(SKKN mới NHẤT) SKKN phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài toán hình học

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Chúng ta đều thừa nhận rằng, q trình dạy học khơng phải chỉ cung cấp tri
thức một cách đơn thuần cho học sinh mà thơng qua q trình dạy học để:
Hình thành và bồi dưỡng cho học sinh những phẩm chất năng lực nhất định,
chẳng hạn như hình thành và bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy sáng tạo gồm:
tính nhuần nhuyễn, tính mềm dẻo và tính linh hoạt.
Hình thành và bồi dưỡng cho học sinh những năng lực cần thiết như: năng
lực huy động tri thức, năng lực giải quyết vấn đề....
Hình thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ như: tính độc lập, tính
sáng tạo:
- Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự
mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hồn
thiện kết quả đạt được.
- Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát
hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới, cái mới thường nảy sinh,
bắt nguồn từ cái cũ .
Với cương vị là một giáo viên dạy tốn, cũng như nhiều giáo viên khác tơi ln
suy nghĩ làm gì để phát triển được tư duy sáng tạo cho học sinh thơng qua một số
bài tốn cơ bản. Bên cạnh đó, tơi đã có nhiều cơ hội tiếp cận học sinh khá, tơi
thường tìm cách tiếp cận, định hướng cho các em khai thác sâu hơn về nhiều khía
cạnh của một bài tốn, thay đổi các dự kiện bài toán hay xuất phát từ một bài toán
cơ bản có thể xây dựng được bài tốn mới hoặc phát triển bài tốn theo nhiều định
hướng khác nhau có hệ thống từ dễ đến khó.
Trong q trình giảng dạy, tơi say mê, mày mị nghiên cứu nhằm giúp cho học
sinh thấy được một hệ thống vấn đề xảy ra rất logic trong quá trình tư duy, việc
sáng tạo và nhìn nhận khá linh hoạt để tạo ra một hệ thống các bài tốn trong
đó có những bước tổng qt lên và cả một số kinh nghiệm trong quá trình giải tốn
hình học tơi cảm thấy có nhiều nét thú vị. Chính vì vậy, chọn đề tài: “Phát triển tư
duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc khai thác một bài tốn hình học”
1.2. Mục đích nghiên cứu

-Trong phạm vi đề tài này, tơi khai thác một bài tốn hình học của sgk để xây
dựng một lớp các bài tốn hay và khó qua đó nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho
học sinh.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Kiến thức chương hình học lớp 11 và bất đẳng thức trong chương trình đại số 10.
1

download by :


- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải các bài tốn hình học mà đề tài khai
thác.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm.
- Phương pháp tổng hợp.
- Phương pháp thống kê, so sánh.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Những kiến thức cơ bản :
1. Bất đẳng thức Cô-si đối với n số không âm (n
Với n số thực khơng âm

N*, n

2)

, ta có
(*).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Chú ý 1:
i.

.

ii.

.

2. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki đối với 2n số thực (n
Với 2n số thực

N*, n

2)

, ta có
(**).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

(Hai bộ số

và

tỉ lệ với nhau).

Chú ý 2:

2

download by :


2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Đối với giáo viên
- việc giảng dạy không chỉ đơn thuần là truyền đạt tri thức, phương pháp
quan trọng của toán học là quy lạ về quen, hơn thế nữa với đối tượng khá, giỏi
người thầy phải biết cách dẫn dắc để các em sáng tạo ra bài toán mới, tránh việc
học sinh thụ động chỉ giải những bài toán do thầy đặt ra.
- Hiện tại với đề án thi mới của bộ giáo dục thì người học là trung tâm, kiểm
tra đánh giá năng lực của hs mà đối với học sinh khá giỏi thì đó là năng lực sáng
tạo.
2.2.2. Đối với học sinh
- Với lớp bài toán vận dụng , vận dụng cao các em thường thụ động trong
việc tiếp cận và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ
chưa có ý thức tìm tịi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải
các bài toán.
- Qua đề tài này tôi muốn gợi mở cho các em xây dựng hệ thống bài toán
hay xung quanh bài toán gốc.
2.3. Giải pháp giải quyết vấn đề
2.3.1. Bài toán gốc
Bài tốn: “Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đơi một vng góc.
Gọi H là chân đường vng góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh
rằng:

”.

(Bài 4b – Sách giáo khoa Hình học cơ bản lớp 11 – NXBGD)
Đây là một bài toán dễ và có nhiều cách giải. Tơi xin trình bày một cách

chứng minh cho bài tốn:

A

(Hình vẽ bên)
Gọi K là giao điểm của AH và BC.

a
.H

Dễ dàng ta chứng minh được OA OK,

C

c

OH AK và OK BC. Từ hệ thức
O

K
b
B

download by :

3

trong tam giác vng ta có

(1)
(2).

Từ (1) và (2) ta suy ra được

.

Nếu ta đặt OA = a, OB = b, OC = c, OH = h thì ta có

(*).

Nếu chúng ta dừng ở đây thì khả năng sáng tạo của các em học sinh sẽ phần
nào bị hạn chế. Ta thử ‘‘dẫn dắt’’ các em đi tìm những điều thú vị xung quanh bài
toán này .
2.3.2 Các bài toán khai thác được thơng qua bài tốn gốc :
Áp dụng BĐT Cơ-si ta có
, suy ra
và chỉ khi

. Đẳng thức xảy ra khi

.

Ta thu được bài toán sau
Bài 1. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đơi một vng góc với
nhau. Biết OA = a, OB = b, OC = c và độ dài chiều cao kẻ từ O đến mặt phẳng
(ABC) bằng

. Chứng minh

.

BĐT Cô-si, ta có
thức xảy ra khi và chỉ khi

. Hay là

. Đẳng

.

Ta thu được bài toán sau

4

download by :


Bài 2. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đơi một vng
góc với nhau. Biết OA = a, OB = b, OC = c và độ dài chiều cao kẻ từ O đến
mặt phẳng (ABC) bằng

. Chứng minh

.

*Theo BĐT Cơ-si, ta có

. Suy ra

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Ta thu được bài toán sau
Bài 3. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đơi một vng
góc với nhau. Biết OA = a, OB = b, OC = c và độ dài chiều cao kẻ từ O đến
mặt phẳng (ABC) bằng

. Chứng minh

.

*Áp dụng BĐT Bunhiacơpski, ta có

suy ra

. Từ đó

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Ta thu được bài tốn sau
Bài 4. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đơi một vng
góc với nhau. Biết OA = a, OB = b, OC = c và độ dài chiều cao kẻ từ O đến
mặt phẳng (ABC) bằng

. Chứng minh

.

Nhận xét: Các bài toán thu được ở trên là sự kết hợp cơ bản giữa đẳng thức
trong bài tốn gốc và BĐT Cơ-si. Việc tìm ra các bất đẳng thức đó khơng mấy khó
khăn nhưng vấn đề ở đây là hướng giải quyết chúng thì liệu các em học sinh có suy
nghỉ đến việc sử dụng đẳng thức

hay không ? Thiết nghĩ trước
5

download by :


hết chúng ta phải giới thiệu cho các em một số đẳng thức trong Tứ diện vng, từ
đó các em em có kiến thức cơ sở để huy động trong q trình giải tốn.
*Gọi I, R, r lần lượt là tâm đường trịn nội tiếp, bán kính đường trịn ngoại
tiếp, bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC.
Ta tính được:

,

và

.

Từ các kết quả trên ta thấy

. Mặt khác

, suy ra

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Ta thu được bài toán sau
Bài 5. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đơi một vng
góc với nhau. Gọi

lần lượt là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) và

bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh
BĐT quen thuộc

, ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

.
. Ta thu được bài toán sau

Bài 6. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đơi một vng
góc với nhau. Gọi

lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bán kính đường

trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh

.

Nhận xét: Hai bài tốn tìm được ở trên là khá mới mẽ và khá hay, chúng
đòi hỏi kĩ năng tính tốn khá nhiều và kết hợp với một sự so sánh đơn giản trong
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
ta phải liên tưởng đến một BĐT trong tam giác:

. Để có được bài 6 thì chúng
.

6

download by :


*Từ đẳng thức (*) ta suy ra

(3).

Mặt khác

(4).

Từ (3) và (4) ta suy ra

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Ta thu được bài tốn sau
Bài 7. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC từng đơi một vng góc với

nhau. Gọi

lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) và

bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh

.

(Bài T7/405 - THTT năm 2011)
*Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của các tam giác OAB, OBC, OCA.
Ta có S1

, S2

, S3

. Suy ra S1 + S2 + S3

Mặt khác từ đẳng thức (*) và BĐT Cô-si, ta có

.
.

Từ đó suy ra

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Vậy là ta thu được bài tốn sau
Bài 8. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đơi một vng

góc với nhau. Gọi

lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến mặt

phẳng (ABC) và diện tích của các tam giác OAB, OBC, OCA. Tìm GTLN của tỉ
số

.
7

download by :


(Bài đề nghị - Olympic 30/4 năm 2010)
Nhận xét: Hai bài tốn thu được có mặt trong hai tài liệu tham khảo khá
hay và hấp dẫn đối với giáo viên và học sinh. Nhìn quá trình sáng tạo ra các bài
tốn đó chúng ta thấy cũng khơng có vấn đề gì khó khăn, phức tạp. Nhưng để đạt
được kết quả đó là một ‘‘chặng đường’’ khá dài để tìm tịi, suy nghĩ và hướng
đích. Chúng ta phải tăng cường giới thiệu những cách sáng tạo như thế này để xóa
bỏ dần quan niệm ‘‘quá sức, quá khó với chúng em’’ khi giáo viên đề cập đến bài
toán trên Báo Toán học và tuổi trẻ hay đề thi Olimpic 30/4,...
*Gọi rC là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. Sử dụng cơng thức
ta tính được

.

Mặt khác theo BĐT Bunhiacơpski, ta có

Suy ra

.

, tức là

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ta thu được bài tốn sau
Bài 9. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đơi một vng
góc với nhau. Gọi

lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

(ABC) và bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. Chứng minh rằng
.

8

download by :


*Gọi I, rC lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Ta có VOABC = VI.ABC + VI.OAB + VI.OBC + VI.OCA
Suy ra

.

Hay là

. Mặt khác theo bài 2 ta có

được

. Từ đó ta thu

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Ta thu được bài toán sau
Bài 10. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đơi một vng
góc với nhau. Gọi

lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

(ABC). Chứng minh rằng

.

Nhận xét: Để sáng tạo hai bài toán trên chúng ta đã huy động khá nhiều
kiến thức về hình học khơng gian. Điểm mấu chốt trong bài 9 là biến đổi và sử
dụng BĐT Bunhiacơpski, từ đó làm xuất hiện đại lượng
bởi

để thay thế

, bài 10 là sự kết hợp giữa đẳng thức

và BĐT

.

Đây là những bài tốn hay và khó, việc sáng tạo ra chúng là khơng hề đơn giản,
tìm hướng giải quyết khác cho những bất đẳng thức đó lại càng
khó hơn.
A
*Xét tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đơi một vng góc với
nhau. Gọi H là hình chiếu vng góc của O lên mặt phẳng ABC.
a

.H

Đặt OA = a, OB = b, OC = c.
(Hình vẽ bên)

C

c
O

K
b

download by :

B

9


Trong tam giác vng HKO ta có

(5).

Mặt khác, tam giác OAK vng tại O nên ta có
(6). Từ (5) và (6) ta suy ra được
.
Suy ra

(do

Tương tự ta có:

).
và

.

Từ đó ta suy ra

(*).

Kết hợp đẳng thức (*) với bài 10 ta có
Hay là

.
. Ta thu được bài tốn sau

Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC đơi một vng góc.
Gọi H là hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng (ABC). Biết SA = a, SB= b,
SC = c. Chứng minh rằng

.
(Bài T8/429 – THTT năm 2013)

Nhận xét: Đây là một bài toán hay, để sáng tạo ra nó địi hỏi chúng ta phải
có sự linh hoạt, tinh tế và tư duy sáng tạo. Phải chăng tác giả của bài tốn đã sáng
tạo ra nó theo mạch suy luận như trên ? Có thể có những hướng khác nhau để giải
quyết bài toán này, nhưng q trình lập luận như trên phải có sự tìm tòi, sáng tạo
z em suy nghĩ, nắm bắt
nhất định. Chúng ta cần giới thiệu tới các em học sinh để các

ý tưởng và học hỏi.
C

*Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho toạ độ các điểm
y

B

là : O(0; 0; 0), A(a; 0; 0),
O

download by :

10
A

x


B(0; b; 0) và C(0; 0; c) cho các bài tốn sau.

(Hình vẽ bên)
*Gọi G là trọng tâm của tứ diện OABC.
Ta có G

, suy ra

Mặt khác ta có

.

.

Do đó

.

Theo BĐT Cơ-si, ta có
Từ đó ta suy ra

.
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Ta thu được bài toán sau
Bài 12. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đơi một vng
góc với nhau. Gọi

lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

(ABC) và trọng tâm của tứ diện OABC. Chứng minh

.

*Gọi K, RC là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Dễ có K

, suy ra

Do đó ta có được

.

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ta thu được bài toán sau
11

download by :


Bài 13. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC từng đơi một vng
góc với nhau. Gọi

lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

(ABC) và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Chứng minh

.

*Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác OAB, OBC, OCA; giả

sử M

là một điểm bất kì di động trên mặt phẳng (ABC).

Ta có G1

, G2

, G3

z

.

C

Ta có

y

B

.G2
.G3
O

.G1

A

Cộng ba BĐT cùng chiều trên vế theo vế ta được

x

(a).
Mặt khác

(b).

Từ (a) và (b) suy ra

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi điểm M trùng với trọng tâm của tam giác ABC và
.
Vậy là ta thu được bài toán sau
Bài 14. Cho tứ diện OABC thay đổi có ba cạnh OA, OB, OC từng đơi một
vng góc với nhau. M là một điểm thuộc mặt phẳng chứa tam giác ABC. Gọi

12

download by :


G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác OAB, OBC, OCA. Đặt OA = a,
OB = b, OC = c. Chứng minh

.
(Bài T8/402 – THTT năm 2010)

Nhận xét: Ba bài tốn có đề cập đến tọa độ trong không gian khá hay và
mới mẽ. Lập luận để có được bài 14 là khơng đơn giản, phải cần đến một khả năng
sáng tạo thực sự. Một lần nữa chúng ta thấy được vai trò quan trọng trong việc
phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua hoạt động khai thác đẳng thức
nói riêng và các kiến thức cơ bản khác của Tốn học nói chung.
2.4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm
Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào quá trình nghiên cứu và giảng dạy
đã mang lại những kết quả tích cực trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Đối với bản thân tôi sau khi nghiên cứu kĩ những kiến thức ,tìm tịi để từ những
bài toán cơ bản của sách giáo khoa qua đó xây dựng được lớp các bài tốn mới qua
đó phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
- Với các đồng nghiệp, việc sử dụng tài liệu nhỏ này như một tài liệu để tham khảo
và hướng dẫn cho học sinh khi khai thác một bài toán.
- Đối với học sinh sau khi được tiếp cận cách khai thác bài toán kiểu này sẽ giúp
học sinh khá và giỏi phát triển tư duy sáng tạo
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Như vậy điều cốt lõi trong đề tài trên là thơng qua 1 bài tốn hình học
và các bất đẳng thức cơ bản tôi đã phát triển thành hệ thống suy luận tương đối
logic tạo nên một lớp các bài tốn mới. Điều này tạo nên tính mới mẻ trong cái
nhìn về những ý tiềm tàng trong các bài tốn đó. Các bài tốn gốc ứng dụng khá
rộng rãi với việc nhìn bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau bằng cách biến đổi các
điều kiện của các biến số mở ra một lớp các bài toán khá hay và đẹp cũng được
ứng dụng trong rất nhiều kỳ thi chọn học sinh giỏi và các kỳ bồi dưỡng học sinh
khá giỏi, kỳ thi vào Đại học - Cao đẳng...
Qua việc vận dụng đề tài đã nghiên cứu vào trong quá trình bồi dưỡng học sinh
giỏi đã thu đươc những kết quả tích cực. Đề tài đã giúp cho giáo viên rất nhiều
13

download by :

trong việc truyền đạt tư tưởng, phương pháp và kiến thức cho học sinh. Bản thân
học sinh khi được giảng dạy thông qua đề tài đã giúp các em phát triển được tư
duy, biết định hướng để giải và sáng tạo một bài toán từ bài toán gốc.

3.2. Kiến nghị
Đối với sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa: Thơng qua việc chấm sáng kiến
kinh nghiệm hàng năm, lựa chọn những đề tài có chất lượng và cần phổ biến rộng
rãi cho các trường trong tỉnh để những trường có điều kiện tương đồng triển khai
áp dụng hiệu quả. Nên đưa những SKKN có chất lượng vào mục “tài nguyên” của
sở để các giáo viên tồn tỉnh có thể tham khảo một cách rộng rãi.
Đối với trường THPT Hàm Rồng : Mỗi sáng kiến kinh nghiệm được lựa
chọn cần được phổ biến rộng rãi trong phạm vi tổ, nhóm. Cần có những bản lưu
trong thư viện để giáo viên và học sinh tham khảo.
Đối với tổ chuyên môn: Cần đánh giá chi tiết những mặt đạt được, những
hạn chế và hướng phát triển của đề tài một cách chi tiết cụ thể để hoàn thiện sáng
kiến hơn nữa.
Đối với đồng nghiệp: Trao đổi ý tưởng, kinh nghiệm và hỗ trợ trong việc áp
dụng rộng rãi sáng kiến trong mỗi lớp học của mình. Phản hồi những mặt tích cực.
những mặt hạn chế của sáng kiến.
Đề tài nghiên cứu trong thời gian hạn chế, rất mong Hội đồng khoa học Sở
giáo dục và đào tạo Thanh Hóa nghiên cứu, góp ý bổ sung để sáng kiến hoàn thiện
hơn nữa.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 02 tháng 5 năm 2018
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của tôi, không sao chép nội
dung của người khác

Người viết sáng kiến

14

download by :


Gv: Trịnh Hữu Đại

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1].. SGK Hình học 11 cơ bản – Nhà xuất bản giáo dục 2009
[2]. Sách bài tập Hình học 11 cơ bản – Nhà xuất bản giáo dục 2009
[3]. Sáng tạo bất đẳng thức . Phạm Kim Hùng
[4]. Những con đường khám phá lời giải bất đẳng thức.
Trần Phương-Nguyễn Đức Tấn-Nguyễn Anh Hoàng-Tạ Hoàng Thông
[5]. Tuyển tập đề thi olympic 30/4 lần thứ XVI-2010.
[6]. Tuyển tập đề thi olympic 30/4 lần thứ XVII-2011.
[7]. Báo toán học tuổi trẻ.

15

download by :