skkn03 sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki trong giảng dạy môn toán ở THCS

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn to¸n ë THCS
--------------------------------------------------------------------------------------------------------

PHẦN I

ĐẶT VẤN ĐỀ
I . Lý do chän ®Ị tµi:
- Trong thời điểm hiện nay, chúng ta đang nỗ lực xây dựng và đẩy mạnh công
nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước nhằm tiến tới một xã hội văn minh hiện
đại. Muốn vậy con người phải có tri thức. Chính vì vậy Đảng ta đã xác định giáo dục
là quốc sách hàng đầu. Trong những năm gần đây, Đảng và nhà nước ta luôn
quan tâm đến giáo dục, từng bước có những cải cách giáo dục từ bậc mầm non
đến đại học và sau đại học nhằm đưa nền giáo dục nước nhà phát triển ngang tầm
khu vực. Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan
trọng, là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người
mới. Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ
chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy.

Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh
sinh giỏi các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay
và lý thú chính vì vậy mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn
học sinh giỏi các cấp đặc biệt là cấp THCS và kỳ thi vào lớp 10.
Trong chuyên đề về bất đẳng thức thì việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để
giải các loại toán và bài toán khác là khá hiệu quả thông qua đó mà lời giải
được đơn giản hơn, thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một
bất đẳng thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc
giải các bài toán khác thì có thể đem lại kết qua nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo
của học sinh.Với ý nghó như vậy tôi giới thiệu việc sử dụng bất đẳng thức
bunhiacopxki vào giải một số bài toán như : chứng minh các bất đẳng thức đại số

và hình học, hoặc giải một số bài toán cực trị đại số và hình học.

1

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng


Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn to¸n ë THCS
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xuất phát từ thực tế giảng dạy chương trình THCS, đặc biệt là trong các
kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đứng trước một bài toán có rất nhiều phương
pháp giải khác nhau song một trong những phương pháp giải tương đối có hiệu lực
là việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải. Học sinh được tiếp xúc rất
nhiều về các phương pháp giải các bất đẳng thức và sử dụng các bất đẳng
thức để giải các loại toán khác như: chứng minh các bất đẳng thức đại số va
hình học hoặc giải một số bài toán cực trị đại số và hình học.

II. PHẠM VI ĐỀ TÀI
Tuy nội dung đề cập khá rộng và các bài toán dạng này cũng phong phú song trong
khuôn khổ thời gian có hạn tôi chỉ nêu ra một số bài toán điển hình và sắp xếp

trình tự từ đơn giản đến phức tạp.
III. ĐỐI TƯNG
Đề tài này được áp dụng cho học sinh khá giỏi THCS lớp 9.
IV. MỤC ĐÍCH
Nhằm mục đích nâng cao mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là
việc bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp các em hiểu sâu sắc hơn về bất
đẳng thức.Qua đó giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương
pháp về bất đẳng thứcvà rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.

2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng


Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn to¸n ë THCS
--------------------------------------------------------------------------------------------------------

PHẦN II

NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC.
- Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan
trọng, là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người
mới. Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ
chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy.

Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh
sinh giỏi các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay
và lý thú chính vì vậy mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn
học sinh giỏi các cấp, đặc biệt là cấp THCS và kỳ thi vào lớp 10.
- Đứng trước một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau song
việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vị và độc đáo là một việc
không dễ thông qua đó mà thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức
Bunhiacopski là một bất đẳng thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác
bất đẳng thức này vào việc giải các bài toán khác thì có thể đem lại
kết qủa nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh.

2. ĐỐI TƯNG PHỤC VỤ
đề tài này dùng để giảng dạy cho các học sinh tham gia thi học sinh giỏi lớp 8-9.

3. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIEN CệU
A. áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để chứng minh các bất đẳng thức

I. Chửựng minh caực baỏt ủaỳng thức đại số

3

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng


Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn to¸n ë THCS
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- Để chứng minh các bất đẳng thức có khi áp dụng ngay và cũng nhiều khi
phải biến đổi bài toán để đưa về trường hợp thích hợp rồi mới sử dụng. Sau dây là

3 kỹ thuật thường gặp:
 Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại.
 Dồn phối hợp.
 Kỹ thuật nghịch đảo.

1. Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại.
Ví dụ 1: Cho a b 2 , a,bR
Chứng minh rằng: a 4  b 4  2
Lời giải:

 1 1a

Ta vieát a4+b4= 1 1 2 2
2 2

  (b

2 2

2

) 
2



p dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
 1a 2 b24 1 .24

2 (đfcm)

28

Ví dụ 2: cho a(a1) 
Chứng minh rằng:

Lờigiải:
Tư øgiả thiết ta có:

1 a b c 4

b

(
b


1
)

c
(
c

1
)

4
3


4

1 2 2 2 2
2
2
2
2
2
3 a(a1) b(b1) c(c1) a  b  c  (a b c) 3 (1 1 1 )(a  b  c ) (a b c)

B.C.S


1

3a b c  (a b c)
2

4

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng


Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn to¸n ë THCS
-------------------------------------------------------------------------------------------------------

a b c2 3(a b c) 4 0

 (a b c1)(a b c 4)0
 1 a b c 4

Ví dụ

3: cho x,y

(x 1)  ( y 1 )  25
2

2

x

y

 R . Chứng minh rằng nếu x,y>0

và x+y=1 thì

2

Lời giải:
Ta sử dụng (a b)2



2(a2 
b2 )





 a 2  b2 

(a



b)2

2

Khi đó ta có:
(x 1) 2  ( y  1) 2  1 (x 1  y 1) 2  1 (1 1 ) 2
x
y
2
x
y
2
xy
maø1 x y 2 xy 1 4xy xy 1  1  4

vaäy (x 1 ) 2  ( y 1 ) 2  1 (1 4) 2
x

y

2

4
 25

xy

2

2. Kỹ thuật dồn phối hợp
Ví dụ 1: Cho 3x-4y=7 Chứng minh rằng: 3x2 4 y 2 7

Lời giải:





2
2
2
2
Ta viết (3x  4 y ) 3  (2)  (3x 4 y)  49
2

Ví dụ 2: Cho a,b,c,p,q là 5 số dương tùy ý. Chứng minh rằng
b
c
3



p.b q.c pc  qa pa qb p q
a

Lời giải
a

a
pb qc

. a( pb qc)

5

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng


Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn to¸n ë THCS
-------------------------------------------------------------------------------------------------------b
. b( pc qa)
pc qa
c
. c( pa qb)
c

b

pa qb

Gọi S là vế trái ta có:
(2)

(a b c)  Sa( pb qc) b( pc qa) c( pa qb) S( p q)(ab bc ca)
ab bc ca 1 (a b c) 2
2

(3)

Mà

3

Vì

(3)

 3(ab bc ca) (a b  c)2
3(ab bc ca) ab bc




(a b c)2

Từ (2), (3) (a b c
)2
 S 3 p
q

2

ca 2(ab bc ca) (
a

 b 2
c

2

)(a 2  b 2 
c

2

) 2ab 2bc 2ca

S( p q). 1 .(a b
c)2 3

(đpcm)

Ví dụ 3:
Cho x y z 0 Chứng minh raèng:

2
x 2 y  y 2 z  z 2 x  2  y 2  z (1)
z
x
x
Lời giải : Xét hai dãy số: x y ,y z ,
y
z x vaø
x z , y x ,z y
z
x
y
y
z
x

2
2
2
2
2

x y y zz x

Ta coù: (

z

x

y

x zy x

).(

z 2 y ) ( 2 
z
x x y

y

2


z

2 2

)

(2)

Xét hiệu
A x 2 y  y 2 z  z 2 x  x 2 z  y 2 x  z 2 y  1 (x

3

y

2


y

3

z

2


z

3

x

2


x

3

z

2


y

3

x

2


z

3

y

2

z
x
y
y
z
x
xyz
 1 (x y)( y z)(z x)(xy yz zx) 0
xyz
 x 2 y  y 2 z  z 2 x  x 2 z  y 2 x  z 2 y (3)
z

x

y

y

z

x

6

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn to¸n ë THCS
------------------------------------------------------------------------------------------------------Từ (2), (3) suy ra đpcm

3. Kỹ thuật nghịch đảo
n

n

( yi )(

Dạng 1

i1

i1

n
x 2i
2 2
) (x i ) 
yi
i1
y

i

0

Chứng minh:
n

Ta viết ( 

n

y

i

)(

i1

 x
i1

2i

yi

n

n
x 2i 2
x 2 i 2 n

i
2

(

(y ) . ( y )
( y . y ))  ( x )
i
i
i1
i1
i1





i

i1

i

a 2  b 2  c 2  a b c a,b, c 0 (1)
2
b c c a a b

Ví dụ Chứng minh
rằng Lời giải
Ta coù

n
2 



(b c) (c a) (a b)


a

2

 b c

b



c a

 a 2  b 2  c 2  (a b ) 2  a b c
b c c a a b c 2(a b c)
2


Ví dụ 2 Chứng minh raèng



a2

b2

c2

b c a c a b a b c
 a,b,c là độ dài cạch của

Lời giải

(b c a) (c a b) (a b
VT (1) a b c

2



c

2



  (a b c)2
a b




ABC

Ví dụ 3: Chứng minh rằng

a3

b c



b3
c a

Lời giải:



c3
a b

a2 b2 c2


2

a,b, c (1)
7

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng


Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn to¸n ë THCS
------------------------------------------------------------------------------------------------------a

(1)



4

ab ac



4

b

 a 2 b 2
c
2
ca cb
4

c

bc ba

2

Theo bất đẳng thức B.C.S :

(ab ac) (ba bc) (ca cb).VT (1)
Mặt khác ta có: a 2 

VT (1) (
a


b

2



c 2 )2

 2  ab bc
b c
2
2
ca
 b  )(ab bc  ca)  a 2 
c
 b2 c
2(ab bc ca)
2 2

2

n

Daïng 2 (

2

(
a

2

n

n

x

 x .y )(  y

i

i

i

i1

i1

i

) (  x i ) 2 x ,
i1

i

y

0
i

Chứng minh:
Theo bất đẳng thức B.C.S ta coù:

VT



n

n



 i1

( x

i

.y

i

)

2

 





x



.

i

(



)

yi

 i1




2









n

n
i





x .y .

i1



i

x 
y 
i

i1

2



i

n


(

i

x)

2

i1


a  b  c  3 a, b, c 0
b c a a b 2
c

Ví dụ 1 Chứng minh rằng

Lời giải:

Ta viếta (
b


VT

2
 c) b(c a) c(a b).VT (1) (a b c)  3(ab bc ca)

 3(ab bc ca) 3

(Đpcm)

2(ab bc ca) 2

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

b



c
d

2
3
d
2a
3b
b 2c 3d c 2d 3a

a 2b 3c

Lời giải:
Ta có  a(b  2c



a



 (a b c d )

a

3d ).

2

b 2c 3d

 



Ta sẽ chứng minha(b  2c  3d ) 

3 (a b c d )2
2

 2(ab ac ad bc bd cd ) 3(a 2 b2 c 2 d 2 )

 (a b)2 (a c)2
(a d )2 (b c)2
(c d )2 0


x

x
z

y
B
A

8

y

z

C

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng


Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn to¸n ë THCS

------------------------------------------------------------------------------------------------------II. Chứng minh các bất đẳng thức hình học
Cho ABC có AB=c, AC=b, BC=a. Chứng minh rằng
2

a

b(a b)

 b c(b c) c 2a(c a) 0 (1)
2

Lời giải:

Theo ký hiệu như hình vẽ thì luôn tồn tại

x,y,z>0 a=x+z

Sao cho

b=z+x
c=x+y
(1)  ( y z)2 (z x)( y x) (z x)2 (x y)(z y) (x y)2 ( y z)(x z) 0
 y 3 z z 3 x x3 y xyz(x y z) 0

y 2  z 2  x 2  x y z
x
y
z

 

Theo bất đẳng thức B.C.S (x  y  z)(
 y 2 z 2 x 2 x y z

x

y 2  z 2  x 2 ) (x y z)2
x

y

z

(đpcm)

yz

Ví dụ 2: ABC có AB=c, AC=b, BC=a. p là nửa chu vi. Chứng minh rằng
a 2
b

2


c

2

 36(
p

35

2

 abc ) (1)
p

Lời giải
(1) (a 2  b 2 
c




36(a b c)





35 

2

2

35(a2 b2 c2 ) 9(a b c)2

Theo CoâSi:

a

2

2

2


b

2


c

2



a b c 33 abc
 8(a 2 b2 c 2 ) 72abc

(3)

3

3

a2

a b
c


2abc 

(2)

b c



b 2c 2
9

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng


Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn to¸n ë THCS
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Từ (2)và (3) suy ra ĐPCM. (dấu bằng xẩy ra khi ABC đều)
Ví dụ 3:
ABC tại M,N,P. Chứng minh

Cho đường tròn nội tiếp tiếp xúc với 3 cạch của

rằng: S

(MNP)

S

4
(S- Diện tích tam giác)

A

Lời giải:
Đặt S

(ANP)=S1; S(BPM)=S2 , S(CMN)=S3

Ta phải chứng minh:
 ( p a)




2

bc



( p b)
ca

2



S S
1


3

S

3
4



3

4(ab bc ca)

S

S

3

S

ab

(a b c) 2

2

2

B

 3
4 (1)

C

M

( p c) 2 

VT(1)
S 1
S

N

P

.(ab bc ca) p 2



4

 S(MNP) 1 (Daáu “=” xaồy ra khi
ABC ủeu)
S
4

B. Sử dụng bất đẳng thức BUNHIACOPSKI để giảng các bài toán cực trị đại số :
Sửỷ dụng kết quả:

 an xn

a. Nếu a1 x1 a2 x2 ..........
2

Min(
x

2
x2

......... ..


x

2
n

1

 C , C là hằng số thì

C2

)
2

2

a 
a

2

2

 ..........

 an

1

Dấu “=” xẩy ra khi a1  a2  .......... . an
x

x

xn

2

1

b. Neáu x2 x2 .......... ..  x2  C 2 Const thì
1

2

n

Max(a x  a x .......... 
2 2
a
1 1

D

ấu “=”xẩy ra khi

x )|C | . a 2 
n
a
n

2

 .......... a 2

2

n

1

a1  a2  ........... an  0
x

x2

xn

1

10

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng


Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn to¸n ë THCS
------------------------------------------------------------------------------------------------------2
2
Ví dụ 1: Cho x  y  1 tìm Max(x. 1 y y 1 x )
Lời giải:
A x. 1 y y 1 x (x 2 
y
 (1212 )(x 2 y 2 ) 2


2



) (

1 y ) 2  ( 1 x ) 2



x y 2

2 2

MaxA2 2 x
y 2 2

Ví dụ 2: Cho 36x 2 16 y 2  9 Tìm Max, Min của A=(y-2x+5)
Lời giải:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

36x

2

16 y 2 (



1 )2  ( 1 )2   ( y 2x)2



3





4 

 25 ( y 2x)2 5 y 2x 5
1644
 15 y 2x 5 25
44
Max( y 2x 5) 25  (x 2 , y 9 )
4
5
20
Min( y 2x 5) 15  (x 2 , y 9 )
4

5

20

Ví dụ 3: cho x,y, z thỏa mãn xy+yz+zx=4 Tìm MinA biết A=x4+y4+z4

Lời giải:

Từ giả thiết 42=(xy+yz+zx)2 

(x2 +y2 +z2)(y2+z2+x2)

Suy ra: (x2+y2+z2)2 42
 (121212 )(x4 y 4 z 4 ) 16

x 4  y 4  z 4  16
3
MinA 16  x y z 2
3

3

11

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng


Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn to¸n ë THCS
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 4: Cho x,y,z thỏa mãn x,y,z1 và x+y+z=1. Tìm MaxA biết
A 1 x 1 y 1 z

Lời giải: Theo B.C.S ta có
(1 1 1 )(1 x1 y1 z) 3.42

A 1 x 1 y 1 z

2

2

3

2

 MaxA 2 3 x y z 1
3
x 2  y 2 16

Ví dụ 5: cho u 2 v 2 25




 yv 20
xu
Tìm Max (x+v)

Lời giải: p dụng bất đẳng thức B.C.S ta coù:
20 xu yv (x2 y 2 )(u 2 v2 ) 20.25 20

x

y

 xu yv 20 u  v  xv yu

Mặt

khác

41 (x 2  y 2) (u 2 
v

) (x 
v

2

2

2

) (
y

2


u

2

)
x

2


v

2

 2 yu
x

2


v

2

 2xv (x v)

2

 x v 41

Max(x v)



x 2 
y
2


   u 
v

2

 16

2

 25

 y(x v) 20 u

20  20
x v
41



y

u y


16 , xu yv 20

41
z 25
41

20 ,

41

Ví dụ 6: Tìm các cặp số (x,y) x,y>0 để
A x 4  y 4  x 2  y 2  x  y đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
y x

y4 x4
Lời giải:

y2

x2

12

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng


Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn to¸n ë THCS
--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đặt t x  y  t 2
y x
 x  y 2 t 2  2
2

2

, x 4 y 4 

2

4

4

t 4  4t 2 2

y
x
y
x
2
4
2
2
2
 A t  5t  t 4 (t  2) 
 2) t (t 2  2)
2

(t
(t
Do t 2 t 2  4, 2 31
t

2
 A 2
 2) (t 2) t 2 
(t
t

4 2
 MinA 2 x y





2

 3)  t 2

C. Một số bài tập áp dụng

1. Cho ABC (a,b,c). Chứng minh:


a
b c

b
c a b

a



 a b c

c
a b c

2. Cho a,b,c,d >0 . Chứng minh rằng:
a  b  c  d 2
b c c d d a a b
3. ChoABC (a,b,c). Chứng minh rằng:
p

p a

p b p c 3 p

4. ChoABC nhọn. H là trực tâm. Chứng minh (AH BH CH) 2  a 2  b 2 

2

c

5. Cho ABC (a,b,c). Chứng minh:

a
b
c



3
b c a a c b a b c

6. Cho 2 số x,y thỏa mãn 2x+5y=7
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2

2

a, A=x +y b,
2

B=2x +5y

2
2

2

2

7. Cho x,y,z thỏa mãn x +y +z =1. Tìm Max = x+2y+3z
Cho a+b+c=1 và vế trái có nghóa. Chứng minh
4a1 4b1 4c1 21

13

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn to¸n ë THCS
-------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Có tồn tại hay không 3 số: a 1, b 1, c 1 thỏa mãn điều kiện:
a

1 

b

1 

c

1 

c

(a 1)
b

9. Cho x, y, z 0 thoûa mãn điều kiện x+y+z=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của các biểu thức
a, A=x2+y2+z2 b,
B=x4+y4+z

4

10. Cho: a, b,c 3 và a+b+c=3 . Chứng minh: 4a 3  4b 3  4c 3  3 7
4

11. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f (x, y, z) xy yz zx mxyz
Trong đó x 0, y 0, z  0, x+y+z=1.
12. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:f(x,y)=2 x

y

Trong đó x 0, y 0, x 3  y 3  1
4. KẾT QỦA
Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy đội tuyển
học sinh giỏi lớp 8-9 vòng huyện và vòng tỉnh. Trong quá trình học đềø
tài này, học sinh thực sự thấy tự tin khi gặp các bài toán về bất đẳng
thức, tạo hứng thú với học toán, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích
môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo
các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học tự nghiên cứu.

5. GIẢI PHÁP MỚI
- Bài toán nói chung rất đa dạng và phong phú. Mỗi bài toán lại có rất nhiều
cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm
cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở
cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo. Do đó học sinh cần có
thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan.

14

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn to¸n ë THCS
-------------------------------------------------------------------------------------------------------II. THỰC TIỄN GIẢNG DẠY
1. QUÁ TRÌNH ÁP DỤNG
- Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã
hệ thống được mộït số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài
tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải.

2. HIỆU QUẢ KHI ÁP DỤNG
- Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin
hơn, hứng thú hơn, tạo cho hóc sinh niềm đam mê, yêu thích môn
toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các
kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học tự nghiên cứu.
3. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
- Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra
là: trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản vận dụng
linh hoạt các kiến thức này. Từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng,
nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp ly ùvới các đối tựợng học
sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh.
Chuyên đề này chủ yếu đưa ra các bài tập có sử dụng bất đẳng thức
B.C.S từ đó hình thành kỹ năng, phương pháp giải. Do đó khi giảng dạy
phải cung cấp nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy học sinh.

4. KIẾN NGHỊ
- Phòng giáo dục nên tổ chức thường xuyên các lớp chuyên đề, các cuộc
hội thảo chuyên đề để giáo viên các trừờng có thể trao đổi, bàn luận nhất
là vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi để nâng cao chất lượng, thay đổi thứ hạng
về giáo dục của huyện nhà so vối các huyện thị khác trong tỉnh.

15

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng


Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn to¸n ë THCS
--------------------------------------------------------------------------------------------------------

PHẦN C

KẾT LUẬN
- Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp
lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ.Do đó đây chỉ là một
chuyên đề trong hàng chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để
giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết phải cung cấp
cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách
nhìn, cách vân dụng linh hoạt cáckiến thưc cơ bản đó, phân tích tìm ra hướng giải, bắt
đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi
đứng trước một bài toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn
toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học tự nghiên cứu.

Tuy nội dung đề cập khá rộng song trong khuôn khổ thời gian hạn
hẹn người viết cũng chỉ chỉ ra được các ví dụ, bài toán điển hình.
- Rất mong sựï đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và
đồng nghiệp để chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cám ơn!
B×nh Xuyên, ngày 10 tháng10 năm 2007
Ngửụứi vieỏt

D-ơng Thế NAm

16

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

D-ơng thế nam - THCS Thanh L·ng