skkn hướng dẫn học sinh giải các bài toán về cực trị

Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9
tr
PHềNG GIO DC V O TO THANH OAI
TRNG THCS THANH THY
SNG KIN KINH NGHIM
HNG DN HC SINH GII
CC BI TP V CC TR
Lnh vc: Toỏn lp 9

Tỏc gi: V B NAM
Chc v: Phú hiu trng
Nm hc 2012 2013
Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy
1
Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9
A. PHN M U
Lí DO CHN TI

1. C s lý lun:
Hc toỏn l gỡ? Dy toỏn l gỡ?. ú l ngi hc toỏn phi bit gii cỏc bi tp
toỏn. Ngi dy toỏn l phi dy cho ngi hc bit gii cỏc dng bi tp toỏn. Cỏc
dng bi tp toỏn thỡ li rt phong phỳ v a dng, i vi mụn toỏn lp 9 do l lp
cui cp ca bc hc THCS thỡ cng phong phỳ v a dng hn, m thm trớ trong
mt dng cng cú rt nhiu cỏch gii khin cho c ngi dy v ngi hc khụng
ngng t duy sỏng to ngy cng t hiu qu hn trong hc tp cng nh ging
dy mụn toỏn, chng hn dng bi tp Tỡm cc tr (bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht
(max), bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht (min) ) ca mt biu thc no ú . Cỏc bi toỏn
dng ny rt phong phỳ v th loi, v cỏnh gii. Nú ũi hi hc sinh phi bit vn
dng tng hp rt nhiu kin thc v vn dng mt cỏch khộo lộo, hp lý nhiu khi
phi c ỏo mi gii quyt c bi toỏn. Nh vy õy thc s l mt dng bi
toỏn khú.

Qua theo dừi cỏc cuc thi hc sinh gii lp 9 v thi vo lp 10 thỡ tụi thy hu
nh nm no cng cú bi tp v cc tr, c bit l thi hc sinh gii lp 9 cỏc cp thỡ
t l im ca bi tỡm cc tr chim mt t l im ỏng k. Ti k thi hc sinh gii
lp 9 nm hc 2012 -2013 cp huyn vũng 1 ca huyn Thanh Oai thỡ cú ba ý v cc
tr trong thi. Do vy vic giỳp hc sinh gii cỏc dng bi tp v cc tr l ht sc
cn thit vo quan trng, c bit l i vi i tuyn.
2. C s thc tin
Do bn thõn tụi l nhiu nm dy toỏn lp 9 v tham gia dy i tuyn, v nm
nay tụi cng ang dy toỏn lp 9 v i tuyn toỏn ca nh trng, tụi thy c cỏc
em thng hay b lỳng tỳng trong dng toỏn tỡm cc tr, qua d gi v trao i vi
ng nghip thỡ cng thy mt s giỏo viờn cng cũn hn ch v dng toỏn ny.
Gii bi toỏn cc tr thc ra l i gii bi toỏn tỡm GTNN hoc GTLN hoc c
GTLN v GTNN ca mt biu thc no ú. Ngha l phi ch ra :
*
1
( ) ;f x K x
TX ( K
1
= Const )
Tn ti
1
( )
o
f x K=
mim
1
( )f x K=
khi v ch khi x = x
0
*

2
( ) ;f x K x
TX ( K
2
= Const )
Tn ti
2
( )
o
f x K=
max
2
( )f x K=
khi v ch khi x = x
0
Nhng ch ra c iu ú thỡ rt l khú khn, nú ũ hi rt nhiu kin thc,
k nng s dng kin thc.
giỳp cỏc em hc sinh hc toỏn tt, gii c cỏc bi tp v cc tr, c bit
l cỏc em hc sinh lp 9 v i tuyn i thi cỏc cp phi thnh tho nú. Nờn tụi ó
chn ti sỏng kin nghim Hng dn hc sinh gii cỏc bi tp v cc tr.
3. Gii hn ca ti
a. V kin thc
Tỡn cc tr ca biu thc i s, i vi hc sinh cp THCS ch sa dng nh
ngha v cc tr :
Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy
2
Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9
*
1
( ) ;f x K x

TX ( K
1
= Const )

1
( )
o
f x K=
mim
1
( )f x K=
khi v ch khi x = x
0
*
2
( ) ;f x K x
TX ( K
2
= Const )

2
( )
o
f x K=
max
2
( )f x K=
khi v ch khi x = x
0
b. V i tng ỏp dng

Trang b cho hc sinh cú hc lc khỏ, gii, i tuyn v ụn tp cho hc sinh
lp 9, ng thi dựng lm ti liu tham kho cho cỏc ng chớ giỏo viờn ging dy
b mụn toỏn.
c. Thi gian thc hin
Sau khi hc sinh lp 9 ó hc ht chng I, thc hin trong 7 bui.
B. PHN TH HAI
QU TRèNH THC HIN TI
I. Kho sỏt thc t
Qua thc t ging dy, ụn tp cho hc sinh lp 9 nhiu nm v qua tham kho
mt s ti liu bi dng mụn toỏn 9, tớch ly cỏc thi hc sinh gii mụn toỏn lp
9 cỏc cp, tụi thy :
Cỏc bi tp v cc tr thng l khú i vi hc, thm tr khú c vi mt s giỏo
viờn nu nh cha u t thi gian nghiờn cu, ó cú ti 90% cỏc em hc sinh
khụng lm c cỏc bi tp v cc tr khi giao viờn giao bi cho trong cỏc thi hc
sinh gii, thi vo lp 10, bi l l cỏc dng bi tp ny rt phong phỳ v cỏch gii, v
phi sa dng nhiu kin thc phc tp, v cỏc em hay mc nhng sai lm v ng
nhn khi gii toỏn, tụi ó thng kờ c 50% s cỏc em hay b ng nhn khi gii cỏc
bi tp v cc tr.
Dng bi tp v tỡm cc tr thỡ thng l cỏc em khú khn ngay t im sut phỏt
khụng bit bt u t õu, hai l cha lm rừ bn cht ca cụng vic gii bi toỏn v
cc tr, hoc cha cú k nng s dng cỏc bt ng thc c bn, t l ny ó chim
70%. i vi 9A ca tụi trc tip ging dy trong nm hc 2012 - 2013, thỡ kt qu
ca 1 bi kim tra 45 phỳt i s trong ú cú 1 cõu tỡm cc tr c ghi li nh sau:
S s S em lm c
cõu cc tr
S em lm b
ng nhn
S em khụng lm
c cõu cc tr
T l %lm

c
34 5 5 24 15%
II. Phng phỏp thc hin ti
- Nghiờn cu k mt s ti liu:
1) Sỏch giỏo khoa i s 8; 9 Nh xut bn giỏo dc
1) Sỏch nõng cao i s 8 V Hu Bỡnh
2) Sỏch nõng cao i s 9 V Hu Bỡnh
Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy
3
Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9
3) Sỏch nõng cao i s 8 Vừ i Mau
4) Sỏch nõng cao i s 9 Vừ i Mau
5) Tuyn tp cỏc bi toỏn s cp V Hu Bỡnh
6) Tuyn tp cỏc bi toỏn s cp Vừ i Mau
7) 36 b ụn thi tt nghip THCS Vừ i Mau
- Hng dn hc sinh cỏch c sỏch.
- Xõy dng li cho hc sinh hiu bn cht lý thuyt ca vic gii bi toỏn cc tr,
a ra mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v cc tr.
- Xõy dng mt h thng bi tp, trc tip trao i vi hc sinh trờn lp trong mt
khong thi gian l 7 bui.
C. PHN TH BA
NI DUNG CA TI
I. C s lý thuyt
- nh ngha giỏ tr ln nht (GTLN) ca mt biu thc i s cho biu thc
f(x,y, ) xỏc nh trờn min D :
M c gi l GTLN ca f(x,y, ) trờn min |D nu 2 iu kin sau ng thi tho
món :
1. f(x,y, ) M (x,y, ) |D
2. (x
0

, y
0
, ) |D sao cho f(x
0
, y
0
) = M.
Ký hiu : max f(x,y, ) = M

(x = x
o
, y = y
o
, ) |D
- nh ngha giỏ tr nh nht (GTNN) ca mt biu thc i s cho biu thc
f(x,y, ) xỏc nh trờn min |D :
M. c gi l GTNN ca f(x,y, ) trờn min |D nu 2 iu kin sau ng thi tho
món :
1. f(x,y, ) M (x,y, ) |D
2. (x
0
, y
0
, ) |D sao cho f(x
0
, y
0
) = M.
Ký hiu : M = min f(x,y, )

(x = x
o
, y = y
o
, ) |D
- Cỏc kin thc c bn thng dựng
* Lu tha :
a) x
2
0 x |R x
2k
0 x |R, k z - x
2k
0
Tng quỏt : [f (x)]
2k
0 x |R, k z - [f (x)]
2k
0
T ú suy ra : [f (x)]
2k
+ m m x |R, k z
m - [f (x)]
2k
m
b)
x
0 x 0 (
x
)

2k
0 x0 ; k z
Tng quỏt : (
A
)
2k
0 A 0 (A l 1 biu thc)

* Bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i :
a) |x| 0 x|R
b) |x+y| |x| + |y| ; nu "=" xy ra x.y 0
c) |x-y| |x| - |y| ; nu "=" xy ra x.y 0 v |x| |y|
Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy
4
Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9
* Bt ng thc cụsi :
ai 0 ; i =
n,1
:
n
n
n
aaa
n
aaa


21
21

+++
nN, n 2.
du "=" xy ra a
1
= a
2
= = a
n
* Bt ng thc Bunhiacụpxki :
Vi n cp s bt k a
1
,a
2
, ,a
n
; b
1
, b
2
, ,b
n
ta cú :
(a
1
b
1
+ a
2
b
2

+ +a
n
b
n
)
2
(
) ).(
22
2
2
1
22
2
2
1 nn
bbbaaa ++++++
Du "=" xy ra
i
i
b
a
= Const (i =
n,1
)
Nu bi = 0 xem nh ai = 0
* Mt s Bt ng thc n gin thng gp c suy ra t bt ng
thc (A+B)
2
0.

a. a
2
+ b
2
2ab
b. (a + b)
2
4ab
c. 2( a
2
+ b
2
) (a + b)
2
d.
e.
II. Mt s phng phỏp c bn gii bi toỏn v cc tr
1. S dng phộp bin i ng nht:
Bng cỏch nhúm, thờm, bt, tỏch cỏc hng t mt cỏch hp lý, ta bin i biu
thc ó cho v tng cỏc biu thc khụng õm (hoc khụng dng) v nhng hng s .
T ú tỡm c giỏ tr ln nht hoc nh nht ca biu thc.
+ Cỏc vi d minh ho :
Vớ d 1 : Tỡm giỏ tr nh nht ca A = x
2
+ 4x + 7
Gii :
Ta cú : A

= x
2

+ 4x + 7 = x
2
+ 4x + 4x + 3 = (x + 2)
2
+ 3 3 vỡ (x + 2)
2
0 vi x
min A = 3 x + 2 = 0 x = -2
Vy min A = 3 x = -2
Vớ d 2 : Tỡm giỏ tr ln nht ca B = - x
2
+ 6x - 15
Gii :
Ta cú : B = -x
2
+ 6x - 15 = - (x
2
- 6x + 9) - 6
B = - (x - 3)
2
- 6 - 6 do - (x - 3)
2
0 x |R
max B = - 6 x - 3 = 0 x = 3
Vy max B

= - 6 x = 3
Vớ d 3 : Tỡm giỏ tr nh nht ca C = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002
Gii :
Ta cú : C = (x-1)(x- 4)(x - 5)(x- 8) + 2002

= (x-1) (x - 8) (x - 4) (x-5) + 2002
= (x
2
- 9x + 8) (x
2
- 9x + 20) + 2002
= {(x
2
- 9x + 14) - 6}.{(x
2
- 9x + 14) + 6} + 2002
Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy
5
2+
a
b
b
a
baab +
+
411
Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c tËp vÒ cùc trj – To¸n líp 9
= (x
2
- 9x + 14)
2
- 36 + 2002
= (x
2
- 9x + 14)

2
+ 1966 ≥ 1966 vì (x
2
- 9x + 14)
2
≥ 0 ∀x
⇒ min C = 1966 ⇔ x
2
- 9x + 14 = 0 ⇔
2
7
x
x
=


=

Vậy min C = 1966 ⇔
2
7
x
x
=


=

Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D

=
)1(
12
1102
2
2
≠
+−
−−
x
xx
xx
Giải :
Ta có: D

=
22
2
2
2
)1(
9
1
6
2
)1(
9)1(6)12(2
12
1102
−

−
−
−=
−
−−−+−
=
+−
−−
x
x
x
xxx
xx
xx
= -
331
1
3
2
≤+






+
−x
vì -
x

x
∀≤






+
−
01
1
3
2
⇒ max D

= 3 ⇔
01
1
3
=+
−x
⇔ x = -2
Vậy : max D = 3 ⇔ x = -2
Ví dụ 5 : Tìm giá trị lớn nhất của E =
yx
x
y
y
x

−−+
với x, y > 0
Giải :
Ta có: E =
yx
x
y
y
x
−−+
=
=
−−+
xy
xyyxyyxx

xy
yxyyxx )()(
−−−
E =
xy
yxyx )).((
−−
=
2
( ) .( )x y x y
xy
− +
≥0 ∀x,y > 0
⇒ min E

= 0 ⇔
0=− yx
⇔ x = y
Vậy : min E = 0 ⇔ x = y > 0

Ví dụ 6 : Cho x, y ≥ 0 và x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của F = x
2
+ y
2
.
Giải :
Do x; y ≥ 0 và x + y = 1 ⇒ 0 ≤ x;y ≤ 1 ⇒ x
2
≤ x, y
2
≤ y
⇒ F = x
2
+ y
2
≤ x + y = 1 ⇒ Max F = 1 ⇔



=
=
1
0
y

x
hoặc



=
=
0
1
y
x
Mặt khác : x + y = 1 ⇒ (x + y)
2
= 1 ⇒ 1 = x
2
+ 2xy + y
2
⇒ x
2
+ y
2
= 1 - 2xy
Hay x
2
+ y
2
=
1 1
2
2 2

xy− +
=
( )
2
2
x y+

- 2xy +
1
2
=
2
1 1
( )
2 2
x y+ −
⇒ F = x
2
+ y
2
=
2
1
)(
2
1
2
1
2
≥−+ yx

do (x - y)
2
≥ 0 với ∀x,y
⇒ min F =
2
1
⇔ x - y = 0 ⇔ x = y =
2
1
Vậy : max F = 1 ⇔
0 1
1 0
x x
y y
= =
 
∨
 
= =
 
; min F =
2
1
⇔ x = y =
2
1
Vò B¸ Nam - THCS Thanh Thïy
6
Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9
Vớ d 7 : Tỡm giỏ tr ln nht ca P = xy + yz + zx - x

2
- y
2
- z
2
Gii :
Ta cú : P = xy + yz + zx - x
2
-y
2
-z
2
= -
2
1
(2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
- 2xy - 2yz - 2xz)
P = -
2
1
{(x - y)
2
+ (y - z)
2
+ (z - x)

2
} 0 x,y,z
max P = 0 x = y = z
Vy : max P = 0 x = y = z
Nhn xột :
Phng phỏp gii toỏn cc tr i s bng cỏch s dng cỏc phộp bin i ng
nht c ỏp dng cho nhiu bi tp, nhiu dng bi tp khỏc nhau. Song ụi khi hc
sinh thng gp khú khn trong cụng vic bin i t c mc ớch, khú tỡm ra
im xut phỏt. nhanh chúng tỡm im xut phỏt thỡ cỏc em phi nh v vn
dng thnh tho cỏc hng ng thc v k nng tỏch to ra hng n thc.Mun
vy thỡ cỏc em phi lm nhiu bi tp v xp chỳng vo mt nhúm.
Cỏc bi tp t luyn :
1. Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau :
a. A = x
2
- 10x + 20
b. B = (x-1)
2
+ (x-3)
2
c. C =
12
683
2
2
+
+
xx
xx
(x 1)

d. D = x
3
+ y
3
+ xy bit x + y = 1
2. Tỡm giỏ tr ln nht ca cỏc biu thc :
A = - x
4
+ 2x
3
- 3x
2
+ 4x + 2002
B =
1
2
2
2
+
+
x
x
; C =
2510
196747
2
2
+
+
xx

xx
3. Tỡm cc tr ca A =
32
64
2
2
++
++
xx
xx
2. S dng cỏc bt ng thc c bn:
Ta bit rng : T 1 bt ng thc, bng cỏch chuyn v bao gi ta cng a v
1 bt ng thc c bn v cỏc phộp bin i tng ng m mt v l hng s. Vỡ
vy : S dng cỏc bt ng thc c bn v cỏc phộp bin i tng ng ta cú th
tỡm c cc tr ca 1 biu thc no ú.
Cỏc vớ d minh ha :
Vớ d 1 : Cho a > b > 0. Tỡm GTNN ca A = a +
)(
1
bab
Gii :
Ta cú : A = a +
)(
1
bab
= b + (a - b) +
)(
1
bab
3.

3
).(
)(
bab
bab


(theo Cụsi cho 3 s
dng).
Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy
7
Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c tËp vÒ cùc trj – To¸n líp 9
A ≥ 3 ⇒ min A = 3 ⇔ b = a- b =
)(
1
bab −
⇔



=
=
1
2
b
a
Vậy : min A = 3 ⇔




=
=
1
2
b
a
Ví dụ 2 : Cho a, b > 0 và a + b = 1 . Tìm GTNN của B =
ab
1
+
22
1
ba +
Giải :
Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)(
yx
11
+
) ≥ 2
yx.
. 2
xy
1
= 4 (với x, y > 0)
⇒
yx
11
+
≥
yx +

4
(1)
Ta có : ab ≤ (
2
ba +
)
2
=
4
1
⇒
ab
1
≥ 4 (2) do a + b = 1 ; a, b > 0
Áp dụng bất đẳng thức (1) và kết quả (2) ta có :
B

=
22222222
2
4
2
4
)
1
2
1
(
2
11

2
211
baabba
abab
ba
ab
ba
ab
++
+≥
+
++=
+
+=
+
+
B ≥ 2 +
6
)(
4
2
=
+ ba
do a + b = 1 ⇒ min B = 6 ⇔ a = b =
2
1
Vậy : min B = 6 ⇔ a = b =
2
1
Ví dụ 3 : Cho xy + xz + yz = 4 . Tìm GTNN của C = x

4
+ y
4
+ z
4
Giải :
Do xy + xz + yz = 4 ⇒ 16 = (xy + xz + yz)
2
≤ (x
2
+y
2
+z
2
) (x
2
+y
2
+z
2
)
⇔ 16 ≤ (x
2
+y
2
+z
2
)
2
≤ (x

4
+ y
4
+ z
4
) (1
2
+1
2
+1
2
) (Bunhiacôpxki)
⇒ C = x
4
+ y
4
+ z
4
≥
3
16
⇒ min C =
3
16
⇔ x = y = z = ±
3
32
Vậy : min C =
3
16

⇔ x = y = z = ±
3
32
Ví dụ 4 : Cho |a| ≤1; |b| ≤1 và | a+ b| =
3
. Tìm GTLN của D =
22
11 ba −+−
Giải :
Ta có : (a - b)
2
≥ 0 ∀a;b ⇒
2
22
22






+
≥
+ baba
(1)
áp dụng (1) ta có :

2
1
2

)(2
2
11
2
11
22
22
22
2
22
ba
ba
baba +
−=
+−
=
−+−
≤








−+−
Do
4
3

2
3
22
2
2
22
=








=






+
≥
+ baba
(do | a + b| =
3
)
⇒
2

22
2
11








−+− ba
≤ 1 -
4
3
=
4
1
⇒ (
111
22
≤−+− ba
)
Vò B¸ Nam - THCS Thanh Thïy
8
Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c tËp vÒ cùc trj – To¸n líp 9
⇒ D =
111
22
≤−+− ba

⇒ max D = 1 ⇔ a = b =
2
3
Vậy : max D = 1 ⇔ a = b =
2
3
Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của E = | x + 7| + | x - 1995|
Giải :
Ta có : |x| + |y| ≥ | x + y| dấu "=" xảy ra ⇔ x,y ≥ 0
Do vậy : E = | x + 7| + | x - 1995| = | x + 7| + | 1995 - x | ≥ |x+7 + 1995 - x| = 2002
⇒ min E = 2002 ⇔ (x + 7). (1995 - x) ≥ 0 ⇔ -7 ≤ x ≤ 1995
Vậy : min E = 2002 ⇔ -7 ≤ x ≤ 1995
Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của
F = (1 + x
2
y + xy
2
)
2001
- 2001 xy (x+y) + 2001 với x
2
y + xy
2
≥ 0
Giải :
Theo BĐT Becnully ta có : (1 + x
2
y + xy
2
)

2001
≥ 1 + 2001 (x
2
y + xy
2
)
⇒ (1 + x
2
y + xy
2
)
2001
- 2001 xy (x+y) + 2001 ≥ 1+2001.xy(x+y) - 2001xy(x+y) + 2001.
⇔ F ≥ 2002 ⇔ min F = 2002 ⇔ xy(x+y) = 0 ⇔
0
0
x
y
x y
=


=


= −

Vậy : min F = 2002 ⇔
0
0

x
y
x y
=


=


= −

Ví dụ 8 : Cho xyz = 1 và x + y + z = 3.
Tìm GTNN của P = x
16
+ y
16
+ z
16
Giải :
Cách 1 :
Ta có : (a - b)
2
+ (b - c)
2
+ (c - a)
2
≥ 0 ∀a,b,c
⇔ a
2
+ b

2
+ c
2
≥ ab + ac + bc (1)
áp dụng bất đẳng thức (1) ta có :
P = x
16
+ y
16
+ z
16
= (x
8
)
2
+ (y
8
)
2
+ (z
8
)
2
≥ x
8
y
8
+ y
8
z

8
+ z
8
x
8
⇔ P≥ x
8
y
8
+ y
8
z
8
+ z
8
x
8
⇔ P ≥ (x
4
y
4
)
2
+ (y
4
z
4
)
2
+ (z

4
x
4
)
2
≥ x
4
y
4
. y
4
z
4
+ x
4
y
4
. z
4
x
4
+ y
4
z
4
. z
4
x
4
⇔ P ≥ x

4
y
8
z
4
+ x
8
y
4
z
4
+ x
4
y
4
z
8
⇔ P ≥ (x
2
y
4
z
2
)
2
+ (x
4
y
2
z

2
)
2
+ (x
2
y
2
z
4
)
2
≥ x
6
y
6
z
4
+ x
6
y
4
z
6
+ x
4
y
6
z
6
⇔ P ≥ (x

3
y
3
z
2
)
2
+ (x
2
y
3
z
3
)
2
+ (x
3
y
2
z
3
)
2
≥ x
5
y
6
z
5
+ x

6
y
5
z
5
+ x
5
y
5
z
6
⇔ P ≥ (xyz)
5
.x + (xyz)
5
.y + (xyz)
5
.z = x + y + z = 3
(do xyz = 1 và x + y + z = 3)
⇒ min P = 3 ⇔ x = y = z = 1
Cách 2 : (Không sử dụng giả thiết xyz = 1)
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có :
3 = x + y + z ⇒ 9 = (x+ y + z)
2
≤ (x
2
+ y
2
+ z
2

).3
⇔ 3 ≤ (x
2
+ y
2
+ z
2
) ⇔ 9 ≤ (x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
≤ (x
4
+ y
4
+ z
4
).3
Vò B¸ Nam - THCS Thanh Thïy
9
Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9
3 x
4
+ y
4
+ z

4
9 (x
4
+ y
4
+ z
4
)
2
(x
8
+ y
8
+ z
8
).3
3 x
8
+ y
8
+ z
8
9 (x
8
+ y
8
+ z
8
)
2

(x
16
+ y
16
+ z
16
).3
P = x
16
+ y
16
+ z
16
3 . min P = 3 x = y = z = 1
Vy : min P = 3 x = y = z = 1
Nhn xột :
Rừ rng khi ỏp dng mt s bt ng thc c bn, bi toỏn c gii quyt
nhanh hn. Song vic vn dng bt ng thc no thun li cũn tu thuc vo gi
thit bi toỏn v s vn dng linh hot cỏc bt ng thc ú. Mt vn t ra l :
Hai phng phỏp va nờu vn cha gii quyt c ht cỏc bi toỏn cc tr i
s THCS. Chớnh vỡ l ú nhu cu phi cú nhng phng phỏp khỏc ti u hn v
thc hin c yờu cu bi toỏn.
Mt s bi tp t luyn :
1. Cho a,b,c > 0 v a + b + c = 1
Tỡm GTNN ca A = (1+
a
1
) (1+
b
1

) (1+
c
1
)
2. Cho a,b, > 0 v a + b = 1
Tỡm GTNN ca B =
22
32
ba
ab
+
+
3. Cho a,b,c > 0
a) Tỡm GTNN ca C =
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
b) Tỡm GTNN ca D =
c
ba
b
ac

a
cb
ba
c
ac
b
cb
a +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
4. Cho x,y,z
4
3

v x + y + z = 1
Tỡm GTLN E =
343434 +++++ zyx
5. Cho a,b,c 0 v a + b + c = 1
Tỡm GTLN ca F =
cbcaba +++++
6. Cho 0 x
3

4
. Tỡm GTLN ca G = 4x
2
- 3x
3
7. Cho 0 x 3 ; Cho 0 y 4. Tỡm GTLN H = (3-x).(4-y).(2x+3y)
8. Cho x,y,z,t 0 v 2x + xy + z + yzt = 1
Tỡm GTLN ca I = x
2
y
2
z
2
.t
9. Cho x,y,z,t 0 v xt + xy + z + yzt = 1
Tỡm GTLN ca K = xyzt
10. Tỡm GTNN ca M = | x-2 | + | y-3 | + | x+y-2007 |
3. S dng phng phỏp t bin ph:
Bng cỏch t bin ph v s dng cỏc phộp bin i tng ng. S dng
cỏc bt ng thc c bn ta cú th chuyn bin thc ó cho v biu thc n gin
hn, d xỏc nh cc tr hn.
Cỏc vớ d minh ha :
Vớ d 1 : Tỡm GTNN ca A = x
4
+ 6x
3
+ 13x
2
+ 12x + 12
Gii :

Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy
10
Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c tËp vÒ cùc trj – To¸n líp 9
A = x
4
+ 6x
3
+ 13x
2
+ 12x + 12
A = ( x
4
+ 6x
3
+ 19x
2
+ 30x + 25) - 6 (x
2
+ 3x + 5) + 17
A = (x
2
+ 3x + 5)
2
- 6 (x
2
+ 3x + 5) + 17
Đặt : x
2
+ 3x + 5 = a
A = a

2
- 6a + 17 = a
2
+ 6a + 9 + 8
A = (a-3)
2
+ 8≥ 8 do (a-3)
2
≥ 0 ∀a.
⇒ min A = 8 ⇔ a - 3 = 0 ⇔ a = 3 ⇔ x
2
+ 3x + 2 = 0 ⇔
1
2
1
2
x
x
= −


= −

Vậy : min A = 8 ⇔
1
2
1
2
x
x

= −


= −

Ví dụ 2 : Tìm GTNN của B = 2.








+
2
2
2
2
x
y
y
x
- 5
6+









+
x
y
y
x
với x,y > 0
Giải :
Đặt :
x
y
y
x
+
= a ≥ 2 ⇒
2
2
2
2
x
y
y
x
+
= a
2
- 2
⇒ B = 2.( a

2
- 2) - 5a + 6 = 2a
2
- 5a + 2
Ta thấy : a ≥ 2 ⇒ B = 2a
2
- 5a + 2 ≥ 0
⇒ min B = 0 ⇔ a = 2 ⇔ x = y > 0
Vậy : min B = 0 ⇔ x = y > 0
Ví dụ 3 : Tìm GTNN của C =
x
y
y
x
+
-
x
y
y
x
33 −
+ 2004 với x,y>0
Giải :
Đặt :
x
y
y
x
+
= a ≥ 2 ⇔

x
y
y
x
+
= a
2
- 2
Khi đó : C = (a
2
- 2) - 3a + 2004
C = a
2
- 3a + 2004 = a
2
- 3a + 2 + 2002
C = (a-1) (a-2) + 2000
Do ta có : a ≥ 2 ⇒ a - 1> 0 ; a - 2≥0 ⇒ (a-1) (a-2) ≥0
⇒ C = (a-1) (a-2) + 2000 ≥ 2000
⇒ min C = 2000 ⇔ a = 2 ⇔ x = y ; xy > 0
Vậy min C = 2000 ⇔ x = y và xy > 0
Ví dụ 4 : Cho x,y,z > 0 Tìm GTNN của D =
yx
z
zx
y
zy
x
+
+

+
+
+
Giải :
Đặt : a =
zy +
; b =
zx +
; c =
yx +
⇒
zyx ++
=
2
cba ++
⇒
2
cba
x
++−
=
;
2
cba
y
+−
=
;
2
cba

z
−+
=
Khi đó : D =
2 2 2
a b c a b c a b c
a b c
− + + − + + −
+ +
Vò B¸ Nam - THCS Thanh Thïy
11
Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c tËp vÒ cùc trj – To¸n líp 9
D =






−+++++ 3)()()(
2
1
a
c
c
a
b
c
c
b

a
b
b
a
Theo Cosi với a,b,c >0 ta có :
2;2;2 ≥+≥+≥+
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
⇒ D ≥
2
3
)3222(
2
1
=−++
⇒ D =
2
3
⇔ a = b = c ⇔ x = y = z > 0.
Vậy min D =

2
3
⇔ x = y = z > 0.
Ví dụ 5 : Tìm cực trị của E =
2222
2222
)1()1(
)1)((
yx
yxyx
++
−−
Giải :
Ta có :
4
)(
2
ba +
≥ a.b (1) ∀a,b và
ab
ba
≤
−−
4
)(
2
(2) ∀a,b
Đặt :
a
yx

yx
=
++
+
)1)(1(
22
22
và
b
yx
yx
=
++
−
)1)(1(
1
22
22
Khi đó : E =a.b
Theo (1) và (2) ta có : -
4
)(
2
ba +
≤ E = ab ≤
4
)(
2
ba +
⇔ -

2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
4 (1 )(1 ) 4 (1 )(1 )
x y x y x y x y
E
x y x y
   
− − + − + −
≤ ≤
   
+ + + +
   
⇔ -
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 ( 1)(1 ) 1 ( 1)(1 )
4 (1 )(1 ) 4 (1 )(1 )
x y x y
E
x y x y
   
− + + −
≤ ≤
   
+ + + +
   
⇔ -

2
2
2
1
1
.
4
1








+
−
x
x
≤ E ≤
2
2
2
1
1
.
4
1









+
−
y
y
Ta có : 0 ≤
2
2
2
1
1








+
−
x
x
≤ 1 ; 0 ≤

2
2
2
1
1








+
−
y
y
≤ 1
Do đó :
2
2
2
1
1
4
1
4
1









+
−
≤−
x
x
≤ E ≤
4
1
1
1
4
1
2
2
2
≤









+
−
y
y
⇒ min E =
4
1
−
⇔ (x
2
- 1)
2
= (x
2
+ 1)
2
⇔ x = 0
max E =
4
1
⇔ (1 - y
2
)
2
= (1 + y
2
)
2
⇔ y = 0
Vậy : min E =

4
1
−
⇔ x = 0 ; max E =
4
1
⇔ y = 0
Các bài tập tự luyện :
1. Tìm GTNN của A = x
2
+ 4 - x +
1
1
2
+− xx

2. Tìm GTLN của B =
aaa 350321 −+−++
với a∈






3
50
;
2
3

Vò B¸ Nam - THCS Thanh Thïy
12
Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c tËp vÒ cùc trj – To¸n líp 9
3. Cho a ≥ -
2
1
; b ≥ -
2
1
; c ≥ -
2
1
và a+ b + c = 1
Tìm GTLN của C =
121212 +++++ cba
4. Cho x,y > 0. Tìm GTNN của D =
43
2
2
2
2
+









+−+
x
y
y
x
x
y
y
x
5. Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 12
Tìm GTLN của E =
123123123 ++++++++ ccbbaa
4. Sử dụng biểu thức phụ:
Để tìm cực trị của 1 biểu thức nào đó, đôi khi người ta xét cực trị của 1 biểu
thức khác có thể so sánh được với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn.
Ví dụ : Để tìm cực trị của biểu thức A với A > 0, ta có thể xét cực trị của biểu thức :
A
1
, -A, kA, k + A, |A| , A
2
(k là hằng số).
Các vị dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Tìm GTLN của A =
1
24
2
++ xx
x
Giải :
* Xét x = 0 ⇒ A = 0 giá trị này không phải là GTLN của A vì với x ≠ 0 ta có A > 0.

* Xét x ≠ 0 đặt P =
A
1
khi đó max A ⇔ min P
với cách đặt trên ta có : P =
1
11
2
2
2
24
++=
++
x
x
x
xx
ta có : x
2
+
2
1
.2
1
2
2
2
=≥
x
x

x
(theo côsi)
⇒ P ≥ 2 + 1 = 3 ⇒ min P

= 3 ⇔ x = 1
Do đó : max A =
3
1
⇔ x = 1
Ví dụ 2 : Tìm GTNN của B =
2
)2002( +
−
x
x
với x > 0
Giải :
Đặt P
1
= - B như vậy max P
1
⇔ min B
Ta có : P
1
=
2
)2002( +x
x
với x > 0 ⇒ P > 0
Đặt P

2
=
1
1
P
> 0 với x > 0 khi đó min P
2
⇔ maxP
1
P
2
=
x
xx
x
x
22
2
20022002 2
)2002(
++
=
+
P
2
=
x
xxx 2002 420022002 2
22
++−

P
2
=
80082002.42002.4
)2002(
2
=≥+
−
x
x
(do
x
x
2
)2002( −
≥ 0 ∀x > 0)
Vò B¸ Nam - THCS Thanh Thïy
13
Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c tËp vÒ cùc trj – To¸n líp 9
⇒ min P
2
= 8008 ⇔ x = 2002
⇒ max P
1
=
8008
1
⇔ x = 2002
⇔ min B = -
8008

1
⇔ x = 2002
Vậy min B = -
8008
1
⇔ x = 2002
Ví dụ 3 : Cho a,b,c dương và a + b + c = 3
Tìm GTLN của C =
accbba 454545
+++++

Giải :
Do a,b,c > 0 ⇒ C > 0
Đặt : P = C
2
khi đó
maxP
⇔ max C
Ta có : P =
( )
2
5 4 5 4 5 4a b b c c a
+ + + + +
⇔ P ≤ (1
2
+ 1
2
+ 1
2
) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiacôpxki

P ≤ 3.9(a + b + c) = 81 do a + b + c = 3
⇒ max P = 81 ⇔ a = b = c = 1
⇔ max C
2
= 81 ⇔ a = b = c = 1
⇔ max C = 9 ⇔ a = b = c = 1
Vậy max C = 9 ⇔ a = b = c = 1

Ví dụ 4 : Cho x, y, z, t > 0
Tìm GTNN của D =
t
yx
yx
t
y
xt
xt
y
x
ty
ty
x
+
+
+
+
+
+
+
+

+
+
+
Giải :
Đặt P = 2D ta có :
P =
t
yx
yx
t
y
xt
xt
y
x
ty
ty
x
)(2
2
)(22)(2
2
+
+
+
+
+
+
+
+

+
+
+
P=








+
+
+
+
+
+








+
+
+
+









+
+
+
+








+
+
+ t
tx
y
xt
x
ty
t
yx

yx
t
y
xt
xt
y
x
ty
ty
x
2
3
2
2
2
2
2
2
P=








++++++









+
+
+
+








+
+
+
+









+
+
+ t
y
t
x
y
x
y
t
x
t
x
y
t
yx
yx
t
y
xt
xt
y
x
ty
ty
x
2
3
2
2

2
2
2
2
P ≥ 2 + 2 + 2 +
3
2
.6 (theo côsi)
P ≥ 15 ⇒ min P = 15 ⇔ x = y = t > 0
⇒ min D =
2
15
⇔ x = y = t
Vậy min D =
2
15
⇔ x = y = t
Vò B¸ Nam - THCS Thanh Thïy
14
Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c tËp vÒ cùc trj – To¸n líp 9
Ví dụ 5 : Cho x, y > 0 và 7x + 9y = 63 . Tìm GTLN của E = x.y
Giải :
Đặt : P = 63.E ta có :
P = 63xy = 7x.9y ≤
2
2
97







+ yx
(theo côsi)
P ≤
2
2
63






=
4
3969
⇒ Max P
=
4
3969
Dấu "=" xảy ra ⇔ 7x = 9y =
2
63
⇔








=
=
2
7
2
9
y
x
⇒ Max E =
4
3969
: 63 =
4
63
⇔



=
=
5,3
5,4
y
x
Ví dụ 6 : Cho x
2
+ y

2
= 52. Tìm GTLN của F = 2x + 3y
Giải :
Xét : P
1
= |F| khi đó P
1
= |2x + 3y|
Đặt : P
2
=
2
1
P
khi đó P
2
= (2x + 3y)
2
Theo Bunhiacôpxky : P
2
≤ (4 + 9) (x
2
+ y
2
) = 13.13.4
⇒ max P
2
= 13.13.4 ⇔




=
=
6
4
y
x
hoặc



−=
−=
6
4
y
x
⇒ max P
1
= 26
Do F ≤ |F| = P
1
⇒ max F = 26 ⇔



=
=
6
4

y
x
Vậy max F = 26 ⇔



=
=
6
4
y
x
Ví dụ 7 : Cho x,y > 0
Tìm GTNN của G =
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
++−−+
2
2
2

2
4
4
4
4
Giải :
Đặt : P = G - 2 ta có :
P =
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
++−−+
2
2
2
2
4
4
4
4
-2

P =








+−+








+−+








+−+









+−
x
y
y
x
x
y
x
y
y
x
y
x
x
y
x
y
y
x
y
x
2 21.21.2
2
2

2
2
2
2
4
4
2
2
4
4
P =
0
)(
11
2
2
2
2
2
2
2
2
≥
−
+









−+








−+








−
xy
yx
x
y
y
x
x
y

y
x
⇒ min P = 0 ⇔ x = y > 0
Vậy min G = 2 ⇔ x = y > 0

Vò B¸ Nam - THCS Thanh Thïy
15
Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c tËp vÒ cùc trj – To¸n líp 9
Các bài tập tự luyện :
1. Cho x,y, z > 0 và x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
Tìm GTNN của A
y
zx
x
yz
z
xy
++=
2. Cho x ≠ 0.
Tìm GTNN của B =
4
48
1
x

xx ++
3. Cho x ≠ 0
Tìm GTLN của C =
1
816
8
++ xx
x
4. Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
Tìm GTLN của D = a + 2b + 3c
5. Cho a,b > 0 và a + b = 2
Tìm GTNN của E =






−







−
22
4
1
4
1
ba
6. Cho a, b, c, d > 0
Tìm GTNN của F =
cba
ad
bad
dc
adc
cb
dcb
ba
++
+
+
++
+
+
++
+
=
++
+
7. Cho a,b ∈ |R

Tìm GTNN của G =
2222
)1()1( abba −++−+

5. Phương pháp miền giá trị:
Trong một số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số đã cho chỉ có thể có một
hoặc hai biến số và đưa được về dạng tam thức bậc 2 thì ta có thể sử dụng kiến thức
về miền già trị của hàm số để giải và thấy rất hiệu quả.
Đường lối chung là :
Giải sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị D. Gọi y là một giá trị
nào đó của f(x) với x ∈ D. Điều này có nghĩa là điều kiện để phương trình f(x) = y
có nghiệm. Sau đó giải điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm (x là biến, coi y
là tham số).
Thường đưa đến biểu thức sau : m ≤ y ≤M
Từ đó ⇒ min f(x) = m với x ∈ D.
⇒ max f(x) = M với x ∈ D.
Các ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1 : Tìm GTNN của f(x) = x
2
+ 4x + 5
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có : y = x
2
+ 4x + 5
⇔ x
2
+ 4x + 5 - y = 0 (có nghiệm)
⇔ ∆' = 4 - 5 + y ≥ 0
⇔ y ≥ 1

Vậy min f(x) = 1 ⇔ x = -2
Vò B¸ Nam - THCS Thanh Thïy
16
Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c tËp vÒ cùc trj – To¸n líp 9
Ví dụ 2 : Tìm GTLN của f(x) = - x
2
+ 2x - 7
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có : y = - x
2
+ 2x - 7
⇔ x
2
- 2x + y + 7 = 0 (có nghiệm)
⇔ ∆' = 1 - y - 7 ≥ 0
⇔ y ≤ - 6
Vậy min f(x) = - 6 ⇔ x = 1
Ví dụ 3 : Tìm cực trị của f(x) =
32
64
2
2
++
++
xx
xx
Giải :
Ta thấy f(x) xác định với mọi x . Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có : y =

32
64
2
2
++
++
xx
xx
⇔ yx
2
+ 2yx + 3y - x
2
- 4x - 6 = 0
⇔ (y - 1)x
2
+ 2 (y - 2).x + 3y - 6 = 0 (có nghiệm)
* Nếu y = 1 ⇒ x = -
2
3
* Nếu y ≠ 1 ⇒ ∆' = (y - 2)
2
+ (3y - 6)(1 - y) ≥ 0
⇔ y
2
- 4y + 4 - 3y
2
+ 3y + 6y - 6 ≥ 0
⇔ - 2y
2
+ 5y + 2 ≥ 0

⇔
2
1
≤ y ≤ 2
Vậy : min f(x) =
2
1
⇔ x = -3 max f(x) = 2 ⇔ x = 0

Ví dụ 4 : Tìm GTNN của f(x) =
12
62
2
2
+−
++
xx
xx
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có : y =
12
62
2
2
+−
++
xx
xx

⇔ yx
2
+ 2yx + y - x
2
- 2x - 6 = 0
⇔ (y - 1)x
2
- 2(y + 1)x + y - 6 = 0 (có nghiệm)
* Nếu y = 1 ⇒ x = -
4
5
* Nếu y ≠ 1 ⇒ ∆' = (y + 1)
2
- (y - 1)(y - 6) ≥ 0
⇔ y
2
+ 2y + 1 - y
2
+ 6y + y - 6 ≥ 0
⇔ 9y - 5 ≥ 0
⇔ y ≥
9
5
Vò B¸ Nam - THCS Thanh Thïy
17
Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9
Do
9
5
< 1 nờn ta cú min y =

9
5
x = -
2
7
Vy min f(x)

=
9
5
x = -
2
7
Vớ d 5 : Tỡm GTLN ca f(x) =
1
2
2
2
+
+
x
x
Gii :
Do f(x) xỏc nh vi mi x . Gi y l mt giỏ tr ca f(x).
Ta cú : y =
1
2
2
2
+

+
x
x
yx
2
+ y - x
2
- 1 = 0
(y - 1)x
2
+ y - 2 = 0
(y - 1)x
2
= 2 - y (cú nghim)
* Nu y = 1 Phng trỡnh vụ nghim
* Nu y 1 x
2
=
1
2


y
y
(1)
(1) cú nghim
1
2

y
y
0 1 < y < 2
max y = 2 x = 0
Vy max f(x)

= 2 x = 0
Vớ d 6 : Tỡm cc tr ca
2
2
2 3
( )
2
x x
f x
x
+ +
=
+
Gii:
f(x) xỏc nh vi mi x . Gi y
0
l mt giỏ tr no ú ca f(x) suy ra phng trỡnh
2
0
2
2 3
2
x x
y

x
+ +
=
+
cú nghim
2
0 0
(1 ) 2 3 2 0x y x y
+ + =
cú nghim
'
0 0
1 (1 )(3 2 ) 0y y
=
2
0 0
2 5 2 0y y
+
Gii bpt ny c
0
1
2
2
y

- Xột y
0
= 2 suy ra x = 1
- Xột y
0

= 1/2 suy ra x = -2.
Vy max f(x) = 2 khi x = 1 ; min f(x) = 1/2 khi x = - 2.
Chỳ ý :
Nu 1- y
0
= 0 suy ra y
0
= 1 thỡ phng trỡnh ó cho cng cú nghim, nhng
1/2 < y
0
= 1 < 2 nờn kt qu bi toỏn khụng thay i.
Vớ d 7: Tỡm cc tr ca
4 2
4 2
3 2 6
( )
1
x x
f x
x x
+
=
+ +
Gii:
f(x) xỏc nh vi mi x . t
2
0.x m
=
Gi y
0

l mt giỏ tr no ú ca f(x) suy ra
phng trỡnh
Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy
18
Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c tËp vÒ cùc trj – To¸n líp 9

2
0
2
3 2 6
1
m m
y
m m
− +
=
+ +
(*) phải có nghiệm không âm. (I)
(*)
2
0 0 0
(3 ) (2 ) 6 0m y m y y⇔ − − + + − =
có
0 0
34
3( 2)( )
3
y y∆ = − − −
0
0

2
3
y
S
y
+
=
−
;
0
0
6
3
y
P
y
−
=
−
Do đó điều kiện (I) xảy ra khi:
Hoặc
0
0 3 6P y≤ ⇔ < ≤
(1)
Hoặc
0
0
0
S
P

∆ ≥


≥


≥


0
0 0
0
34
2
3
6; 3
2 3
y
y y
y

≤ ≤


⇔ ≥ <


− ≤ <



0
2 3y⇔ ≤ <
(2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra để phương trình có nghiệm không âm thì
0
2 6y≤ ≤
+ Với y
0
= 2 suy ra m = 2 hay
2x = ±
+ Với y
0
= 6 suy ra
0 0
8
3
m x
m x
= ⇒ =



= − ⇒ ∃


Vậy min f(x) = 2 tại
2x = ±
; max f(x) = 6 tại x = 0
Nhận xét:

Qua ví dụ trên ta thấy cách giải này rất có hiệu quả trong việc tìm cực trị của
hàm bậc hai, hàm phân thức dạng:
2
' 2 ' '
ax bx c
a x b x c
+ +
+ +
hoặc
4 2
' 4 ' 2 '
ax bx c
a x b x c
+ +
+ +
bằng cách đặt
ẩn phụ.
Ví dụ 8: Tìm max
( ) 6 2f x x x
= − + +

Giải:
TXĐ :
2 6x
− ≤ ≤
.
Đặt
6 ; 0x u u
− = ≥
;

2 ; 0x v v
+ = ≥
Gọi y
0
là một giá trị nào đó của f(x) /
0
0y ≥
, tức là
0
2 2
8
y u v
u v
= +


+ =

có nghiệm (u ; v)
không âm
( )
0
2
2
0
8 0
u y v
y v v
= −



⇔

− + − =


(*) có nghiệm không âm.
(*)
2 2
0 0
2 2 8 0v vy y⇔ − + − =
có nghiệm không âm
2 2
0 0
16 0 16y y⇔ ∆ = − + ≥ ⇔ ≤
0
4 4y⇔ − ≤ ≤
. Vì
0
0y ≥
nên
0
0 4y≤ ≤
.
Với y
0
= 4 thì v = 2 suy ra x = 2 ( thoả mãn)
Vậy max f(x) = 4 với x = 2.
Vò B¸ Nam - THCS Thanh Thïy
19

Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c tËp vÒ cùc trj – To¸n líp 9
Chú ý:
ở ví dụ 8 ta cũng có thể tìm được min của f(x) bằng cách tìm điều kiện để hệ (*)
có nghiệm không âm và ta tìm được điều kiện của y
0
là
0
2 2 4y≤ ≤
.
Do đó min f(x) =
2 2
với x = 6 hoặc x = -2
Nhận xét:
Với dạng
' '
( )f x ax b a x b= ± ± ±
bằng cách đặt ẩn phụ
' '
;u ax b v a x b= ± = ±
rồi
xây dựng
2 2
u v± =
const để đưa về dạng quen biết đã biết cách giải.
Các bài tập tự luyện :
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất,( nhỏ nhất) của
a/
2
( ) 9 5 1f x x x= − +
b/

2
( ) 8 7 3f x x x= − + −
c/
2
( ) 6 4f x x x= − +
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức
a/
2
2
1
( )
1
x x
f x
x x
+ +
=
− +
b/
4 2
4
3 4 3
( )
2 1
x x
f x
x x
+ +
=
+ +

Bài 3: Cho
2
2
( )
1
ax bx c
f x
x
+ +
=
+
, Tìm a, b để Max f(x) = 9; Min f(x) = -1.
Bài 4: Tìm giá trị nguyên của m sao cho giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức sau cũng nguyên
2
2
12 12
( )
6
x mx
f x
x
−
=
+
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của :
( ) 3 5f x x x
= − + +
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của f(x; y) =
2x y

−
với x; y thoả mãn
2 2
4 1x y+ =
Bài 7: Xác định giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
2 2
( ) 2 1 1f x x m x m m= + + + − −
trên đoạn
[ ]
1;2−
bằng 1.
ĐÁP SỐ, HƯỚNG DẪN
Bài 1: Đưa về ví dụ 1
a/ min f(x) =
11
36
, tại x =
5
18
b/ max f(x) =
47
32
, tại x =
7
16
c/ min f(x) =
95
24
, tại x =

1
12
Vò B¸ Nam - THCS Thanh Thïy
20
Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9
Bi 2: Xem vớ d 2; vớ d 3
a/ max f(x) = 3 ti x = 1; min f(x) = 1/3 ti x = - 1
b/ max f(x) = 3 ti x = 0; min f(x) = 5/2 ti x = - 1; x = 1
Bi 3: a v vớ d 3 ri kt hp iu kin Max f(x) = 9, Min f(x) = -1. Gii ra c
a = 8, b =7 hoc a = - 8, b = 7
Bi 4: Tng t bi 3, gii ra c m = 8, m= - 8
Bi 5: Nh vớ d 4, tỡm c max f(x) = 4 vi x = -1
Bi 6: Nh vớ d 5, gii ra c max f(x, y) =
2
vi
2 2
;
2 4


ữ
ữ

hoc vi
2 2
;
2 4


ữ

ữ

Bi 7: m = -9/8
6. Phng phỏp xột tng khong giỏ tr:
Cú nhiu bi toỏn nu ta ch s dng cỏc phộp bin i tng ng, cỏc bt
ng thc c bn phng phỏp i bin hay biu thc ph, thm chớ ngay c khi s
dng phng phỏp min giỏ tr hm s, vic tỡm cc tr vn gp rt nhiu khú khn
cú khi khụng th tỡm c. Nhng khi ta bit cỏch xột tng khong hp lý (cú s d
oỏn) thỡ vic tỡm c cc tr tr nờn n gin.
Cỏc vớ d minh ha:
Vớ d 1 : Cho m, n N*. Tỡm GTNN ca A = |36
m
5
n
|
Gii :
m N* 36
m
cú ch s tn cựng l 6
n N* 5
n
cú ch s tn cựng l 5
Vỡ vy : Nu 36
m
> 5
n
thỡ A cú ch s tn cựng l 1
Nu 5
n
> 36

m
thỡ A cú ch s tn cựng l 9
Vy Min A ch cú th bng 1, 9, 11
a) Xột A = 1 ta cú : 36
m
5
n
= 1 (khụng xy ra) vỡ
(36
m
- 1)
M
7 cũn 5
n
khụng chia ht cho 7
b) Xột A = 9 ta cú : 5
n
- 36
m
= 9 (khụng xy ra) vỡ
(5
n
- 36
m
) khụng chia ht cho 9 cũn 9
M
9
c) Xột A = 11 , xy ra , chng hn m = 1, n = 2
Vy min A = 11 m = 1; n = 2
Vớ d 2 : Cho m N* . Tỡm giỏ tr ln nht ca B =

n
n
2
2
Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy
21
Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9
Gii :
Vi n = 1 ta cú : B =
2
1
< 1
Vi n = 2 ta cú : B = 1
Vi n = 3 ta cú : B =
8
9
> 1
Vi n = 4 ta cú : B = 1
Vi n = 5 ta cú : B =
32
25
< 1
Vi n = 6 ta cú : B =
16
9
64
36
=
< 1

Ta d oỏn rng vi n 5, n N thỡ B < 1
Tht vy : Ta chng minh d oỏn bng phng phỏp quy np.
Gi s n 5, n N ta cú B =
n
n
2
2
< 1 (*)
Ta cn phi chng minh cụng thc (*) ỳng vi (n + 1) ngha l phi chng minh :
1
2
)1(
1
2
<
+
+n
n
(n + 1)
2
< 2
n+1
(1)
T (*) ta cú : n
2
< 2
n
2n
2
< 2

n+1
(2)
chng minh (1) ta chng minh (n + 1)
2
< 2n
2
n
2
+ 2n + 1 < 2n
2
n
2
- 2n - 1 > 0 (n - 1)
2
- 2 > 0 (ỳng vỡ n 5)
Kt lun : B =
n
n
2
2
< 1 n 5, n N*
Vy max B =
8
9
n = 3
Cỏc bi tp t luyn :
1. Tỡm GTNN ca A = |11
m
5
n

| vi m,n N*
2. Cho a, b, c, d N* v a + b = c + d = 1000.
Tỡm GTLN ca B =
d
b
c
a
+
3. Cho m, n N v 1 m ; n 1981 v (n
2
- mn - m
2
)
2
= 1
Tỡm GTLN ca C = m
2
+ n
2

7. Mt s sai lm thng gp khi gii bi toỏn cc tr
a. Sai lm khi s dng nhiu bt ng thc khỏc nhau
Vớ d 1: cho x, y l cỏc s dng tha món x + y =1 .
Tỡm GTNN ca biu thc :
1 4
A =
x y
+
Gii sai: p dng bt ng thc cụ si cho hai s khụng õm
1 4

,
x y
ta cú:
1 4 4
x y
xy
+
(1)
Li cú:
1
2 2
x y
xy
+
=
(2 )
Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy
22
Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9
T (1) v (2) suy ra :
1 4 4 4
A = 8
1
x
2
y
xy
+ =
. Vy min A = 8
Phõn tớch sai lm:

ng thc sy ra (1) khi
1 4
4
x
x y
y
= =
ng thc sy ra (2) khi x = y . T ú suy ra x = y = 0 ( Loi vỡ x + y = 1)
Cú bn n õy kt lun khụng cú giỏ tr nh nht cng l kt lun sai.
Gii ỳng: Vỡ x + y = 1 nờn
( )
1 4 4
A = x+y 5
x
x y
y y x

+ = + +
ữ

p dng bt ng thc Cụ Si cho hai s khụng õm
4
,
x y
y x
Ta cú :
4 4
2 . 4
x y x y
y x y x

+ =
Du = xy ra khi
1
4
2
3
1 2
1
3
x y
x
y x
y x
x y
y
x y


=

=
=




+ =


=

+ =



Lu ý: Nu s dng nhiu BT khỏc nhau trong 1 bi toỏn thỡ ta phi kim tra xem
chỳng cú ng thi sy ra du bng khụng. Cú nh vy thỡ hng gii ca bi toỏn mi
ỳng.
b. Sai lm khi khụng s dng ht iu kin ca bi toỏn:
Vớ d 2: Cho x, y l cỏc s dng tha món x + y= 1. Tỡm GTNN ca :
2
2
1 1
A = x+
x
y
y


+ +
ữ
ữ


Gii sai: Ta cú:
1 1
x+ 2 x. 2
x x
=
(1)

1 1
y+ 2 y. 2
y y
=
(2)
T (1) v (2) =>A

8 => min A = 8
Phõn tớch sai lm: ng thc sy ra (1) khi
2
1
1
x
x x= =
ng thc sy ra (2) khi
2
1
1
y
y y= =
. T ú suy ra x = y = 1 ( Loi vỡ x + y = 1)
Gii ỳng: p dng bt ng thc cụ si cho hai s dng ta cú :
x + y 1 1
2 2 4
xy xy xy
Ta cú :
2
2
2 2
1 1

A = 4 + x +y +
x y


+
ữ
ữ


. Khi ú: x
2
+ y
2
= (x + y)
2
2xy

1 -
1
2
=
1
2
(1)
2 2 2 2
1 1 1 2
2 8
x y x .y xy
+ =
(2).

T (1) v (2) =>A

8 +
1
2
+4 =
25
2
=> min A =
25
2
khi x = y =
1
2
Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy
23
Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9
Lu ý: Khi gii bi toỏn m khụng s dng ht iu kin ca u bi thỡ cn kim tra
li gi thit. Cú nh vy thỡ hng gii ca bi toỏn mi ỳng.
c. Sai lm trong chng minh iu kin 1:
Vớ d 1: Tỡm GTLN ca bt:
2
1
A =
6 17x x +
Li gii sai: A t max khi
2
6 17x x +
t min Ta cú :
( )

2
2
6 17 3 8 8x x x + = +
Do ú min
( )
2
6 17 8 3x x x + = =
. Vy max A =
1
8
3x
=
Phõn tớch sai lm: Kt qu ỳng nhng lp lun sai ch cho rng A cú t khụng
i nờn t GTLN khi mu t GTNN m cha a ra nhn xột t v mu l cỏc s
dng
Li gii ỳng: B xung thờm nhn xột
( )
2
2
6 17 3 8 8x x x + = +
nờn t v mu ca
A l dng
Vớ d 2: Tỡm GTNN cu A = x
2
+ y
2
bit : x + y = 4
Ta cú : A = x
2
+ y

2


2xy => A t GTNN
2 2
2
2
4
x y xy
x y
x y

+ =
= =

+ =

Khi ú minA = 8
Phõn tớch sai lm: ỏp s khụng sai nhng lp luõn sai lm ch ta mi c/m c
f(x,y)

g(x,y) ch cha c/m c f(x,y)

m vi m l hng s.
Chng hn:
T x
2


4x 4 => x

2
t nh nht

x
2
= 4x 4

(x 2 )
2
= 0

x =2
i n min x
2
= 4

x = 2 . D thy kt qu ỳng phi l min x
2
= 0

x = 0
Li gii ỳng: Ta cú x + y = 4

( )
2
x + y =16
(1)
Ta li cú :
( )
2

2 2
x - y 0 x -2xy+y 0
(2)
T (1) v (2) => 2( x
2
+ y
2
)
16

=> A = x
2
+ y
2

8


Vy min A = 8 khi v ch khi x = y = 2.
Lu ý:
Cn nm vng t/c ca BT c th trong trng hp so sỏnh hai phõn s cú t v
mu l s t nhiờn, s nguyờn Cú nh vy thỡ hng gii ca bi toỏn mi ỳng.
d. Sai lm trong chng minh iu kin 2
Vớ d 1: Tỡm GTNN ca A = x +
x

Li gii sai : x +
x
=
( )

2
2
1 1 1 1 1 1
x +2 x x
2 4 4 2 4 4

+ =
ữ

. Vy: min A =
1
4

P/tớch sai lm: sau khi c/m f(x)

1
4

cha ch ra trng hp xy ra f(x) =
1
4


1
2
x =
(vụ lớ)
Li gii ỳng: KTT
x
l

0x
do ú : A = x +
x
0
=> min A = 0
0x =
Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy
24
Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9
Vớ d 2: Tỡm GTLN ca
( ) ( ) ( )
A = xyx z+y y+z z+x
vi x, y , z l cỏc s khụng
õm v x +y+ z =1
Li gii sai: p dng BT
( )
2
4xy x y
+
ta cú :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
4x z+y x+y+z 1
4y z+x x+y+z 1
4z x+y x+y+z 1
=

=
=

=>
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
64xyx z+y y+z z+x 1 =>xyx z+y y+z z+x
64

. Vy max A =
1
64
Phõn tớch sai lm: Sai lm ch cha chi ra kh nng xy ra du =
K max A =
1
64
l :
z+y = x
y+x = z 0
x+z = y x + z + y = 1
x + z + y = 1 x, y, z 0
x, y, z 0
x y z


= = =

( vụ lớ )
Li gii ỳng: Ta cú :
3
1 = x +y+ z 3 x.y.z
(1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2 = x +y + z+x + y+ z 3 x +y z+x y+ z
(2)
T (1) v (2) =>
( ) ( ) ( )
3
2 3 . . . x +y z+x y+ zx y z
hay:
3
3
2
2 3 A A
9

=>
ữ

max A =
3
2
9

ữ

khi
( ) ( ) ( )
x +y = z+x = y+ z
1
1
3
, , 0
x y z x y z
x y z


+ + = = = =




Vớ d 3: Tỡm giỏ tr nh nht ca
(x a)(x b)
A
x
+ +
=

vi x > 0, a, b l cỏc hng s dng.
Li gii sai: Ta cú:
( ) ( )
2 ax
2 ax.2 bx 4 ab
2 bx
x a
x a x b x
x b

+

+ + =

+


Do ú:
(x a)(x b) 4x ab
A 4 ab
x x
+ +
= =
vy min A =
4 ab x a b = =
Phõn tớch sai lm: Nu
a b
thỡ khụng cú: A =
4 ab
Li gii ỳng : Ta cú

2
(x a)(x b) x ax+ bx+ab ab
A x (a b)
x x x
+ + +

= = = + + +
ữ

.
Theo bt ng thc Cauchy :
ab
x 2 ab
x
+
nờn A 2
ab
+ a + b =
( )
2
a b+
min A =
( )
2
a b+


=
x ab
.

PHN TH T
KT QU THC HIN TI Cể SO SNH I CHNG
Nh vy sau khi tụi thc hin ti ny thỡ cỏc em trong lp ó lm vng cỏch
gii bi toỏn v tỡm cc tr , t ú cỏc em ham thớch hc mụn toỏn hn v xay mờ
Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy
25