x m
2
= 0 d) x
2
+ ( m + 3 )x + m + 1 = 0
b) 2x
2
- 3x + m - 1 = 0 e) x
2
- ( 1 + 2m )x + m = 0
c) x
2
+ 2( m - 2 )x + m

2
= 0 f) ( 2m
2
+1 )x
2
- 2( m
2
+ 2 )x + 1 = 0
Bài tập 8.Tìm điều kiện m để các phơng trình sau đây có nghiệm,vô nghiệm.
a) x
2
+ x - m = 0 d) x
2
- ( m - 1 )x + 1 = 0
b) 2x
2
- 3x + m - 1 = 0 e) x
2
+ 2x + m
2
= 0
c) x
2
+ 2( m - 2 )x + m
2
= 0 f) ( m
2
+1 )x
2
- 2( m + 3 )x + 1 = 0

Bài tập 9.Với giá trị nào của m thì các phơng trình sau đây: có nghiệm,vô nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có
nghiệm kép.
a) 3x
2
- 2x + m = 0 c) 4x
2
+ mx + m
2
= 0
b) 5x
2
+ 18x + m = 0 d) 4x
2
+ mx - 5 = 0
Bài tập 10.Cho phơng trình: ( a - 3 )x
2
- 2( a - 1 )x + a - 15 = 0 .
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai Nguyễn Thanh Hùng Trờng THCS Tiên Nha
năm 2008
4
a)Giải phơng trình khi a = 13.
b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 11.Cho phơng trình: x
2
+ ( m + 1 )x + m = 0 .
a)Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm.
b)Tính y = x
1
2
+ x

2
2
theo m, tìm m để y có giá trị nhỏ nhất, biết x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình đẵ cho.
Bài tập 12.Cho phơng trình: x
2
- 2( m + 1 )x + 2m + 10 = 0 .
a)Giải và biện luận số nghiệm của phơng trình theo m.
b)Tìm m sao cho 10 x
1
x
2
+ x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Bài tập 13.Cho phơng trình: 3x
2
+ mx + 12 = 0 .
a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b)Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 14.Cho phơng trình: x
2
- 2( k + 3 )x + 2k - 1 = 0 .

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Chứng minh rằng tổng và tích hai nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc vào k.
c)Tìm k để có hai nghiệm phơng trình thoả mãn hệ thức
2
311
2121
=++
xxxx
.
Bài tập 15.Cho phơng trình: ( 2m - 1 )x
2
- 2( m + 4 )x + 5m + 2 = 0 .
a)Xác định m để phơng trình có nghiệm.
b)Trong trờng hợp có nghiệm hãy tính theo m tổng S và tích P của các nghiệm.
c)Tìm hệ thức liên hệ giữa tổng S và tích P.
Bài tập 16.Cho phơng trình: x
2
- (2m + 3 )x + m - 3 = 0 .
a) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau.
Bài tập 17.Cho phơng trình: x
2
- 2( m - 1 )x + m - 1 = 0 .
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm bằng nhau.
Bài tập 18.Cho phơng trình: x
2
+
3
x -

5
= 0 , gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
, x
2
. Không giải phơng trình
tính giá trị của các biểu thức sau;
a)
21
11
xx
+
b)
2
2
2
1
xx
+
c)
2
2
2
1
11
xx
+
d)
3
2

3
1
xx
+
Bài tập 19.Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 1 )x + m - 4 = 0 .
a)Giải phơng trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình, chứng minh rằng biểu thức
)1()1(
1221
xxxxA
+=
không phụ
thuộc vào giá trị của m.
Bài tập 20.Cho phơng trình: x
2
- m x + m - 1 = 0 .
a)Giải phơng trình khi m = 5.
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai Nguyễn Thanh Hùng Trờng THCS Tiên Nha
năm 2008
5