(SKKN mới NHẤT) SKKN hướng dẫn học sinh giải các bài toán về số phức bằng phương pháp hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT
HÀM RỒNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC BẰNG
PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

Người thực hiện: Lưu Thị Minh
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ, NĂM 2019

download by :


MỤC LỤC

1. Mở đầu....................................................................................................... Trang 1.
2. Nội dung sáng kiến…….............................................................................Trang 2.
2.1. Cơ sở lý luận của SKKN .......................................................................Trang 2.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN...........................................Trang 3.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm để giải quyết vấn đề...................... ..............Trang 4.
2.3.1. Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng.................... ………..Trang 4.
2.3.2. Các bài toán cực trị liên quan đến đường trịn................................... Trang 10.
2.3.3. Các bài tốn cực trị liên quan đến đường E-lip..................................Trang 18.
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ....................................................Trang 19.
3. Kết luận, kiến nghị…………………........................................................Trang 19.

download by :


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Từ năm học 2018-2019, trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi mơn tốn
thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan. Chính điều
này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà trường. Để đạt
được điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắm vững kiến thức cơ
bản, làm thuần thục các dạng tốn quan trọng mà cần có khả năng logic cao để tiếp
cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất đến đáp án.
Đây thực sự là một thách thức lớn.
Trong q trình giảng dạy, ơn thi, làm đề tôi phát hiện ra rằng: rất nhiều bài tốn
khó về số phức đều được xây dựng trên cơ sở một số bài tốn cực trị hình học trong
mặt phẳng, nếu học sinh tiếp cận theo hướng đại số thuần túy về tính tốn sẽ rất
khó giải quyết được vấn đề trong thời gian ngắn.
Chính vì những lý do trên nên tôi tổng hợp các kinh nghiệm trong quá trình giảng
dạy của mình, sưu tầm các dạng bài điển hình hay gặp trong các đề thi để viết thành
tài liệu: HƯỚNG DẪN HỌC SINH TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG GIẢI CÁC
BÀI TỐN VỀ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạo một tài
liệu tham khảo nhỏ giúp các em học sinh khá giỏi trong nhà trường có thêm một
phương pháp tiếp cận nhanh và hiệu quả khi gặp những bài toán cực trị trên tập số
phức. Sau đó là khuyến khích các em dựa vào những tính chất cực trị hình học đã
học để sáng tạo ra những bài tập hay trên tập số phức, qua đó giúp các em phát
triễn tư duy logic, tổng hợp các phần, các chương đã học để chọn nhanh được
hướng tiếp cận đối với các câu hỏi trắc nghiệm ở mức độ vận dụng trong các đề thi.
1.3. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ giữa số phức
với hình học tọa độ trong mặt phẳng, qua đó chọn lọc một số bài tốn cực trị đặc
trưng trong hình học rồi chuyển hóa nó thành các bài toán cực trị trong tập số phức.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán cực trị số phức, trước hết
giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức hình học liên quan. Đặc biệt
với riêng chuyên đề này giáo viên phải yêu cầu học sinh nắm vững mối quan hệ
giữa số phức với hình học tọa độ, các cơng thức chuyển đổi từ số phức sang hình
học. Sau đó giáo viên chọn một số bài tốn điển hình, các dữ kiện, yêu cầu thường
gặp để học sinh luyện tập nhiều, tạo ra “phản xạ” cho các em khi gặp loại toán này.
Bước cuối cùng là yêu cầu các em sáng tạo thêm các đề toán từ bài tốn điển hình
này cũng như từ các bài tốn khác mà các em đã từng gặp.

1

download by :


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KING NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Một số phép toán mở rộng đối với mô-đun số phức và số phức liên hợp
Cho hai số phức
. Ta chứng minh được các tính chất sau:[1]1

2.1.2. Biểu diễn hình học của số phức
- Biểu diễn hình học của số phức
với
trên mặt phẳng tọa độ là
điểm
. Khi đó

.
- Biểu diễn hình học của hai số phức và là hai điểm đối xứng nhau qua trục
nên nếu quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức
và
lần lượt là các hình
thì hai hình đó cũng đối xứng nhau qua trục
.
- Nếu điểm biểu diễn của hai số phức

là

thì

với
là trung điểm đoạn
.
- Cho điểm biểu diễn của hai số phức
là
. Số phức thay đổi thỏa mãn
thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức là trung trực của đoạn
.
- Cho điểm biểu diễn của hai số phức
là
. Số phức thay đổi thỏa mãn
thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức là một đường thẳng.
- Cho là một số phức khơng đổi có điểm biểu diễn là , một số phức thay đổi
thỏa mãn
thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức chính là đường trịn
tâm bán kính .
- Cho là một số phức khơng đổi có điểm biểu diễn là , một số phức thay đổi

thỏa mãn
thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức là miền trong đường
tròn tâm bán kính .
- Cho là một số phức khơng đổi có điểm biểu diễn là , một số phức thay đổi
thỏa mãn
thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức là miền ngồi đường
trịn tâm bán kính .
1

[1] Kết quả được tham khảo ở trang 12, 13, 14 sách “HÀM BIẾN PHỨC” của tác giả Nguyễn Văn Khuê- Lê Mậu Hải

2

download by :


- Cho hai số phức
khơng đổi có điểm biểu diễn là hai điểm
. Một số phức
thay đổi thỏa mãn
. Khi đó
+ Nếu
thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường E-lip nhận
làm hai tiêu điểm và độ dài trục lớn bằng .
+ Nếu
thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đoạn thẳng
.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Hiện nay khi gặp dạng toán cực trị trên tập số phức được phát triễn từ bài tốn cực
trị hình học thường làm các học sinh kể cả những học sinh giỏi lúng túng từ khâu

phát hiện nút thắt mấu chốt cho đến cách xử lý. Đa số các em không nhận ra “bẫy”
trong đề bài, sa đà vào tính tốn, gây mất thời gian mà thường không thu được kết
quả mong đợi.
Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian để
biến đổi bài toán. Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách phối
hợp giữa tư duy hình học và tính tốn đại số.
Một thực tế nữa là nhiều học sinh khi làm bài tốn loại này ở chương hình học thì
làm được khá thành thạo nhưng khi ở chương số phức với ngơn từ, giả thiết khác
thì các em lại không phát hiện ra vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà rất lúng túng cứ như
là gặp những bài tốn mới.
Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra bản chất vấn đề cũng như
cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề.
2.3.1. Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng, đoạn thẳng.
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ
, cho điểm và đường thẳng
. Điểm
chạy trên đường thẳng
sao cho độ dài đoạn
nhỏ nhất .Khi đó hãy tìm vị
trí điểm và tính độ dài
.
a. Hướng dẫn giải:
A
d(M,d)
(d)
M

H

Gọi

là hình chiếu vng góc của điểm
lên đường thẳng
. Khi đó
, nên độ dài đoạn
nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu vng góc
của điểm lên đường thẳng
và
.
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:

3

download by :


- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích nó là một
đường thẳng.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mơ-đun
với
là một số phức đã
biết.
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức
lần lượt là
. Gọi
đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức là
. Khi đó bài tốn số phức trở về

bài tốn hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được một điều
kiện ràng buộc số phức để quỹ tích biểu diễn nó là đường thẳng. Điều kiện kiểu
này khá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:
+ Cho số phức
sao cho
.
+ Cho số phức thỏa mãn
với
là hai số phức đã biết.
c. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho số phức

có điểm biểu diễn nằm trên đường thằng

. Tính giá trị nhỏ nhất của
A.

.

B.

 Gợi ý: Gọi

.

.
C.

.

D.

.

là điểm biểu diễn số phức

Ví dụ 2: Cho các số phức
nhất của
là
A.

thỏa mãn

B.

 Gợi ý: Gọi
và
có:
, hay quỹ tích điểm
điểm
là đường thẳng
Mà

Giá trị nhỏ
C.

D.

là điểm biểu diễn số phức

là đường trung trực đoạn
.

. Từ đề bài ta
Quỹ tích

với

Ví dụ 3: Cho số phức
.Giá trị nhỏ nhất của
A. 2.

.

không phải số thuần ảo thỏa điều kiện
bằng
B. 1.

C. 3.

D. 4.

4

download by :


 Gợi ý:

. Như vậy

bài toán đã trở về dạng giống Ví dụ 2.
Ví dụ 4: Cho các số phức
thỏa mãn
là
A.

B.

. Giá trị nhỏ nhất của
C.

 Gợi ý:

D.

. Bài toán trở thành: Cho các số phức

thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
bài tốn đã trở về dạng giống Ví dụ 2.

. Như vậy

Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai điểm phân biệt , và đường
thẳng
. Điểm
chạy trên đường thẳng
sao cho tổng độ dài đoạn

nhỏ nhất .Khi đó hãy tìm vị trí điểm
và tính
.
a. Hướng dẫn giải:
Ta xét hai trường hợp
+) Trường hợp 1 : hai điểm , nằm về hai phía đối với đường thẳng
A
(d)
D

M

B

Ta có
nên
+) Trường hợp 2 : hai điểm

,

, đạt được khi
cùng phía đối với đường thẳng

.

B
A
(d)
D

M

A'

Gọi điểm

là điểm đối xứng của điểm
nên

qua đường thẳng
. Khi đó
, đạt được khi

.
5

download by :


b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích nó là một
đường thẳng.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mơ-đun
với
là một số
phức đã biết.
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức
lần lượt là
. Gọi
đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức là

. Khi đó bài tốn số phức trở về
bài tốn hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là phát hiện nhanh yếu tố
hình học ở giả thiết và kết luận, vẽ các yếu tố hình học lên hệ trục tọa độ để xác
định nhanh vị trí của
với đường thẳng
c. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 5: Cho các số phức
thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất của
là
A.
B.
C.
D.
 Gợi ý: Gọi
là điểm biểu diễn số phức , từ điều kiện
suy ra
được quỹ tích điểm
là trục
. Đặt
thì
nằm về hai
phía trục

. Khi đó

Ví dụ 6: Cho các số phức thỏa mãn
là
A.

B.
C.
 Gợi ý: Gọi
là điểm biểu diễn số phức , từ
suy ra được quỹ tích điểm
đường thẳng

. Đặt
. Điểm

. Giá trị nhỏ nhất của
D.
là đường thẳng

thì
nằm về cùng một phía với
là điểm đối xứng của điểm qua đường

thẳng
. Khi đó
.
Bài tốn 3: Trong mặt phẳng tọa độ
, cho điểm và đoạn thẳng
. Điểm
chạy trên đoạn thẳng
sao cho độ dài đoạn
nhỏ nhất .Khi đó hãy tìm vị trí
điểm và tính độ dài
.
a. Hướng dẫn giải:

Gọi
là hình chiếu vng góc của điểm
lên đường thẳng
.Ta xét hai
trường hợp
 Trường hợp 1: điểm
nằm trong đoạn
6

download by :


I

M

A

H

B

Dễ dàng thấy
và
 Trường hợp 2: điểm
nằm ngoài đoạn

.
I

A

M

B

H

Dễ dàng thấy
và
.
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích nó là một
đoạn thẳng.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của mơ-đun
với
là một số
phức đã biết.
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức
lần lượt là
. Gọi đoạn
thẳng biểu diễn quỹ tích số phức là
. Khi đó bài tốn số phức trở về bài tốn
hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được một điều
kiện ràng buộc số phức để quỹ tích biểu diễn nó là đoạn thẳng. Điều kiện kiểu
này chủ yếu dựa vào tính chất: điểm
thuộc đoạn thẳng
khi và chỉ khi
. Tính chất này viết theo ngơn ngữ số phức sẽ có một số dạng sau:

+ Cho số phức thỏa mãn
với
là hai số phức đã biết và
.(Đây chính là dạng suy biến của Elip như đã trình bày ở phần cơ sở lý
thuyết).
+ Cho số phức thỏa mãn
nhỏ nhất với
là hai số phức đã
biết .
Hoặc có thể tạo ra quỹ tích điểm biểu diễn là phần đường thẳng bị giới hạn ở
miền trong đường tròn, elip. Chẳng hạn như:
+ Cho số phức bị ràng buộc bởi điều kiện để quỹ tích của nó là một đường
thẳng, điều kiện cịn lại là
hoặc
.
c. Ví dụ minh họa:

7

download by :


Ví dụ 7: Xét số phức

thỏa mãn

. Gọi

giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
A.

. Tính

.

C.

.

D.

.

là điểm biểu diễn số phức , gọi
Quỹ tích điểm

đoạn thẳng
. Gọi
thì
hình chiếu của lên đường thẳng

lần lượt là

.

B.
.

 Gợi ý: Gọi

,

. Từ giả thiết
chính là

. Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra
nằm trong đoạn
. Lại có:
.

Ví dụ 8: Xét số phức

thỏa mãn

nhỏ nhất . Gọi

là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
A.

.

B.

.

. Tính
C.

.

D.

là điểm biểu diễn số phức , gọi
, nghĩa là
thì quỹ tích điểm chính là đoạn thẳng
. Gọi
thì
hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu của lên đường thẳng
ngồi đoạn
. Lại có:
.

A. .

thỏa mãn
B. .

lần lượt

.

 Gợi ý: Gọi

Ví dụ 9: Xét số phức

,

.
. Ta có
nhỏ nhất

. Vẽ
nằm

. Tìm giá trị nhỏ nhất của
C.

.

D.

.

 Gợi ý: Gọi
là điểm biểu diễn số phức , vì
nên
thuộc đường thẳng
, mà
nên
thuộc miền
trong đường trịn
. Lại có
cắt
tại hai điểm phân
biệt
nên quỹ tích điểm
là đoạn thẳng
. Gọi
thì
, vẽ hình trực quan thấy hình chiếu vng góc của điểm
8

download by :


lên đường thẳng
nằm ngồi đoạn
mà
nên
.
2.3.2 Các bài tốn cực trị liên quan đến đường trịn
Bài tốn 4: Trong mặt phẳng tọa độ
cho điểm và đường trịn
có tâm
bán kính . Điểm
thay đổi trên đường trịn
. Xác định vị trí điểm
để độ
dài đoạn
đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này.
a. Hướng dẫn giải:
Ta xét ba trường hợp
 Trường hợp 1: điểm nằm ở miền ngoài đường tròn
(C)
M
R
C

I

B

A

và
 Trường hợp 2: điểm nằm ở trên đường tròn

(C)
M
R

A

và
 Trường hợp 3: điểm

C

I

B

nằm ở miền trong đường tròn
(C)
R
B

A

C

I
M

và
9

download by :


b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích nó là một
đường trịn.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mơ-đun
với
là một số phức đã
biết.
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức
lần lượt là
. Gọi
đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức là
. Khi đó bài tốn số phức trở về bài
tốn hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được một điều
kiện ràng buộc số phức để quỹ tích biểu diễn nó là đường trịn. Điều kiện kiểu
này khá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:
+ Cho số phức thỏa mãn
với là hai số phức đã biết.
+ Cho số phức thỏa mãn
với
là hai số phức đã biết và

.
c. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 10: Cho số phức có
nhất lần lượt là
A. 2 và 5.
B. 1 và 6.
 Gợi ý: Gọi

thì số phức

có modun nhỏ nhất và lớn

C. 2 và 6.

là điểm biểu diễn số phức

là đường trịn

tâm

.Dễ thấy điểm

bán kính

D. 1 và 5.

. Vì
. Đặt

nằm ngồi đường trịn

và

nên quỹ tích điểm
thì

nên

.

Ví dụ 11: Cho số phức
lớn nhất là:
A.
.
B.
 Gợi ý: Gọi
điểm

thoả

và
.

C.

là điểm biểu diễn số phức

là đường trịn

tâm

.

có giá trị

D.

.

. Vì
bán kính

.Dễ thấy điểm
nên

. Khi đó

nên quỹ tích
. Đặt

thì

nằm ngồi đường trịn

.

10

download by :

Ví dụ 12: Cho sớ phức

, tìm giá trị lớn nhất của

biết rằng

thoả mãn điều

kiện
A. 3.
 Gợi ý : Gọi

B. 2.
C. 1.
là điểm biểu diễn số phức

D.
.Theo bài ra :
nên quỹ tích điểm

đường trịn
đường trịn

tâm
nên

Ví dụ 13: Cho số phức
Tính

bán kính

là

. Dễ thấy điểm O nằm trên

.

thỏa mãn

và

.

.

A. .

B.

 Gợi ý: Đặt

.

C.

với

.

D.

.

. Từ
. Gọi

biểu diễn số phức

thì quỹ tích

. Đặt
trong đường trịn

thì

là đường trịn tâm
. Dễ thấy điểm

nên

là điểm
, bán kính
nằm ở miền
.

Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa độ
cho đường thẳng
và đường trịn
có tâm bán kính khơng có điểm chung. Điểm

thay đổi trên đường tròn
, điểm thay đổi trên đường thẳng
. Xác định vị trí hai điểm ,
để độ dài
đoạn
giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này.
a. Hướng dẫn giải:

11

download by :


I

M

R
A

N

H

.
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích điểm biểu
diễn nó là một đường tròn, tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích
điểm biểu diễn nó là một đường thẳng.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mơ-đun

.
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức
lần lượt là
. Gọi
đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức là
, đường thẳng biểu diễn số phức
là
. Khi đó bài tốn số phức trở về bài tốn hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Khi học sinh đã nắm vững bài tốn 1 và 3 thì cũng sẽ dễ dàng hình
dung được con đường hình học để giải quyết bài tốn này.
c. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 14: Xét hai số phức

thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

.
A.

.

B. .

 Gợi ý: Gọi
ra

C.

.

lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức
, suy ra quỹ tích điểm

quỹ tích điểm
trực quan dễ thấy

là đường trịn
và

Bài tốn 6: Trong mặt phẳng tọa độ
. Đoạn
là một đường kính của

tâm

là đường thẳng
có bán kính

khơng có điểm chung, mà

D.

.
. Theo bài
và
. Vẽ hình
nên

cho đường trịn

có tâm bán kính
. Điểm
thay đổi trên đường trịn
.
12

download by :


Xác định vị trí điểm để tổng độ dài
nhất và tính giá trị này.
a. Hướng dẫn giải:

(với

) đạt giá trị nhỏ

M

A

R

B

I

Ta có :
, dấu bằng xảy ra khi
.

b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích nó là một
đường trịn.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mô-đun
với
là hai
số phức đã biết mà đoạn nối hai điểm biểu diễn của chúng là một đường kính của
đường trịn biểu diễn số phức .
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức
lần lượt là
. Gọi
đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức là
. Khi đó bài tốn số phức trở về bài
tốn hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là chọn được
sao
cho đoạn nối điểm biểu diễn chúng là đường kính đường trịn .
c. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 15: Cho số phức
thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
A.

.

 Gợi ý: Gọi
điểm

B.

.

C.

.

D.

là điểm biễu diễn số phức . Theo bài ra

là đường trịn

tâm

hình trực quan dễ thấy

bán kính

. Đặt

.

nên quỹ tích
, vẽ

là một đường kính của đường trịn

. Khi đó

, dấu bằng xảy ra khi
. Suy ra

.

Bài tốn 7: Trong mặt phẳng tọa độ
cho đường tròn
. Đoạn
cố định nhận điểm làm trung điểm. Điểm
trịn
. Xác định vị trí điểm để tổng độ dài
giá trị lớn nhất và tính giá trị này.
a. Hướng dẫn giải:

có tâm bán kính
thay đổi trên đường
(với
) đạt

13

download by :


M

A

I

B

Theo cơng thức đường trung tuyến ta có

Lại có:

, dấu bằng xảy ra khi và

chỉ khi

, hay

của đường

với đường tròn tâm

bán kính

là giao điểm

.

b. Cách tạo và giải một bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích nó là một
đường trịn.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mơ-đun
với
là hai
số phức đã biết mà đoạn nối hai điểm biểu diễn của chúng nhận tâm của đường tròn
biểu diễn số phức làm trung điểm.

- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức
lần lượt là
. Gọi
đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức là
. Khi đó bài tốn số phức trở về bài
tốn hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là chọn được
sao
cho đoạn nối điểm biểu diễn chúng là đường kính đường trịn
; đồng thời hai số
thực

phải chọn cẩn thận để đường trịn tâm

bán kính

và đường trịn

có điểm chung, nghĩa là các đánh giá bất đẳng thức ở lời giải trên xảy ra được
dấu bằng.
c. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 16: Cho số phức
thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
A.

B.

C.

D.
14

download by :


 Gợi ý: Gọi

là điểm biễu diễn số phức . Theo bài ra

điểm là đường trịn
hình trực quan dễ thấy

nên quỹ tích

tâm bán kính
. Đặt
nhận làm trung điểm nên trong

, vẽ
ta có

. Khi đó
, dấu bằng xảy ra
khi

là giao điểm của đường trịn

đường trịn tâm

bán kính

. Suy ra

với

.

Bài tốn 8: Trong mặt phẳng tọa độ
cho đường trịn
có tâm bán kính
. Điểm
cố định nằm ở miền trong đường tròn; hai điểm
thay đổi trên
sao cho ba điểm
thẳng hàng . Xác định vị trí hai điểm
để tổng độ
dài
(với
) giá trị nhỏ nhất và tính giá trị này.
a. Hướng dẫn giải:

I

M

A

B

Ta có tích
suy ra

chính là độ lớn phương tích của điểm
. Nên

với đường trịn
,
, dấu

bằng xảy ra khi và chỉ khi
là giao điểm của đường trịn tâm

hay
bán kính

với đường trịn

.

b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc hai số phức
sao cho quỹ tích
điểm biểu diễn chúng cùng là một đường tròn. Chọn một số phức
có điểm biểu
diễn nằm ở miền trong đường trịn biểu diễn
. Tạo một điều kiện ràng buộc để
ba điểm biểu diễn
thẳng hàng.

15

download by :


- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng mô-đun
.
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức
lần lượt là
. Gọi
đường trịn biểu diễn quỹ tích hai số phức
là
. Khi đó bài tốn số phức trở
về bài tốn hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là tạo được điều kiện
ràng buộc để ba điểm biểu diễn ba số phức
thẳng hàng; đồng thời hai số
thực
và số phức
phải chọn cẩn thận để đường trịn tâm
bán kính
và đường trịn

có điểm chung, nghĩa là các đánh giá bất đẳng

thức ở lời giải trên xảy ra được dấu bằng. Điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn
ba số phức
thẳng hàng ta thường sử dụng là
.
c. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 17: Cho hai số phức

thỏa mãn

. Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A.

.

 Gợi ý: Gọi

B.

.
.

C.

D.

lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức
, suy ra quỹ tích điểm

trịn

.

tâm

có bán kính

.
. Theo bài ra

và quỹ tích điểm
. Đặt điểm
điểm

là đường
, ta có

thuộc đoạn

nên theo cơng thức phương tích ta có

,

. Lại có

, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
hay

là giao điểm của đường thẳng qua

vng góc với

và đường trịn
.

2.3.3. Các bài tốn cực trị liên quan tới E-lip

16

download by :


Bài tốn 9: Trong mặt phẳng tọa độ
cho E-lip
có độ dài trục lớn là
,
độ dài trục bé là
, tâm đối xứng là ; điểm
thay đổi trên
. Xác định vị trí
điểm
sao cho độ dài đoạn
lớn nhất, nhỏ nhất và tính các giá trị đó.
a. Hướng dẫn giải:
B
M

A'

I

A

B'

và
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức sao cho quỹ tích điểm biểu
diễn của nó là một đường E-lip.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất mơ-đun
với là số phức có điểm biểu
diễn là tâm của E-lip .
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của hai số phức
lần lượt là
. Gọi
đường E-lip biểu diễn quỹ tích số phức là
. Khi đó bài tốn số phức trở về
bài tốn hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là tạo được điều kiện
ràng buộc để quỹ tích điểm biểu diễn số phức là một E-lip; đồng thời số phức
phải chọn cẩn thận để điểm biểu diễn nó đúng là tâm của E-lip.
c. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 18: Cho số phức thỏa mãn
. Gọi
lần lượt là
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
. Tính
A.
B.
C.
D.
 Gợi ý: Gọi

là điểm biểu diễn số phức . Đặt

Theo bài ra

nên quỹ tích điểm

đường E-lip có hai tiêu điểm
,độ dài trục bé bằng

.

. Đặt

, độ dài trục lớn bằng
, dễ thấy

là

, tiêu cự bằng

là tâm của E-lip và
. Suy ra

.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
17

download by :


Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài tập trên,

học sinh đã biết vận dụng phương pháp linh hoạt vào các bài toán khác nhau, từ
đơn giản đến phức tạp. Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán này
nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn.
Hầu hết các em vận dụng tốt và giải quyết nhanh được các câu hỏi trắc ngiệm loại
này.
Một hiệu quả nữa mà tơi nhận thấy là những học sinh của mình sau khi đọc tài liệu
này đã nhìn các bài tốn cực trị trên tập số phức với con mắt “ bớt sợ” hơn. Những
em khá, ham tìm tịi cũng đã manh nha nghiên cứu những bài tốn hình học khác để
thử áp dụng cho các bài toán cực trị khác.
* Tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm đến phong trào giáo dục trong nhà trường và
địa phương:
Nâng cao chất lượng giáo dục mơn tốn của nhà trường.
Giúp phong trào học tốn của học sinh nhà trường được cải thiện. Điều đó
thể hiện rõ khi so sánh kết quả khảo sát trong 2 năm học:
Kết quả khảo sát năm học 2017 - 2018 khi chưa thực nghiệm đề tài:
( Sau khi chấm bài và tổng hợp, tôi thu được kết quả như sau)

Lớp

20172018

Tổng

Từ 3,5
Dưới 3,5 đến dưới
Điểm
Sĩ số
5
SL %
SL %

Từ 5 đến
dưới 6,5
SL

%

Từ 6,5
đến dưới
8
SL %

Từ 8
trở lên
SL

%

12C8

45

08 17,8

15

33,3 18 40,0 04

8,9

0

0

12C9

41

07 17,1

16

39,0 15 36,6 03 7,3

0

0

12C10

43

09 20,9

12

27,9 17 39,5 05

11,7

0

0

129 24 18,6

43

33,3 50 38,8 12

9,3

0

0

11

* Kết quả khảo sát năm học 2018 - 2019 sau khi thực nghiệm giảng dạy đề tài:
( Sau khi chấm bài và tổng hợp, tôi thu được kết quả như sau)

Lớp
20182019

Từ 3,5
Từ 6,5
Từ 5 đến
Từ 8 trở
đến dưới
đến dưới

dưới 6,5
lên
5
8
SL % SL %
SL %
SL %
SL %
0 0 05 11,9 15 35,7 10 23,8 12 28,6

Dưới
Điểm
Sĩ số 3,5
12C8

42

18

download by :


Tổng

12C9

42

0

0

05

11,9 16 38,1 11 26,2 10

23,8

12C10

41

0

0

06

14,6 16 39,0 08 19,5 11

26,9

11

125

0

0

16

12,8 47 37,6 29 23,2 33

26,4

* Qua kết quả khảo sát phân tích bảng số liệu cho thấy:
Sau khi thực nghiệm dạy xong kết quả kiểm tra: Năm học 2018 - 2019 Số
học sinh đạt điểm dưới 5 giảm rõ rệt từ 67 em (chiếm 51,9%) giảm xuống 16 em
(chiếm 12,8%). Đồng thời số học sinh đạt điểm trên 6,5 tăng nhiều từ 12 em (chiếm
9,3%) tăng lên 62 em (chiếm 49,6%). Như vậy kết quả giáo dục được nâng lên rõ
rệt. Nguyên nhân có kết quả trên là: Giáo viên có phương pháp thực nghiệm đề tài
rất bài bản tạo được hứng thú cho học sinh nên học sinh dễ hiểu và nắm rõ bản chất
của vấn đề. Điều đó khẳng định phương pháp dạy học tích hợp trong mơn tốn phù
hợp với học sinh, đặc biệt học sinh miền núi.
Đặc biệt sau khi thực nghiệm dạy xong kết quả kiểm tra: Số học sinh đạt
điểm dưới 3,5 không còn và số học sinh đạt điểm trên 8 tăng lên 33 em (tăng
26,4%). Như vậy, chất lượng mũi nhọn có chiều hướng tăng. Nguyên nhân do giáo
viên phát huy được khả năng tư duy u thích mơn tốn của học sinh.
Cụ thể từng lớp: Số học sinh khá giỏi lớp 12C8 tăng: Từ 4 em chiếm 8,9%
lên 22 em chiếm 52,4%. Số học sinh khá giỏi lớp 12C9 tăng: Từ 3 em chiếm 7,3%
lên 21 em chiếm 50,0%. Số học sinh khá giỏi lớp 12C10 tăng: Từ 5 em chiếm
11,7% lên 19 em chiếm 46,4%. Như vậy chất lượng mũi nhọn tăng trong từng lớp.
Kết quả này khẳng định thêm lần nữa phương pháp dạy học tích hợp liên mơn trong
dạy học tốn phù hợp với nhiều đối tương học sinh.
Với kết quả bước đầu như vậy, đã cho thấy tính thiết thực của đề tài trong
hoạt động giảng dạy. Trên thực tế tơi có thể phát triển, mở rộng hơn nữa đề tài
thành một chuyên đề dạy học lớn theo các chủ đề tích hợp liên mơn để bản thân tôi
và các đồng nghiệp sử dụng trong quá trình giảng dạy của mình.
Tuy vậy vẫn cịn một bộ phận học sinh do những kiến thức còn hạn chế nên vẫn

chưa thấy được điểm mạnh của phương pháp, và vận dụng vẫn chưa linh hoạt ở các
dạng đề khác nhau.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
19

download by :


Trên đây là một số giải pháp tôi đã triển khai áp dụng tại lớp 12A8,12A9,12C10
trường THPT Hàm Rồng thu được nhiều kết quả khả quan về kết quả học tập
chương số phức của học sinh.
3.2. Kiến nghị:
Do đặc trưng của mơn tốn rất khó với học sinh nên tơi rất mong muốn Bộ
giáo dục và đào tạo cần nghiên cứu chương trình sách giáo khoa, sách bồi dưỡng và
lên phân phối chương trình phù hợp với từng bài và phù hợp với vùng miền nhằm
thúc đẩy phong trào tự học tự bồi dưỡng để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp
vụ của giáo viên và học sinh của các trường phổ thơng.
Để nâng cao chất lượng mơn tốn trong các trường phổ thơng đề nghị phịng
giáo dục phổ thơng nên tổ chức nhiều hơn các buổi sinh hoạt chuyên mơn cho các
Giáo viên dạy tốn trong Tỉnh trao đổi tìm ra những nội dung khó dạy và những nội
dung khó tiếp thu của học sinh. Tổ chức bằng cách cho từng trường nghiên cứu
những mảng kiến thức cụ thể để đưa ra những kinh nghiệm khi dạy nội dung đó
thơng qua các buổi sinh hoạt chun mơn liên trường.
Đề nghị chuyên môn nhà trường bổ xung, mua nhiều sách tham khảo trong
thư viện để giáo viên nghiên cứu và học sinh mượn học tập.
Kiến nghị với các đồng nghiệp trong trường cần làm tốt hơn nữa công tác xã hội
hóa giáo dục để lơi cuốn học sinh đến trường đến lớp

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 8 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.

Lưu Thị Minh

20

download by :


Tài liệu tham khảo
1. Sách “ Hàm biến phức” của tác giả Nguyễn Văn Khuê- Lê Mậu Hải- Nhà xuất
bản đị học quốc gia Hà Nội năm 2001.
2. Sách giáo khoa toán 10, 12, NXBGD
3. Sách bài tập toán 10, 12, NXBGD
4. Phương pháp giảng dạy mơn tốn, Vũ Dương Thụy, NXBGD, 2009
5. Giải một bài tập như thế nào?G.Polya , NXBGD,2010
6. Trọng tâm kiến thức Đại số lớp 10, 12, Phan Huy Khải, NXBGD, 2012
7. Sách giáo khoa Đại số nâng cao 10, 12, NXBGD
8. Kiến thức cơ bản giải tích 12 ( Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh – Nguyễn Thanh
Sơn – Lê Văn Trường – NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM - 2002
9. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán, Trần Phương và Nguyễn Đức
Tấn – NXB Hà Nội – 2004.
10. Phương pháp dạy học mơn Tốn: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy – NXBGD
2000
11. Phương pháp dạy học mơn Tốn ở trường phổ thông – XBB ĐHQG TPHCM
2005

12. Sách giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập Giải tích 12
13. Giới thiệu đề thi tuyển sinh mơn tốn.
14. Hàm số, tác giả Trần Phương
15. Báo toán học và tuổi trẻ
16. Một số tài liệu chuyên đề ôn thi đại học.
17. Tạp chí TỐN HỌC và TUỔI TRẺ số 294,370.
18. Các bài thi OLYMPIC toán THPT Việt Nam (1990-2006), NXBGD, 2007.
19. Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 tháng 4, lần XII-2006, NXBGD , 2006.
20. Tuyển tập 30 năm tạp chí TỐN HỌC và TUỔI TRẺ, NXBGD, 1997.
21. Tuyển tập 5 năm tạp chí TỐN HỌC và TUỔI TRẺ, NXBGD, 2003.

download by :


DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
Họ và tên tác giả: Lưu Thị Minh
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên- Trường THPT Hàm Rồng

STT

Tên đề tài SKKN

Kết quả đánh

Năm học

Cấp đánh

giá xếp loại

đánh giá xếp

giá xếp

(A, B,C)

loại

Phát triển hệ phương trình Sở giáo dục
1

từ các bài tốn cơ bản

và đào tạo

giúp học sinh THPT rèn

Thanh Hóa

C

luyện kỹ năng giả hệ
phương trình

download by :

2015-2016