(SKKN mới NHẤT) SKKN một vài kinh ghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thứ

Mục lục
Phần I : Mở đầu............................................................................................trang 2
Phần II : Nội dung.........................................................................................trang 2
1. Cơ sở lý luận.........................................................................................trang 2
2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến.............................trang 4
3. Các giải pháp .......................................................................................trang 5
4. Hiệu quả của sáng kiến………………………………………………trang 16
Phần III : Kết luận........................................................................................ trang 17
Tài liệu tham khảo........................................................................................trang 19
Phụ lục .................................................................................................trang 20-21

download by :


1. MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài:
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi
dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố và nâng cao kiến thức phổ thơng, đặc biệt
là bộ mơn Tốn học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người.
Mơn Tốn là một mơn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần
các em ngại học môn này.
Trong hoạt động dạy và học của nhà trường, vấn đề tìm tịi đúc kết nâng tầm
giải tốn theo hướng tổng quát, từ đó làm rõ nội dung những bài toán ở dạng đặc
biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu và có
nhiều cơ hội sáng tạo, đó cũng chính là đổi mới phương pháp dạy học .
Qua thực tế giảng dạy, việc chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng kiến
thức về lượng giác đối với học sinh còn mới mẻ, chưa thành thạo. Tuy nhiên với
một số bài toán về bất đẳng thức đại số nếu ta sử dụng kiến thức lượng giác vào
giải quyết thì lại rất dễ dàng.Với lý do đó, tơi nghiên cứu thực hiện đề tài: ‘ Một vài
kinh ghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức

đại số’’.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu ứng dụng của lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại
số.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn, tham khảo tài
liệu liên quan. .
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua q trình
giảng dạy.
- Thơng qua việc giảng dạy trực tiếp trong năm học 2017-2018 và 2018-2019.

download by :

2


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến
+.Tập xác định, tập giá trị, chu kỳ của các hàm số lượng giác.
Hàm số y = sinx :
-Tập xác định : R
-Tập giá trị :
-Chu kì :

Hàm số y = cosx :
-Tập xác định : R
-Tập giá trị :
-Chu kì:
Hàm số y = tanx
-Tập xác định:
-Tập giá trị: R
-Chu kì:
Hàm số y = cotx
-Tập xác định:
-Tập giá trị: R
-Chu kì:
Chú ý: Áp dụng BĐT Bunhiacơpski, ta có kết quả sau

Vậy ta có:
Kết quả (*) sẽ được áp dụng nhiều trong đề tài.
+.Các dấu hiệu:
Dựa vào một số dấu hiệu sau đây để có thể ứng dụng lượng giác vào giải quyết
một số bài toán về đại số
1) Nếu có điều kiện của là
, ta có thể đặt:
với
Trong trường hợp riêng:
 Nếu

hoặc

.

ta có thể đặt:

với

 Nếu

với

hoặc

với

.

ta có thể đặt :

download by :

3


với
2) Nếu có điều kiện của

là

với

.

, ta có thể đặt:

với
3) Nếu

hoặc

hoặc

với

.

, ta có thể đặt:
với

hoặc

với

.

Trong trường hợp riêng:
Nếu
, ta có thể đặt:
với
 Nếu

với

.

, ta có thể đặt :
với

4) Nếu

hoặc

hoặc

thỏa mãn điều kiện

với

với

.
, ta được :

.
đặt
với
Trong trường hợp này nếu cần sử dụng tới dấu của
ta có thể hạn chế góc
Ngồi ra học sinh cần nắm vững cách giải phương trình lượng giác.
Chú ý : Vì hàm lượng giác là tuần hồn nên khi đặt điều kiện các biểu thức lượng
giác thật khéo léo sao cho lúc khai căn khơng có giá trị tuyệt đối, có nghĩa ln
ln dương.
5) Các biểu thức thường được lượng giác hóa
Biểu thức
Cách lượng giác hóa biểu thức

với
với
với

hoặc
hoặc
hoặc

với
với
với

download by :

4


2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
Hầu hết học sinh kể cả với những học sinh khá giỏi các em đều cảm thấy
“ngại” khi gặp các bài tốn chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất.Quá trình giảng dạy tại trường THPT Quan Hóa giúp tơi thấy được thực
trạng đáng buồn là gần như 100% học sinh đều xem như “khơng có” bất đẳng thức
trong việc học tập và ơn luyện mơn tốn. Qua tìm hiểu và khảo sát với câu hỏi “Bất
đẳng thức là gì? Có quan tâm đến bài tốn bất đẳng thức trong các kỳ thi hay
khơng?” tôi nhận được kết quả như sau:
Trả lời
Số HS
được hỏi
100

Không biết, Biết chút ít Có quan tâm Biết, quan tâm
khơng
quan nhưng khơng nhưng
thấy và
muốn
tâm
quan tâm
q khó
nghiên cứu
81
11
5
3

Từ thực tế “đáng buồn” như vậy dẫn đến việc cả giáo viên và học sinh
thường hay bỏ qua chủ đề bất đẳng thức trong việc ôn luyện, ảnh hưởng không nhỏ
đến kết quả cuối cùng trong việc thi cử. Với mong muốn phần nào đó dần dần khắc
phục vấn đề này tơi đã thực hiện thí điểm đề tài ở các lớp 11A1, 11A4 trong các
tiết tự chọn sẵn có.
2.3. Các giải pháp
Để thay đổi hình thức của bài tốn từ việc chứng minh bất đẳng thức đại số
thành việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác, ta thực hiện theo 2 bước sau đây:
-Bước 1: Từ bài toán với cách đặt hợp lý, ta chuyển từ bài toán bất đẳng thức
đại số về bài toán bất đẳng thức lượng giác.
-Bước 2: Thực hiện việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác.
Chú ý: Để thực hiện đề tài trên một cách hiệu quả, ta phân loại thành các dạng cụ
thể, qua cách phân loại đó khi áp dụng đề tài trên giảng dạy cho học sinh thì học
sinh dễ dàng tiếp thu hơn và hình thành kỹ năng cơ bản khi sử dụng lượng giác vào
chứng minh một số bài toán về bất đẳng thức đại số một cách rõ ràng. Trong khuôn
khổ của đề tài phân thành một số dạng sau:

1- Dạng 1: Nếu cho
Ta đặt:
với
( hoặc đặt

với

)

Các ví dụ minh họa dạng 1:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng
Giải
Điều kiện: 1 – x2 ³ 0 Û ½x½ £ 1

download by :

5


Đặt x = cosa với a Ỵ [0; p]
Khi đó bất đẳng thức (1) được biến đổi về dạng:
Û ½4(cos3a - sin3a) – 3 (cosa - sina)½ £ 2
Û ½(4cos3a - 3cosa) + (3sina - 4sin3a)½£ 2 Û½cos3a + sin3a½£ 2
Û

(đúng)

Vậy (1) được chứng minh.
Nhận xét: Qua ví dụ 1, từ bài toán bất đẳng thức đại số (1) với cách đặt
,

ta chuyển về chứng minh bất đẳng thức lượng giác (2). Sử dụng kiến thức lượng
giác ta chứng minh được bất đẳng thức (2), có nghĩa là bất đẳng thức (1) được
chứng minh.
Ta xét tiếp các ví dụ tiếp theo sau đây
Ví dụ 2: Chứng minh rằng :
(1)
Giải
Điều kiện:
Đặt: x = cos với
.
Khi

đó

(1)

trở

thành:
(ln đúng). Thật vậy

theo BĐT Bunhiacopxki thì
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng :
Giải
Điều kiện:
Đặt: x = cos với
Khi đó (1) trở thành:

(1)

.

(2)
Theo BĐT Bunhiacơpski thì (2) ln đúng, vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng : Nếu
thì
(1)
Giải

download by :

6


Từ giả thiết:

nên ta đặt
với

Khi đó (1) trở thành:

(ln đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
2- Dạng 2: Nếu cho
Ta đặt:
( hoặc đặt

với
với

)

Các ví dụ minh họa dạng 2:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng :
(1)
Giải
Điều kiện:
Đặt x = 3sin

với

Khi đó (1) trở thành :
(ln đúng )
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: với a >0
(1)
Giải
Điều kiện:
Đặt:

với

Khi đó (1) trở thành:
(ln đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 3: Với a > 0. Chứng minh rằng
(1)
Giải
Điều kiện:

download by :

7


Đặt:
với
Khi đó (1) trở thành:

Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng : Với a > 0, ta có
(1)
Giải
Điều kiện:
Đặt:

.

x = a sin

Khi

, y = a sin

với

đó

(1)

trở

thành:

(ln đúng )
Vậy (1) được chứng minh.
3- Dạng 3: Nếu cho
Ta đặt:
và
( hoặc đặt
và
Các ví dụ minh họa dạng 3:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Nếu x2+y2 = 1 thì
Giải
Vì x2+y2 = 1, nên ta đặt:

.

)

Khi đó, ta có:

=
Ví dụ 2:

Cho x2 + y2 = 1 ; u2 + v2 = 1. Chứng minh rằng
a) ½xu + yv½£ 1.
b) ½xv + yu½£ 1.
c) –2 £ (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) £ 2.

Giải
Đặt x = cosa ; y = sina ; u = cosb ; v = sinb
và 0 £ a, b £ 2p. Khi đó

download by :

8


a) ½xu + yv½=½cos(a – b)½£ 1.
b) ½xv + yu½=½sin(a + b)½£ 1.
c) (x – y)(u + v) + (x + y) (u – v)=(cosa – sina)(cosb+sinb)+(cosa + sina)(cosb –
sinb)
= 2cos(a + b)
Rõ ràng –2 £ 2cos(a + b) £ 2 nên
–2 £ (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) £ 2.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: Với mọi a, b ta có
(1)
Giải
Ta có :

(

Nên

đặt:

ta

.
.

(ln đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Với mọi x , y ta có :
(1)
Giải
Ta có :

(

, (

.

Nên ta đặt:
.
Khi đó (1) trở thành :
(ln đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 5: Cho
. Chứng minh rằng :
(1)

download by :

9

Giải
(1)
Ta có:

(2)
(

,

nên ta đặt:

(
,

Khi đó (2) trở thành:
Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh.
4- Dạng 4: Nếu cho
Ta đặt:
( hoặc đặt
Các ví dụ minh họa dạng 4:
Ví dụ 1: Cho
. Chứng minh rằng

(ln đúng).

và
và

)

(1)
Giải
Đặt:
Khi đó (1) trở thành :
(ln đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 2: Cho
. Chứng minh rằng
(1)
Giải
Đặt:
Khi đó (1) trở thành:

(ln đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 3: Cho
Chứng minh rằng :

download by :

10


(1)
Giải
Đặt:
Khi đó (1) trở thành :
(ln đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
5- Dạng 5: Nếu cho (ax) + (by) = 1 .

Ta đặt: ax = sin , by = cos
( hoặc đặt ax = cos , by = sin
Các ví dụ minh họa dạng 5 :
Ví dụ 1: Cho 4x + 9y = 25. Chứng minh rằng
(1)
Giải
4x + 9y = 25
Đặt:

)

.
,

Khi đó (1) trở thành :
(ln đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 2: Cho

. Chứng minh rằng
(1)

Giải
Đặt:
Khi đó (1) trở thành:
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 3: Cho
. Chứng minh rằng :
Giải
Đặt : 2x = cos , 3y = sin

download by :

(luôn đúng)
(1)

11


Khi đó (1) trở thành :
(ln đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 4: Cho
. Chứng minh rằng :
(1)
Giải
Đặt: ax = cos , by = sin
Khi đó (1) trở thành:
( ln đúng )
Vậy (1) được chứng minh.
6- Dạng 6: Nếu cho
Ta đặt:

x=

.
với

( hoặc đặt x =

.
với

)

Các ví dụ minh họa dạng 6:
Ví dụ 1: Cho

. Chứng minh rằng :

(1)

Giải
Vì giả thiết

nên ta đặt

Ta có

=

= cos (tan

+

)=

(ln đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 2: Cho

. Chứng minh rằng:
(1)
Giải
Vì

nên ta đặt

download by :

12


(ln đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 3: Cho
. Chứng minh rằng:
(1)
Giải
Vì

nên ta đặt

=

=

(ln đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 4: Cho
. Chứng minh rằng:

(1)
Giải
(1)

(2)

Vì

nên ta đặt

với

Khi đó (2) trở thành :

(ln đúng)
Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng:
Giải

download by :

13


Điều kiện: x2 – 1 ³ 0 Û ½x½ ³ 1.
1

t: ẵxẵ =
, vi a ẻ [0; ).
cos

2
Khi ú bất đẳng thức (1) được biến đổi về dạng:
1
2
2
1  3 
 tg  3 
2
cos 
cos 
cos 
1
3
Û sina + 3 cosa £ 2 Û sina +
cosa £ 1
2
2

Û sin (a + ) £ 1 (luôn đúng)
3
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 6: Cho
. Chứng minh rằng :

Giải
Đặt
Khi đó

A=
(1+cos2t)

6sin2t =

Vì

=

cos2t

6sin2t

.

Nên
Ví dụ 7: Cho

. Chứng minh rằng

Giải
Vì

nên đặt : x =

Khi đó A =
=

, với t

=
[

=

download by :

14


Vì

nên

7- Dạng 7: Nếu cho
Ta đặt: x = tan

với

(hoặc ta đặt x = cot

với

)

Các ví dụ minh họa dạng 7:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với mọi x ta có
(1)
Giải
Ta có (1)
Đặt

x

(2)
=

tan

với

.

Khi

đó

(2)

trở

thành

.
Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng : Với mọi x ta có
(1)
Giải
(1)

(2)

Đặt x = k tan

với

Khi đó (2) trở thành:

Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng
(a + b)4 £ 8(a4 + b4)
Giải
*Với a = 0: bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
*Với a ¹ 0: chia hai vế cho a4

(1)

(2)
đặt tan

=

với –



< < .
2
2

download by :

15


Bất đẳng thức (2) trở thành: (1 + tan )4 £ 8(1 + tan4 )
Û (cos + sin )4 £ 8(cos4 + sin4 )
Û 8(cos4 + sin4 ) – (cos + sin )4³ 0
Vì sin4
(sin

+ cos4

= (sin2

+ cos2 )2 – 2sin2

cos2

(3)

=

+ cos )4 = (1 + sin2 )2 =

9 5
 cos4 – 2sin2 ³ 0.
2 2
Điều này hiển nhiên đúng vì cos4 ³ –1 và –2sin2 ³ –2 nên (3) đúng.
Vậy (1) được chứng minh.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến
Qua việc thực hiện đề tài với các em học sinh, tơi thấy đề tài:

+ Ngồi các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đã biết, đề tài trang bị cho
học sinh thêm một phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số bằng cách sử
dụng kiến thức về lượng giác. Đơi khi một số bài tốn nếu giải theo những cách
khác thì việc giải quyết có thể phức tạp nhưng nếu sử dụng kiến thức lượng giác
vào giải quyết thì bài toán trở nên dễ dàng. Tuy nhiên để áp dụng được lượng giác
vào chứng minh bất đẳng thức đại số đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức
vềlượng giác, kiến thức về bất đẳng thức.
+ Với việc ứng dụng lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại số đã
truyền cho học sinh sự sáng tạo trong cách học toán, truyền thêm sự say mê toán
học.
+ Với việc ứng dụng lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại số của
đề tài, từ đó bằng cách tương tự ta có thể vận dụng vào giải quyết một số bài toán
đại số khác: chứng minh đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, giải
phương trình, giải hệ phương trình… và vận dụng lượng giác trong giải một số bài
tốn hình học. Nói cách khác là đề tài trên còn gợi ý cho ta giải quyết nhiều bài
tốn đại số, hình học dựa vào lượng giác.
+ Thực hiện đề tài trên với các em học sinh lớp 11A1, 11A4 do tôi dạy, tôi thấy
các em rất hứng thú học tập bởi nó đã trang bị cho các em thêm một phương pháp
giải toán về bất đẳng thức và như vậy đề tài trên thật sự có ích đối với học sinh. Đề
tài này có thể áp dụng trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi; bồi dưỡng đội
tuyển, ôn thi Đại học. Tuy nhiên để đạt hiệu quả cao khi giảng dạy cho học sinh thì
giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh là: khi gặp bài tốn có dấu hiệu gì thì dùng
được phương pháp lượng giác, chính vì vậy trong đề tài tơi đã phân loại một số
dạng toán nhằm tạo cho học sinh nhận biết cách làm dễ dàng, qua đó hình thành kỹ
năng dùng lượng giác để giải toán.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Nên: 8(cos4

+ sin4 ) – (sin

+ cos

)4 =

download by :

16


Trên đây là một số suy nghĩ của tôi sau khi viết nên đề tài này, đề tài mà tôi
thực hiện mong là đóng góp cùng đồng nghiệp để giúp học sinh thấy được mối liên
hệ giữa đại số và lượng giác với nhau và quan trọng là có thêm một phương pháp
chứng minh bất đẳng thức đại số, qua đó áp dụng giải các dạng tốn khác nhau, đó
cũng là mục đích mà tơi muốn vươn tới trong đề tài này. Tuy nhiên trong quá trình
thực hiện đề tài sẽ khơng tránh khỏi thiếu sót, rất mong sự đóng góp của đồng
nghiệp để đề tài của tơi hồn thiện hơn.
* Kiến nghị và đề xuất:
- Với nhà trường: Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện để học sinh và giáo viên
có nhiều hơn nữa các tài liệu, sách tham khảo để nghiên cứu học tập nâng cao kiến
thức chuyên môn nghiệp vụ. Nhà trường tổ chức nhiều các chuyên đề bồi dưỡng
học sinh giỏi, tổ chức các buổi trao đổi về chuyên môn với các trường bạn, mời
chuyên viên của Sở giáo dục về truyền đạt lại một số kinh nghiệm dạy học.
- Với Sở giáo dục và đào tạo: Tổ chức các đợt tập huấn về chun mơn cho giáo
viên để nâng cao trình độ.
Trên đây là đề tài nghiên cứu khoa học của tôi. Rất mong sự đóng góp ý kiến
của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để đề tài được đầy đủ hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 10tháng 05 năm 2019
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.

Hà Thị Nga

download by :

17


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Phương (2009), Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học,
NXB Tri thức.
[2] G. Polya (1978), Sáng tạo Toán học, NXB Giáo dục.
[3] Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Ngọc Bích, Lê Hữu Trí (2006), Các phương
pháp giải bằng phép lượng giác hóa, NXN Hà Nội.
[4] Võ Thanh Vân, Lê Ngọc Sơn, Nguyễn Ngọc Thủy (2010), Chuyên đề ứng dụng
hàm số lượng giác và phương trình lượng giác trong giải tốn THPT, NXB Đại
học sư phạm .
[5] Phan Đức Chính(1997), Một số các phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ
cấp , NXB Giáo dục.
[6] Ngô Long Hậu, Trần Thanh Phong, Nguyễn Đình Thọ (2011), Giới thiệu đề thi
tuyển sinh vào đại học cao đẳng tồn quốc, NXB Hà Nội.
[7] Tạp chí toán học tuổi trẻ năm 2014-2015, NXB Giáo dục

download by :

18

PHỤ LỤC
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 : Cho

Chứng minh rằng :

Bài 2: Chứng minh rằng
Bài 3: Cho ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:
4abc = a(1- b2)(1 – c2) + b(1 – c2)(1 – a2) + c(1 – a2)(1 – b2)
49
29
Bài
5:
Cho
hai
số
thực
x,
y
dương
thỏa:
x+y=2.
Chứng minh rằng:
(India MO 2003).
Bài 6: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, x và y thoả mãn ax + by = c.
c2
2
2
Chứng minh rằng:

x +y ³ 2
a  b2
1
Bài 7: Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng :
£ x6 + y6 £ 1
4
2
2
Bài 8: Cho x + y = 1. Chứng minh rằng:
½16 (x5 + y5) – 20 (x3 + y3) + 5(x + y)½ £ 2

Bài 4: Cho x, y thoả mãn 2x + 5y = 7. Chứng minh rằng: x2 + y2 ³

2
2
Bài 9: Cho x + y = 1. Chứng minh rằng:

Bài 10: Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng:
x
y
z
3 3



2
2
2
2
1 x 1 y 1 z

download by :

19


Bài 11: Cho ½a½ ³ 1. Chứng minh rằng:
Bài 12: Cho các số

–2 £

a 2 1  3
£ 2.
a

thoả mãn

Chứng minh rằng :
Bài 13: Cho liên

hệ bởi

Chứng minh rằng
Bài 14: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn

Bài 15: Cho
Bài 16: Cho

Chứng minh rằng
(Poland 1999)

. Chứng minh rằng

.

thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Bài 17: Cho 0 £ ai £ 1 , i = 1, 2, …, n. Chứng minh
(1 + a12)(1 + a22)… (1 + an2) + (1 – a12) (1 – a22)… (1 – an2) £ 22
Bài 18: Cho 4 số dương a 1, a2, a3, a4 phân biệt. Chứng minh rằng có thể chọn được
ít nhất 2 trong 4 số đó sao cho:
ai  a j
0£
<2- 3
1  a  a  2a a
i

j

i

j

Bài 19: Cho a1, a2,… a17 là 17 số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng ta
luôn chọn được hai số aj, ai từ 17 số đó sao cho:
a j  ai
 4  2 2 1
0<

1  a ia j
Bài 20: Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn
thì
(Tuyển sinh khối A năm 2009)
Bài 21: Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
(Ukraine 2005)

download by :

20