De HSG toan 9 Huyen Luc Ngan 08 - 09

Phòng GD-ĐT lục ngạn
Đề thi chọn học sinh giỏi
Năm học: 2008 -2009
Môn : Toán lớp 9
(Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1 (2,0 điểm)
a)

Rút gọn: A =
7474
+
b) Rút gọn biểu thức:
( )
2 3 3
2
1 1 . (1 ) (1 )
2 1
x x x
M
x
+ +
=
+
Bài 2 (3,0 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :

2 2
2 4 12 0x y xy x y + + =
b) Cho hệ phơng trình: (I)
2 1
( 1) 2

mx my m
x m y
+ = +


+ + =

(Với m là tham số)
b.1/ Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất.
b.2/ Chứng tỏ rằng khi m thay đổi và hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất
(x; y) thì điểm M(x;y) luôn thuộc một đờng thẳng cố định.
Bài 3 (2,0 điểm)
a) Vẽ đồ thị hàm số: y =
1 3x x +
.
b) Dựa vào đồ thị hàm số vừa vẽ ở câu a. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A =
1 3x x +
Bài 4 (2 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD
a) Chứng minh hệ thức AD
2
= AB.AC BD.DC
b) Tính độ dài phân giác AD. ?
Bài 5 (1 điểm) Cho điểm I nằm trong đờng tròn (O; 50 cm); OI = 14 cm. Có bao
nhiêu dây của đờng tròn này đi qua I mà độ dài của nó là một số tự nhiên ?

Họ và tên thí sinh:
Số báo danh: ..
Hớng dẫn chấm

Đề chính thức
Phòng GD lục ngạn
Bài thi chọn học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Năm học: 2008 -2009
Bài 1: (2,0 điểm)
a) A =
2
)74(2
2
)74(2
+

+
(0,25 điểm)
=
2
)17(
2
+
-
2
)17(
2

( 0,5 điểm)
=
2
2
1717

=
++
( 0,25 điểm)
b) * ĐKXĐ:
1 1x
2 3 3
2
1 1 ( (1 ) (1 ) )
2 1
x x x
M
x
+ +
=
+


2 3 3
2
2. 1 1 ( (1 ) (1 ) )
2.
2 1
x x x
M
x
+ +
=
+
( 02,5 điểm)
2

2 2 (1 )(1 ) ( 1 1 )(1 1 (1 )(1 ))
2 1
x x x x x x x x
x
+ + + + + + +
=
+

2
1 2 (1 )(1 ) 1 ( 1 1 )(2 (1 )(1 ))
2 1
x x x x x x x x
x
+ + + + + + +
=
+
( 0,25 điểm)
2
( 1 1 ) ( 1 1 )x x x x= + + +

1 1 ( 1 1 )x x x x= + + +
( 0,25 điểm)
( 1 1 )( 1 1 ) (1 ) (1 ) 2x x x x x x x= + + + = + =

Vậy
2
2
2
M x x= =
( 0,25 điểm)

Bài 2: (3,0 điểm)
Câu a)
Ta có: 4x
2
- 8y
2
+4xy 4x + 16 y 48 = 0
(2x + y)
2
9 y
2
4x + 16 y 48 = 0
(2x + y)
2
2.(2x + y) + 1 9y
2
+ 18y 49 = 0
(2x + y 1)
2
9(y - 1)
2
= 40
(2x + y 1 3y + 3 ).(2x + y 1 +3y - 3) = 40
(2x - 2y + 2).(2x + 4y - 4) = 40
(x y +1).(x + 2y - 2) = 10 ( 0,75 điểm)
Vì
,x y Z
+

nên

2 2x y+
> 0 và
2 2x y+

1x y +
, mà 10 = 1.10 = 2.5
Nên ta có bảng:
2 2x y+
10 5
1x y +
1 2
2x y+
12 7
x y
0 1
x 4 3
y 4 2
KL: Tập hợp các nghiệm của phơng trình là (x,y)
{ }
(4; 4),(3, 2)
(Lập bảng và kết luận nghiệm đúng cho 0,75 điểm)
Câu b.
b.1) Ta có: (I)
2 1
( 1) 2
mx my m
x m y
+ = +

+ + =


[ ]
2 ( 1) 2 1
2 1
2 ( 1)
2 ( 1)
m m y my m
mx my m
x m y
x m y

+ + = +
+ = +


<=>

= +
= +




[ ]
2 ( 1) 2 1
2 ( 1)
.( 1) 1 (1)
2 ( 1)

m m y my m
x m y
m m y m
x m y

+ + = +
= +


<=>

=
= +



(0,5 điểm)
Hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất m(m
1)

0
0
1
m
m

(*) ( 0,5 điểm)
b.2) Khi
0
1
m
m





ta có hệ (I) có nghiệm duy nhất (x; y) = (1-
1
m
;
1
m
)
Ta thấy y = - x + 1 => Khi m thay đổi thì M(x; y) luôn nằm trên đờng thẳng cố định y =
- x + 1 ( 0,5 điểm)
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Ta có:
4 2 (x < 1)
2 (1 x 3)
2 4 (x > 3)
x
y
x

=




(0,25 điểm)
Vẽ đúng đồ thị: (1 điểm)
b) Căn cứ vào đồ thị trên ta thấy: A

2 với mọi x
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 đạt đợc khi
1 3x
(0,75 điểm)
Bài 4:(2 điểm)
Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp

ABC
Gọi E là giao điểm của AD và (O)
a) Ta có :

ABD ~

CED (g g)


CD
AD
ED
BD

=

AD.ED = BD.CD


AD(AE AD) = BD.CD


AD
2
= AD.AE BD.CD (1) (0,5 điểm)
2
1
2
3
4
4
O
A
B
C
E
D
Lại có:

ABD ~

AEC (g g)

AC
AD
AE
AB
=


AB.AC = AD.AE (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AD
2
= AB.AC BD.DC (0,5 điểm)

b) Vì AD là phân giác

CA
BA
DC
DB
=



==
b
DC
c
DB
cb
a
bc

DCDB
+
=
+
+
(0,25 điểm)


DB =
cb
ac
+
và DC =
cb
ab
+
(0,25 điểm)


AD
2
= bc -
2
2
)( cb
bca
+
(0,25 điểm)

Bài 5:(1 điểm)

Gọi AB là dây bất kỳ đi qua I. Ta có:
AB

2.R = 2.50 = 100. (1) (0,25 điểm)
Kẻ dây MN

OI tại I.
Chỉ ra đợc:
AB

MN
Mà MN =
2 2 2 2
50 14 48ON IO = =
Vậy AB

48 cm (2) (0,25 điểm)
Từ (1) và (2) ta có: 48

AB

100
Mà độ dài AB là số tự nhiên => AB = 48; 49; 50; . 100 (0,25 điểm)
Lại do một dây bất kỳ bao giờ cũng có một dây đối xứng với nó qua OI (Trừ dây đi qua
O và dây vuông góc với OI)
Vậy có tất cả 51.2 + 2 = 104 dây có độ dài là số tự nhiên (0,25 điểm)

A
B
N

M
I
O