Ôn tập môn toán 8 lên 9 phần 1

ÔN TẬP KIẾN THỨC HỌC KÌ I LỚP 8
PHẦN 1. ĐẠI SỐ
A. LÝ THUYẾT:
1. Phát biểu qui tắt nhân đơn thức với đa thức; Đa thức với đa thức.
Áp dụng tính: a/ xy(3x2y - 3yx + y2)

b/ (2x + 1)(6x3 - 7x2 - x

+ 2)
2. Khi nào đơn thức A chia hết cho đơn thức B ? Đa thức C chia hết cho đa
thức D ?
Áp dụng tính: a/ (25x5 - 5x4 + 10x2) : 5x2

b/(x2 - 2x + 1):(1

-x)
3. Thế nào là phân thức đại số? Cho ví dụ?
4. Định nghĩa hai phân thức bằng nhau.
Áp dụng: Hai phân thức sau và có bằng nhau khơng?
5. Nêu tính chất cơ bản của phân thức đại số?
Áp dụng: Hai phân thức sau bằng nhau đúng hay sai?

=

6. Nêu qui tắt rút gọn phân thức đại số. Áp dụng : Rút gọn
7. Muốn qui đồng mẫu thức các phân thức đại số ta làm thế nào ?
Áp dụng qui đồng : và

B. BÀI TẬP:
I. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC :
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:

a)
2

3

2 2

3

2 xy ( x y  2 x y  5 xy )

d)

3x 2  2 x3 – x  5

b)

 2 x   x3 – 3x 2 – x  1

e)

 4 xy  3 y – 5 x  x 2 y

2
1 �
�
�1 �
 10 x3  y  z �
 xy �
�

�
5
3 �
�2 �
c) �

f)

 3x

2

4
y – 6 xy  9 x  ( xy ) 
3

Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:
a)

x

3

 5 x 2 – 2 x  1  x – 7 

x – 2   x 2 – 5 x  1 – x  x 2  11

c)
Bài 3:

b)

 2x

2

– 3 xy  y 2   x  y 

d) x(1  3 x)(4  3 x)  ( x  4)(3 x  5)

Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

a) (3 x  7)(2 x  3)  (3x  5)(2 x  11)
2
2
2
2 2
b) (3x  2 x  1)( x  2 x  3)  4 x( x  1)  3 x ( x  2)
Bài 4: Tìm x biết
4  x  3  3 x  2   3  x  1  4 x  1  27
a)
0, 6 x  x – 0,5  – 0, 3x  2 x  1,3  0,138
c)

b)
d)

5 x  12 x  7  – 3x  20 x – 5   100

 x  1  x  2   x  5 – x 2  x

II. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2
3 3
2
a) x yz  x y z  xyz

3
2
2
b) 4 x  24 x  12 xy

 8   27


c)

x2  m  n  3 y 2  m  n

d)

e)

x2  a  b   2  b  a 

f)

2

a)

 x  3

3

  x  4  x  2   3  x 

10 x 2  a  2b    x 2  2   2b  a 
2

50 x 2  x  y   8 y 2  y  x 

g)
Bài 2.

4x2  x  y   9 y2  y  x 

2

m 2
m
h) 15a b  45a b

b)

c) a  1

 m �� 
*

 2a  3b   4a  b    a 2  b 2    3b  2a 

2

2

2

2
d) (x  y)  4( x  y )  12

8

g) ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24

2
2
h) ( x  6 x  5)( x  10 x  21)  15

III. CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC , CHIA HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN
Bài 1:

Thực hiện phép tính:

 12 x y z  :  15 xy 
3

a)

3

3

b)

 12 x  :  3 x 

c)

 21a b x

15

4 2

 81a x
4

d)

Bài 2:
a)

x

3

 4x
a)

4

10

3

– 6a 2b3 x5  9a 3b 4 x 4  :  3a 2b 2 x 2 

y 3 – 36 x5 y 4 – 18ax5 y 4 – 18ax5 y 5  :  9 x 3 y 3 

Thực hiện phép chia:

– x 2  x  3 :
4

 x  1

 12 x 2 y 2  9 y 4  :  2 x 2  3 y 2 

b)

x

3

– 6 x 2 – 9 x  14  :

 64a b
b)

2 2

x

– 49m 4 n 2  :  8ab  7 m 2 n 

Bài 3: Xác định số hữu tỉ sao cho:
a) Đa thức 4x2 – 6x + a chia hết cho đa thức x – 3
b) Đa thức 2x2 + x + a chia hết cho đa thức x + 3
c) Đa thức 3x2 + ax – 4 chia hết cho đa thức x – a
Bài 4. Chứng minh rằng:
a. a2( a + 1) + 2a( a + 1) chia hết cho 6 với a � Z
b. a(2a –3) – 2a( a + 1) chia hết cho 5 với a �Z
c. x2 + 2x + 2 > 0 với x �Z
Bài 5:

Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức sau:

2
a) A   2x  6x  9

IV.

B  2xy  4 y  16x  5x 2  y 2  14

PHÂN THỨC XÁC ĐỊNH :
Phân thức

A
B xác định khi B � 0

Bài 1 : Tìm x để các phân thức sau xác định :
x6
A = x2

5
B = x  6x
2

– 7

C=


Bài 2: Cho phân thức

E

5x  5
2 x2  2x

a/ Tìm điều kiện của x để phân thức được xác định.
b/ Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng -1.

V. CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC :
Câu 1: Thực hiện các phép tính sau :
a)

5 xy  4 y 3xy  4 y

2 x2 y3
2 x2 y3

b)

x3 4 x

x2 2 x

Câu 2: : Thức hiện các phép tính sau :
a) + ;

b)

2 x  6 x 2  3x
:
2
c) 3 x  x 1  3x

VI. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP:

1
x2  x  2 2x  4
A
 2

x


2
x

7x

10
x 5
Bài 1 : Cho :
a. Rút gọn A.
b. Tìm x nguyên để A nguyên.
Bài 2 : Cho M = :
a. Tìm điều kiện xác định của M
b. Rút gọn M
c. Tính giá trị của M khi =

Bài 3: Cho biểu thức N =
a. Rút gọn N

�1
y
y2  y  1 � 1

�
:
�
�
3
y  1 � y2 1
�y  1 1  y

.

1
2.
b. Tính giá trị của N khi
c. Tìm giá trị của y để N ln có giá trị dương.
Bài 4: Cho biểu thức : .
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x .
y

PHẦN 2: HÌNH HỌC
A. LÍ THUYẾT:
1. Định lí tổng các góc của một tứ giác.
2. Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết của hình thang, hình thang cân,
hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng.
3. Định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác, của hình thang.
4. Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông
5. Diện tích các hình chữ nhật, hình vng, tam giác.

B. BÀI TẬP:
Bài 1:Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F, K, M lần lượt là trung điểm của
BD, AC, CD, AB.


a) Chứng minh: tứ giác AFKD là hình thang và tứ giác KEMF là hình bình hành.
b) Chứng minh: EF // CD.
c) Đường thẳng qua E vng góc với AD và đường thẳng qua F vng góc với BC
cắt nhau tại H. Chứng minh: tam giác HCD là tam giác cân.

Bài 2: Cho tam giác ABC vng tại A có AH là đường cao. M là trung điểm AB.
Gọi D là điểm đối xứng của H qua M.
a) Chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật.
b) Trên đoạn HC lấy điểm E sao cho HB = HE. Chứng minh tứ giác AEHD là hình
bình hành.
c) Gọi N là điểm đối xứng của A qua H. Chứng minh: Tứ giác AENB là hình thoi.
d) MN cắt BH tại K. Chứng minh: BE = 3BK.
Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B qua C.
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác
BDEF là hình thoi.
c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt DE tại K. Chứng minh KI = AE.
Bài 4: Cho  ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH (H �BC).
Kẻ HD  AB tại D và HE  AC tại E.
a) Chứng minh: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
b) Gọi F là điểm đối xứng của điểm H qua điểm E.
Chứng minh: Tứ giác ADEF là hình bình hành.
d) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: AM  AF.
Bài 5 . Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Gọi M là trung điểm của BC.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
b) Gọi E là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh tứ giác ADBE là hình bình
hành.
c) EM cắt AB tại K và cắt CD tại I. Vẽ IH  AB (H  AB). Chứng minh IKB cân.
Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi G, H và E lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, AC và BC.
a) Chứng minh tứ giác BCHG là hình thang.
b) Gọi O là điểm đối xứng với E qua H. Chứng minh tứ giác EAOC là hình bình
hành.
c) Chứng minh AE, GH, OB đồng quy.

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, đường trung
tuyến AM. Vẽ HD  AB, HE  AC (D � AB, E � AC).
a) Chứng minh: tứ giác ADHE là hình chữ nhật và AB . AC = AH . BC.
b) Gọi P là điểm đối xứng của A qua E. Tứ giác DHPE là hình gì? Vì sao?
c) Gọi V là giao điểm của DE và AH. Qua A kẻ đường thẳng xy vng góc
với đường thẳng MV. Chứng minh ba đường thẳng xy, BC, DE đồng quy.
Bài 8. Cho ABC cân tại A. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.


a/ Cho BC = 10 cm. Tính độ dài DE.
b/ Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.
c/ Gọi K là trung điểm BC, F là trung điểm BK, H là giao điểm của AK và DE.
Chứng minh tứ giác DHKF là hình chữ nhật.
d/ Chứng minh 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy.
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung
điểm của AB.
a/ Chứng minh: MD  AB.
b/ Gọi E là điểm đối xứng với M qua D. Chứng minh tứ giác EACM là hình bình
hành.
c/ Chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi.
d/ Cho BC = 6cm, tính chu vi tứ giác AEBM.
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M, N, K thứ tự là trung
điểm của AB, AC và BC.
1
KN = AB
2
a) Chứng minh
và ABKN là hình thang vng.
b) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN và cắt tia KN tại Q.Chứng minh
AKCQ là hình thoi.

c) MN cắt BQ tại O và AK cắt BN tại I. Biết BC = 24cm, tính độ dài OI.

Bài 11. Cho ABC vng tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Gọi M là trung điểm
của cạnh AB, N là trung điểm của cạnh AC.
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
b) Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh tứ giác BMND là hình bình
hành.
c) Chứng minh tứ giác AMDN là hình chữ nhật.
Gọi E là điểm đối xứng của D qua M. Chứng minh tứ giác BDAE là hình thoi.
Bài 12: Cho ABC vng tại A có AB < AC. Gọi M là trung điểm BC. Từ M kẻ MN
vng góc với AC tại N, kẻ ME vng góc với AB tại E.
a) Chứng minh tứ giác ANME là hình chữ nhật và tứ giác NMBE là hình bình hành.
b) Vẽ D đối xứng M qua E. Chứng minh tứ giác ADBM là hình thoi.
c) Vẽ đường cao AH của ABC. Chứng minh tứ giác MNEH là hình thang cân.
Bài 13: Cho hình thang ABCD có độ dài đáy lớn AB bằng 2 lần đáy nhỏ CD.
Gọi I là trung điểm AB. Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại E.
a) Chứng minh AICD và BCDI là các hình bình hành.
b) Chứng minh AD = DE.
c) Giả sử A = D = 900 và AD = CD. Chứng minh BC AC.

A  AB  AC 
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại
và M , N , P lần lượt là trung
điểm của AB, AC , BC .
a) Chứng minh: Tứ giác BMNP là hình bình hành.


b) Vẽ Q đối xứng với P qua N . Chứng minh: Tứ giác APCQ là hình thoi.
c) Vẽ R đối xứng với P qua M . Chứng minh: R, A, Q thẳng hàng.
Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Gọi M, N, K lần lượt là

trung điểm của AB, BC và AC.
a) Chứng minh tứ giác AMNK là hình bình hành.
b) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC. Tứ giác MKNH là hình gì? Vì sao?
c) Gọi I là điểm đối xứng của H qua M . AH và IC lần lượt cắt MK tại E và F .
Chứng minh HC – HB = 2EF

ĐÁP ÁN BÀI TẬP ƠN TẬP HỌC KÌ I
I NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC :
Bài 1
2
3
2 2
3
a) 2 xy ( x y  2 x y  5 xy )

4
3
2
b)  2 x  3 x  2 x – 2 x

 2 xy 2 .x3 y  2 xy 2 .2 x 2 y 2  2 xy 2 .5 xy 3
 2 x 4 y 3  4 x3 y 4  10 x 2 y 5
1
5 x 4 y – 2 xy 2  xyz
5
c)

5
3
2

d) 6 x – 3 x  15 x

3 2
2 2
3
e) 4 x y  3 x y – 5 x y

3 2
2 2
2
f)  4 x y  8 x y – 12 x y

Bài 2:
4
3
2
a) x – 2 x – 37 x  15 x – 7
3
2
2
3
c) x – 5 x  x – 2 x  10 x – 2 – x –11x

  7 x2 – 2

3
2
2
3
b) 2 x – x y – 2 xy  y

d)

x  1  3x   4  3x    x  4   3x  5


  4  3x    x  4   3x  5 
  4 x  3x  12 x  9 x    3x  5 x  12 x  20 
  9 x  15 x  4 x    3 x  7 x  20 
 x  3x 2

2

3

2

2

3

2

2

 9 x3  15 x 2  4 x  3x 2  7 x  20
 9 x3  18 x 2  11x  20
Bài 3:
a) (3 x  7)(2 x  3)  (3x  5)(2 x  11)
 3x (2 x  3)  7(2 x  3)  3 x(2 x  11)  5(2 x  11)

 6 x 2  9 x  14 x  21  6 x 2  33 x  10 x  55

 76
Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào biến x
2
2
2
2
2
b) (3 x  2 x  1)( x  2 x  3)  4 x( x  1)  3 x ( x  2)

 3 x 2 ( x 2  2 x  3)  2 x( x 2  2 x  3)  ( x 2  2 x  3)  4 x.x 2  4 x  3 x 2 .x 2  3 x 2 .2

 3 x 4  6 x3  9 x 2  2 x3  4 x 2  6 x  x 2  2 x  3  4 x 3  4 x  3x 4  6 x 2


0
Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào biến
Bài 4.
4  x  3  3 x  2   3  x  1  4 x  1  27
a)
(4 x  12)(3 x  2)  (3 x  3)(4 x  1)  27

b)

60 x 2  35 x – 60 x 2  15 x  100

12 x 2  8 x  36 x  24  12 x 2  3x  12 x  3  27
43 x  27  27

43 x  27  27
43 x  0
x0
c)

5 x  12 x  7  – 3x  20 x – 5   100

50 x  100
x  2

0, 6 x  x – 0,5  – 0, 3x  2 x  1,3   0,138

d)

x

2

 3 x  2   x  5  – x3 – 8 x 2  27

0, 6 x 2 – 0,3 x – 0, 6 x 2 – 0,39 x  0,138

x3  5 x 2  3x 2  15 x  2 x  10 – x 3 – 8 x 2  27

0, 69 x  0,138

17 x  10  27

x  0, 2

17 x  17
x  1

II. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1:
2
3 3
2
a) x yz  x y z  xyz

3
2
2
b) 4 x  24 x  12 xy

 xyz  x  x 2 y 2  z 

 4 x  x2  6 x  3 y 2 

c)

x2  m  n  3 y 2  m  n

d)

  m  n  x2  3y2 



 4 x2  x  y   9 y 2  x  y 



  m  n x  3 y x  3 y

e)

  x  y   4x2  9 y2 



  x  y  2x  3y  2x  3y

x2  a  b   2  b  a 

f)

 x  a  b  2 a  b

 10 x 2  a  2b    x 2  2   a  2b 
2

  a  b   x2  2





2

 50 x 2  x  y   8 y 2  x  y 
2

2

2

 50 x  8 y 
 2  x  y   25 x  4 y 
  x  y

2

2

2

2

2

 2  x  y   5x  2 y   5x  2 y 
2

Câu 2 :

2

  a  2b   10 x 2  x 2  2 

50 x 2  x  y   8 y 2  y  x 

2

2

2

  a  b x  2 x  2

g)

10 x 2  a  2b    x 2  2   2b  a 
2

2



4 x2  x  y   9 y2  y  x 

  a  2b 

2

  a  2b 

2

 9x

2

 2

 3 x  2   3x  2 

 m �� 
 15a .a b  45a b  m �� 
 15a b  a  3 
 m �� 
 15a b  a  3   a  3   m �� 
.

m 2
m
h) 15a b  45a b
m

m

m

2

m

2

*

*

*

*


a)  x  3   x  4   x  2    3  x 
3

  x  3   x  4   x  2    x  3
3

  x  3

b)  2a  3b   4a  b    a 2  b 2    3b  2a 

2

  2a  3b   4a  b    a 2  b 2    2a  3b 

2

 x  3  1   x  4   x  2 
2
  x  3  x  4    x  4   x  2 
  x  4  x2  6 x  9  x  2 
  x  4  x2  5x  7 

2

  2a  3b   4a  b  2a  3b    a  b   a  b 

2

  2a  3b   2a  2b    a  b   a  b 
  a  b   4a  6b  a  b 
  a  b   3a  5b 

c ) a 8 -1

d ) (x  y) 2  4( x  y )  12

  a4  1

 ( x  y ) 2  4( x  y )  4  16

2

  a 2  1  a 2  1  a 4  1

 ( x  y  2) 2  16
 ( x  y  2  4)( x  y  2  4)
 ( x  y  6)( x  y  2)

g ) A  ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24

h) B  ( x 2  6 x  5)( x 2  10 x  21)  15

= [( x  2)( x  5)].[( x  3)( x  4)]  24

 ( x  5)( x  1)( x  3)( x  7)  15

 ( x  7x  10)( x  7 x  12)  24

 ( x 2  8x  15)( x 2  8x  7)  15

  a 4  1  a 4  1

  a  1  a  1  a 2  1  a 4  1

2

2

2

2
Đặt x  7x  10  t

2
Đặt x  8x  7  t

� A  t ( t  2)  24  t 2  4t  6t  24

� B  (t  8) t  15  t 2  8t  15

 t ( t  4)  6(t  4)  (t  4)(t  6)

 t 2  3t  5t  15

2
2
� A  ( x  7x  10  4)( x  7x  10  6)

 t (t  3)  5(t  3)  (t  3)( t  5)

Vậy ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24

� B  ( x 2  8x  7  3) ( x 2  8x  7  5 )
 ( x 2  8x  10)( x 2  8x  12)

 ( x 2  7x  6)( x 2  7x  16)

2
2
Vậy ( x  6 x  5)( x  10 x  21)  15

 ( x 2  8x  10)( x 2  8x  12)

III. CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC , CHIA HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN
Bài 1:

 12 x y z  :  15 xy 
3

a)

3

3

12 x3 y 3 z
4
3
= 15 xy = 5 x2z

c)

 12 x 
15

b)

:  3x

10



12 x15
10
= 2x
= - 4x5

d)

 21a b x

4 2 3

– 6a 2b3 x 5  9a 3b 4 x 4  :  3a 2b 2 x 2 

21a 4b 2 x 3 6a 2b 3 x 5 9a 3b 4 x 4


3a 2b2 x 2 3a 2 b2 x 2 3a 2b 2 x 2
=
 7 a x – 2bx  3ab x
2

Bài 2:

3

2

2

 81a x
4

4

y 3 – 36 x5 y 4 – 18ax 5 y 4 – 18ax 5 y 5  :  9 x3 y 3 

81a 4 x 4 y 3 36 x 5 y 4 18ax5 y 4 18ax 5 y 5




3 3
9 x 3 y 3 9 x 3 y 3 9 x 3 y 3
= 9 x y
  9a 4 x  4 x 2 y  2ax 2 y  2ax 2 y 2


x 3  x 2  x  3 ( x3  x 2 )  (2 x 2  2 x)  (3 x  3)

x

1
x 1
a)

x 2 ( x  1)  2 x( x  1)  3( x  1)

x 1
 x2  2x  3
x 3  6 x 2  9 x  14 x 3  7 x 2  x 2  7 x  2 x  14

x

7
x7
b)

x 2 ( x  7)  x( x  7)  2( x  7)

x7

 x2  x  2

4 x 4  12 x 2 y 2  9 y 4 (2 x 2  3 y 2 ) 2

 2 x2  3 y2
2
2
2
2
2x  3y
2x  3y
a)

64a 2b 2  49m 4 n 2 (8ab  7 m 2 n)(8ab  7 m 2 n)

 8ab  7m 2 n
2
2
8ab  7m n
8ab  7m n
b)
Bài 3:

4 x 2  6 x  a 4 x 2  12 x  6 x  18  a  18 4 x( x  3)  6( x  3)  a  18


x 3
x3
x3
a)

=

4x  6 

a  18
x 3

a  18
Để đa thức 4x2 – 6x + a chia hết cho đa thức x – 3 thì x  3 = 0
� a + 18 = 0 � a = - 18

2 x 2  x  a 2 x 2  6 x  5 x  15  a  15 2 x ( x  3)  5( x  3)  a  15


x3
x3
x3
b)
 2x  5 

a  15
x3

a  15
Đa thức 2x2 + x + a chia hết cho đa thức x + 3 � x  3 = 0
� a + 15 = 0 � a = - 15

3 x 2  ax  4 3 x 2  3ax  4ax  4a 2  4a 2  4 3 x( x  a )  4a( x  a)  4a 2  4



xa
xa
xa
c)

 3 x  4a 

4a 2  4
xa


4a 2  4
Đa thức 3x2 + ax – 4 chia hết cho đa thức x – a � x  a = 0 � 4a2 – 4 = 0 �

2a  2  0 �
a 1
�
��
�
2a  2  0 �
a  1
(2a – 2)(2a + 2) = 0 � �
Bài 4:
a) Ta có:
a 2  a  1  2a  a  1  a 3  a 2  2a 2  2a  a  a 2  3a  2   a  a  1  a  2 

Ta có tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 do đó chia hết cho 6
b) Ta có:
a  2a  3  2a  a  1  2a 2  3a  2a 2  2a  5a M5 a �Z
c) Ta có:

x 2  2 x  2   x  1  1  0 x �Z
2

Bài 5:
A   2x 2  6x  9

B  2xy  4 y  16x  5x 2  y 2  14

B  ( x 2  2xy  y 2 )  4( x  y )  12 x  4 x 2 14
3
9
9
�
�
  2( x 2  3x) + 9 = -2 �x 2  2. x.  �  9 B   [(x 2  2xy  y 2 )  4( x  y )  4]  (4 x 2 12 x  9)  1
2 4� 2
�
2
B   [( x  y ) 2  2.( x  y ).2  22 ]  (2x  3) 2  1
� 3 � 27 27
  2 �x  � � ,  x
2
� 2� 2
B   ( x  y  2)2  (2x  3) 2  1
2

2
2
Vì ( x  y  2) �0,  (2x  3) �0  x

� 3�
27
2 �x  ��0
A�
2
�
�
2
Vì
nên
Vậy Amax

27
3
� x
2
= 2

nên Bmax = -1 đạt được khi

x

IV . PHÂN THỨC XÁC ĐỊNH :
Bài 1:
- Phân thức A xác định khi x ≠ 2
- Phân thức B xác định khi

x

2

 6 x  �0 � x  x  6  �0 hay x �0, x �6

 3x

2

- Phân thức C xác định khi



��
4x �۹�
0 x 3x 4

0

x 0,x

Bài 2:

 2x
a) Phân thức E xác định khi

2

��
2 x  �۹�
0

2
x  x 1

0

x

0, x

b) Phân thức E bằng -1 khi:s
5x  5
5
 1 � 2 x 2  7 x  5  0 �  x  1  2 x  5   0 � x  1 �x  
2
2x  2x
2

V. CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC :
Bài 1: a) Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ 0

1

4
3

3
1
; y
2
2

5 xy  4 y 3xy  4 y 5 xy  4 y  3 xy  4 y
8 xy
4


 2 3 2
2 3
2 3
2 3
2x y
2x y
2x y
2x y
xy

a) Điều kiện: x ≠ 2

x 3 4 x x  3 4 x x 3 4 x
1





x2 2 x x2 x2
x2
x2
Bài 2:

a) Điều kiện: x ≠ 0, x ≠ -3

x x  1
x  1 2x  3
4x  6
x2  x  4x  6 x2  5x  6  x  2  x  3 x  2
 






2x  6 x2  3x 2x x  3 2x  x  3
2x
2x x  3
2x  x  3
2x  x  3
b) Điều kiện: x ≠ 0, x ≠ -3



x 6
3x
x 6
3x  x  6 2 x  3
1
 2
 2




2
2x  6x 2x  6x 2x  6x 2x x  3 2x x  3 x

1
x �0, x �
3
c) Điều kiện:

2 x  6 x 2  3x 2  x  3 1  3x
2
:

.
 2
2
3x  x 1  3x
x  3 x  1 x  x  3 x

VI. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP:
Bài 1:
a. x2 - 7x + 10 = (x - 5 )(x - 2).
Điều kiện để A có nghĩa là x � 5 và x � 2.

1
x2  x  2 2x  4
A




x  2 x2  7x  10 x  5
x  5 x2  x  2  (2x  4)(x  2)

(x  5)(x  2)
 x2  8x  15 (x  5)(x  3) 3 x



(x  5)(x  2) (x  5)(x  2) x  2
b.

A

(x  2)  1
1
 1
x 2
x  2 , với x nguyên , A nguyên khi và chỉ

1
khi x  2 nguyên, khi đó x - 2 = -1 nghĩa là x = 3, hoặc x = 1.
Bài 2:
a) ĐKXĐ: x0, x2; x-2
b) M = : = =
c )Tính giá trị của M khi =
= x = hoặc x = Với x = ta có : M ===
Với x = - ta có : M ===

Câu 3:
a. Rút gọn N

N=

�1
y
y2  y  1 � 1

�
�
�:
3
y  1 � y2 1
�y  1 1  y

=

�1
y
y2  y 1 � 1

�
�
�:
3
y 1 � y2 1
�y  1 y  1

�1

y
y2  y 1� 1
�
�:

�
�y  1  y  1 y 2  y  1
y  1 � y2 1
�
�





�1
y

�
�y  1  y  1  y  1
�

� 1
y 1 y
1
2 y 1 y2 1
: 2
�
:
�

� y 1
2
2
2
y

1
1 =2y + 1
y

1
y

1
�
=
=

Vậy N= 2y + 1
b. Khi

y

1
1
�
2 thì N = 2y + 1 = 2 2 + 1 = 2.

1
c. N > 0 khi 2y + 1 > 0 => y > - 2 .

Câu 4:

b.

PHẦN 2: HÌNH HỌC
Bài 1:
A

I

B

M

E

F
H

D

C

K

a) Chứng minh: tứ giác AFKD là hình thang và tứ giác KEMF là hình
bình hành.
Ta có:
F là trung điểm của AC (gt)
K là trung điểm của CD (gt)

� KF là đường trung bình của tam giác ACD

1
� KF = AD
� KF / /AD và
2

(1)

Nên tứ giác AFKD là hình thang.
Ta lại có:
E là trung điểm của BD (gt)


M là trung điểm của AB (gt)

� EM là đường trung bình của tam giác ABD

1
� EM = AD
� EM / /AD và
2

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: KF // EM và KF = EM
Do đó: tứ giác KEMF là hình bình hành.
b) Chứng minh: EF // CD.
Gọi I là trung điểm của AD

HS chứng minh được: IE // AB và IF // CD (sử dụng đường trung bình)
Mà AB // CD nên 3 điểm I, E, F thẳng hàng.
Do đó: EF // CD.
c) Chứng minh: tam giác HCD là tam giác cân.
Ta có: AD // KF và EH ^ AD suy ra: KF ^ EH
EK // BC và FH ^ BC suy ra: EK ^ FH
Nên H là trực tâm tam giác EFK.

� KH ^ EF mà EF // CD nên KH ^ CD
� HK là đường cao tam giác HCD
Mà HK là đường trung tuyến tam giác HCD (KC = KD) Nên Tam giác HCD cân tại
H.
Bài 2
a) Chứng minh: AHBD là hình bình hành
=> AHBD là hinh chữ nhật
b) Chứng minh: DA // HE và DA = HE
=> tứ giác AEHD là hình bình hành
c) Cm: AENB là hình bình hành;
AN vng góc BE => AHBD là h.
thoi
d) Cm: K là trọng tâm

=>

Vậy BE = 3BK
Bài 3:
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B qua C.
B

A

N
D

M

C

I
K

E

F


e) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành
Ta có BC = CE (E là điểm đối xứng của B qua C)
và BC = AD (ABCD là hình chữ nhật)
nên CE = AD
mà AD//CE (do AD//BC)
Vậy tứ giác ACED là hình bình hành
f) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ
giác BDEF là hình thoi
Xét 2 tam giác ABM và FCM có:
(đối đỉnh)
BM = CM
Nên ABM = FCM
Suy ra AB = CF
Mà AB = CD (ABCD là hình chữ nhật)

Do đó CF = CD
Tứ giác BDEF có 2 dường chéo BE và CF vng góc nhau tại trung điểm
mỗi đường
Nên tứ giác BDEF là hình thoi
g) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt DE tại K. Chứng minh IK
= AE
Gọi N là giao điểm của AC và BI
Ta có tứ giác ACED là hình bình hành, I là giao điểm của AE và CD
nên I là trung điểm của AE.
Tam giác ABE có 2 đường trung tuyến AC và BI cắt nhau tại N
nên N là trọng tâm của ABE
Suy ra IN = IB
IB = AE (do BI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vng
ABE)
Do đó IN = AE
Mặt khác IK = IN (do hình bình hành ACED là hình có tính chất đối xứng)
Vậy IK = AE
Bài 4:

a) Chứng minh được tứ giác ADHE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vng)
b) Ta có AD//HE và AD = HE (cạnh đối HCN)


Mà HE = EF (t/c đối xứng)

� AD //EF và AD = EF
� DECM là HBH (2 cạnh đối // và bằng nhau)

c) H và F đối xứng nhau qua E nên HE = EF (t/c đối xứng)
HF  AC nên tam giác AHF cân tại A (đường cao đồng thời là trung tuyến)

�
�
�  AHE
�
� AFE
mà AHE  C (cùng phụ góc CHE)
Có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác ABC � AM = MC = BC/2
� C
� � MAC
�  AFE
�
� �
�  AMC cân tại M � MAC
(= C  AHE )
0
0
�
�
�
�
Có AFE  FAE  90 (vì HE  AC) � MAC  FAE  90 � AM  AF

Bài 5:
a) Chứng minh tứ giác ABDC là
hình chữ nhật.
CM: ABCD là hình bình hành.
CM: ABCD là hình chữ nhật.
b) Gọi E là điểm đối xứng của C
qua A. Chứng minh tứ giác
ADBE là hình bình hành.

CM: BD = AE
CM: ADBE hình bình hành
c) EM cắt AB tại K và cắt CD tại I.
Vẽ IH  AB (H  AB). Chứng
minh IKB cân.
CM: K trọng tâm EBC
CM: AK = HK.
CM: HK = BH.
CM: IKB cân.
Bài 6:

a) Xét tam giác ABC có
G là trung điểm của AB (gt)
H là trung điểm của AC (gt)
Vậy GH là đường trung bình của tam giác ABC.
=>GH // BC.
Xét tứ giác BCHG có
GH // BC (cmt)


Vậy tứ giác BCHG là hình thang.
b) Xét tứ giác AECO có
H là trung điểm của AC (gt)
H là trung điểm của OE (O đối xứng với E qua H).
Vậy tứ giác AECO là hình bình hành
c) Chứng minh được tứ giác AGEH là hình bình hành
=> Hai đường chéo AE và GH cắt nhau tại trung điểm của AE và GH
Chứng minh được tứ giác ABEO là hình bình hành
=> AE cắt BO tại trung điểm của AE và BO
Điều phải chứng minh

Bài 7.

a) Chứng minh: tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
�
ADH  900 (AB  DH)
�
AEH  900 (AC  HE)
�  900 
EAD
( ABC vuông tại A)

Vậy tứ giác AEHD là hình chữ nhật.

1
AH . BC
2
1
 AB . AC
2

S ABC 
S ABC

Vậy

AB . AC  AH . BC

b) Chứng minh: tứ giác DHPE là hình gì? Vì sao?
Chứng minh được PE // DH
Chứng minh được PE = DH

Vậy tứ giác DHPE là hình bình hành. Giải thích.
c) Gọi F là giao điểm của Ax và BC


V là trực tâm tam giác AMF (MV  Ax; AV  BC)
 FV  AM (1)

AM 

Ta lại có
vng ABC)

1
BC
2
(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của 

�
�
 MAC  MCA
�
�
Mà AEV  EAV (Tứ giác AEHD là hình chữ nhật)
0
�
�
Đồng thời EAV  ACM  90 (tam giác ACH vuông tại H)
0
�
�

 AEV  CAM  90

Do đó DE  AM (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm E, V, D, F thẳng hàng
Vậy ba đường thẳng Ax, BC, DE đồng quy tại F.
Câu 8:
a/

Cho BC = 10 cm. Tính độ dài DE.

Xét ABC có:
D là trung điểm của AB (gt)
E là trung điểm của AC (gt)
Suy ra DE là đường trung bình của ABC

1
1
BC  .10  5  cm 
2
Suy ra DE // BC và DE 2


b/ Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.
Xét tứ giác BDEC có:
DE // BC (cmt)

�C
�
B

(do ABC cân tại A)

Nên tứ giác BDEC là hình thang cân.
c) Gọi K là trung điểm BC, F là trung điểm BK, H là giao điểm của AK và DE.
Chứng minh tứ giác DHKF là hình chữ nhật.


Xét ABK có:

D là trung điểm của AB (gt)

(1)

DH // BK (do DE // BC)
Nên H là trung điểm AK ( H �AK )

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: DH là đường trung bình của ABK

1
BK
2
1
FK  BK
2
(do F là trung điểm BK)

� DH 

Mà


Nên DH = FK


Xét tứ giác DHKF có:

DH // FK (do DE // BC; F �BC ; H �DE )
DH = FK
Do đó tứ giác DHKF là hình bình hành
Lại có:
cao)

�
AKB  900 (do

ABC cân tại A có AK là trung tuyến nên cũng là đường

Vậy tứ giác DHKF là hình chữ nhật.
d) Chứng minh 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy.
- Chứng minh tứ giác DEKB là hình bình hành
- Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật DHKF
Nên O là trung điểm của DK và HF (*)
- Hình bình hành DEKB có O là trung điểm của đường chéo DK (cmt)
Nên O cũng là trung điểm của đường chéo BE (**)
Từ (*) và (**) suy ra: 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy.
Bài 9:

a/ Tam giác ABC có:

M là trung điểm của AB (gt)
D là trung điểm của AC (gt)
 MD là đường trung bình của ABC
 MD // AB
Mà AC  AB (vì tam giác ABC vng tại A)
 MD  AB
b/ Ta có:
MD = AC : 2 (vì MD là đường trung bình của tam giác ABC)
MD = ME : 2 (vì E đối xứng với M qua D)
 AC = ME
Mà AC // ME (vì AC // MD)
 Tứ giác EACM là hình bình hành
c/ Xét tứ giác EAMB có:
D là trung điểm của AB
D là trung điểm của EM
 Tứ giác EAMB là hình bình hành
Mà EM  AB (vì MD  AB)


 Tứ giác EAMB là hình thoi
d/ Ta lại có: tam giác ABC vng tại A có AM là trung tuyến
 AM = BC : 2 = 6 : 2 = 3 (cm)
 EA = AM = MB = BE = 3cm
Vậy chu vi tứ giác EAMB là:
EA + AM + MB + BE = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 (cm)
Bài 10:

a) C/m:NK là đường trung bình của tam giác ABC nên:
NK//AB, NK=1/2AB.
0

�
Và A  90 (gt)

Nên T/g ABKN hthang vng
b) C/m được BNQM là hình bình hành.N là trung điểm của QK.
C/m được AKCQ là hình bình hành.

KQ  AC

Hình bình hành AKCQ là hình thoi
c) Chứng minh được I là trọng tâm của tam giác ABC, C, I, M thẳng hàng. Gọi V
sao cho I là trung điểm của MV. OI=1/2NV=1/2.1/2AI=1/4.2/3AK=1/6AK;
OI=2cm
Câu 11:
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC2  AB2  AC2 (định lý Pytago)
BC2  62  82  36  64  100
� BC  100  10 (cm)
Ta lại có:
M là trung điểm AC (gt)
N là trung điểm AB (gt)
� MN là đường trung bình của tam giác ABC
BC 10

5
� MN // BC và
2
2

(cm)
b) Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh tứ giác BMND là hình
bình hành.
MN 


BC
2 (cmt)
Ta có: MN // BC và
BC
BD 
2 (do D là trung điểm của BC)
Mà D thuộc BC và
MN 

� MN // BD và MN = BD
� Tứ giác BMND là hình bình hành.
c) Chứng minh tứ giác AMDN là hình chữ nhật.
Ta có:
D là trung điểm BC (gt)
M là trung điểm AB (gt)
� DM là đường trung bình của tam giác ABC
� DM // AC và

DM 

AC
2

AN 

AC
2 (do N là trung điểm của AC)

Mà N thuộc AC và
� DM // AN và DM = AN
� Tứ giác AMDN là hình bình hành.
0
�
Mà BAC  90 (tam giác ABC vng tại A)
� Tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

d) Gọi E là điểm đối xứng của D qua M. Chứng minh tứ giác BDAE là
hình thoi.
Ta có :
M là trung điểm AB (gt)
M là trung điểm ED (E và D đối xứng qua M)
� Tứ giác BDAE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Nên tứ giác BDAE là hình bình hành.
Mà ED  AB (do AMDN là hình chữ nhật)
� Tứ giác BDAE là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vng góc)
Bài 12:

C

a) Chứng minh đúng tứ giác ANME là hình chữ nhật
Chứng minh được E là trung điểm của AB
Chứng minh đúng NM = BE và NM//BE

M

N

Kết luận tứ giác NMBE là hình bình hành

H

b) Chứng minh đúng tứ giác ADBM là hình bình hành
Chứng minh đúng tứ giác ADBM là hình thoi
c) Chứng minh được NH = NA

A

B

E

Chứng minh tứ giác MNEH là hình thang cân.
D

Bài 13:


a/ AICD, BCDI là các hình bình hành (đúng dấu
hiệu: 2 cạnh đối song song và bằng nhau)

B

I

A

(hình bình hành thứ 2 chỉ cần chứng minh
tương tự)

D

C

b/ CIDE là hình bình hành (đúng dấu hiệu) DE =
IC
mà

E

AD = IC nên kết luận
c/ Tam giác ABE vng cân tại A có AC là trung tuyến cũng là đường cao nên
kết luận
( Câu c khơng cần vẽ hình )
Bài 14:

a)Ta có M là trung điểm củaAB(gt)
N là trung điểm của AC (gt) nên MN là đường trung bình của tam giác
ABC
=>MN//BC và MN = BC
=>MP//BPvà MN = BP
=>Tứ giác MBPN là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
b) Tứ giác APCQ là hình bình hành( Vì NA=NC ; NP = NQ (gt) mà AP là trung
tuyến ứng với cạnh huyền trong ABC vng tại A (gt) nên AP = PC
Do đó hình bình hành APCQ là hình thoi (Hình bình hành có hai cạnh kề bằng

nhau)
c) Chứng minh tứ giác ARBP là hình thoi =>đường chéo AB là phân giác của
=>= (1)

A

I

Tứ giác APCQ là hình thoi (cmt) =>đường chéo AC là phân giác của
Ta có = + = 2 + 2 = 2 = 2.900

K

= 1800
Vậy R,A,Q thẳngM hàng
Bài 15:

B

H

N

C

=>= (2)


a) Chứng minh AMNK là hình bình hành
b) Chứng minh MKNH là hình thang cân

c) chứng minh ME là đường trung bình của tam giác ABH � ME = BH/2
chứng minh KF là đường trung bình của tam giác CIA � KF = AI/2
chứng minh BH = AI � ME=KF
Chứng minh HC = 2KE mà
HB =2EM

� HC  HB  2  EK  EM   2  EK  KF   2 EF

ÔN TẬP KIẾN THỨC HỌC KÌ II
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ BÀI TỐN LIÊN QUAN

Câu 4.

36
x 3�
� x  11 ��3  x
Q�
1
:


��
�
2
� x  1 ��x  3 9  x x  3 �với x �3 ; x �3 .
Cho biểu thức
a) Rút gọn Q .
2
b) Tính giá trị của Q biết 2 x  6 x  0 .
c) Tìm x để Q   x .

d) Tìm x để Q  1 .
A

Câu 5.

Câu 6.

Cho biểu thức
a) Rút gọn A .

x 2  2 x �x  2
1
6  x2 �
:


�
�
x2  4 x  4 � x
2  x x2  2 x �
với x �0 ; x �2 ; x �2 .

2x 1  3
b) Tính giá trị của A biết
.
c) Tìm x để A  0 .
d) Tìm các giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
e) Tìm GTNN của A với x  2 .
x  5 x  1 �7 x  14

� 9  3x
B  �2


�: 3
x

4
x

5
1

x
x

5
�
� x  1 . Với x �1; x �2; x �5
Cho biểu thức:
a) Chứng minh rằng

B

x2  x  1
x2 .

x  5   9 x  45  0
b) Tính giá trị của biểu thức B biết 
c) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.

2


3
4
d) Tìm x để
e) Tìm x để B  0
B

f) Tìm GTLN của biểu thức M biết
g) Với x  2 , tìm GTNN của B
Câu 7.

M

2
:B
x2

�2  x 4 x 2
2  x � x 2  3x
P�
 2

�:
2  x x  4 2  x �2 x 2  x 3
�
Cho biểu thức
. Với x �0; x �2; x �3
a) Rút gọn P .

x 5  2
b) Tính giá trị của biểu thức P biết
c) Tìm x để P  0 .
d) Tìm GTNN của P khi x  3
e) Tìm x thỏa mãn P  8 .
Câu 8.

x2
5
1
 2

x  3 x  x  6 2  x với x �3; x �2
Cho biểu thức
x4
M
x2.
a) Chứng minh
b) Tìm x biết M  3 .
M

x 2  2 x  1   3x  5 
c) Tính giá trị của M biết
.
d) Tìm giá trị của tham số m để phương trình M  m có nghiệm duy nhất.
2

Câu 9.

1
x2  8
4
P
 3
 2
x  2 x  8 x  2 x  4 với x �2 .
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức P .
2
b) Tính giá trị của biểu thức P biết 2 x  x  6  0 .
c) So sánh P với 0 .

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P .
Câu 10. Cho hai biểu thức

A

1
x
1
x2  x

x �
B

2
x  1 1  x và
2.
2 x  1 với x �1 ; x �1 ;

2
a) Tính giá trị của biểu thức B khi 4 x  1 .
b) Rút gọn M  A.B .

b) Tìm giá trị của x để M  1 .

x2 x2
16
x2  2 x
B


x  1 và
x  2 x  2 4  x 2 với x ��2 ; x �1 .
Câu 11. Cho hai biểu thức
x 1  2
a) Tính giá trị của A khi
.
P

A
.
B
b) Đặt
. Rút gọn biểu thức P .
P

8.
x

c) Tìm để
A

DẠNG 2: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH


Câu 12. Một ca-nơ xi dịng từ bến A đến bến B mất 5 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A
mất 7 giờ. Tính quãng đường từ bến A đến bến B . Biết rằng vận tốc dòng nước là
2km / h .
Câu 13. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 45km / h . Lúc về người đó đi với vận tốc
40km / h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 10 phút. Tính quãng đường AB .
Câu 14. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km / h . Khi đến B người đó
nghỉ 20 phút rồi quay về A với vận tốc trung bình 25km / h . Tính quãng đường AB , biết
rằng thời gian cả đi và về là 5 giờ 50 phút.
Câu 15. Một xe khách khởi hành từ A đến B với vận tốc 50km / h . Sau đó 30 phút, một xe con
xuất phát từ B để đi đến A với vận tốc 60km / h . Biết quãng đường AB dài 80km . Hỏi
sau bao lâu kể từ khi xe khách khởi hành, hai xe gặp nhau?
Câu 16. Một ô tô đi từ Hà Nội đến Đền Hùng với vận tốc trung bình 30 km/h . Trên quãng đường
từ Đền Hùng về Hà Nôi, vận tốc ô tô tăng thêm 10 km/h nên thời gian về ngắn hơn thời
gian đi là 36 phút. Tính quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng.
Câu 17. Một công nhân dự kiến làm 60 sản phẩm trong một ngày. Do cải tiến kỹ thuật, anh đã
làm được 80 sản phẩm một ngày. Vì vậy, anh đã hồn thành kế hoạch sớm 2 ngày và cịn
làm thêm được 40 sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế
hoạch.
Câu 18. Một tổ dự định mỗi giờ dệt 28m vải. Nhưng thực tế mỗi giờ, tổ đó đã dệt ít hơn 4m vải.
Do vậy, tổ đã làm quá thời gian dự định 2 giờ mà cịn thiếu 5m vải nữa mới hồn thành
kế hoạch. Tính số vải tổ đó phải dệt theo kế hoạch.
Câu 19. Một công nhân dự kiến làm 33 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Trước khi thực
hiện, xí nghiệp giao thêm cho người đó 29 sản phẩm nữa. Do đó mặc dù mỗi giờ người
đó đã làm thêm 3 sản phẩm nhưng vẫn hoàn thành chậm hơn dự kiến 1 giờ 30 phút. Tính

năng suất dự kiến.
Câu 20. Hai công nhân cùng làm một công việc trong 4 ngày thì xong. Biết rằng nếu làm một
mình xong cơng việc thì người thứ nhất làm nhanh hơn người thứ hai 6 ngày. Tính thời
gian mỗi người làm một mình xong cơng việc.
Câu 21. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 48 m Nếu tăng chiều rộng lên 4 lần và chiều dài
lên 3 lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162 m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu.
Câu 22. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng
kỹ thuật mới nên tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21% . Vì
vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm
được giao của mỗi tổ là bao nhiêu?
Câu 23. Một đội xe tải vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm quy định. Vì trong đội có 2 xe
bị điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải chở thêm 0, 7 tấn hàng nữa. Tính số xe của đội
lúc đầu.
Câu 24. Một hình chữ nhật có chu vi là 78 cm. Nếu giảm chiều dài đi 3 cm và tăng chiều rộng
thêm 4 cm thì hình chữ nhật trở thành hình vng. Tính diện tích của hình chữ nhật ban
đầu.
Câu 25. Hai giá sách có 140 quyển sách, nếu chuyển 10 quyển từ giá sách thứ nhất sang giá sách
2
thứ hai thì số sách ở giá thứ nhất bằng 5 số sách ở giá thứ hai. Tìm số sách ở mỗi giá.


Câu 26. Tìm số có hai chữ số, biết tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14. Nếu đổi
chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số mới nhỏ hơn số đã cho 36.
DẠNG 3: GIẢI BÀI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Câu 27. Giải các phương trình sau:
1)
3)
5)
7)

2x 1  5

2)

3x  1  x  2

4)

2x 1  5  x

6)

2  3x  2 x  1

8)

2x  5
4
3x  1
1  2

x  2x  3 1 x
9) x  3
96
2 x 1 3x 1


x  16 x  4 x  4
11)
x2 1

2
  2
13) x  2 x x  2 x
2 x  19
17
3
 2

2
15) 5 x  5 x  1 1  x
Câu 28. Giải các bất phương trình sau:
3 x  3  5  x  1  2
1)
5

3)

5)

2

2x 1  x  5
3  2x  x  2
3 x  x  2
2x  1  4x2 1  0

x 1
x
7x  3



2
10) x  3 x  3 9  x
2x
x
4

 1
2x 1 2x  1
 2 x  1  2 x  1
12)
x
x
2x  4

 2
14) 2 x  6 2 x  2 x  2 x  3

2)

3 x  5  2  x  1  x

2x  3 x  1 1 3  x

 
4
3
2
5

x 7x  5 4x


 8
3
5
4) 2
2x  5
5x  3 6 x  7
 x  12 

3
4
6) 6

x 1
1
x3

2x 1
�2
8) x  3

x2  2x  2
�1
x3  3

2x  1
�1
2

10) x  2

5  3 x  x  3   3 x  1  x  2 

7)

9)

x
11)

2

 1 (3 x  2) �0

Câu 29. Giải các phương trình sau:
2x 1  5
1)
3  2x  x  2
4)
2  3x  2 x  1
7)

12) ( x  2)( x  1) �0

2)
5)
8)

2 x 1  x  5

2x 1  5  x
2 x  1  4 x2 1  0

3)
6)

3x  1  x  2
3x  x  2

9)

x  1  x  2  x  3  2021x
DẠNG 4: HÌNH HỌC
Câu 30. Cho tam giác ABC vuông tại A , AB  6cm , AC  8cm , đường cao AH , phân giác BD
cắt nhau tại I .
a) Chứng minh ABH : CBA