Đề HSG Toán 9 huyện Phù Ninh 2011201241192

PHỊNG GD&ĐT PHÙ NINH
®Ị thi CHỌN häc sinh giái líp 9
Nm hc 2011 - 2012
Môn: Toán
Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao )
Bài 1 (4,0đ):
a/ Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau có giá trị là sè nguyªn tè.
A = n3 + n - n2 -1
b/ Tìm các số nguyên x để biểu thức sau có giá trị là một số chính phương chẵn.
B = x 2 2 x 199 +2
Bài 2 (4,0đ).
Rút gän c¸c biĨu thøc
a/ M = 2  3 . 2  2  3 . 2  2  3
b/ N =

x 1 2 x  2
x  2 1

(víi x  2 ;x  3).

Bµi 3 (4 ,0 đ):
Giải các phương trình sau.
a/ (x +2). x 3 = 0
b/ ( x2 - x +2011)3 = x6 - (x -2011)3
Bài 4 (6,0đ)
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC vuông góc với BD, hạ BH vuông góc
với CD (H  CD).
a/ NÕu AB // CD vµ qua B kẻ (d) song song với AC cắt tia DC tại E. Khi đó tính độ dài
AC biết BH = 4cm ; BD = 5cm.
b/ NÕu AB =

1
1
.CD ; AO = .AC, TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABCD biÕt diƯn tích tam giác
2
3

AOB bằng 4cm2. (O l giao điểm của AC và BD)
Bài 5 (2,0đ):
Cho 2 số thực dương x, y tháa m·n: x3 + y4  x2 +y3.
Chøng minh r»ng: x2 + y3  x + y2
--------------------- HÕt --------------------Hä và tên thí sinh:................................................... Số báo danh :..............Phòng thi.....
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

/>
1

ThuVienDeThi.com


PHềNG GD&T PH NINH
Nm hc 2011 - 2012
Bài 1 (4đ):
a/ Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau có giá trị là số nguyên tố.
A = n3 + n - n2 -1
b/ Tìm các số nguyên x để biểu thức sau có giá trị là một số chính phương ch½n.
B =  x 2  2 x  199 +2
H­íng dÉn:
a/ A = (n -1)(n2+1)
1,0đ
2

V× n- 1< n +1 nên để A có giá trị là số nguyên tố thì
n 1 1
1,0
từ đó => n=2 => P= n2 +1 =4+1 = 5
2
n 1 P

Đáp số: n= 2 ; P =5
b/ Ta đặt B = (2n)2 =  x 2  2 x  199 +2 (n  N)
 4.n2 = 200  ( x  1) 2 +2  200 + 2  14 +2 =16
 n2  4  n  2  n 0;1;2 x 15;3;1;13
Đáp số: x 15;3;1;13
Bài 2 (4,0đ).
Rút gọn các biểu thức:

0,5
1,0

a/ M = 2  3 . 2  2  3 . 2  2  3
b/ N =

x 1 2 x  2
x  2 1

(víi x  2 ;x  3).

H­íng dÉn:
a/ M = 2  3 . 2 2  (2  3 ) = (2  3 )(2 3 ) = 4 3 =1
b/ Đặt : x  2 = a, a  0;  x = a2+ 2 => a # 1
N=

0,5đ

a 1
(a  1) 2
=
a 1
a 1

a 1
+/ NÕu : a  1  x  2 ,x  3 ; M =
1
a 1
 (a  1)
+/ NÕu : 0  a  1 2 x<3 ,; M =
=-1
a 1

2,0

0,5
0,5
0,5

Đáp số: a/ M = 1
1neux  2, x  3
 1neu 0  x  3

0,5đ

b/ N = 

Bµi 3 (4 ,0 đ):
Giải các phương trình sau.
a/ (x +2). x 3 = 0
b/ ( x2 - x +2011)3 = x6 - (x -2011)3
H­íng dÉn:
a/ §iỊu kiƯn : x  3
Tõ pt đà cho ta có: x +2 = 0 hoặc x  3 = 0
 x = -2 (Lo¹i ) hoặc x= 3
vậy nghiệm phương trình là x =3 .
/>
2

ThuVienDeThi.com

0,5
1,5


b/ áp dụng hằng đẳng thức :
(a- b)3 = a3 -3a2b +3ab2 -b3 = a3 -3ab(a -b) -b3
Ta cã: VT= [(x2 -(x-2011)]3 = x6 -3x2(x-2011)( x2 - x +2011)- (x-2011)3
Pt  x6 -3x2(x-2011)( x2 - x +2011)- (x-2011)3 = x6 - (x -2011)3
 3x2(x-2011)( x2 - x +2011) = 0  x= 0 hc x= 2011

0.5đ
0.5đ
0,5đ

3
4

1
2

x2 - x +2011 = 0 vô nghiệm vì :x2 - x +2011 =(x- )2 +2010 >0.

Vậy nghiệm phương trình là : x= 0 hoặc x= 2011
0,5
Bài 4 (6,0đ)
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC vuông góc với BD, hạ BH vuông góc
với CD (H  CD).
a/ NÕu AB // CD vµ qua B kẻ (d) song song với AC cắt tia DC tại E.Khi đó tính độ dài
AC biết BH = 4cm ; BD = 5cm.
b/ NÕu AB =

1
1
.CD ; AO = .AC , TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABCD biÕt diƯn tích tam giác
2
3

AOB bằng 4cm2. (O l giao điểm của AC và BD)
Hướng dẫn:
A
a/ Ta có : Tứ giác ABEC là hình bình
4cm2
hành và AC BD => BD BE tại E,
O

và AC = BE ,áp dụng hệ thức lượng
trong tam giác vuông BDE ta có:

B

0,5
1,0

5cm

1
1
1
=
+ 2
2
2
BH
BD
BE
20
AC = BE =
cm.
3

E

4cm
H

C

D

1
1
1
2
3
2
AB AO 1


=
CD OC 2
AB CD
=>

=>  ABO  CDO (Cạnh huyền -Cạnh góc vuông)
AO CO
S
1
=> AOB = => SCOD = 4.SAOB = 4.4 =16 cm2
SCDO 4
1
+ V× OC = 2.OA => SBOC = 2.4 = 8cm2 ; SAOD = .16 = 8 cm2
2

0,5đ

VËy: SABCD = 16 + 8 +8 + 4 = 36cm2.
Bài 5 (2,0đ):
Cho 2 số thùc d­¬ng x, y tháa m·n: x3 + y4  x2 +y3.
Chøng minh r»ng: x2 + y3  x + y2
Hướng dẫn:
Bài toán Cho C D Chứng minh :A  B
Ta CM: (B - A )+ (C - D)  0
ThËt vËy :
XÐt : x + y2 - (x2 + y3) + x3 + y4 -(x2 +y3.)
= x.(x2 -2x +1) + y2.(y2 -2y +1) = x.(x-1)2 + y2.(y-1)2  0
 x + y2 - (x2 + y3)  0  x2 + y3  x + y2

1,0đ

b/ V× AB = .CD ; AO = .AC =>AO = .OC

/>
3

ThuVienDeThi.com

0,5đ
0,5đ
1,0đ
1,0đ

0,5đ
0,5đ
1,0đ