(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

HÀ MẠNH CƯỜNG

NGUYÊN LÝ CARPETS
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2021


ii

Mnc lnc
Danh sách hình vẽ

iii

M đau

1

1 Kien thfíc chuan bị

4

1.1 Nguyên lý Carpets........................................................................ 4
1.2 Ý nghĩa hình hoc của nguyên lý Carpets...................................8
2 Ứng dnng nguyên lý Carpets vào giải m t so bài tốn hình
hoc phang
16
2.1 Ý tưởng chung ve vi c áng dụng nguyên lý Carpets vào giải
bài toán hình hoc phȁng.................................................................16
2.2 M®t so ví dụ minh hoa vi c áng dụng ngun lý Carpets
vào giải tốn hình hoc phȁng.....................................................19
2.3 M®t so áng dụng của nguyên lý Carpets trong thực tien..........36
2.3.1 Cháng minh √2 là so vô tỉ..............................................36
2.3.2

Cháng minh √3 là so vơ tỉ..............................................39

2.3.3

Đ c trưng của b® ba Pythagoras...................................40

2.3.4

Các bat đȁng thác trung bình........................................42

2.3.5

Tőng các l p phương.....................................................43

2.3.6

Chia đơi hình trịn âm dương......................................... 44

Ket lu n

49

Tài li u tham khảo

50


Danh sách hình vẽ
1.1 [DMR] = [BCR]..................................................................4
1.2 Nguyên lý Carpets 1.....................................................................5
1.3 [AOD] = [BOC]...................................................................5
1.4 [CDP ] = [AMP ] + [BCM ]...................................................6
1.5 [DPQR] = [AMP ] + [BMQN ] + [CNR]..............................7
1.6 Nguyên lý Carpets 2.....................................................................8
1.7 Hai cách bo trí hai tam thảm trong m®t căn phịng hình
vng
9
1.8 [AEF ] = [DFP ] + [BEN ]....................................................10
1.9 [MIPJ] = [PAB]...............................................................11
1.10 Tính di n tích tá giác IMDN.............................................12
1.11 [QBCR] = [AMQP ] + [PRND]...........................................13
2.1 Di n tích phan màu xám bang di n tích phan màu đỏ..............18
2.2 [AEF ] = [DFP ] + [BEN ]....................................................19
2.3 [XY ZT ] = [AQX] + [BMY ] + [CNZ] + [DPT ]....................20

2.4 Điem M nam trong ΔABC...................................................21
2.5 [ABM ] + [BCM ] + [CAM ] = [ABC]...................................22
2.6 [PSQR] = [ARD] + [BSC].................................................22
2.7 Di n tích mien màu trang khơng đői..........................................24
2.8 Ba đường chéo giao nhau tại m®t điem........................................25
2.9 Di n tích phan màu hong bang phan màu vàng........................26
2.10 Di n tích phan màu hong bang phan màu vàng........................27


iii

2.11 Tőng di n tích hai nảa đường trịn bang m®t nảa di n tích
hình trịn.....................................................................................27
2.12 Di n tích mien màu xám bang tőng di n tích hai mien màu
vàng...................................................................................................29
2.13 [AEPF ] = [BCP ]...............................................................29
2.14 [AEDF ] = [BDH].............................................................30
2.15 Di n tích các tam giác màu đỏ bang di n tích các tam giác
màu xanh....................................................................................31
2.16 Lưới điem cách nhau 1 đơn vị dài.............................................32
2.17 [A] + [B] = [C]..........................................................................33
2.18 Tìm di n tích của tam giác màu đỏ........................................33
2.19 Tìm x...................................................................................34
2.20 Di
√ n tích màu xám bang di n tích màu xanh..........................35
2.21 2 là so vô tỉ..............................................................................37
√
2.22 3 là so vô tỉ..............................................................................40
2.23 B® ba Pythagoras (a, b, c)...........................................................41
2.24 Các bat đȁng thác trung bình....................................................42

2.25 Tőng các l p phương................................................................43
2.26 Bieu tượng âm dương trên quoc kỳ Hàn Quoc.............................44
2.27 Hình trịn âm dương........................................................................45
2.28 Chia đơi đường trịn âm dương bang cách 1................................45
2.29 Chia đơi đường trịn âm dương bang cách 2................................46
2.30 Chia đơi đường trịn âm dương bang cách 3................................47
2.31 Chia đơi đường trịn âm dương bang cách 4................................47
2.32 Chia đơi đường trịn âm dương bang cách 5................................48


5

M đau
Trong chương trình mơn Tốn ở trường phő thơng, hình hoc phȁng là
m®t trong nhǎng n®i dung quan trong luôn xuat hi n trong các đe thi
THPT Quoc gia, trên các tạp chí tốn hoc, blog tốn hoc, trong các đe
thi hoc sinh giỏi hay kì thi Olympic.
Hình hoc nói chung, các bài tốn ve hình hoc phȁng nói riêng ln
được đánh giá là m®t n®i dung tương đoi khó, thường địi hỏi hoc sinh
hieu chính xác nhǎng moi quan h giǎa các yeu to hình hoc, các đoi tượng
hình hoc được xét mà đơi khi bang ngơn ngǎ cũng khó dien đạt m®t cách
đay đủ. Do v y các bài tốn ve hình hoc phȁng ln là các bài tốn thú vị
nhưng thường khá phác tạp và ln có sác hap dan, là niem đam mê, thu
hút được sự u thích của các thay cơ dạy tốn và hoc sinh.
Trong khuôn khő lu n văn, chúng tôi xin dành sự quan tâm đen nguyên
lý Carpets (tieng Vi t thường được goi là nguyên lý trải thảm và các bài
toán liên quan đen nguyên lý Carpets). Tuy nhiên, các cách thác này
khơng được giảng dạy trong chương trình đại trà, cũng như chương trình
nâng cao ở b c phő thơng.
Có the dien tả trực quan ve ngun lý Carpets như sau: Cho hai tam

thảm có tőng di n tích bang di n tích của nen nhà. Neu ta trải hai tam
thảm trong phạm vi nen nhà thì di n tích phan nen nhà chưa được trải
thảm bang di n tích nen nhà được phủ bởi cả hai tam thảm đó.
Trong thời gian vàa qua, đã có nhieu hoc viên cao hoc lựa chon các
chủ đe liên quan đen hình hoc đe trien khai lu n văn thạc sĩ, nhưng
chưa có


hoc viên nào nghiên cáu ve nguyên lý Carpets và các bài toán liên quan
đen nguyên lý Carpets (dành cho hoc sinh khá, giỏi) đe phát trien thành
lu n văn thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cap.
Với mong muon tìm hieu ve nguyên lý Carpets đe áng dụng vào giải
m®t so bài tốn liên quan, đe làm tài li u cho vi c giảng dạy của bản thân
và làm tài li u tham khảo cho hoc sinh khá, giỏi tự hoc, vì v y chúng tơi
chon chủ đe “Nguyên lý Carpets và áng dụng” vào giải m®t so bài toán
liên quan đen nguyên lý Carpets làm lu n văn thạc sĩ của mình.
Mục đích của lu n văn là tìm hieu nguyên lý Carpets, tìm hieu ý nghĩa
hình hoc của nguyên lý Carpets qua vi c sả dụng phan mem hình hoc
đ®ng. Sưu tam các bài tốn hình hoc phȁng luy n thi đ®i tuyen hoc sinh
giỏi, các đe thi hoc sinh giỏi tốn có the dựa vào nguyên lý Carpets đe
giải quyet. Trình bày lời giải, trong đó co gang đưa ra lời giải tường minh
đoi với nhǎng bài toán, đe thi mà tài li u tham khảo chỉ có lời giải van
tat ho c định hướng lời giải trên cơ sở dựa vào nguyên lý Carpets đe giải
quyet.
Ngoài phan mở đau, ket lu n và tài li u tham khảo, đe tài gom 2
chương, cụ the:
Chương 1. Kien thfíc chuan bị
Trong chương này chúng tơi trình bày ve nguyên lý Carpets và bő sung
m®t so kien thác nâng cao đe làm rõ cơ sở cho bài tốn được trình bày ở
Chương 2 của lu n văn.

Chương 2. Ứng dnng nguyên lý Carpets vào giải m t so bài
tốn hình hoc phang
Trong Chương 2, chúng tơi trình bày vi c áng dụng nguyên lý Carpets
và các kien thác liên quan đen nguyên lý Carpets đe giải m®t so bài tốn
hình hoc phȁng dành cho luy n thi đ®i tuyen hoc sinh giỏi.
Trong suot q trình làm lu n văn, tôi nh n được sự hướng dan và giúp
đơ t n tình của PGS. TS. Trịnh Thanh Hải. Tơi xin được bày tỏ lịng biet


ơn sâu sac đen thay!
Tác giả xin trân trong cảm ơn Trường Đại hoc Khoa hoc, Đại hoc Thái
Nguyên, các thay cơ giáo, các phịng chác năng của trường đã tạo đieu
ki n tot nhat cho tơi trong q trình hoc t p tại trường.
Tôi xin gải lời cảm ơn chân thành đen quý thay cô giảng dạy lớp Cao
hoc Tốn khóa 13 đã truyen thụ cho tơi nhieu kien thác và kinh nghi m
nghiên cáu khoa hoc quý báu.
Cuoi cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, người thân và các đong
nghi p đã đ®ng viên và giúp đơ tác giả trong suot quá trình hoc t p.
Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2021
Hoc viên

Hà Mạnh Cường


Chương 1
Kien thfíc chuan bị
Trong chương này chúng tơi sě trình bày ve ngun lý Carpets và bő
sung m®t so kien thác nâng cao đe làm rõ cơ sở cho bài tốn được trình

bày ở Chương 2 của lu n văn.

1.1

Nguyên lý Carpets

Trong lu n văn ta quy ước ký hi u di n tích của hình phȁng A là [A].
Ngun lý Carpets được tőng qt hóa tà bài tốn đơn giản sau.
Bài tốn 1.1.1 ([5]). Cho hình vng ABCD, lay M là m®t điem trên
cạnh AB. Đ t R là giao điem của MC và BD. Cháng minh di n tích
tam giác DMR bang di n tích tam giác BCR.

Hình 1.1: [DMR] = [BCR]


Giải. Hai tam giác BMD và BMC có chung đáy BM và có chung chieu
cao (AD = BC). Do đó, chúng có di n tích bang nhau. Hai tam giác này
có giao nhau bang tam giác BMR. Do đó, xóa phan chung này thì hai
phan cịn lại có di n tích bang nhau:
[DMR] = [BCR].

Có the dien tả trực quan ve nguyên lý Carpets như sau:
Định lý 1.1.2 (Nguyên lý Carpets 1, [5]). Neu hai tam thảm có di n tích
bang nhau đè lên nhau thì phan khơng đè lên nhau của hai tam thảm có
di n tích bang nhau và ngược lại.

Hình 1.2: Nguyên lý Carpets 1

Tà nguyên lý Carpets, ta có the giải được hàng loạt bài tốn thú vị sau
đây của hình thang.

Bài tốn 1.1.3 ([5]). Cho hình thang ABCD. Cháng minh di n tích hai
tam giác tạo bởi hai đường chéo của hình thang và ke với hai cạnh bên
bang nhau.

Hình 1.3: [AOD] = [BOC]


Chúng minh. Goi hình thang là ABCD, O là giao điem của hai đường
chéo. Tam giác ACD và tam giác BCD có di n tích bang nhau bởi vì
chúng có chung đáy CD và đường cao bang đường cao của hình thang.
Tam giác DOC là phan chung của hai tam giác ACD và BCD. Theo
nguyên lý Carpets, phan không giao nhau của tam giác ACD và tam
giác BCD bang nhau. Hay tam giác AOD và BOC có di n tích bang nhau
(xem Hình 1.3).
Bài tốn 1.1.4 ([5]). Cho hình vng ABCD, M là trung điem AB. Goi
P là giao điem của AC với MD. Cháng minh di n tích tam giác CDP
bang tőng di n tích tam giác AMP và BCM.

Hình 1.4: [CDP ] = [AMP ] + [BCM ]

Chúng minh. Hai tam giác ABC và CDM có di n tích bang m®t nảa di n
tích hình vng nên có di n tích bang nhau. M t khác, phan chung của
hai tam giác này bang tam giác MPC. Do đó theo nguyên lý Carpets,
phan không giao nhau của hai tam giác có di n tích bang nhau. Tác là
[CDP ] = [AMP ] + [BCM ].

Nh n xét 1.1.5. Trong Ví dụ 1.1.4, theo ngun lý Carpets ta cũng có
[ADP ] = [CMP ]

bởi vì ΔADP và ΔCMP là phan khơng giao nhau của hai tam giác ACD
và MCD có di n tích bang nhau.
Bài tốn 1.1.6 ([5]). Cho hình vng ABCD, M là m®t điem trên cạnh
AB, N là m®t điem trên cạnh BC. Cháng minh tőng di n tích phan màu
đỏ bang di n tích phan màu xanh.

Hình 1.5: [DPQR] = [AMP ] + [BMQN ] + [CNR]

Chúng minh. Đ t P là giao điem của AN với MD, Q là giao điem của
AN với MC và R là giao điem của MC với ND. Theo giả thiet, ta có
[ADN ] = [ADM ] + [BCM ]
bởi vì chúng đeu bang m®t nảa di n tích hình vng ABCD. Phan chung
của chúng là hợp của hai tam giác ADP và QNR. Phan màu đỏ là phan
còn lại của ΔADM ∪ ΔBCM . Phan di n tích màu xanh là phan cịn lại
của ΔADN . Do đó, theo nguyên lý Carpets ta có tőng di n tích phan màu
đỏ bang di n tích phan màu xanh, hay là
[DPQR] = [AMP ] + [BMQN ] + [CNR].


1.2

Ý nghĩa hình hoc của nguyên lý Carpets

Bây giờ, giả sả sàn nhà được phủ kín bang các tam thảm khơng đè lên
nhau. Xét m®t tam thảm bat kỳ, goi là T , và phan di n tích bị phủ bởi
tam thảm này, goi là S. Trước het ta có, [S] = [T ]. Dịch chuyen tam thảm
này đe T và S có phan đè lên nhau và phan khơng đè lên nhau (xem Hình
1.6). Khi đó, theo ngun lý Carpets, phan khơng đè lên nhau của S và T
có di n tích bang nhau hay
[S\T ] = [T \S].

Hình 1.6: Nguyên lý Carpets 2

Ta thay S\T là phan trong của sàn, T \S là phan các tam thảm đè lên
nhau. Do đó, ta đã cháng minh được nguyên lý Carpets 2 tà nguyên lý
Carpets 1.
Định lý 1.2.1 (Nguyên lý Carpets 2, [5]). ắt cỏc tam thm trong mđt
cn phũng. Di n tích của sàn bang tőng di n tích của các tam thảm khi và
chí khi di n tích phan đè lên nhau giũa các tam thảm bang di n tích trong
của phịng.
Nh n xét 1.2.2.
(i) Tà Hình 1.6 ta thay phan di n tích thảm bị di chuyen và phan di n tích
sàn trong khơng nhat thiet có cùng hình dạng.
(ii) Hình dạng của căn phịng và hình dạng của tam thảm cũng không liên
quan tới nguyên lý.


Bài toán 1.2.3 ([2]). Cho x, y, z là các so dương, cháng minh rang
(x + y + z)2 = (x + z)2 + (y + z)2 ⇔ z2 = 2xy,

(1.1)

(x + y + z)2 = 2(x + z)(y + z) ⇔ x2 + y2 = z2.

(1.2)

Hình 1.7: Hai cách bo trí hai tam thảm trong m®t căn phịng hình vng

Chúng minh. Trong Hình 1.7 ta có hai cách bo trí hai tam thảm trong m®t
căn phịng hình vng. Hình 1.7(a) có hai tam thảm vng cạnh (x + z)

và (y + z) đ t trong căn phịng vng cạnh x + y + z. Di n tích trong của
căn phịng là xy + xy. Di n tích đè lên nhau giǎa hai tam thảm là z2. Áp
dụng nguyên lý Carpets 2 cho Hình 1.7(a) ta thu được (1.1).
Hình 1.7(b) có hai tam thảm hình chǎ nh t cạnh x + z và y + z đ t
trong căn phòng vng cạnh x + y + z. Di n tích trong của căn phịng là
y2 + x2. Di n tích đè lên nhau giǎa hai tam thảm là z2. Áp dụng nguyên
lý Carpets 2 cho Hình 1.7(b) ta thu được (1.2).
Bài toán 1.2.4 ([3]). Qua các đỉnh của đáy nhỏ AB của hình thang
ABCD kẻ hai đường thȁng song song với nhau và cat đường thȁng CD.
Các đường thȁng này và đường chéo của hình thang tạo thành 7 tam giác
và 1 ngũ giác (xem Hình 1.8). Cháng minh rang di n tích của hình ngũ
giác bang tőng di n tích của ba tam giác có chung cạnh với hình thang.
Chúng minh. Đ t A′ và B′ là giao điem của hai đường thȁng song song
qua A và B với cạnh CD. Chon các tam thảm là hai tam giác AA′C và


Hình 1.8: [AEF ] = [DFP ] + [BEN ]

BB′D. Phan chung của chúng là ngũ giác và phan trong của hình thang
là hợp của ba tam giác có cạnh chung với hình thang. Theo nguyên lý
Carpets, ta can phải cháng minh
[AA′C] + [BB′D] = [ABCD].
Đ t đ® cao hình thang là h, ta có
1
1
[AA′C] = hA′C, [BB′D] = hB′D.
2
2
Do đó
[AA′C] + [BB′D] =

1
2

h(A′C + B′D)

1
2 h(A′B′ + B′ ′C′ + A1′B′ + A′D)
= 1
= h(CD + A B ) = h(CD + AB)
2
2
= [ABCD].

Bài toán 1.2.5 ([1]). Cho tá giác ABCD, I, J lan lượt là trung điem
AC, BD và hai đoạn AJ, BI giao nhau tại P, hai đường thȁng AD, BC
giao nhau tại M . Cháng minh rang [MIPJ] = [PAB].


Hình 1.9: [MIPJ] = [PAB]

Chúng minh. Goi O là giao của AC, BD. Vì hai đoạn thȁng AI, BJ giao
nhau nên I nam trên đoạn AO, J nam trên đoạn BO. Th t v y,
• I ≡ J ≡ O ⇒ ABCD là hình bình hành, mâu thuan với giả thiet
AC, BD giao nhau.
• Neu I ≡ O ho c J ≡ O, khi đó hai đoạn AJ, BI khơng giao nhau.
• Giả sả I nam trong đoạn OC, khi đó A, I nam ở hai nảa m t phȁng
bờ BD, mà J ∈ BD do đó hai đoạn AJ, BI khơng giao nhau. V y I
khơng thu®c đoạn OC.
Tương tự, ta có J khơng thu®c đoạn OD.

Lay A′ trên tia OA, B′ trên tịa OB sao cho OA′ = OC, OB′ = OD, ta có A′B
′
CD là hình bình hành. Vì OA > OC = OA′, OB > OD = OB′ nên M
giao điem của hai tia AD, BC. Ta có
[ADB]
[MAB]
[MJA] = [MJD] + [AJD] = [MDB]
+
=
,
2
2
2
[MIB] = [MIC] + [BIC] = [MAC] + [BAC] = [MAB] .
2
2
2
V y [MJA] + [MIB] = [MAB]. Xét hai tam thảm MJA và MIB có
tőng di n tích bang di n tích nen nhà MAB. Phan nen nhà được trải hai


lớp thảm là tá giác MIPJ và phan nen nhà chưa được trải thảm là tam
giác PAB. Áp dụng nguyên lý trải thảm ta có [MIPJ] = [PAB].
Bài tốn 1.2.6 ([1]). Cho lục giác đeu ABCDEF có cạnh bang a.
Goi M, N lan lượt là trung điem của CD, DE. Đ t I là giao điem của AM
và BN. Tính di n tích tá giác IMDN.

Hình 1.10: Tính di n tích tá giác IMDN 3√3

2

a2. Goi B′, C ′

Chúng minh. Goi di n tích lục giác đeu là S, ta có S =
lan lượt là hình chieu vng góc của B, C ở trên đường thȁng AD. Xét
ΔABB′ vuông tại B′, ta có
1
B^AB ′ = 60⇒◦
AB ′ = AB.
2
Tương tự,
DC′ =

1
2

CD.
1

[ACD]. Tà đó ta có
Do đó AD = 2a. M t khác, AD ǁ BC ⇒ [ABC]
2
=
[AED]
[NAB]
[ABCDEF ]
S
[ACD]
=
=

=
= ,
[CDE] = [ABC] =
2
2
2
6
6
S
[ABCM ] = [BCDN ] = .
3


Áp dụng nguyên lý trải thảm đoi với hai tam thảm có di n tích bang nhau
ABCM và BCDN ta có [IMDN ] = [ABI]. V y đe tính [IMDN ] ta
BI
tính [ABI]. Do v y, ta can tính tỉ so
.
[CDE]
S
IN
=
Vì M, N là trung điem CD, DE nên [DMN ]
. M là
4
24
=
trung điem CD nên [BMC] = [BCD] = S . V y
2
12

1
1
1
[ABM ] = [ABCM ] − [BCM ] =
−
S = S,
31 121
47
[ANM ] = [AMDN ] − [DMN ] = −
S=
S
3 24
24
BI
[ABM ]
6
=
= .
(1.3)
⇒
IN
[ANM ]
7
Xét ΔNAB, tà (1.3) ta có [ABI] = 6
2
[NAB]
=
S.
2
13

13
V y [MIND] = S.
13
Bài tốn 1.2.7 ([1]). Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB, CD
lan lượt lay M, N sao cho AM = CN. Trên cạnh AD lay điem P bat kỳ.
MN giao với BP, CP lan lượt tại Q, R. Cháng minh rang
[QBCR] = [AMQP ] + [PRND].

Hình 1.11: [QBCR] = [AMQP ] + [PRND]

Chúng minh. Vì AP ǁ BC nên
[PBC] = [ABC] =

[ABCD]
.
2

(1.4)


Vì AM = CN nên AM + DN = BM + CN , kéo theo
[ABCD]
.
[AMND] = [BMNC]
2
=

(1.5)

Tà (1.4) và (1.5) suy ra [PBC] = [AMND]. Giả sả tam thảm thá nhat

là tam giác PBC và tam thảm thá hai là tá giác AMND. Ta có hai
tam thảm này di n tích bang nhau. Phan nen nhà chỉ được phủ bởi
tam thá nhat là AMQP và PRND. Phan nen nhà chỉ được phủ bởi tam
thảm thá hai là QBCR. Áp dụng nguyên lý trải thảm ta có
[QBCR] = [AMQP ] + [PRND].

Định lý tiep theo là dạng tőng quát nhat của nguyên lý Carpets, đây
là ket quả mở r®ng của nguyên lý Carpets 1, nguyên lý Carpets 2.
Định lý 1.2.8 (Nguyên lý Carpets 3, [5]). Giả sủ hình U được chia thành
hai phan theo hai cách khác nhau:
U = S1 ∪ S2 = T 1 ∪ T 2
sao cho [T1] = [S2]. Khi đó
[S1 ∩ T1] = [S2 ∩ T2].
Chúng minh. Giả sả hình U được chia thành hai nảa theo hai cách
U = S1 ∪ S2 = T 1 ∪ T 2
[U ]

và

[S2] = [T1] = 2

.

Theo phép toán của t p hợp ta có
T1 = U ∩ T1 = (S1 ∪ S2) ∩ T1 = (S1 ∩ T1) ∪ (S2 ∩ T1).
Tà đó

S1 ∩ T1 = T1\(S2 ∩ T1).

(1.6)

(1.7)


Hay dưới dạng di n tích
[S1 ∩ T1] = [T1] − [S2 ∩ T1].

(1.8)

Tương tự, ta có
S2 = S2 ∩ U = S2 ∩ (T1 ∪ T2) = (S2 ∩ T1) ∪ (S2 ∩ T2)
hay

S2 ∩ T2 = S2\(S2 ∩ T1).

Hay dưới dạng di n
tích

[S2 ∩ T2] = [S2] − [S2 ∩ T1].
Vì [T1] =

[U ]
2

(1.9)

= [S2], nên tà (1.8) và (1.9) ta suy ra
[S1 ∩ T1] = [S2 ∩ T2].

(1.10)

Ta thay trong các trường hợp đ c bi t,ví dụ: hai tam thảm có di n tích
bang nhau thì nguyên lý Carpets 3 sě là nguyên lý Carpets 1...


Chương 2
Ứng dnng nguyên lý Carpets vào
giải m t so bài tốn hình hoc phang
Trong Chương 2, chúng tơi sě trình bày vi c áng dụng nguyên lý
Carpets và các kien thác liên quan đen nguyên lý Carpets đe giải m®t so
bài tốn hình hoc phȁng dành cho luy n thi đ®i tuyen hoc sinh giỏi.

2.1

Ý tư ng chung ve vi c fíng dnng ngun lý
Carpets vào giải bài tốn hình hoc phang

Đe áp dụng nguyên lý Carpets 1, ta can có đieu ki n di n tích của hai
tam thảm bang nhau. Khi đó di n tích phan khơng chong lên nhau của
hai tam thảm bang nhau. Trong dạng bài tốn này ta can:
• Xác định được hai tam thảm.
• Xác định phan chung của hai tam thảm.
• Xác định phan riêng của hai tam thảm.
• Cuoi cùng là cháng minh di n tích của hai tam thảm bang nhau.
Đe áp dụng nguyên lý Carpets 2, ta can có đieu ki n tőng di n tích của
các tam thảm bang di n tích căn phịng. Khi đó, phan di n tích trong của
căn phịng bang phan di n tích chong lên nhau của các tam thảm. Trong
dạng bài này ta can:


• Xác định phan chung của các tam thảm trước.

• Sau đó xác định phan trong của căn phịng.
• Cuoi cùng là cháng minh tőng di n tích các tam thảm bang di n tích
căn phịng.
Trong cả hai ngun lý, hình dạng của các tam thảm và hình dạng của
căn phịng là khơng quan trong. Trong ngun lý Carpets 1, hình phȁng
được chia làm ba phan di n tích:
1. di n tích phan chung của hai tam thảm,
2. di n tích phan riêng của hai tam thảm, đ t là S1 và S2, ta ket lu n
S1 = S2.
3. cuoi cùng là di n tích trong của hình phȁng khơng liên quan đen
cháng minh.
Trong nguyên lý Carpets 2, hình phȁng cũng được chia làm ba phan di n
tích khác với ngun lý Carpets 1:
• di n tích phủ bởi tam thảm,
• di n tích chung chong lên nhau của tam thám, đ t là T1,
• cuoi cùng là di n tích trong của hình phȁng, đ t là T2, ta ket lu n
T1 = T2.
M®t đ c điem rat đep của nguyên lý Carpets là trong nhieu bài toán
cháng minh tőng di n tích của các mien bang nhau, ta khơng nhat thiet
phải tính tốn trực tiep di n tích của tàng mien roi c®ng lại đe có ket quả
bang nhau.
Bài tốn 2.1.1 ([6]). Cho hình chǎ nh t ABCD. Vě tam giác AXD và
DY C. Cháng minh di n tích phan màu xám bang di n tích phan màu đỏ.


Hình 2.1: Di n tích phan màu xám bang di n tích phan màu đỏ

Giải. Ta có

[AXD] = [ABCD] = [DY C].

2

V y hai tam giác AXD và DY C có di n tích bang nhau, và chúng chong
lên nhau ở phan di n tích màu vàng. Do đó, theo nguyên lý Carpets, di n
tích phan màu xám bang di n tích phan màu đỏ.
Bài tốn 2.1.2 ([3]). Cho hình bình hành ABCD. Lay điem M, N và P
tương áng trên các đoạn BD, BC và CD sao cho CNMP là hình bình
hành (Hình 2.2). Đ t E = AN ∩ BD và F = AP ∩ BD. Cháng minh
rang
[AEF ] = [DFP ] + [BEN ].
Giải. Xét hai tam thảm là tam giác ABD và tá giác ANCP. Ta có
1
[ABD] = [ABCD]
2
và
[ANCP ] = [ANC] + [ACP ].
Chú ý rang

[ANC]
NC
MD
[ANC]
=
=
=
[ABCD]
2[ABC]
2B
2BD
C

Hình 2.2: [AEF ] = [DFP ] + [BEN ]

và

[ACP ]
[ABCD]

=

[ACP ]
2[ACD]

C®ng hai đȁng thác trên lại ta được
[ANC] + [ACP ]
[ABCD]

=

=

CP
2C
D

=

MD + MB
2BD

MB
2BD

=

.

1
.
2

Suy ra
[ABD] + [ANCP ] = [ABCD].
Nên theo nguyên lý Carpets 2, phan đè lên nhau của hai tam thảm
ABD và ANCP là AEF di n tích bang di n tích phan trong của hình
bình hành ABCD, tác là [AEF ] = [DFP ] + [BEN ].

2.2

M t so ví dn minh hoa vi c fíng dnng ngun
lý Carpets vào giải tốn hình hoc phang

Bài tốn 2.2.1 ([3]). Cho tá giác ABCD. Goi M, N, P, Q lan lượt là trung
điem của các cạnh AB, BC, CD và DA (Hình 2.3). Đ t X = AP ∩ BQ,
Y = BQ ∩ CM, Z = CM ∩ DN và T = DN ∩ AP . Cháng minh rang
[XY ZT ] = [AQX] + [BMY ] + [CNZ] + [DPT ].


Hình 2.3: [XY ZT ] = [AQX] + [BMY ] + [CNZ] + [DPT ]

Giải. Xét hai tam thảm là các tá giác AMCP và BNDQ. Bởi vì phan
chung của chúng là XY ZT nên ta can cháng minh
[AMCP ] + [BNDQ] = [ABCD].
1

Ta có
[AMCP ] = [AMC] + [ACP ]
=

2

[ABC] +

1
2

[ACD] =

1
2

[ABCD].

1

Tương tự, ta có
[BNDQ] =
do đó

2

[ABCD],

[AMCP ] + [BNDQ] = [ABCD].
Đieu phải cháng minh.
Bài toán 2.2.2 ([3]). Goi M là m®t điem trong của tam giác ABC. Kẻ
ba đường thȁng qua M và song song với các cạnh của tam giác tạo thành
ba hình thang. Trong moi hình thang kẻ m®t đường chéo sao cho chúng
khơng có chung đau mút, và chia ABC thành bảy phan, trong đó 4 phan
là tam giác (xem Hình 2.4). Cháng minh rang di n tích của m®t trong bon
tam giác bang tőng di n tích của ba tam giác cịn lại.


Hình 2.4: Điem M nam trong ΔABC.

Giải. Ta sap xep ba chiec thảm. Với các ký hi u như trong Hình 2.4, chú
ý rang neu các tam thảm là ABB′, BCC ′ và CAA′ thì các tam giác AB
′
Z, BC ′ X và CA′Y bị phủ hai lan, trong XY Z khơng được phủ. Do đó,
đȁng thác
[AB′Z] + [BC ′ X] + [CA′Y ] = [XY Z]
đúng khi và chỉ khi tőng di n tích của ba tam thảm bang di n tích của
tam giác. Nhưng đieu này là de thay (Hình 2.5) vì
[ABB′] = [ABM ],

[BCC ′ ] = [BCM ]

và
[CAA′] = [CAM ].

Hien nhiên ta có
[ABM ] + [BCM ] + [CAM ] = [ABC].