(SKKN mới NHẤT) SKKN nâng cao kỹ năng giải một số dạng toán số học bằng cách sử dụng phương pháp chặn

1. MỞ ĐẦU
Trong đề thi HSG cấp tỉnh THCS những năm gần đây, phần kiến thức về
"Số học" là câu ở mức độ “vận dụng”; đây là câu ở mức (điểm 15-18). Hầu hết
các học sinh ở các trường THCS, nhất là học sinh học ở các trường miền núi
thường gặp khó khăn khi làm câu này. Trong thực tế giảng dạy tôi thấy, muốn
cho học sinh đạt được điểm 15 trở lên trong kỳ thi thi HSG cấp tỉnh thì phải
hướng dẫn các em học tốt các nội dung trong câu này. Một phần kiến thức rất
quan trọng trong phần này là các kiến thức về: Sử dụng phương pháp chặn để
giải bài toán số học. Với mong muốn các học sinh của mình sẽ đạt giải cao
trong kỳ thi chon HSG cấp tỉnh Tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh nghiệm: "Nâng
cao kỹ năng giải một số dạng toán số học bằng cách sử dụng phương pháp
chặn".
Do khả năng còn hạn chế; kinh nghiệm chưa nhiều và hạn chế về số trang
nên trong SKKN của tơi có thể có những phần chưa hồn chỉnh. Rất mong được
sự đóng góp q báu của q thầy cơ.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
1.1. Lí do chọn đề tài
Số học là phần kiến thức mà các em được học từ năm lớp 6 với các nội
dung khá cơ bản và đơn giản. Nhưng trong các kỳ thi HSG cấp tỉnh thì đây là
câu ở mức “vận dụng”. Đối với học sinh miền núi, Từ thực tế giảng dạy của
mình tơi nhận thấy khi giải những bài toán số học phải sử dụng phương pháp
chặn để giải nhiều học sinh cịn gặp khó khăn, lúng túng, chưa biết cách sử
dụng đặc biệt là khai thác các dữ kiện của bài toán, loại trừ các khả năng có
thể xảy ra, từ đó đi đến vấn đề trọng tâm rồi chủ động đưa ra cách giải một
cách đơn giản và đi đến kết quả. Vì vậy việc tôi lựa chọn cách này để viết
SKKN là cấp thiết, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Tơi viết SKKN này với mục đích:
- Thơng qua đề tài tìm ra các yếu điểm của HS trong giải tốn số học có
sử dụng phương pháp chặn.
- Củng cố, cung cấp cho học sinh kỹ năng và một số kiến thức về

phương pháp chặn, cách nhận biết dạng toán và lựa chọn cách trình bày bài
cho phù hợp nhằm nâng cao năng lực học toán, giúp học sinh tiếp thu bài chủ
động sáng tạo và là công cụ giải quyết những bài tập có liên quan
- Giải đáp được những thắc mắc, sửa chữa được những sai lầm hay gặp
khi giải các bài toán liên quan đến phương pháp chặn.
- Giúp GV phát hiện bồi dưỡng HS khá giỏi, học sịnh có khả năng học
toán.

1

download by :


- Phổ biến đến các thành viên trong tổ chuyên môn nơi tôi công tác, giúp
các em học sinh đạt điểm cao trong kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh. Nếu các đồng
nghiệp ở trường khác thấy có ích thì tơi sẵn sàng chia sẻ.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài này nghiên cứu, tổng kết về lớp các bài toán số học có sử dụng
phương pháp chặn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Tơi nêu lên phần lí thuyết và một số tính chất hay dùng trong quá trình
sử dụng phương pháp chặn.
- Nêu lên một số dạng toán cơ bản và cách suy nghĩ để giải các dạng này.
- Một số bài tập vận dụng và nâng cao.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của SKKN
Bản chất của phương pháp là: “Muốn tìm được số hay mệnh đề nào
đó thỏa mãn tính chất hoặc điều kiện cho trước” ta phải giới hạn (chặn) số đó
nhằm giới hạn phạm vi áp dụng của số hoặc mệnh đề đó lại sau đó kết hợp
với các tính chất và các điều kiện đã cho khác của đề bài có liên quan để đưa

ra kết quả.
Phương pháp cụ thể: Muốn tìm số a thỏa mãn tính chất nào đó, ta giả
sử
. Dùng lập luận kết hợp với các điều kiện đã cho của bài toán để suy
ra
. Kết hợp hai điều kiện trên ta đã tìm được khoảng giới hạn của a là từ
m đến n
tức khi đó ta đã chặn được. Sau đó kết hợp các điều kiện
đề bài cho hoặc thử các giá trị trong khoảng đó suy ra các giá trị cần tìm của
a.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Số học là môn học các em được học ở lớp 6 nhưng trong nhiều dạng
toán và trong đề thi học sinh giỏi các cấp học sinh thường gặp, tuy nhiên
nhiều em khi gặp thường bỏ khơng làm, hoặc làm khơng đúng, hoặc có giải
được thì rất dài và khơng đầy đủ, vì khơng biết dụng các điều kiện của đề bài
và các tính chất của các số. Vì vậy kết quả đạt được thường khơng cao.
Khi giải tốn số học, quan trọng thường có trong cách giải là tìm cách hạn
chế các giá trị của biến để ra kết quả, cách làm đó gọi chung là "cách chặn".
Việc áp dụng phương pháp chặn để giải các dạng toán số học đã được sử
dụng để giải trong nhiều bài tập và nhiều ví dụ cũng như có nhiều người đã sử
dụng, song việc áp dụng chưa thật sự chủ động, chưa rộng, chưa có tài liệu,
sách nào giới thiệu một cách đầy đủ, chi tiết về phương pháp giải, đặc biệt là
nhiều thầy cô trong giảng dạy cũng chưa tổng hợp, phân dạng để hình thành
tư duy phương pháp và kĩ năng cho học sinh, nên gặp các dạng toán này nếu
là bài tương tự với bài đã được chữa, được làm thì các em còn làm được. Tuy
2

download by :

nhiên với những bài thay đổi dữ liệu hoặc khác với các ví dụ đã làm thì các
em cịn rất mơ hồ, chưa xác định được phương pháp giải một cách rỏ ràng do
đó cịn gặp nhiều khó khăn trong việc giải bài tập, nhất là các bài tập về số
học.
Qua khảo sát 16 em học sinh đội tuyển toán lớp 7 trong hai năm học
liên tiếp: 2016-2017 và 2017- 2018 của trường THCS Cẩm Phong về việc sử
dụng phương pháp chặn để giải các dạng toán số học thường có trong đề thi
học sinh giỏi cấp huyện các năm gần đây, kết quả nhận được như sau:
Điểm dưới 5

Điểm 5 - 7

Điểm 8 - 10

SL

%

SL

%

SL

%

8

50

7

43,75

1

6,25

Từ thực trạng trên, trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh
giỏi để nâng cao hiệu quả dạy và học đối với dạng nay tơi đã tìm hiểu, nghiên
cứu và phân dạng các bài tốn có sử dụng phương pháp chặn để hướng dẫn
học sinh cách trình bày thơng qua đó xây dựng cho các em tư duy phương
pháp và kỹ năng cho các em để giải dạng toán này một cách cụ thể, có hiệu
quả hơn.
2. 3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Để giúp cho học sinh nắm được phương pháp giải và xác định được
cách làm của từng dạng, tôi đã tham khảo các tài liêu bồi dưỡng học sinh giỏi
mơn tốn các khối lớp, các đề thi học sinh giỏi các khối lớp ở nhiều năm, các
chuyên đề và qua mạng internet để nghiên cứu, tìm hiểu, phân dạng, nhờ đó
đã giúp cho tơi hiểu một cách sâu sắc hơn về phương pháp chặn, từ đó tơi đã
tổng hợp, xây dựng được hệ thống bài tập phong phú. Với hệ thống bài tập
sắp xếp từ dễ đến khó theo dạng, thơng qua các dạng tốn này giúp học sinh
tự rút kinh nghiệm và hình thành phương pháp, rèn luyện kỹ năng giải, giúp
các em dễ dàng nghi nhớ, dễ dạng phân biệt và áp dụng vào giải quyết các bài
toán dạng này đạt kết quả cao hơn, cụ thể tôi đã thực hiện dạy như sau:
1/ Trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về việc sử
dụng phương pháp chặn.
Ví dụ như: Tìm số a thỏa mãn tính chất cho trước nào đó
Cách làm: + Giả sử
+ Dùng lập luận kết hợp với các điều kiện đã cho của bài để suy ra

.
+ Kết hợp hai điều kiện trên suy ra được khoảng giới hạn của a là
, tức khi đó ta đã chặn được a.
+ Kết hợp các điều kiện đề bài cho hoặc thử các giá trị trong khoảng đó
suy ra các giá trị cần tìm của a.
Ngồi ra học sinh cần nắm vũng các kiến thức sau:
3

download by :


1. Tính chất của số.
+ abc =100a +10b +c Với

và

+ Vi a, m ẻ N; a ạ 0 thìam 1
+ Với

ta ln có

suy ra

.

2. Tính chất của số chính phương.
+ Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa
số nguyên tố với số mũ chẵn.
+ Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1.
Khơng có số chính  phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).

+ Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1.
Khơng có số chính  phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N), ...
3. Tính chất chia hết.
4. Tính chất của bất đẳng thức số,...
2/ Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi.
H? u cầu bài tốn là gì? Để thực hiện u cầu đó ta có những hướng suy nghĩ
nào?
H? đề bài cho biết gì? Với giả thiết đó, ta có mấy cách giải quyết bài toán này và
ta sẽ làm bài này theo cách nào? vì sao?
* Khi gặp khó khăn, ta tiếp tục đặt câu hỏi ?
H? Ta gặp khó khăn ở đâu? Có phần giả thiết nào chưa sử dụng khơng?
H? Ta đã gặp bài tốn nào tương tự bài này chưa?...
3/ Các dạng toán cơ bản
Dạng 1. Sử dụng phương pháp chặn vào các bài tốn tìm số tự nhiên
thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 1: a) Biết

,x

N và x lớn nhất. Tìm x thỏa mãn điều kiện

trên.
b) Biết

,y

N và y nhỏ nhất. Tìm y thỏa mãn điều kiện trên.

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.

+/ Câu trả lời mong muốn
Vì x
x.

N và x lớn nhất chia cả hai vế của

cho 6 ta chặn được

 Hướng dẫn học sinh làm bài tốn cụ thể.
Vì

chia cả hai vế cho 6 ta được

.
4

download by :


Vì x

N và

=>

.

Kết hợp điều kiện thứ 3 là: x lớn nhất ta suy ra được: x = 6
Vậy số x cần tìm thỏa mãn các điều kiện trên là x = 6.
b. Tương tự câu a giáo viên có thể cho học sinh đề xuất cách giải cho câu b.

+ Vì

chia cả hai vế cho 6 ta được y > 6,1666.... => y > 6

+ Vì y là số tự nhiên và y > 6 => y= 7; 8; 9; .... Vì y nhỏ nhất nên y =7.
Vậy số y thỏa mãn các điều kiện trên là y = 7
Lời bình: Trong bài1 là bài khá đơn giản, tuy nhiên để tìm được giá trị
của x hay y ta đã căn cứ vào ba điều kiện mà đề bài đã cho, sau đó muốn tìm
số lớn nhất thì ta chặn trên, tìm số nhỏ nhất thì chặn dưới. Việc chặn trên hay
dưới nhằm mục đích giới hạn các giá trị của x, y lại từ đó suy ra giá trị cần tìm.
Bài 2. Tìm ba số tự nhiên x , y , z. biết x +y + z = xyz và
Đây là một bài tốn mà ta có thể gặp trong nhiều các loại sách tham
khảo và có trong các đề thi học sinh giỏi một số năm, và thường được cho
dưới nhiều dạng khác nhau như: Tìm ba số nguyên dương khác nhau, biết
tổng của chúng bằng tích của chúng. Tuy nhiên dù phát biểu theo dạng nào
thì giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách chọn số nào trong ba số trên để sử
dụng phương pháp chặn cho phù hợp. Cụ thể giáo viên có hướng dẫn như sau:
Hướng dẫn: Vì trong ba số x, y, z thì z là số lớn nhất nên để chặn được
trong bài này ta cần thay mỗi số x, y (các số nhỏ hơn) bằng z, khi đó ta có:
Vì

. nên
, kết hợp với điều kiện đề bài cho
. Chia cả hai vế cho z ta được:
.

Vì x, y
Vì

, nên suy ra

. Do đó

.

nên y = 2 và x = 1. Thay vào đề bài ta được:

Vậy ba số phải tìm là x =1; y = 2; z =3
Lưu ý ở bài tập này ta không thể chặn z trực tiếp bằng một số cụ thể
nào mà chỉ sử dụng điều kiện
, để suy ra z là số lớn nhất trong ba số
phải tìm do đó ta chặn trên được, sau đó kết hợp với điều kiện là các số tự
nhiên lớn hơn không và
suy ra
, tức ta đã chặn dưới, từ đó suy ra
được kết quả.
Khi giải xong bài này học sinh sẽ thắc mắc tại sao trong bài lại chặn
theo z mà khơng chặn theo x hoặc y vì thế giáo viên cần giải thích rỏ cho học
sinh hiểu đồng thời thơng qua đó cũng chốt được phương pháp làm cho học
sinh, đó là:
Giả sử ta chặn theo x, vì x là số nhỏ nhất trong ba số nên khi đó ta sẽ có
kết hợp với điều kiện đề bài cho

5

download by :


, chia cả hai vế cho x ta được:
tức ta chặn dưới

được. Sau đó tiếp tục sử dụng điều kiện: Vì y, z là các số tự nhiên lớn hơn 0
và
nên suy ra
. Như vậy ta lại tiếp tục chặn dưới, từ hai điều kiện
trên ta chỉ có thể suy ra được yz > 3, do đó sẽ khó tìm được điều kiện để chặn
trên của tích yz, việc tìm ra kết quả sẽ khó khăn hơn. Tương tự với trường
hợp chặn theo y ta cũng gặp khó khăn trong việc tìm ra điều kiện để chăn nên
việc tìm ra kết quả sẽ khó hơn. Vì vậy đối với các bài tốn dạng này thì trong
các số phải tìm cần chỉ ra số lớn nhất rồi chặn theo số đó, ta sẽ tìm ra kết quả
một cách dễ dạng.
Bài 3: (sách nâng cao và các chun đề tốn 6)
a) Tìm các số tự nhiên x, y biết

và

b) Tìm các số tự nhiên x, y biết

và

.
.

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.
+/ Câu trả lời mong muốn
+ x, y là các số tự nhiên,
+ Đề bài đã chặn không phải là một số mà là một hiệu.
+ Cần chuyển từ chặn một hiệu thành chặn một số để sử dụng được điều kiện
đã cho cịn lại là biết
Hướng dẫn: Vì ta đã biết

các số khơng nhiều nên có
thể dùng phương pháp khác để giải cũng rất dễ dàng, tuy nhiên vấn đề đặt ra
là rèn kỹ năng giải bằng phương pháp chặn, Do đó có thể giải bài này như
sau:
Vì
Đặt A=
Mà

, cộng mỗi vế với y ta có
. Do

, nên

. Ta lại có

Và

.

Vậy
b) Tương tự câu a ta có: Đặt
Cộng mỗi vế với y, ta được:

. Do
. Mà

Vậy hai số cần tìm là: x = 96; y = 43.
6

download by :

Qua các bài tốn vừa xét tơi nhận thấy với học sinh lực khá, giỏi khi
giải dạng này với các em sẽ khơng mấy khó khăn, tuy nhiên giáo viên vẫn cần
đưa ra để hướng dẫn các em cách sử dụng phương pháp chặn và cách chọn
biến để chặn cho phù hợp, qua đó dần hình thành cho các em kỹ năng sử dụng
phương pháp.
Dạng 2. Sử dụng phương pháp chặn vào bài tốn tìm các chữ số
trong một số.
Khi dạy cho học sinh các bài toán trong dạng này tôi nhận thấy đa phần
các em rất lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, vì với dạng này các điều kiện
của bài không cho một cách tường minh mà các em phải hiểu về tính chất của
các chữ số trong một số, tính chất của số tự nhiên,…, sau đó dùng lập luận
kết hợp với các điều kiện trước đó để giới hạn các chữ số cần tìm (tức là chặn
được các số đó), từ đó suy ra kết quả cần tìm. Sau đây ta xét một số bài tập
thường gặp của dạng:
Bài 1: (đề thi HSG lớp 6 trường THCS cẩm Phong, năm 2015- 2016)
Tìm các số tự nhiên a, b, c sao cho

(1)

Hướng dẫn. Có nhận xét gì về số
? Là số có mấy chữ số? Vậy số
này có thể nhận các giá trị trong khoảng nào?
( Với gợi ý trên học sinh rất dễ dàng trả lời được: là số có 3 chữ số, chữ số
hàng trăm là 4 nên có thể nhận các giá trị từ 400 đến 499). Như vậy ta đã có
thể giới hạn được số
.Ta có :
.
Vì theo bài ra ta có

, có nhận xét gì về kết quả của phép nhân?
( là số có 5 chữ số). Từ kết quả đó kết hợp với đề bài suy ra a nhận các giá trị
trong khoảng nào? Vì sao?
HS: Có thể trả lời: Vì

, nên suy ra

Vì: Nếu

.

.

Nếu

. Suy ra

Khi đó thay vào (1) ta được 36.

= 17064

. Vậy a = 3, b = 7, c = 4
Lưu ý: Trong bài toán trên ta đã chặn theo các giá trị của a . Ngồi
cách chặn trên ta cũng có thể chặn như sau:


=> Vậy a = 3 hoặc a= 2 hoặc a = 1.

Như vậy ta đã giới hạn lại a chỉ còn 3 giá trị, khi đó ta dễ dàng giải tiếp
và kết luận. Tuy nhiên khi giải bài này cần lưu ý không nên chặn theo các giá

trị của b hoặc của c vì nếu có giải được thì lời giải cũng phức tạp dễ gây
nhầm lẫn. Do đó trong bài này nên chọn các số có ít chữ số hơn để chặn. Sau
đây ta sẽ xét thêm một số bài dạng này.
7

download by :


Bài 2. (đề thi HSG lớp 7 trường THCS cẩm phong, năm 2015- 2016)
Tìm các số tự nhiên a, b, c, biết:

= 874.

Hướng dẫn: Ta có

=
=>

Từ (1) ta suy ra:
Mặt khác

vì nếu

vì nếu a

, khi đó ta có:

6 thì ta có:

Vậy khi đó ta suy ra

vì a

=>

= 874 (1)

N, nên a = 7 =>

= 777.

(2). Từ (2) ta có: b < 9, vì nếu b

9 =>

.
Và b > 7, vì nếu b

7 thì

, vì

.Vậy ba số a, b, c phải tìm là 7, 8, 9.

Khi giải bài này trọng tâm của vấn đề đó là giáo viên phải hướng dẫn
học sinh tách các số
;
thành dạng tổng các lũy thừa của 10, sau đó
nhóm các số có chứa a, b,c với nhau sao cho tao thành dạng số tự nhiên có
các chữ sô giống nhau, rồi căn cứ vào đề bài và tính chất của số để chặn. Cần

khắc sâu cho học sinh thứ tự chặn các số ở dạng này đó là:
+ Chặn chữ số hàng lớn nhất trước (bài này ta chặn chữ a ở hàng trăm,
nếu ở những bài có chữ số hàng nghìn hoặc lớn hơn thì luôn phải chặn hàng
cao trước)
+ Tiếp theo chặn theo thứ tự các chữ từ trái qua phải trong dạng của số đó.
Sử dụng nhận xét trên, yêu cầu học sinh áp dụng giải tiếp bài tập sau:
Bài 3. (đề thi HSG lớp 7, huyện Cẩm Thủy năm 2013-2014)
Tìm một số tự nhiên, biết số đó cộng với tổng các chữ số của chính nó
được kết quả là 249.
Hướng dẫn: Đối với bài này khi mới đọc đề học sinh sẽ thấy khó và
khơng giống với các bài đã được làm, vì số tự nhiên cần tìm trong bài chưa
biết là số có mấy chữ số, do đó giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách quy lạ
thành quen bằng cách bám vào đề bài để rút ra nhận xét về số cần tìm, sau đó
mới gọi số đó là số như thế nào và thực hiện giải, cụ thể bài này ta làm như
sau:
Gọi số tự nhiên cần tìm là n và tổng các chữ số của nó là T(n). Theo bài
ra ta có:
(1). Vì tổng là số có ba chữ số nên : n phải là số có 3
chữ số, vì nếu n có một hoặc hai chữ số thì khi đó ta có:
và tất nhiên n khơng thể có nhiều hơn 3 chữ số.
Do n có ba chữ số nên
Vì a, b, c

N và

, từ (1) ta suy ra:
;

0

b, c

(2)
9
8

download by :


a=2

và
Thay vào (2) ta được:

=> b  4 .
Ta lại có
+ Nếu b = 2 ta có

( loại )

+ Nếu b = 3 ta có:
+ Nếu b = 4 ta có thay tương tự ta được  2c = 3 ( loại )
Vậy a= 2; b = 3; c = 7. Số phải tìm là 237
Như vậy qua các bài toán vừa xét ta nhận thấy, việc sử dụng phương
pháp chặn để tìm số hoặc chữ số nếu biết sử dụng hợp lý thì sẽ làm cho bài
tốn đơn giản, dễ hiểu, lời giải ngắn gọn hơn rất nhiều.
Dạng 3. Sử dụng phương pháp chặn vào bài toán liên quan đến số
chính phương.
Một trong những dạng tốn khó của số học đó là liên quan đến số chính
phương, nhưng trong các đề thi học sinh giỏi lại rất hay gặp. Để giải dạng tốn

này tơi cũng thường hướng dẫn học sinh áp dụng phương pháp chặn để giải.
Bài 1: (đề thi HSG lớp 9, huyện Cẩm Thủy, năm 2012- 2013)
Tìm số nguyên tố

(a > b > 0) sao cho

là số chính phương.

Hướng dẫn: Để giải bài này cần yêu cầu học sinh nắm được các tính
chất của chữ số, tính chất số chính phương, kết hợp đề bài cho để chặn cho
phù hợp.
Theo bài ra ta có:
Do

là số chính phương, nên a - b cũng là số chính phương.

Ta có:

và

* Với
, vì
là số nguyên tố nên
loại các hợp số trong tập trên còn lại số 43 là số nguyên tố.
* Với
Tương tự ta được 73 là số nguyên tố. Vậy

bằng 43 hoặc 73

Khi đó ta có: 43 - 34 = 9 = 3 hoặc 73 - 37 = 16 = 4 (thỏa mãn đề bài).

Bài 2. (Các chuyên đề bồi dưỡng HSG tốn 7)
Tìm số chính phương có bốn chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau,
hai chữ số cuối giống nhau.
Hướng dẫn: Gọi số cần tìm là p =

(a, b

N, 1  a  9, 0  b  9

)
Ta có

. Do đó

(k

N)
9

download by :


Vì

là số có ba chữ số nên suy ra

được:

, chia cả hai vế cho 11 ta

. Lần lượt cho k bằng 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta được:

= 11k thứ tự bằng 176, 275, 396, 539, 704, 891. trong các số vừa tìm
được chỉ có số 704 có chữ số hàng chục là 0 thỏa mãn dạng số
=> k =8
Vậy với k = 8 thì

. Số cần tìm thỏa mãn đề bài là 7744.

Bài 3: (thi HSG toán 8, huyện Cẩm Thủy, năm 2014- 2015)
Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết
phương.

đều là các số chính

Hướng dẫn :
Vì n là số có 2 chữ số
Vì 2n+1 là số lẻ, nên 2n+1 chỉ nhận các số lẻ là số chính phương.
Trong khoảng trên có các số lẻ là số chính phương là 25, 81, 121, 169.
Tương ứng với n =12, 40, 60, 84.
Khi đó 3n+1 có giá trị tương ứng là : 37, 121, 181, 253. trong các số này chỉ
có số 121 là số chính phương. Vậy số cần tìm là n = 40.
* Trong các bài vừa xét có một điểm chung để chặn đó là đều bám vào
điều kiện số
là số có 3 chữ số, do đó ta chặn được
và n là
số tự nhiên có hai chữ số nên suy ra:
tức đã chặn được n, từ đó suy ra kết quả bài tốn. Tuy nhiên không phải bài
nào cũng dựa vào số chữ số của số cần tìm, mà trong nhiều bài tốn về số
chính phương thường dựa vào chữ số tận cùng rồi mới kết hợp với dạng của

số để chặn cho thích hợp, hay có những bài khơng cho biết là số chính
phương nhưng sử dụng các điều kiện đã có trong đề để suy ra số chính phương,
nhằm mục đích để sử dụng các tính chất của số chính phương và tính chất của
số để chọn cách chặn cho phù hợp. Sau đây ta sẽ xét một số bài như vậy:
Bài 4. (thi HSG tốn 9, huyện Cẩm Thủy, năm 2014- 2015)
Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết chữ số hàng nghìn bằng chữ
số hàng đơn vị và số chính phương đó viết dưới dạng
Với n
N
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.
- Số có dạng
có tận cùng như thế nào => bình phương của số đó có
tận cùng là bao nhiêu, rồi xét các trường hợp của nó theo tận cùng
+/ Câu trả lời mong muốn
-

có tận cùng bằng 4 hoặc 9
có tận cùng bằng 6 hoặc 1.
10

download by :


- Cần xét số

ứng với hai trường hợp trên

Hướng dẫn. Ta có:
cùng bằng 6 hoặc 1.

có tận cùng bằng 4 hoặc 9, nên

có tận

* Với
có tận cùng là 6 suy ra số cần tìm có dạng
bình phương của một số có tận cùng bằng 4

chính là

Xét hai số có tận cùng bằng 4 liên tiếp là 74 và 84.
Ta có
mà bình phương lên có dạng

. Vậy khơng có số nào có tận cùng bằng 4
.

* Với
có tận cùng là1 suy ra số cần tìm có dạng
bình phương của số có tận cùng là 9. Ta có
Mà giữa hai số 29 và 49

chính là

cịn số 39 = 1521. Vậy số cần tìm là 1521

Bài 5 (Tuyển tập các bài tốn chọn lọc THCS)
Tìm số tự nhiên

sao cho

= ( a + b)

Hướng dẫn Theo bài ra ta có:
là số chính phương. Đặt

là số chính phương nên

và

vì n

* Với n = 3
*Với n=4
Vậy số cần tìm là:

= 27

Lời bình: Qua các bài tốn vừa xét Tơi thấy đây là dạng tốn khó. Do
đó khi dạy tôi thường lưu ý chốt rỏ cho học sinh cách thức quan sát và
phương pháp khai thác cụ thể của từng bài, yêu cầu học sinh ghi nhớ từng đặc
điểm để vận dụng, đặc biệt việc sử dụng các tính chất về số là thường xun,
vì vậy cần yêu cầu các em phải nắm vững các tính chất này để nhận xét, đánh
giá những khía cạnh trong bài sát với ý tưởng của lời giải, khi đó các em dễ
nhập cuộc với bài giải. Phương pháp chặn lúc này sẽ phát huy tác dụng một
cách tích cực hơn.
Dạng 4. Sử dụng phương pháp chặn trong chứng minh số nguyên tố.
Bài 1: (Sách nâng cao và các chuyên đề tốn 6)
Tìm tất cả các số tự nhiên n để mỗi số sau đều là số nguyên tố:

;

;

;

;

;

Hướng dẫn: Vì n là số tự nhiên, lần lượt cho n các giá trị từ 0 đến 4 ta
được:
* Với n = 0 ta có các số
* Với n=1 ta có các số
* Với n = 2 ta có các số

;
;

;
;

;

. khơng là số nguyên tố.
;

;

không là số nguyên tố.

không là số nguyên tố
11

download by :


* Với n=3 các số

;

;

;

;

;

* Với n = 4 ta có các số
;
;
;
lượt là 5, 7, 11,13,17,19 đều là số ngun tố.

khơng là sốngun tố.
;

;

có giá trị lần

* Ta xét với n
5, khi đó n sẽ nhận một trong các dạng sau:
;
;
;
(k
N)

;

Lần lượt thay n vào các số trên ta được
*Với

và

* Với

nên
và

, nên

* Với

chứng minh tương tự ta được

* Với

chứng minh tương tự ta được

* Với

, chứng minh tương tự ta được

Với n

là hợp số.
,

là hợp số.

đều là hợp số.

là hợp số.
là hợp số.

5 thì đều làm cho một trong các số đã cho không là số nguyên tố.

Vậy với n = 4 thì các số đã cho đều là số nguyên tố.
Bài 2. (đề thi HSG lớp 9,tỉnh Hải Dương,năm 2014-2015)
Tìm số nguyên tố p sao cho các số
tố.

đều là số nguyên

Hướng dẫn Vì p là số nguyên tố nên p
các số đã cho ta được:

2, cho p = 2, 3, 5, 7 thay vào

* Với p = 2 thay vào

=16 =>

là hợp số (loại)

* Với p = 3 thay vào

= 21 =>

là hợp số (loại)

* Với p = 5 thay vào

= 49 =>

là hợp số (loại)

* Với p=7 thay vào
tố.
Xét với p > 7

đều là các số nguyên
;

( tức là các số chia 7 dư 1, 2, 3, 4, 5, 6). Khi đó
1;4;2

chia cho 7 có thể dư:

* Nếu

chia cho 7 dư 1 (tức p=7k ± 1) thì

* Nếu
GT

chia cho 7 dư 4 (tức p =7k ± 2) thì

chia hết cho 7 nên trái

* Nếu
GT

chia cho 7 dư 2 (tức p=7k ± 3) thì

chia hết cho 7 nên trái

Vậy với p = 7 thì các số

chia hết cho 7 nên trái GT

đều là số nguyên tố.

Qua hai bài vừa xét cần lưu ý học sinh về phương pháp giải đó là: Dù
số n cần tìm là số tự nhiên hay số nguyên tố ta đều thay một số giá trị đầu tiên
12

download by :


của n (nếu n là số tự nhiên cho n = 0, 1, 2, 3, 4...; nếu n là số nguyên tố cho
n= 2, 3, 5, 7) rồi thay vào các số đã cho làm cho tất cả các số đều là số
nguyên tố thì dừng lại ( kinh nghiệm đối với dạng này các số thay vào thường
không nhiều). Ta xét với n lớn hơn số vừa làm cho tất cả các số đều là số
nguyên tố (Ở bài 1 xét với n
5, bài 2 ta xét với p > 7) rồi suy ra dạng các
số đó (Ở bài 1với n
5 =>
;
;
;
;
(k
N ). Còn ở bài 2 với p>7=> p
=7k+i; k,i nguyên, i
( tức là các số chia 7 dư 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Sau đó lần lượt thay các giá trị của n vào các số đã cho và chứng tỏ cho
chúng đều là hợp số. Việc áp dụng phương pháp chặn trong dạng này là rất ít,
tuy nhiên lại rất quan trọng, vì nếu khơng chặn được giá trị của n (chủ yếu là
chặn dưới) thì ta không suy ra được dạng tổng quát của n từ đó giới hạn được
số cần tìm để kết luận bài toán. Sau đây ta xét thêm một số bài tốn dạng này.
Bài 3. (Đề thi HSG lớp 9, vịng 1 huyện Cẩm Thủy, năm 2017- 2018)
Tìm tất cả các số nguyên tố p để

cũng là số nguyên tố.

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.
+/ Câu trả lời mong muốn:
+ Cho p =2, 3, 5,.., đến khi làm cho

là số nguyên tố.

+ xét với p lớn hơn số vừa làm cho
là số nguyên tố, chứng tỏ cho biểu
thức là hợp số và kết luận.
 Yêu cầu học sinh làm bài toán cụ thể.
Vì p là số nguyên tố nên suy ra p
* Nếu p = 2 thì
* Nếu p = 3 thì
Xét với

2. đặt M =
là hợp số.
là số nguyên tố

mà p là số nguyên tố nên p là số lẻ.

Khi đó ta có
Vì p là số lẻ nên

. Lại có M > 3 nên M là hợp số

Vậy với mọi số nguyên tố p > 3 đều làm cho M là hợp số.
Do đó chỉ tìm được một số ngun tố p = 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài 4: (sách các dạng tốn và phương pháp giải tốn 7)
Tìm ba số nguyên tố liên tiếp sao cho tổng bình phương của ba số đó

cũng là số nguyên tố.
Hướng dẫn Gọi 3 số nguyên tố liên tiếp cần tìm là m, n, q.

13

download by :


Gọi tổng các bình phương của ba số đó là M (M nguyên tố). Theo bài ra ta có:
. Giả sử
. Do m, n, q nguyên tố nên
Nếu m, n, q đều khơng chia hết cho 3 khi đó sẽ có dạng
(k
N) khi đó
khi chia cho 3 đều có số dư là 1.

hoặc

mà M > 3 nên M là hợp số trái với giả thiết (loại)
Vì m là số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số trên, nên
vì m nguyên tố nên
Khi đó
là số nguyên tố.
Vậy ba số nguyên tố liên tiếp thỏa mãn đề bài là 3, 5, 7.
Cách 2. Ta có thể sử dụng cách giải như các bài tập trên đó là:
Gọi 3 số nguyên tố liên tiếp cần tìm là m, n, q, tổng các bình phương của ba
số đó là M (M nguyên tố). Theo bài ra ta có:
Vì ba số cần tìm là ba số nguyên tố liên tiếp, nên giả sử m < n < q
Với m = 2,n = 3, q= 5 thay vào M ta được
(ktm)

là hợp số

Với m=3, n =5, q= 7 thay vào M ta được
tố.

là số nguyên

Vì trong 3 số m là số nhỏ nhất nên ta xét với m > 3 suy ra hai số còn lại hiển
nhiên cũng lớn hơn 3 và đều lớn hơn m, mà các số lớn hơn 3 đều có một trong
hai dạng là 3k + 1 hoặc 3k +2 ( k
N) khi đó
khi chia cho 3 đều
có số dư là 1. Lập luận tương tự cách 1 chỉ ra M là hợp số và kết luận
Dạng 5. Sử dụng phương pháp chặn trong các bài toán nghiệm nguyên.
Trong nhiều đề thi học sinh giỏi thường có bài tốn về nghiệm ngun,
tùy từng khối mà đề bài có thể hỏi dưới nhiều dạng khác nhau như : tìm số
nguyên dương, tìm nghiệm ngun,..., đây là dạng tốn khó và có nhiều
phương pháp giải, và phải sử dụng phối hợp nhiều phương pháp, tính chất của
các phép tốn, tính chất của số, của bất đẳng thức mới giải được. Một trong
các phương pháp thường được phối hợp sử dụng để giải dạng này rất hiệu quả
đó là phương pháp chặn. Ta xét một số bài tập sau.
Quay trở lại bài toán 2, dạng 1 Bài tốn có thể cho dưới dạng sau:
Bài 1. (đề thi HSG toán 7 huyện Cẩm Thủy năm 2014- 2015)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

. (1)

Hướng dẫn: Bài này khác với bài toán 2 dạng 1 ở chỗ, các nghiệm
nguyên dương phải tìm là các số nguyên dương và chưa sắp thứ tự của các số,

cần hướng dẫn học sinh sắp thứ tự các số sau đó giải như bài 2 dạng 1 cũng

14

download by :


được, tuy nhiên trong này bài này tôi muốn hướng dẫn học sinh giải theo cách
khác như sau:
Chia cả hai vế của (1) cho xyz 0 ta được:
Giả sử

. Ta có:

Thay x = 1 vào đầu bài ta có:
TH1: y -1 = 1 => y =2 và z -1 = 2 => z =3
TH2: y -1 = 2 => y =3 và z -1 = 1 => z =2
Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2)
Bài 2. (Đề thi HSG tốn 9, huyện Cẩm Thủy năm 2010 -2011)
Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn:

1 1 1
 
x y 3

Hướng dẫn: Vì x, y có vai trị như nhau nên giả sử x y. Dùng tính
chất của bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ hơn trong hai số
trên là y, ta có: Vì
Mặt khác ta lại có: x

=>
y

(1).

1 =>

Do đó

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: 4

y

6 => y

{ 4; 5; 6}

* Với y = 4 thay vào đề bài ta tìm được x = 12
* Với y = 5 => khơng có giá trị nào của x thỏa mãn vì x khơng nguyên.
* Với y = 6 => x = 6
Vì x, y có vai trị như nhau nên các giá trị tìm được của x cũng là của y và
ngược lại. Do đó các cặp số ngun dương cần tìm là (4; 12); (12; 4); (6; 6)
Lưu ý: Ngoài cách chặn y 6 như cách giải trên giáo viên cũng có thể
hướng dẫn học sinh cách chặn như sau:
Giả sử x

y =>

Bài 3: (Các bài tốn với nghiệm ngun)
Tìm 3 số nguyên dương biết tổng nghịch đảo của chúng bằng 1.
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
15

download by :


 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.
+/ Câu trả lời mong muốn:
- Bài này tương tự bài 2, nhưng có nhiều biến hơn. Nên có thể giải tương tự
bài 2.
 Yêu cầu học sinh làm bài toán cụ thể.
Gọi 3 số nguyên dương đó là a, b, c. Khơng mất tính tổng quát,
giả sử

. Theo bài ra ta có
(2) Từ (1)

Với a = 2 ta có

(3). Từ (2),(3)
.

Kết hợp với b > 2 (Vì

)

Với
Với

Trường hợp

. Vì

Vậy cặp
các cặp

nhận là

Bài 4 Cho biết

, Suy ra b = 3

Và các hoán vị a, b, c ta có

. Tìm x, y, z, t biết

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.
+/ Câu trả lời mong muốn:
- Bài toán 4 là trường hợp có chứa 4 biến nên cách làm tương tự như bài 3.
- Bài này có thể chọn biến nào để chặn cũng được vì tổng của các phân số
bằng 1.
 Yêu cầu học sinh làm bài toán cụ thể. ( Giải tương tự các bài 2 và 3)
Bài 3. (đề thi HSG lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm 2014- 2015)
Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn:

.
16

download by :


Hướng dẫn. Từ giả thiết
Vì

(1)
=>

(*)

(1)
(2)
Vì mỗi biểu thức trong tổng đều lớn hơn hoặc bằng 0 và tổng các biểu thức bé
hơn hoặc bằng 12, nên suy ra:
vì y nguyên dương.
+Nếu

(1)

(vì

có(*)
Khi đó
+Nếu

, x ngun dương nên tìm được x=6
(vì y ngun dương) thì (1) có dạng:
(vì z ngun dương)

Suy ra

(vì x nguyên dương)

Đáp số
Tóm lại: Để làm bài những bài tập dạng này ngồi việc sử dụng phương
pháp chặn thì giáo viên còn cần lưu ý hướng dẫn học sinh quan tâm vận dụng
nhiều đến các tính chất khác đã học và các phép tính tốn thơng thường, bên
cạnh đó bước đầu học sinh cũng đã bắt đầu quen với việc sử dụng tính chất
của bất đẳng thức số.
Trong thực tế giảng dạy ta cịn có thể sử dụng phương pháp chặn để
giải nhiều dạng toán khác nhau nữa như: Các bài toán chứng minh chia hết,
so sánh tổng dãy số với một số hoặc một biểu thức, các bài toán liên quan đến
lũy thừa, giá trị tuyệt đối, cực trị, bất đẳng thức… Trong phạm vi của SKKN
tôi chỉ xin giới thiệu một số dạng sử dụng dạy phù hợp với học sinh khối 6,7
và thường hay có trong các đề thi học sinh giỏi các khối nay. Tuy nhiên khi
học sinh đã hiểu và áp dụng tốt các kiến thức được học như trong SKKN đã
nêu, hình thành được kỹ năng, biết cách để suy luận thì việc mở rộng tiếp cho
các dạng cịn lại sẽ khơng mấy khó khăn, vì các dạng mà tơi chọn dạy trong
nội dung của sáng kiến là hết sức cơ bản, dễ hiểu, dễ suy luân, là cơ sở cho
các dạng còn lại.
4/ Bài tập tự luyện
Bài1. Tìm các số tự nhiên a, b, c, biết:
lớp 6 huyện Cẩm Thủy, Năm 2016- 2017)

= 1037 (đề thi HSG

17

download by :

Bài 2. Tìm STN có 5 chữ số, biết số đó bằng 45 lần tích các chữ số của
nó.
(Đề thi HSG lớp 9 huyện Lý Nhân năm 2015- 2016)
Bài 3. Tìm các chữ số a, b, biết a - b = 4 và
(nâng cao và phát triển toán 6)

chia hết cho 3.

Bài 4. Tìm số nguyên tố
(a > b > 0) sao cho
phương. (tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS)
Bài 5. Tìm các số tự nhiên x sao cho
THCS Cẩm Phong năm 2017- 2018)

là số chính
(HSG lớp 7 trường

Bài 6. Tìm bốn số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của
chúng.( HSG lớp 8 trường THCS Cẩm Phong năm 2017- 2018)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Với cách làm trên tôi đã chia sẻ trong tổ chuyên môn và áp dụng vào giảng
dạy cho các học sinh khá giỏi trong trường, tôi đã thu được những kết quả khả
quan.
Học sinh đã biết sử dụng phương pháp chặn trong một số dạng toán số
học nói chung, giải các bài tốn tìm số nhanh hơn, xác định ngay được hướng
làm và lựa chọn cách trình bày đơn giản nhất. Học sinh tránh được những sai
sót cơ bản, biết lựa chọn lời giải ngắn gọn và có kĩ năng vận dụng thành thạo

cũng như phát huy được tính tích cực của học sinh.
Học sinh có được cái nhìn tổng qt hơn về dạng tốn đã được học và
tự hình thành cho mình một phương pháp mới
Tạo được hứng thú học tập, tâm lí vững vàng tự tin cho học sinh trước
yêu cầu của bài toán đặc biệt là các dạng tốn khó.
Bồi dưỡng khả năng tìm tòi, sáng tạo áp dụng các kiến thức đã học vào
một số bài toán số học và các bài toán khác.
Đặc biêt đối với HS khá, giỏi khi giải tốt các dạng toán này đã tiếp thu
phát triển các bài tập vận dụng của từng dạng toán, nâng cao yêu cầu trong
từng bài, giúp các em phát huy được năng lực học toán và dễ dàng tiếp cận
với các dạng khó khác, cũng như hình thành các kỹ năng giải toán. Cải thiện
đáng kể được kết quả của đội tuyển đối với các dạng tốn về số học, từ đó tạo
cho học sinh sự chủ động trong học tập, biết phát triển các dạng toán đã học
để vận dụng vào giải các dạng tốn có liên quan
Sau khi áp dụng đề tài vào thực tế ôn thi học sinh giỏi đối với 16 em
đội tuyển lớp 7 của hai năm học gần đây, kết quả đạt được cụ thể như sau:
Điểm dưới 5

Điểm 5 - 6,5

Điểm 7 - 8,5

Điểm 9 - 10

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

1

6,25

4

25

6

37,5

5

31,25
18

download by :

Đối với học sinh các khối lớp trong nhà trường khi học có các dạng
tốn về số học, khi sử dụng phương pháp chặn vào các dạng toán các em
được học trong chương trình tơi cũng thu được kết quả tương đối tốt, nhiều
học sinh đã hiểu được phương pháp, biết áp dụng vào làm tốt một số dạng bài
tập số học như tìm số, tìm chữ số… Do đó kết quả môn học cũng đã cải thiện
được đáng kể, nhiều em "cứ gặp các dạng toán này là dùng chặn".
Sau khi trao đổi với đồng nghiệp về nội dung của đề tài đều được các
đồng nghiệp ủng hộ, vận dụng vào dạy ôn thi học sinh giỏi các khối khác, tùy
theo yêu cầu từng khối mà giáo viên lựa chọn nội dung giảng dạy cho phù
hợp, hoặc căn cứ vào các dạng trong đề tài mà giáo viên có thể phát triển
thành nhiều dạng phù hợp với yêu cầu từng khối, nhưng vẫn dựa trên cơ sở sử
dụng các phương pháp và cách thức khai thác như các bài tập trong đề tài đã
thu được những kết quả rất khả quan, đa số các em học sinh giỏi các đội
tuyển đều vận dụng làm tốt các dạng toán này và áp dụng được phương pháp
cho nhiều dạng có liên quan, nhiều em đã biết tự tìm tịi khai thác được bài
toán bằng nhiều cách giải khác nhau, phát triển được dạng toán, đáp ứng được
yêu cầu của đội tuyển.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Qua thực tế giảng dạy khi vận dụng SKKN trên tôi đã đạt được những
kết quả tốt. Rất nhiều HS giỏi đều đã nâng cao được kỹ năng giải các dạng
toán số bằng cách sử dụng phương pháp chặn, nhiều em đã chủ động tìm tịi
và định hướng cách làm bài khi chưa có sự hướng dẫn của GV, các em đã tự
mình phát hiện ra các dạng toán và cách làm của từng dạng, biết cách phát
triển khai thác bài toán bằng nhiều cách khác nhau, tạo hứng thú, tự tin trong
quá trình học.
Trình bày sáng kiến trên đây là cơ sở, là động lực giúp tơi có thêm
những kinh nghiệm, những phương pháp trong giảng dạy, bổ sung thêm
những dạng toán trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, đồng thời cung cấp
cho HS phương pháp giải của nhiều dạng toán, tự phát triển dạng tốn và

phương pháp giải, thơng qua đó phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Sáng kiến kinh nghiệm mà tơi trình bày trên đây chắc chắn cịn nhiều
hạn chế và khiếm khuyết về cấu trúc, ngôn ngữ và cả về kiến thức … mong
rằng sẽ nhận được sự đóng góp chân thành của bạn bè đồng nghiệp để tơi bổ
sung và hồn thiện, góp phần cải thiện phương pháp và nâng cao chất lượng
giảng dạy.
3.2. Kiến nghị.

Không
Cẩm Thủy, ngày 10 tháng 03 năm 2018

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
19

download by :


HIỆU TRƯỞNG

mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.
Người viết sáng kiến

Nguyễn Huy Tuấn

Trần Thị Huyền

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa, sách bài tập toán 6, 7, 8, 9
2. Toán nâng cao và các chuyên đề lớp 6, 7, 8, 9.
3. Các dạng toán và phương pháp giải toán 6,7.
4. Toán nâng cao và phát triển lớp 6, 7,8,9.
5. Các bài toán với nghiệm nguyên
6. Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi khối 6, 7, 8, 9.
7.Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS
8. Các chuyên đề bồi dưỡng HSG THCS
9. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi trung học cơ sở các năm.
10. Tham khảo thêm một số tài liệu qua mạng Internet
11. Đề thi HSG cấp tỉnh của các tỉnh các năm.
12. Đề thi HSG các huyện các năm

20

download by :


ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
…………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….……………

21

download by :


ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD VÀ ĐT
…………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….……………

\

22

download by :


ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
…………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….……………

23

download by :