Một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức và ứng dụng của nó trong việc chứng minh và giải quyết các bài toán có liên quan45099

chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Lời nói đầu
Trong bộ môn Toán ở trường phổ thông thì chuyên đề Bất đẳng thức được
xem là một trong những chuyên đề khó, nhiều học sinh khá thậm chí giỏi còn lo
ngại tránh né bởi vì học sinh chưa hình thành được những phương pháp giải để
học sinh ứng dụng vào việc chứng minh Bất đẳng thức.
Qua nội dung về Bài tập lớn em xin trình bày chuyên đề: Một số phương pháp
chứng minh Bất đẳng thức và ứng dụng của nó trong việc chứng minh và giải
quyết các bài toán có liên quan. Các bài tập ở đây với độ khó được nâng dần lên
nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh bất đẳng
thức, giúp học sinh có thể tự định hướng được phương pháp chứng minh và hứng
thú hơn khi học về bất đẳng thức.
Nội dung của chuyên đề bao gồm:
Phần I - Kiến thức cơ bản cần nắm: Đây là phần tóm tắt một số kiến thức
lý thuyết cơ bản mà học sinh cần nắm để sử dụng trong quá trình chứng
minh Bất đẳng thức.
Phần II - Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức: Tổng hợp các
phương pháp chứng minh Bất đẳng thức thường dùng cho học sinh THCS.
Với mổi phương pháp có các kiến thức cần nắm, các ví dụ minh hoạ, bài
tập áp dụng để học sinh tự mình hình thành được tư duy cảm nhận về
phương pháp đó.
Phần III - ứng dụng của việc chứng minh bất đẳng thức: Trình bày
những ứng dụng phổ biến của chứng minh Bất đẳng thức.
Phần IV - Hướng dẫn, giải các BT áp dụng: Đây là phần giải chi tiết của
các BT áp dụng cho từng phương pháp chứng minh Bất đẳng thức ở trên.
Phần V - Bài tập tổng hợp tự giải: Bao gồm các bài tập tổng hợp cho
tất
cả các dạng phương pháp chứng minh Bất đẳng thức.
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 1


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán

Cơ sở lý luận Thực tiễn
Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức thì rất phong phú nhưng để
cho học sinh hình thành được phương pháp chứng minh cũng như ứng dụng Bất
đẳng thức trong Toán học thì chưa có. Số học sinh hiểu và được điểm khá của
phần này rất thấp thậm chí không có, đa số các em chỉ được điểm Trung Bình
hoặc Yếu. Ngoài ra, số lượng thời gian nghiên cứu chuyên sâu phần Bất đẳng thức
trong kiến thức của chương trình THCS rất ít nên học sinh ít thời gian để ý đến
các kiến thức mà giáo viên giảng trong phần này. Do đó học sinh không có hứng
thú khi học sinh bắt gặp dạng toán Bất đẳng thức này. Do thời gian nghiên cứu
làm bài đề tài ngắn nên tôi không thể đưa ra được số liệu điều tra cụ thể được
nhưng tôi mong rằng qua đề tài này tôi hi vọng nó sẽ là công cụ hữu ích cho
những em có hứng thú học tập bộ môn Toán nói chung và chuyên đề Bất đẳng nói
riêng.

Phần I - kiến thức cơ bản
I Một số bất đẳng thức cần nhớ:

a 2 0; a  0;  b  b  b
o Bất đẳng thức Cô sy:
a1 a 2 a3  ....  a n n
 a1 a 2 a3 ....a n Víi ai  0
n
dÊu b»ng x¶y ra khi a1 a2 ... an
o Bất đẳng thức Bunhiacopski:

a

2
2





 a22  ....  an2 . x12  x22  ....  n2  a1 x1  a2 x2 .... an xn

Dấu đẳng thức xảy ra <=>

2

a1 a2
a
.... n
x1 x2
xn

o Bất đẳng thức Trª- b­-sÐp:
abc
aA  bB  cC a  b  c A  B  C

.

NÕu 
3
3

3
A  B  C
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 2


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
aA bB cC a b c A  B  C

.
3
3
3

abc

A  B  C

NÕu 

abc
A  B  C

DÊu b»ng x¶y ra khi 

II - Một số bất đẳng thức phụ đà được chứng minh là đúng.
o x 2 y 2 2 xy
o x 2  y 2  xy dÊu( = ) khi x = y = 0

o x  y 2  4 xy
o

a b
 2
b a

1 1
4
 
( Khi b, c  0)
b c bc
1
 b  2 (khi x  0)
o
b
1
4

( Khi x, y  0)
bc (b  c) 2
III Các bất đẳng thức trong tam giác
IV Các hàm lượng giác thông dụng
V Các tính chất cơ bản
Tính chất 1: a > b <=> b < a
TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c => a > c
TÝnh chÊt 3: a > b <=> a + c > b + c
HƯ qu¶ : a > b <=> a - c > b – c
a + c > b <=> a > b – c
TÝnh chÊt 4 : a > c vµ b > d => a + c > b + d

a > b vµ c < d => a - c > b – d
TÝnh chÊt 5 : a > b vµ c > 0 => ac > bd
a > b vµ c < 0 => ac < bd
TÝnh chÊt 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd
a > b > 0 => an > bn
a > b <=> an > bn víi n lẻ .
VI Các hằng đẳng thức đáng nhớ
VII Các kiến thức về toạ độ vec tơ
VIII C¸c kiÕn thøc vỊ tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc:
a
a

a, b, c R 
ab abc
a c
a ac c
  

a, b, c , d  R 
b d
b bd d
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 3


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán

Phần II Các phương pháp chứng minh Bất đẳng

thức
Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức vô cùng đa dạng ở đây tôi xin
trình bày những dạng phương pháp thông dụng nhất như sau:
Dạng 1 Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tương đương
Dạng 2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky và các bất đẳng thức phụ.
Dạng 3 Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy
Dạng 4 Chứng minh bằng phản chứng
Dạng 5 Phương pháp lượng giác
Dạng 6 Phương pháp chứng minh qui nạp
Dạng 7 Phương pháp áp dụng các tính chất của các dÃy tỉ số bằng nhau
Dạng 8 Phương pháp dùng tam thức bậc hai
Dạng 9 Phương pháp dùng tính chất bắc cầu
Dạng 10 - Phương pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác
Dạng 11 Phương pháp đổi biến số
Dạng 12 Phương pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n số hạng)
Ngoài các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức đà nêu ở trên thì còn rất nhiều
các phương pháp khác như: Phương pháp toạ độ vectơ, bất đẳng thức chứa dấu
giá trị tuyệt đối, sử dụng cực trị, Nhưng do các kiến thức lý thuyết các em chưa
có nên tôi chỉ xin trình bày một số phương pháp như trên.

Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 4


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Dạng 1- Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tương tương đương
Đây là phương pháp cơ bản nhất, dựa vào các tính chất cơ bản của bất
đẳng thức đơn giản để biến đổi các bất đẳng thức phức tạp của đề ra thành các

bất đẳng thức đơn giản và đúng hoặc các bất đẳng thức đà được chứng minh là
đúng. ở phần này các bạn chú ý đến các hằng đẳng thức:
2
2
2
a 2ab b  (a  b)  0
2
2
2
2
 a  b  c  2ab  2ac  2bc  (a  b c) 0
Phương pháp:
Khi biến đổi tương đương ta cố gắng làm xuất hiện các điều kiện đà cho
trong giả thiết nhằm áp dụng được điều kiện của giả thiết để chứng minh
được bất đẳng thức đó là đúng.
Chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức ®ã (  0;  0;  0;  0 )
Chuyển vế các thừa số về dạng hằng đẳng thức để dể chứng minh
Làm xuất hiện các tích các thừa số có chứa các yếu tố của đề bài để ta xét
dấu các thừa số đó
Chia nhỏ tõng vÕ ®Ĩ chøng minh sau ®ã céng vÕ theo vế các bất đẳng thức
con để được điều phải chứng minh.
Mét sè vÝ dơ:
VÝ dơ 1:
Chøng tá r»ng víi a, b  0 th×:

(ax  by )(bx  ay )  (a  b) 2 xy

(1)

Gi¶i

(1)  abx 2  a 2 xy  b 2 yx  bay 2  a 2 xy  2abxy  b 2 xy
 ab( x 2  y 2  2 xy )  0
 ab( x  y ) 2  0
BÊt đẳng thức luôn đúng vì a, b 0 .
Ví dô 2:
Cho 0  a  b  c Chøng minh r»ng:
a b c b c a
    
b c a a b c
Gi¶i
a b c b c a
1
     
( a 2 c  b 2 a  c 2b  b 2 c  c 2 a  a 2b )
b c a a b c abc
1
(a 2c  b 2c)  (b 2 a  a 2b)  (c 2b  c 2 a )

abc
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP To¸n Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 5


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
1
c(a 2 b 2 ) ab(b a )  c 2 (b  a ) 
abc

1
(b  a )(ca  cb  ab  c 2 )

abc
1
(b  a )(c  b)(c  a )  0

abc
V× 0  a  b  c .
a b c b c a
VËy     
b c a a b c
VÝ dơ 3:
Víi a, b, c  0 chøng minh:
a
b
c
1 1 1
 
 2(   )
bc ca ab
a b c
Gi¶i
a
b
c
1 1 1
 
 2(   )
bc ca ab

a b c
2
2
2
 a  b  c  2(bc  ac  ba ) (do abc  0)


 a 2  b 2  c 2  2bc  2ac  2ab  0
 (a  b c) 2 0 Hiển nhiên đúng.
a
b
c
1 1 1
Vậy

 2(   ) .
bc ca ab
a b c
VÝ dơ 4: Chøng minh r»ng mäi a,b,c,d th× :

a 2  b 2  c 2  d 2  1  a  b  c  d (1)
Gi¶i

(1)

 a  b  c  d  1  (a  b  c  d )  0
2

2

2

2

 a 2  a  (b 2  b)  (c 2  c)  (d 2  d )  1  0
1
1
1
1
 (a  ) 2  (b  ) 2  (c  ) 2  (d  ) 2  0
2
2
2
2

a 2  b2  c2  d 2  1  a  b  c  d
3
3
4
4
VÝ dô 5: Chøng minh r»ng nÕu: a  b  2 th× a  b  a  b (1)
VËy :

Gi¶i

(1)

 a b a b  0
4

4

3

3

 a 3 (a  1)  b3 (b  1) 0
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 6


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán

a 3 (a 1) b3 (b  1)  (a  1)  (b  1)  (a  1)  (b  1)  0
 (a  1)(a 3  1)  (b  1)(b3  1)  a  b  2  0
 (a  1) 2 (a 2  a  1)  (b  1) 2 (b 2  b  1)  a  b  2  0
Suy ra điều phải chứng minh.
Vì:
(a 1) 2 0 (a  1) 2 (a 2  a  1)  0

(b  1) 2  0

 (b  1) 2 (b 2  b  1)

ab  2
 ab2 0
Bài tập áp dung:
4

4
Bài 1: Cho a + b = 2. Chøng minh r»ng: a  b  2
Bµi 2:Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta cã:
1
1
1

 ... 
2
2 3 2
(n  1) n
Bµi 3: Chøng minh m,n,p,q ta ®Ịu cã
m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n + p + q +1)
Bµi 4: Chøng minh r»ng: (a  b )(a  b )  (a  b )(a  b )
10

10

2

2

8

8

4

4

3

a3  b3  a  b 

 Trong ®ã : a > 0 , b > 0
Bµi 5: Chøng minh bất đẳng thức :
2
2
Bài 6: Chứng minh r»ng: Víi mäi sè d­¬ng a, b, c, d ta cã:
a3
b3
c3
d3
abcd
 2
 2
 2

2
2
2
2
2
2
a b
b c
c d
d a
D¹ng 2 – Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky và các bất đẳng thức phụ
Đây là phương pháp phổ biến nhất trong việc chứng minh Bất đẳng thức. Chúng

ta dựa vào điều kiện đà cho ở đề bài để ta lựa chọn phương pháp cho thích hợp.
Ngoài ra, ta cần phải chú ý ®Õn dÊu cđa B§T ®Ĩ cã thĨ sư dơng bÊt đẳng thức
nào để chứng minh. Khi áp dụng các BĐT đà được chứng minh là đúng thì bạn
nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh ra thành các vế nhỏ sau đó cộng vế theo vế để
được BĐT cần chứng minh.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 7


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z ta cã:

xyz ( x  y  z  x 2  y 2  z 2 3  3

( x 2  y 2  z 2 )( xy  yz  zx)
9
Gi¶i

3( x 2  y 2  z 2 )  ( x  y  z ) 2
 x  y  z  3( x 2  y 2  z 2
 x 2  y 2  z 2  3 3 xyz 2
 xy  yz  zx  3 3 xyz 2
Do ®ã ta cã:

xyz ( x  y  z  x 2  y 2  z 2 ) xyz (( 3  1) x 2  y 2  z 2 )


( x 2  y 2  z 2 )( xy  yz  zx)
( x 2  y 2  z 2 )(3 3 xyz 2
3 1
3

xyz

3
3



xyz

3 1 1 3  3

3
9
3

DÊu “=” x¶y ra khi x=y=z
VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng:

19942000  19952000  19962000 (1)
Gi¶i

1994 2000
1996 2000
1 2000
)

1 (
)
(1
)
1995
1995
1995
Theo bất đẳng thức Becnuli ta cã:
1 2000
2000
1994 2000
(1
)
 1
 1 (
)
1995
1995
1995
2000
1994 2000
V×:
1(
)
1995
1995
VÝ dơ 3:
Cho a  b  2 Chøng minh r»ng: a4  b4 2
Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a,b ta có:

(1) (

Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 8


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
(1.a 1.b)2 (12 12)(a2 b2)
(a  b)2  2(a2  b2)


4  2(a2  b2)


2 a2 b2
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4sè 1,1,a2,b2 ta cã:
(1.a2  1.b2)  (12  12)(a4  b4 )
 2  (a2  b2)  2(a4  b4 )



4  2(a4  b4 )
a4  b4  2

VÝ dô 4: Cho a,b,c>0 Chøng minh r»ng:

1 1 1
9

  
a b c abc

Gi¶i
Ta cã:
1 1 1
a a b
b c c
(a  b  c)(   )  1     1     1
a b c
b c a
c a b
a b
c a
b c
 3(  ) (  ) (  )  9
b a
a c
c b
a b
V× :
 2
b a
c a
 2
a c
b c
 2
c b
a b

c a
b c
Nªn: 3  (  )  (  )  (  )  9
b a
a c
c b
VÝ dô 5: Cho 4 sè d­¬ng a,b,c,d chøng minh r»ng:
a
b
c
d



2
b c c d a d a b
Giải
áp dụng bất đẳng thức phụ:
1
1

(x,y> 0)
xy (x y)2
Ta có:
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP To¸n Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 9

chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
a
c
a(d a) c(b c)
a2 c2  ad  bc


4
bc da
(b  c)(d  a)
(a  b  c  d)2
T­¬ng tù:
b
d
b2  d2  ab  cd

4
c d a b
(a  b  c  d)2
Céng vÕ theo vÕ ta cã:
a
b
c
d
a2  b2  c2  d2  ad  bc  ab  cd



4
b c c d a d a b

(a  b  c  d)2
Ta chøng minh:
a2  b2  c2  d2  ad  bc  ab  cd
4
2
(a  b  c  d)2
 4a2  b2  c2  d2  ad  bc  ab  cd  2(a  b  c  d)2
 2a2  2b2  2c2  2d2  4ac  4bd  0
 (a  c)2  (b  d)2  0
Bµi tập áp dụng:
Bài 1: Cho x,y,z thoà mÃn x(x 1)  y(y  1)  z(z  1) 

xyz4
Chøng minh r»ng:
Bµi 2: Cho a>b>c>0 vµ a 2  b 2  c 2  1 .Chøng minh r»ng

4
3

a3
b3
c3
1



bc ac ab 2

Bµi 3: Cho x , y lµ 2 sè thùc tho¶ m·n x2 + y2 = x 1  y 2  y 1  x 2
Chøng minh r»ng : 3x + 4y  5

Bµi 4: Cho a, b, c  0 ; a + b + c = 1 . Chøng minh r»ng:

ab  bc  ca  6
Bài 5:Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác, p là nửa chu vi.
Chứng minh rằng:

p

pa 

p b 

pc 

3p

(1)

Bµi 6: Cho a, b,c lµ 3 sè kh¸c 0. Chøng minh r»ng:
a 2 b2 c2 a b c
    
b2 c2 a 2 b c a
Bµi 7 Cho ba sè a, b, c  0 .Tho¶ m·n ab  bc  ca  abc
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 10


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán

Chứng minh rằng:
b 2 2a 2
c 2 2b 2
a 2  2c 2


 3 (*)
ab
bc
ca
D¹ng 3 – sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Đây là phương pháp chứng minh BĐT mà học sinh THCS dễ nhận dạng để chứng
minh đó là sử dụng Bất đẳng thức Cauchy . Ta cần phải chú ý đến dấu của BĐT
để có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh. Khi áp dụng các BĐT đÃ
được chứng minh là đúng thì bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh ra thành các
vế nhỏ sau đó cộng vế theo vế để được BĐT cần chứng minh.
Ví dụ 1: Cho 3 số d­¬ng a,b,c chøng minh r»ng:

a3
b3
c3 a b c


  
b3
c3
a3 b c a
Giải
Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

a3
b3
b3
c3
c3




a3
b3
b3
c3
c3

1 3

a
(1)
b

1 3

b
(2)
c

c
(3)
3

3
a
a
a
Céng vÕ theo vÕ (1) (2) vµ (3) ta cã:


1 3

a3
b3
c3
a b c a b c
 )  
2( 3 
3 
3 )  3  2( 
b
c
a
b c a b c a
a b c
 2(   )  3
b c a
a3
b3
c3 a b c


  

VËy:
b3
c3
a3 b c a
VÝ dơ 2: Cho a,b,c >0 tho¶ m·n
Chøng minh rằng:

abc

1
1
1


2
1 a 1 b 1 c
1
8
Giải

Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 11


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán

Ta có:

1
1
1
b
c
1
1


1 a
1 b
1 c 1 b 1 c

áp dụng bất đẳng thức Côsi:

1
bc
2
1 a
(1 b)(1  c)
1
ac
2
1 a
(1  a)(1  c)
1
ab
2
1 c
(1  a)(1 b)

Nhân lại ta được:

1
8abc

(1 a)(1 b)(1 c) (1  a)(1  b)(1  c)
1
 abc 
8

VÝ dụ 3: Giả sử a,b,c d, là 4 số dương tho· m·n:
1
1
1
1



3
1 a 1 b 1 c 1 d
1
Chøng minh r»ng: abcd 
81
Gi¶i
Tõ gi¶ thiÕt ta cã:
1
1
1
1
1

1
1
1 3 4
1 a
1 b
1 c
1 d
a
b
c
d




1
1 a 1 a 1 a 1 a
a(1  b)  b(1  a) c(1  d)  d(1  c)
1

(1  a)(1  b)
(1  c)(1  d)
a  b  2ab
c  d  2cd


1  a  b  ab 1  c  d cd
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
2 ab  2ab
2 cd  2cd

2 ab
2 cd
1



1  2 ab  ab 1  2 cd  cd 1  ab 1 cd

Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP To¸n Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 12


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
4


abcd
abcd
1 2 2
4
1 ab cd  abcd
 1  ab  cd  abcd 
44 abcd
44 abcd
1

1  24 abcd  abcd
(1  4 abcd)2

 1  4 abcd  44 abcd
 1  34 abcd
abcd

1
8

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng: ( a+ b + c ) (

1
1 1
+ + ) ≥ 9 víi a,b,c > 0
a
b c

Bµi 2: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác với chu vi 2p
Chøng minh r»ng:
abc
a) (p  a)(p  b)(p  c) 
8
1
1
1
1 1 1
b)


 2(   )

pa pb pc
a b c
Bµi 3: Cho a, b, c  0 ; a + b + c = 1 . Chøng minh r»ng:
a  1  b  1  c 1 3,5
Bài 4:Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh và 2p là chu vi của một tam gi¸c.
Chøng minh r»ng:
abc
( p  a )( p  b)( p  c) 
8
D¹ng 4 – Chøng minh b»ng phản chứng
Đây là phương pháp chứng minh BĐT dựa vào các phương pháp chứng minh
phản chứng trong Toán học. Để chứng minh mệnh đề A đúng thì ta giả sử mệnh
đề A sai và chứng minh rằng từ mệnh đề A sai ta suy ra một điều mâu thuẩn để
kết luận A là đúng. Muốn chứng minh bất đẳng thức A B đúng, ta giả sử A B
sai, tức là A B đúng, từ đó chứng minh những lập luận chính xác ta suy ra điều
mâu thuẩn từ giả thiết. Kết luận A B đúng. Điều vô lý có thể là trái với giả
thiết, hoặc là những điều trái ngược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng
minh là đúng.
Một số hình thức chứng minh bằng phản chứng:
Dùng mệnh đề đảo.
Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết.
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 13


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng.
Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau.

Mét sè vÝ dô:
VÝ dô 1: Cho a, b, c, d  R vµ a  b  2cd
Chøng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đây là đúng
c2 a, d2 b
Giải
Giả sử hai bất đẳng thức trên đều sai, có nghĩa ta được :
c2  a vµ d2  b
 c2  a  0 vµ d2  b  0
 c2  a  d2  b  0
 c2  d2  (a  b)  0
 c2  d2  2cd  0
V× a+b =2cd
 (c  d)2  0 Mâu thuẫn
Nên sẽ có ít nhất một trong hai bất đẳng thức đà cho là đúng
Ví dụ 2: Cho 3 sè d­¬ng a,b,c nhá h¬n 2. Chøng minh r»ng cã ít nhất một trong
các bất đẳng thức sau là sai:
a(2  a)  1
b(2  b)  1
c(2  c) 1
Giải
Giả sử các bất đẳng thức sau đều đúng, nhân ba đẳng thức lại ta được
a(2 a)b(2 c)c(2  c)  1
Mµ 0  a(2  a)  2a  a2  1  (a  1)2  1
T­¬ng tù ta cã:
0  b(2  b)  1
0  c(2  c)  1
Suy ra:
abc(2  a)(2  b)(2  c)  1
M©u thuÉn
VËy cã Ýt nhÊt một trong các bất đẳng thức đà cho là sai

Ví dụ 3: Cho 6 số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 108. Chứng minh rằng có thể chọn
được 3 trong 6 số đó, chẳng hạn a,b,c sao cho aGiải

Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 14


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Giả sử 6 số tự nhiên khác 0 là 1  a1  a2  ...  a6  108
Râ rµng a2  2; a3  3 Víi 3 sè x,y,z tho· m·n 1  x  y  z
Ta luôn có xmÃn a
a5  a4a3  6.3  18

a6  a5a4  18.6 108
Trái với giả thiết a6 <108. Vậy phải có 3 sè a,b,c tho· m·n aVÝ dô 4: Cho các số thực a,b,c thoà mÃn điều kiện:
a b  c  0
(1)

(2)
ab+ bc+ ca> 0

(3)
abc> 0
Chøng minh rằng: a,b,c >0

Giải
Giả sử trong 3 số thực a,b,c đà cho có một số âm hay bằng 0, giả sử số đó là
a 0 mà không làm mất đi tính tổng quát của bài toán. Ta có:
a 0
a  0

abc  0
a  0




b>
0
 
 

b< 0
a
0
bc
0




c< 0
c> 0
Xét khả năng a 0; b> 0; c< 0  a+ c< 0
Ta cã:

(1) : a  b  c  0  b> -(a+ c)  (a+ c)b< -(a+ c)2
 (a  c)b  ca  (a  c)2  ac  (a2  ac  c2)
 ab  bc  ca  0
V× :
(a2  ac  c2 0 a,b,c R)
Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy 3 sô a,b,c đều là số dương.
Bài tập ¸p dơng:
Bµi 1:
Cho 0  a, b, c  1 .Chứng minh rằng ít nhất có một bất đẳng thức sau đây là sai:
1
1
1
a (1 b) ; b(1  c)  ; c(1  a ) 
4
4
4
KÕt qu¶ này mâu thuẩn với kết quả của giả thiết đà nêu ra ở trên.
Vậy ít nhất phải có một bất đẳng thức sai.
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 15


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Bài 2:
Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 ,..., a25 thoả mản điều kiện

1 1 ...  1  9 .

a1
a2
a25
Chøng minh r»ng trong 25 sè tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau.
Dạng 5 Phương pháp lượng giác
Đây là một trường hợp đặc biệt của phương pháp đổi biến số. Đối với học sinh
THCS thì việc sử dụng phương pháp này là khá mới vì kiến thức cơ bản của phần
lượng giác chưa được nghiên cứu sâu. Cho nên ở phương pháp này tôi xin trình
bày một số kiến thức lý thuyết và các dạng phương pháp một cách chi tiết hơn.
Kiến thức cần nhớ:
1. Các hệ thức cơ bản
1

+ cos 2  sin 2   1
+ 1 + tg2 =
(   k)
2
2
cos 
1
k
+ tg . cotg = 1 ( 
)
+ 1 + cotg2 =
(  k)
2
sin 2 
2. C«ng thức cộng, công thức hạ bậc, công thức nhân đôi, công thức biến tích
thành tổng và công thức biến tổng thành tích. Chúng ta dựa vào các trương hợp
dưới đây để có thể đổi biến lượng giác một cách chính xác.

Một số phương pháp lượng giác thường gặp:
x sin
Nếu thấy x2 + y2 = 1 thì đặt 
víi   [0, 2]
y

cos


x  a sin 
 NÕu thÊy x2 + y2 = a2 (a > 0) th× ®Ỉt 
víi   [0, 2]
 y  a cos

Nếu thấy |x| 1 thì đặt





x
sin
khi



 2 ; 2 

 x  cos  khi   0;  


  
x
m
sin
khi





  2 ; 2 
 NÕu thÊy |x|  m ( m  0 ) thì đặt
x m cos khi 0;

Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 16


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Sử dụng công thức: 1+ tg2 =

1
1
tg 2  2  1
2
cos 
cos 

 NÕu |x|  1 hoặc bài toán có chứa biểu thức
thì đặt x =


 k )
2

x2 1

1
    3 
víi  0;   , 
cos 
 2  2 

 Nếu |x| m hoặc bài toán có chứa biểu thức
thì đặt x =

(

x 2 m2

m
 3 
víi  0;   , 
cos 
 2  2 

 Sư dơng c«ng thøc 1+ tg2 =

1
.
cos 2 

  
 NÕu x  R vµ bài toán chứa (1+x2) thì đặt x = tg với     , 
 2 2
  
 Nếu x R và bài toán chứa (x2+m2) thì ®Ỉt x = mtg víi     , 
 2 2
VÝ dô 1: Cho a, b, c, d  R Víi a  c 1  d2 Vµ b  d 1  c2
Chøng minh r»ng a  b 1
Giải
a c 1 d2 Và b  d 1  c2 Ta cã:
1  d2  0
d2  1 -1  d  1







2
2
-1  c 1

1
c
0
c
1



p
Do đó ta đặt: d cosb và c  cosa víi a , b  0; 
 2 
Víi:

 a  c 1  d2  cosa 1  cos2 b  cosa sin b
Vµ

b  d 1  c2  cos b 1  cos2 a  cos b sin a
 a  b  cosa sin b  cos b sin a

 sin( b  a )  1
VËy:
a  b 1
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng:
(1  x 2) sin a  2x cosa
 1 x,a R
1 x2
Giải

Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 17


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
sin a
p p
Với a ; Th×
cosa
 2 2
sin2 a
sin a
(1
)
sin
a
2
cosa


2
2
(1  x ) sin a  2x cosa
a
a
cos
cos

sin2 a
1  x2

(1 
)
cos2 a
(cos2 a  sin2 a ) sin a  2sin a cosa cosa

cos2 a  sin2 a
 cos2a sin a  sin 2a cosa

Đặt x t ga

sin(a 2a )  1
VÝ dô 3: Chøng minh r»ng nÕu x  1 và n là số nguyên lớn hơn 1 thì ta có bất
đẳng thức:
(1 x)n (1 x)n 2n
Giải :
Vì: x 1nên ta đặt x cost víi
t   p; p 
 (1  x)n  (1  x)n  (1  cost)n  (1  cost)n
t
t
 (2cos2 )n  (2sin2 )n
2
2
t
t
 2n (cos2 )n  (sin2 )n   2n (1)

2
2 
0  cos2 t  1

cos2 t  (cos2 t )n


2
2
2
 

t
t
t
sin2  (sin2 )n
Do 0  sin2  t
2
2
2


t
t
 1  (cos2 )n (sin2 )n
2
2
(1) đúng
Vậy bất đẳng thức đà ®­ỵc chøng minh.
VÝ dơ 4:
Chøng minh r»ng: 1  1  a 2

 (1  a)

3



 (1  a )3 2 2 2 2a 2 (1)

Giải:
Từ đk |a| 1 nên

Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP To¸n Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 18


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Đặt a=cos với [0,] 1 a 2 sin
(1)

1  2 sin



; 1  a  2 cos ; 1  a 2  sin 
2
2









cos .2 2 cos3  sin 3   2 2  2 2 sin cos
2
2
2
2
2
2









 
 
 
  sin  cos  cos  sin  cos 2  sin cos  sin 2   1  sin cos
2
2 
2
2 
2
2

2
2
2
2






 
 
  sin  cos  cos  sin   cos 2  sin 2  cos 1 đúng (đpcm)
2
2
2
2
2
2

Bài tập áp dơng:
Bµi 1:
Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chøng minh r»ng:
A = a 2  b 2  2 3ab  2(1  2 3 )a  (4  2 3 )b  4 3 3 2
Bài 2: Cho a, b thoả mÃn : 5a  12b  7 = 13
Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a)  - 1
Bµi 3:
Chøng minh r»ng:
Bµi 4:

3  2  A  2 3a 2  2a 1  a 2  3  2

Chøng minh r»ng A =

a2 1  3
 2  a 1
a

Bµi 5:
5  12 a 2  1
Chøng minh r»ng: - 4  A =
 9  a 1
a2
Bµi 6:
|a b|
|bc|
|ca|
Chøng minh r»ng:
a , b, c


(1  a 2 )(1  b 2 )
(1  b 2 )(1  c 2 )
(1  c 2 )(1  a 2 )
Bµi 7:
Chøng minh r»ng:
Bµi 8:

ab  cd  (a  c)(b  d ) (1) a , b, c, d  0 (1)

Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 19


chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Chứng minh rằng:

(a b)(1 ab) 1
a, b  R
(1  a 2 )(1  b 2 ) 2

Dạng 6 Phương pháp chứng minh qui nạp
Phương pháp qui nạp thường sử dụng để chứng minh một bất đẳng thức phụ thuộc
vào số nguyên dương n. Ta thực hiện các bước sau:
Kiểm nghiệm để chứng tỏ BĐT đúng với điều kiện nhỏ nhất.
Giả sử BĐT đúng với một số nguyên dương k bất kỳ
Cần chứng minh BĐT cũng đúng với n = k + 1
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: 2n  2n 1 Với mọi số dương n 3
Giải:
3
Với n=3 th× 2  8  2.3  1  7 đúng
Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k bất kì cã nghÜa lµ:
2k  2k  1  2.k.2  (2k  1).2
Ta cÇn chøng minh:
2k 1  2(k  1)  1
Theo gt quy n¹p ta cã:
2k 1  (2k  1)2  4k  2  2k  2k 2 2(k 1) 1
Điều phải chøng minh.

VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n  2
Ta cã:
1
1
1
13

 ... 

n 1 n 2
2n 24
Giải:
a. Với n=2 ta có:
1 1 13
14 13



đúng
3 4 24
24 24
1
1
1 13
Gi¶ sư víi n=k ta cã:

 ... 

k 1 k 2
2k 24

Ta cÇn chøng minh:
1
1
1
13

 ... 

k 2 k 3
2k  2 24
Ta cã:
1
1
1
1
1
1
1
1

 ... 
(
 ...  ) 


k 2 k 3
2k  2
k 1
2k
2k  1 2k 2 k 1

Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48
ThuVienDeThi.com

Trang 20