Thi HSG toan 9 huyện Trực Ninh 08-09

phòng giáo dục - đào tạo
huyện trực ninh
*****
đề chính thức
Đề thi chọn học sinh giỏi huyện
Năm học 2008 - 2009
Môn Toán 9
Ngày thi: 10 tháng 12 năm 2008
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1.(3,0 điểm)
a,Tính:
3 5 3 5
M
2 3 5 2 3 5
+
= +
+ +

b, Không sử dụng bảng số và máy tính hãy so sánh:

A 2007 2009= +
và
B 2 2008=

Bài 2.(4,0điểm)
Cho biểu thức:
x 2 x 1 x 1
P :
2
x x 1 x x 1 1 x

+
= + +
ữ
+ +

với x > 0 và x

1
a, Rút gọn P.
b, Tìm x để
2
P
7
=
c, So sánh
2
P
với 2P
Bài 3.(3,5 điểm)
a, Giải phơng trình:
2
x 3 5 x x 8x 18 + = +
b, Cho x, y là các số thoả mãn:
(
)
(
)
2 2
x 3 x y 3 y 3+ + + + =
Hãy tính giá trị của biểu thức:

2009 2009
A x y 1= + +
Bài 4.(7,5 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đờng tròn (O;R). Đờng tròn (O;R) tiếp xúc
với các cạnh BC, AB, AC lần lợt tại các điểm D, N, M. Kẻ đờng kính DI của đờng (O;R).
Qua I kẻ tiếp tuyến của đờng (O;R) nó cắt AB, AC lần lợt tại E, F.
a, Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm. Tính chu vi của tam giác AEF.
b, Chứng minh EI. BD = IF.CD = R
2
.
c, Gọi P là trung điểm của BC, Q là giao điểm của AI và BC, K là trung điểm của AD.
Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng và AQ = 2KP.
Bài 5.(2,0 điểm)
a, Với a, b > 0 chứng minh:

+
ữ
+

1 1 1 1
a b 4 a b
. Dấu = xảy ra khi nào?
b, Cho x, y, z là 3 số dơng thoả mãn:
+ + =
1 1 1
8
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của
= + +
+ + + + + +

1 1 1
P
2x y z x 2y z x y 2z
----- Hết -----
Họ tên thí sinh:.
Số báo danh :
Chữ ký giám thị 1:.
Chữ ký giám thị 2:.
phòng giáo dục - đào tạo
Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi huyện
huyện trực ninh
*****
Năm học 2008 - 2009
Môn Toán 9
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1.(3,0 điểm)
a,Tính:
3 5 3 5
M
2 3 5 2 3 5
+
= +
+ +

Ta có:
( ) ( )
2 2
M 3 5 3 5 3 5 3 5
2
2 6 2 5 2 6 2 5

2 5 1 2 5 1
+ +
= + = +
+ +
+ +
0,
5
2,0 đ
3 5 3 5 3 5 3 5
2 5 1 2 5 1 2 5 1
2 5 1
+ +
= + = +
+ + + + +

=
3 5 3 5
3 5 3 5
+
+
+
(vì
5 1>
)
0,
5
( ) ( )
( ) ( )
2 2
3 5 3 5

9 6 5 5 9 6 5 5
9 5
3 5 3 5
+ +
+ + + +
= =

+
=
28
7
4
=
0,
5
M 7 2 =
0,
5
b, Không sử dụng bảng số và máy tính hãy so sánh:
A 2007 2009= +
và
B 2 2008=

Ta có
A 2007 2009= +
( )
2
2008 1 2008 1 2008 1 2008 1= + + = + +
0,5
1,0 đ

2 2
2.2008 2 2008 1 2.2008 2 2008 2 2008= + < + =
Vậy A < B. 0,5
Bài 2.(4,0điểm)
a, Rút gọn P.
Ta có
x 2 x 1 x 1
P :
2
x x 1 x x 1 1 x

+
= + +
ữ
+ +

với x > 0 và x

1
( )
( ) ( )
3
x 2 x 1 x 1
:
2
x x 1 x 1
x 1
x 2 x 1 x 1
:
2

x x 1 x 1
x 1 x x 1

+
ữ
= +
ữ
+ +
ữ



+
ữ
= +
ữ
+ +
+ +

0,5
1,5đ
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x 2 x x 1 x x 1
x 1 x 2 x x x x 1 2
: .
2
x 1
x 1 x x 1 x 1 x x 1
+ + + +

+ +
= =

+ + + +
0,5
( ) ( )
x 2 x 1 2 2
.
x 1 x x 1
x 1 x x 1
+
= =
+ +
+ +
. Vậy
2
P
x x 1
=
+ +
0,5
b, Tìm x để
2
P
7
=
Ta có
2
P
x x 1

=
+ +
( với x > 0; x

1)
Nên
2 2 2
P x x 1 7 x x 6 0
7 7
x x 1
= = + + = + =
+ +
0,5
1,25đ
( ) ( )
x 2 x 3 0 + =
x 2 0 =
( vì
x 3 0+ >
với mọi x > 0)

x 4 =
( t/m đk).
0,5
Vậy với x = 4 thì
2
P
7
=
0,25

c, So sánh
2
P
với 2P
Ta có
2
P
x x 1
=
+ +
( với x > 0; x

1)
Mà
2
1 3
x x 1 x 0
2 4

+ + = + + >
ữ

với mọi x > 0,
nên
2
P 0
x x 1
= >
+ +
với mọi x > 0

0,5
1,25đ
Ta lại có
x x 0+ >
với mọi x > 0

1 2
x x 1 1 1 P 2
x x 1 x x 1
+ + > < = <
+ + + +
0,5
Vì P > 0 và P < 2 nên P(P - 2) < 0

P
2
- 2P < 0

P
2
< 2P. Vậy P
2
< 2P 0,25
Bài 3.(3,5 điểm) a, Giải phơng trình:
2
x 3 5 x x 8x 18 + = +
ĐKXĐ:
3 x 5
(*) 0,25
1,75đ

áp dụng bđt Bunhiakôpski ta có:
( )
x 3 5 x 2. x 3 5 x 4 2 + + = =
.
Dấu = xảy ra

x-3 = 5 x

x = 4
0,5
Ta lại có x
2
8x + 18 =(x 4)
2
+ 2

0 với

x.Dấu = xảy ra

x= 4 0,5
Suy ra
2
x 3 5 x x 8x 18 + = +

x = 4
Với x = 4 thoả mãn ĐK (*), vậy nghiệm của phơng trình là x = 4
0,5
b, Cho x, y là các số thoả mãn:
(

)
(
)
2 2
x 3 x y 3 y 3+ + + + =
(*)
Hãy tính giá trị của biểu thức:
2009 2009
A x y 1= + +
Từ
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
(*) x 3 x x 3 x y 3 y 3 x 3 x + + + + + = +
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2

x 3 x y 3 y 3 x 3 x 3 y 3 y 3 x 3 x
+ + + = + + + = +
2 2
y 3 y x 3 x + + = +
(1)
0,75
1,75đ
Tơng tự ta có
2 2
x 3 x y 3 y+ + = +
(2)
Lấy (1) cộng với (2) ta có : x = -y
0,5
Suy ra
2009 2009 2009 2009
A x y 1 x x 1 1= + + = + =
Vậy A = 1
0,5
D P
Q
M
N
o
fe
k
i
c
b
a
Bài 4.(7,5 điểm)

a,Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm. Tính chu vi của tam giác AEF.
+ c/m cho chu vi của tam giác AEF là P
AEF
= 2AN 0,75
2,0đ+ c/m cho 2AN = AB + AC BC = 8 + 11 9 = 10 cm 0,75
+ suy ra P
AEF
= 2AN = 10 cm 0,5
b,Chứng minh EI. BD = IF.CD = R
2
.
+ c/m cho tam giác EOB vuông tại O

EN.BN = ON
2
= R
2
( theo hệ thức lợng trong tam giác vuông)
Mà EI = EN, BD = BN ( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm)

EI. BD = R
2
.
1,25
2,5đ
+ Tơng tự ta có: IF.DC = R
2
0,75
+ Suy ra EI. BD = IF.CD = R
2

. 0,5
c, Gọi P là trung điểm của BC, Q là giao điểm của AI và BC, K là trung điểm của AD. Chứng
minh ba điểm K, O, P thẳng hàng và AQ = 2KP.
áp dụng hệ qủa định lý Talet trong các tam giác AQC và tam giác ABC ta có
IF AF AF FE
;
QC AC AC BC
= =
IF FE
QC BC
=
(1)
0,75
3,0đ
Theo câu b ta có:
IF IE IE IF EF
EI.BD IF.CD
BD CD BD CD BC
+
= = = =
+
(2) 0,75
Từ (1) và (2) suy ra
IF IF
QC BD
QC BD
= =
0,5
+Vì P là trung điểm của BC (gt), QC = BD ( cmt)

P là trung điểm của DQ
Mà O là trung điểm của ID suy ra OP là đờng trung bình của tam giác DIQ

OP // IQ hay OP // AQ (3)
+ Vì K là trung điểm của AD, O là trung điểm của ID suy ra KO là đờng
trung bình của tam giác ADI

KO // AI hay KO // AQ (4)
+ Từ (3) và (4)

K, O, P thẳng hàng.
0,75
Do K là trung điểm của AD, P là trung điểm của DQ suy ra KP là đờng trung
bình của tam giác DAQ suy ra AQ = 2KP.
0,25
Bài 5.(2,0 điểm)
a, Với a, b > 0 chứng minh:

+
ữ
+

1 1 1 1
a b 4 a b
. Dấu = xảy ra khi nào?
Với a, b > 0 ta có : (a b)
2


0

a
2
+ b
2


2ab

4ab

( a + b )
2
0,25
0,75đ

+

+
1 a b
a b 4ab

0,25

+
ữ
+

1 1 1 1
a b 4 a b

. Dấu = xảy ra

a = b. 0,25
b, Cho x, y, z là 3 số dơng thoả mãn:
+ + =
1 1 1
8
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của
= + +
+ + + + + +
1 1 1
P
2x y z x 2y z x y 2z
Vì x, y, z là các số dơng, áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có :

= + + + + = + +
ữ ữ

+ + + + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
2x y z x y x z 4 x y x z 16 x y x z 16 x y z
(1)
Dấu = xảy ra

x = y = z =
8
3

0,75đ
1,25đ

= + + + + = + +
ữ ữ

+ + + + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
x 2y z x y y z 4 x y y z 16 x y y z 16 x y z
(2)
Dấu = xảy ra

x = y = z =
8
3

= + + + + = + +
ữ ữ

+ + + + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
x y 2z x z y z 4 x z y z 16 x z y z 16 x y z
(3)
Dấu = xảy ra

x = y = z =
8
3

Từ(1); (2); (3) suy ra

= + + + + = =
ữ
+ + + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1
P .8 2
2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z 4
( vì
+ + =
1 1 1
8
x y z
) Dấu = xảy ra

x = y = z =
8
3
Vậy
max
3
P 2 x y z
8
= = = =
0,5đ
Lu ý:
1) Nếu thí sinh làm bài không nh cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng
phần nh hớng dẫn.
2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có ) so với thang điểm trong hớng dẫn chấm phải đảm

bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm, không chia nhỏ dới 0,25.
3) Điểm toàn bài không làm tròn.
--- Hết ---