SKKN một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (234.32 KB, 28 trang )
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
A: ĐẶT VẤN ĐỀ
!"#
#$ %% &'% () *+
%% &%",-',./%)
0% &#)- *+#*/##% &1
2#*/## (% &#)3 450
6%78!9#*/###5+#1:6%% &
(#!9 *+#*/##);%#)#<
+##*/##+#.1
=% & *+>!9!"%
)%,>#*/%#*/,#*/ 4%,?
@A0%(111 *+78!9>#
"111B>C7DE#)- *+'E/%)%
&1
E)!"CF*GH2I74#3)
%% &%% &
*G)JK#*/## ?7
L ? *+*@)%1:4>07H2I
"E)3*!C*<! 7$$
%E>!9E)!"%>#1
!0 L *+>#@,7<#*/##C
*+78!9% &*M!5 ?N%E O*/
*/!5% & P%E#*/###)1111117<%>#
>!9Q$#7%@$$4#%C
>!9% &$#7( ?*@ *+#*/##
$/% &%1
R (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng củabất
đẳng thức )<$#77<#*/##
% & S! TCA
'"E *+7#S0C ( *+,
/LU)/
V
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
PHẦN I: ĐIỀU TRA THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI NGHIÊN CỨU
W)!"C@#4#7<%>#% &C7
$$,%>#C ?*@ 4%,7
F %
,,(%>#! C
*@
C,DE#)*@!J77<#*/##
% &!90% &,DE
7 ($#7E% & ,7
%>#% &
PHẦN II: CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
X*/##
X*/## <
X*/##,
PHẦN III: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
I : CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1, Định nghĩa bất đẳng thức
YA/%.,Z%
Y@/%.,[%
YA/4%Q%.,Z%
Y@/4%Q%.,[%
2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức :
.\M[%Z][%Z
I<*+7^(A^(^(%^(CE^(
_`aabV\`V
c
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
%.dM[%%[][[
.`M[%Z][Y[%Y
H,)M[%Z][e[%e
Y[%Z][[%e
!.fM[%[!][Y[%Y!
[%Z!][e[%e!
K.bM[%[a][[%!
[%Za][Z%!
g.VM[%[ah[![a][[%!
.cM[%[a][
[%
[%Z][
[%
@i1
.jM[%h%[a][
3, Một số bất đẳng thức thông dụngM
= &27M
B@d7<!*/%M
ab
ba
≥
+
d
k &L)CM]%
%= &=#LM
B@7<h%hLhCMlLY%Cm
d
≤
l
d
Y%
d
mlL
d
YC
d
m
k &L)CZ][
y
b
x
a
=
= &?C, <M
baba +≥+
k &L)CM%
≥
a
II : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1.Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa
j
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
eWEM^(n[=L_,ne=one=[
a1
ep*SMn
d
≥
a@nh!qq]qqL)Cn]a1
eB.!9M
Bài 1.1 :
B@7<MLCrQML
d
YC
d
Yr
d
Y`
≥
dlLYCYrm
Giải :
L_,MH]L
d
YC
d
Yr
d
Y`edlLYCYrm
]L
d
YC
d
Yr
d
Y`edLedCedr
]lL
d
edLY\mYlC
d
edCY\mYlr
d
edrY\m
]lLe\m
d
YlCe\m
d
Ylre\m
d
klLe\m
d
≥
a@L
lCe\m
d
≥
a@C
lre\m
d
≥
a@r
][H
≥
a@LCr
HCL
d
YC
d
Yr
d
Y`
≥
dlLYCYrm@LCr1
k%QL)CZ][L]C]r]\1
Bài 1.2M
2%!K7<M
2QM
d
Y%
d
Y
d
Y!
d
YK
d
≥
l%YY!YKm
Giải :
s_,MH]
d
Y%
d
Y
d
Y!
d
YK
d
el%YY!YKm
]l
b
a
−
d
m
d
Yl
c
a
−
d
m
d
Yl
d
a
−
d
m
d
Yl
e
a
−
d
m
d
kl
b
a
−
d
m
d
≥
a@%
kl
c
a
−
d
m
d
≥
a@
kl
d
a
−
d
m
d
≥
a@!
kl
e
a
−
d
m
d
≥
a@K
][H
≥
a@%!K
kqq]qqL)CZ][%]]!]K]
d
a
Bài 1.3 :2% &M
t
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
d
dd
dd
+
≥
+ baba
Giải :
s_,MH]
d
dd
dd
+
−
+ baba
]
f
mdlmld
dddd
bababa ++−+
]
aml
f
\
mdddl
f
\
ddddd
≥−=−−−+ baabbaba
1B@%1
kqq]qqL)C]%1
2. Phương pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tương đương .
eWEM=E O% &D*/ */@% &
$4% & P *+ $1
e:7<% &*G!5M
lnY=m
d
]n
d
Ydn=Y=
d
lne=m
d
]n
d
edn=Y=
d
lnY=Y2m
d
]n
d
Y=
d
Y2
d
Ydn=Ydn2Yd=2
lnY=m
`
]n
`
Y`n
d
=Y`n=
d
Y=
`
lne=m
`
]n
`
e`n
d
=Y`n=
d
e=
`
uuuuuuuuuuu1
B.!9M
Bài 2. 1M2%7<!*/O%Q\12QM
`
f
\
\
\
\
≥
+
+
+ ba
Giải:
k5#_#%E O*/ */h
`lY\Y%Y\m
≥
flY\ml%Y\m
t
≥
fl%YY%Y\mlY%]\m
t
≥
f%Yj\
≥
f%lY%m
d
≥
f%
= &< $1IC #)1
Bài 2. 2M2%7<!*/)PMY%Y]f
2QMlY%ml%YmlYm
≥
`
%
`
`
Giải:
\a
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
vMlY%m
d
≥
f%lY%Ym
d
]
[ ]
cbacba mlfml
d
+≥++
][\V
≥
flY%m][\VlY%m
≥
flY%m
d
≥
\V%
][Y%
≥
%
*/M%Y
≥
%
Y
≥
%
][lY%ml%YmlYm
≥
`
%
`
`
Bài 2.3M2% &M
`
``
dd
+
≥
+ baba
h [ah%[a
Giải :
k5#_#%E O*/ */MB@[ah%[a][Y%[a
`
``
dd
+
≥
+ baba
+
≥+−
+
d
m1l
d
dd
ba
baba
ba
1
d
d
+ ba
d
e%Y%
d
≥
d
d
+ ba
f
d
ef%Yf%
d
≥
d
Yd%Y%
d
`
d
eV%Y`%
d
≥
`l
d
ed%Y%
d
m
≥
a
= &<5 $h7CM
`
``
dd
+
≥
+ baba
Bài 2.4:
2d7<%)PY%]\12:w
`
Y%
`
Y%
≥
d
\
Giải :
M
`
Y%
`
Y%
≥
d
\
Z][
`
Y%
`
Y%e
d
\
≥
a
Z][lY%ml
d
e%Y%
d
mY%e
d
\
≥
a
Z][
d
Y%
d
e
d
\
≥
a1BY%]\
Z][d
d
Yd%
d
e\
≥
a
Z][d
d
Ydl\em
d
e\
≥
al%]e\m
Z][f
d
efY\
≥
a
Z][lde\m
d
≥
a
= &<5 $1B>C
`
Y%
`
Y%
≥
d
\
\\
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
kqq]qqL)C]%]
d
\
Bài 2.5 :2% &M
`
``
dd
+
≥
+ baba
M[a%[a1
Giải :
B@[a%[a][Y%[a
M
`
``
dd
+
≥
+ baba
Z][
( )
d
dd
dd
1
d
+
+
≥+−
+ baba
baba
ba
Z][
d
dd
d
+
≥+−
ba
baba
Z][f
d
ef%Yf%
d
≥
d
Yd%Y%
d
Z][`l
d
ed%Y%
d
m
≥
a
Z][`le%m
d
≥
a1= &C $
][
`
``
dd
+
≥
+ baba
kqq]qqL)C]%1
Bài 2.6MB@[a%[a12% &M
a
b
a
−
≥
a
b
b −
Giải :
k5#_#%E O*/ */M
a
b
a
−
≥
a
b
b −
l
mlm baabbbaa +−+
≥
a
[ ]
amlmlml
``
≥+−+ baabba
amlmmll ≥+−+−+ baabbababa
amdmll ≥+−+ bababa
ammll ≥−+ baba
= &< $h7CM
a
b
a
−
≥
a
b
b −
3. Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc .
\d
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
eWEMk5% &K*M27=#L%
&!?C, < (%E O
:7<,)v% &ML
d
YC
d
≥
dLC
B@%[a
d≥+
a
b
b
a
2.!9M
Bài 3.1Mx)78%7<!*/QM
d>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Giải
#!9=^2CM
Yl%Ym
mld cba +≥
cba
a
cb
a
++
≥
+
d
*/ *+M
cba
b
ac
b
++
≥
+
d
cba
c
ba
c
++
≥
+
d
k%Q0%=^( oGL)C M
]%Y%]Y]Y%Y%Y]al@)E% 7<
!*/m1
v 7CM
d>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Bài 3.2:
2LCd7<)PM
L
d
YC
d
]
dd
\\ xyyx −+−
2QM`LYfC
≤
b
Giải :
y#!9% &=#LM
lL
d
YC
d
m
d
]l
dd
\\ xyyx −+−
m
d
l
\≤x
h
\≤y
m
≤
lL
d
YC
d
ml\eC
d
Y\eL
d
m
][L
d
YC
d
≤
\
"Ml`LYfCm
d
≤
l`
d
Yf
d
mlL
d
YC
d
m
≤
db
][`LYfC
≤
b
\`
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
^&L)C
=
>>
=+
f`
aa
\
dd
yx
yx
yx
=
=
b
f
b
`
y
x
^,M
d
b
d
`
≤≤ x
Bài 3. 3:2%
≥
ahY%Y]\12QM
V≤+++++ accbba
%
b`\\\ <+++++ cba
Giải
y#!9%!&=#L@d%`7<M
( )
( )
( ) ( ) ( )
+++++++≤+++++
ddd
\\\\1\1\1 accbbaaccbba
][
( )
Vmdd1l`
d
=++≤+++++ acbaaccbba
][
V≤+++++ accbba
1
kqq]qqL)CM]%]]
`
\
%y#!9% &27M
\
dd
\m\l
\ +=
++
≤+
aa
a
*/M
\
d
\ +≤+
b
b
h
\
d
\ +≤+
c
c
2vE0`% & *+M
b``
d
\\\ =+
++
≤+++++
cba
cba
k &L)C]%]]a@)EMY%Y] \
B>CM
b`\\\ <+++++ cba
Bài 3.4M27<!*/%)PMY%Y]\1
2QM
t
\\\
≥++
cba
Giải :
M
a>+
a
b
b
a
%[a
M
=++
cba
\\\
m
\\\
l
cba
++
1\]
m
\\\
l
cba
++
1lY%Ym
]
\\\ ++++++++
b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
\f
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
]
≥++++++ mlmlml`
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a
`YdYdYd]t
][
t
\\\
≥++
cba
kqq]qqL)CM]%]]
`
\
Bài 3.5
2LC[a12QM
yxyx +
≥+
f\\
Giải
y#!9% &27M
xyyx d≥+
yx
\\
+
≥
xy
d
][lLYCml
yx
\\
+
m
≥
f
][
yx
\\
+
≥
yx +
f
4. Phương pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức :
eWEMk5. P *+ (>!9)%>#1
2.!9M
Bài 4.1 :2d7<LC)P ,MLYC]d1
2QML
f
YC
f
≥
d
Giải
K.%-DMlL
d
eC
d
m
≥
aL
f
YC
f
≥
dL
d
C
d
dlL
f
YC
f
m
≥
lL
d
YC
d
m
d
l\m
MlLeCm
d
≥
aL
d
YC
d
≥
dLC
dlL
d
YC
d
m
≥
lLYCm
d
dlL
d
YC
d
m
≥
fBMLYC]d
L
d
YC
d
≥
dldm
vl\mldmML
f
YC
f
≥
d
kqq]qqL)CL]C]\1
Bài 4.2:
2aZ%!Z\12QM
\b
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
l\eml\e%ml\eml\e!m[\ee%ee!1
Giải :
Ml\eml\e%m]\ee%Y%
k%[a%[a][l\eml\e%m[\ee%1
kZ\\e[a][l\eml\e%ml\em[l\ee%ml\em
l\eml\e%ml\em[\ee%eYY%1
k%![a\e![ahY%[ah!Y%!Y![a
][l\eml\e%ml\em[\ee%e
][l\eml\e%ml\eml\e!m[l\ee%eml\e!m
][l\eml\e%ml\eml\e!m[\ee%ee!Y!Y%!Y!
][l\eml\e%ml\eml\e!m[\ee%ee!1
Bài 4.3 :2aZ%Z\12QM
d
`
Yd%
`
Yd
`
Z`Y
d
%Y%
d
Y
d
Giải :
k%Z\][
`
Z
d
ZZ\h%
`
Z%
d
Z%Z\hM
l\e
d
ml\e%m[a][\Y
d
%[
d
Y%
][\Y
d
%[
`
Y%
`
C
`
Y%
`
Z\Y
d
%1
*/M%
`
Y
`
Z\Y%
d
h
`
Y
`
Z\Y
d
1
][d
`
Yd%
`
Yd
`
Z`Y
d
%Y%
d
Y
d
5.phương pháp 5 : Dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự nhiên
Bài 5.1: 2[%[a2:wM
\ttV \ttV
\ttV \ttV
a b
a b
−
+
[
\ttb \ttb
\ttb \ttb
a b
a b
−
+
x)M
^(% &% &7E
[%[a7<[
m m n n
m m n n
a b a b
a b a b
− −
>
+ +
l\m
>>C!5#_#%E O*/ */ (
l\m
⇔
d d
m m m n n n
m m n n
a b b a b b
a b a b
+ − + −
>
+ +
⇔
\e
d d d d
\
m n m n
m m n n m m n n
b b b b
a b a b a b a b
> − ⇔ − > −
+ + + +
m n
m n
m n
m m n n
m m n n
m m n n
b b
b b
b b
a b a b
a b a b
b b b b
⇔ < ⇔ <
+ +
+ +
\ \
\ \
m n
m n
a a
b b
⇔ <
+ +
\ \
m n
m n
a a
b b
⇔ + > +
\V
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
l m l m
m n
m n
m n
a a a a
b b b b
⇔ > ⇔ >
ldm
= &ldm $[%[a
\
a
b
>
[>C% &l\m
$
y#!9% &
m m n n
m m n n
a b a b
a b a b
− −
>
+ +
<[%[a[]\ttV
]\ttb% &#)z $
\ttV \ttV
\ttV \ttV
a b
a b
−
+
[
\ttb \ttb
\ttb \ttb
a b
a b
−
+
6. phương pháp 6: Dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác
% !%"0
⇔
Z%Yl\m
%ZYldm
ZY%l`m
v`% &O%"07C *+`% &,
"
Z%Yl\m
a b c⇒ − <
lfm
%ZYldm
b c a⇒ − <
lbm
ZY%l`m
c a b⇒ − <
lVm
Bài 6.1M
2n=2d#]Y%Yl% !"0m1
2QM
d
\\\
≥
−
+
−
+
− cpbpap
m
\\\
l
cba
++
x)M
M#e]
a
d
>
−+ acb
*/M#e%[ah#e[ah
#!9E)%>#l3.5) *+h
cbpapbpap
f
mlml
f\\
=
−+−
≥
−
+
−
*/M
acpbp
f\\
≥
−
+
−
bcpap
f\\
≥
−
+
−
][
m
\\\
lfm
\\\
ld
cbacpcpap
++≥
−
+
−
+
−
][ #)1
\c
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
kqq]qqL)CM#e]#e%]#e]%]1
W n=2 1
Bài 6.2M
2% !%"02:wM
lY%eml%YemlYe%m
≤
%
Giải:
= &%"0E
d d d
a l mb c a a b c a− < ⇒ < − − ≤
d d d
a l mc a b b c a b− < ⇒ < − − ≤
d d d
a l ma b c c a b c− < ⇒ < − − ≤
v
d d d d d d d d d
l m l m l ma b c b c a c a b a b c− − − − − − ≤
⇔
lY%emle%Yml%eYml%YemleY%mlYe%m
d d d
a b c≤
⇔
lY%em
d
l%Yem
d
lYe%m
d
d d d
a b c≤
⇔
lY%eml%YemlYe%m
≤
%
B%%"0
Y%e[a
%Ye[a
Ye%[a%[a
B>C% &!J *+
7. Phương pháp 7 : Chứng minh phản chứng .
eWEMx)78#)% & $PC)78
%!& 77 >!9E P%E)E0 % (
7C S1
^S(@)E4' *+v
7C &D $1
:7<% &M
Yk5, )
YX0 ?o7C @)E1
YX0 ?o7C@ z $1
YX0 ?o7C zz*+1
YX0 ?o7CE>1
2.!9M
\j
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
Bài 7. 1 :
2aZ%!Z\12Qh.% &77Mdl\
e%m[\
`%l\em[d
jl\e!m[\
`d!l\em[`
Giải:
x)78*+")%< & $1{Uvh
Md1`1j1`dl\e%m%l\eml\e!m!l\em[d1`
][
[ ][ ][ ][ ]
dbV
\
m\lm\lm\lm\l >−−−− ddccbbaa
l\m
:4#!9% &27M
d
\
d
\
m\l =
−+
≤−
aa
aa
][l\em
≤
f
\
*/M%l\e%m
≤
f
\
l\em
≤
f
\
!l\e!m
≤
f
\
{Uv% &hM
[ ][ ][ ][ ]
dbV
\
m\lm\lm\lm\l >−−−− ddccbbaa
ldm
vl\mldm7CS1
^S A.f% & D%71
Bài 7.2 :
lX0 ?o7C *+m
2Q`7<!*/%)P)%% &7M
d
\
<+
b
a
h
d
\
<+
c
b
h
d
\
<+
a
c
Giải
x)78o"`7<!*/%)P)`% &M
d
\
<+
b
a
h
d
\
<+
c
b
h
d
\
<+
a
c
2KvE0`% & *+M
V
\\\
<+++++
a
c
c
b
b
a
\t
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
Vm
\
lm
\
lm
\
l <+++++
c
c
b
b
a
a
l\m
B%[aM
dm
\
l ≥+
a
a
h
dm
\
l ≥+
b
b
h
dm
\
l ≥+
c
c
][
Vm
\
lm
\
lm
\
l ≥+++++
c
c
b
b
a
a
^CUJ@l\m
B>Co"`7<!*/%)P)`% &1][
#
Bài 7.3 :
2Q7<!*/%)P)`% &7M
fl\e%m[\hf%l\em[\hfl\em[\1
Hướng dẫn :*/*%dM
Bài 7.4M
lX0 ?o7C@ $m
2
`
Y%
`
]d12QMY%
≤
d1
Giải :
x)78MY%[d][lY%m
`
[j
][
`
Y%
`
Y`%lY%m[j
][dY`%lY%m[jlBM
`
Y%
`
]dm
][%lY%m[d
][%lY%m[
`
Y%
`
lBM
`
Y%
`
]dm
2)E7<!*/% *+M
%[
d
e%Y%
d
][a[le%m
d
BS
B>CMY%
≤
d
8. Phương pháp 8 : Đổi biến số
eWEM,#*/## O%E7<Q *% P
!" /)//!"'% P%E)111
2.!9M
Bài 8. 1M
2QM{E%[aM
d
`
≥
+
+
+
+
+ ab
c
ac
b
cb
a
Giải:
^4M%Y]LY]CY%]r
da
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
][Y%Y]
d
zyx ++
][]
d
xzy −+
%]
d
yxz −+
]
d
zyx −+
W M
B]
ab
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
]
z
zyx
y
yxz
x
xzy
ddd
−+
+
−+
+
−+
]
d
`
d
`
\\\
d
`
ml
d
\
ml
d
\
ml
d
\
=−++≥−+++++
z
y
y
z
z
x
x
z
y
x
x
y
Bài 8.2M
2Qh@7<LC% &M
e
f
\
m\lm\l
m\mll
f
\
dddd
dddd
≤
++
−
≤
yx
yxyx
GiảiM
^4M]
m\ml\l
dd
dd
yx
yx
++
−
%]
m\ml\l
\
dd
dd
yx
yx
++
−
][%]
dddd
dddd
m\lm\l
m\mll
yx
yxyx
++
−−
!|C@%Me
dd
ml
f
\
ml
f
\
baabba +≤≤−
:Mle%m
d
]
d
d
\
d
\
+
−
x
lY%m
d
]
d
d
\
d
\
+
−
y
ICMe
f
\
≤
%
≤
f
\
1
Bài 8.3M
2%[ahY%Y
≤
\12QM
t
d
\
d
\
d
\
ddd
≥
+
+
+
+
+ abccabbca
GiảiM
^4M
d
Yd%]Lh%
d
Yd]Ch
d
Yd%]r
W MLYCYr]
d
Yd%Y%
d
YdY
d
Yd%
]lY%Ym
d
≤
\
=FM2LCr[aLYCYr
≤
\1
d\
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
2QM
t
\\\
≥++
zyx
*+MlLYCYrml
tm
\\\
≥++
zyx
K% &27
:MLYCYr
≤
\7C
t
\\\
≥++
zyx
1
9.Phương pháp 9: Dùng phép quy nạp toán học .
eWEM^(% & $@[\%Q#*/
##C"#EM
YW(% & $@]\l]
a
m
Yx)78% & $@][\l[
a
m
Y2% & $@]Y\
YWE>% & $@[\l[
a
m
eB.!9M
Bài 9.1 :
2Q@7<C!*/
≥
`
d
[dY\l}m
Giải :
YB@]`Md
]d
`
]jhdY\]d1`Y\]chj[c1B>C &l}m
$@]`1
Yx)78l}m $@]l
∈
{h
≥
`mMd
[dY\
#)Md
Y\
[dlY\mY\
CMd
Y\
[dY`l}}m
Y>>CMd
Y\
]d1d
d
[dY\lK)EC"#m
! Md
Y\
[dldY\m]ldY`mYlde\m[dY`lBMde\[am
B>Cl}}m $@
≥
`1
YWE>Md
[dY\@7<C!*/
≥
`1
Bài 9.2M1
2QM
d
\
1
f
`
1
V
b
111
n
n
d
\d −
≤
\`
\
+n
l}ml7<C!*/m
dd
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
GiảiM
YB@]\MB]BX]
d
\
1B>Cl}m $@]\1
Yx)78l}m $@]
≥
\M
d
\
1
f
`
1
V
b
111
k
k
d
\d −
≤
\`
\
+
k
Dl}m $@]Y\M
d
\
1
f
`
1
V
b
111
k
k
d
\d −
1
≤
+
+
m\ld
\d
k
k
\`
\
+
k
1
m\ld
\d
+
+
k
k
! ~DM
\`
\
+
k
m\ld
\d
+
+
k
k
≤
\m\l`
\
++k
!5#_#%E O*/ */M
ldY\m
d
l`Yfm
≤
l`Y\mflY\m
d
\d
`
Ydj
d
Y\tYf
≤
\d
`
Ydj
d
YdaYf
≥
a1][l}}m $@
≥
\1
B>Cl}m!$@7<C!*/1
10.Phương pháp 10 : Chứng minh bất đẳng thức trong hình học phẳng
Bài 10.1M2:wOCE0@/fD
%. *G"E#
G
C1
B
A
C
0
A1
B1
Giải:
x% !% *GCEw%. *G"E#
∆
n=2#)Y%Y[fw
B
∆
n=2U *G"E#Q
n=2ExUn=2UaQF%
xn=xn2x=21x)78Ua
Qxn=anYa=]dwxnYx=[dwxn]
d
`
nn
\
]
d
`
x=]
d
`
==
\
]
d
`
%
{xnYx=[dw
⇒
d
`
lY%m[dw
⇒
Y%[`w
:a22
\
22
\
[a2
⇒
[w
d`
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
k Y%Y[`wYw]fw1
B>CY%Y[fw
Bài 10. 2M: *GE#L$@"0 ~n"
(=2iE#CE@ *G-"n=n2":{
Q
`
AB AC+
<
:=Y{2Z
d
AB AC+
Giải
B
C
l
0
A
M
N
xzE# (0E#CE:{@ *GUa.
E#C
:=]:z{2]{z
v :{]:=Y{2*n:{:{Zn:Yn{
{d:{Zn:Yn{Y=:Y2{]n=Yn2
⇒
:{Z
d
AB AC+
{n:{;"C:{[n::{[n{
⇒
d:{[n:Yn{
B:{]=2Y2{
{`:{[n:Yn{Y=:Y2{! `:{[n=Yn2
⇒
:{[
`
AB AC+
B>C
`
AB AC+
<
:=Y{2Z
d
AB AC+
11 . Ngoài ra còn có một số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức
như : Phương pháp làm trội , tam thức bậc hai ta phải căn cứ vào đặc thù của
mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp . Trong phạm vi nhỏ của đề
tài này không hệ thống ra những phương pháp đó .
III : ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị .
eWEM{EglLm
≥
glLm?A1
{EglLm
≤
:glLm?@:1
*GC#!9% &!9*M27=#L%
&!?C, <1
df
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
W(*G+#L)C! & (?1
?0%(!" C78!9#*/##%E
O*/ */ O%E7<7<% &111
?0%(!?C, <>!9% &
!?C, <
2$SM
BABA +≥+
s)C!qq]qqn=
≥
a
a≥A
kqq]qqL)Cn]a
Bài 1 :?A0%(M=]
`
Y%
`
Y%h2%E%)
PMY%]\1
Giải
=]lY%ml
d
e%Y%
d
mY%
]
d
e%Y%
d
Y%]
d
Y%
d
Mdl
d
Y%
d
m
≥
lY%m
d
]\][
d
Y%
d
≥
d
\
B>C=]
d
\
]%]
d
\
Bài 2M?A0%(M
n]lL
d
YLmlL
d
YLefm
%?A0%(M
=]eL
d
eC
d
YLCYdLYdC
Giải
n]lL
d
YLmlL
d
YLefm1^4M]L
d
YLed
][n]ledmlYdm]
d
ef
≥
ef
k%QL)CM]aL
d
YLed]a
lLedmlLYdm]aL]edhL]\1
][n]efL]edhL]\h
%*/
Bài 3 : ?A0%(1
2]
\d`d −+− xx
%k]
V`
dd
−++++ xxxx
•]
f`d\ −+−+−+− xxxx
Giải :
y#!9=^M
BABA +≥+
db
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
kqq]qqL)Cn=
≥
a1
][2]
ddd\`dd\`d =−=−+−≥−+− xxxx
kqq]qqL)CldLe`ml\edLm
≥
a
d
`
d
\
≤≤ x
B>C2]d
d
`
d
\
≤≤ x
%*/Mk]tMe`
≤
L
≤
d
•]fMd
≤
L
≤
`
Bài 4 :2Z%ZZ!M
:glLm]
ax −
Y
bx −
Y
cx −
Y
dx −
Hướng dẫnM*/MglLm]!Ye%e%
≤
L
≤
Bài 5M2%7<!*/LCr)PM
x+\
\
Y
y+\
\
Y
z+\
\
≥
d
?@0.MX]LCr
GiảiM
x+\
\
≥
l\e
y+\
\
mYl\e
z+\
\
m]
y
y
+\
Y
z
z
+\
≥
d
m\ml\l zy
yz
++
*/M
y+\
\
≥
d
m\ml\l zx
zx
++
z+\
\
≥
d
m\ml\l yx
xy
++
v 7CMX]LCr
≤
j
\
:LX]
j
\
L]C]r]
d
\
Bài 6 : 2`7<!*/%)PMY%Y]\1?A0
%(M€]
ddd
m
\
lm
\
lm
\
l
c
c
b
b
a
a +++++
Giải:
M€]l
d
Y%
d
Y
d
mYl
ddd
\\\
cba
++
mYV
B>!9% &=#LM
l1\Y%1\Y1dm
d
≤
`l
d
Y%
d
Y
d
m
][
d
Y%
d
Y
d
≥
`
\
dV
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
*/M
d
m
\\\
l
cba
++
≤
`
m
\\\
l
ddd
cba
++
:4M
=++
cba
\\\
l
cba
\\\
++
m1\]l
cba
\\\
++
mlY%Ym
]`Yl
a
b
b
a
+
mYl
b
c
c
b
+
mYl
c
a
a
c
+
m
≥
`YdYdYd]t
][
cba
\\\
++
≥
t
][
d
m
\\\
l
cba
++
≥
j\
][
m
\\\
l
ddd
cba
++
≥
dc
€
≥
`
\
YdcYV]``
kqq]qqL)CM]%]]
`
\
B>C:€]``
`
\
M]%]]
`
\
1
Bài 7M2x]
xyz
zxyyzxxyz `d\ −+−+−
?@0xM
Giải :>#L ?ML
≥
\hC
≥
dhr
≥
`
Mx]
x
x \−
Y
y
y d−
Y
z
z `−
K=^27M
d
\\
\
+−
≤−
x
x
][
x
x \−
d
\
≤
*/M
dd
\
d
≤
−
y
y
h
`d
\`
≤
−
z
z
][x
≤
`d
\
dd
\
d
\
++
B>C:Lx]
`d
\
dd
\
d
\
++
" *+L]dhC]dhr]V
Bài 8?A0H]
\−x
x
@L[\1
%1?@0W]
d
\1 xx −
HDM#!9% &27*/*%bM
2 - Dùng bất đẳng thức để giải phương trình .
dc
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
eWEM{G.0% &#*/##
% &%E OElBBXm0#*/7 7C> (
~,0#*/1
{EB]BX"47<? 0•l)Ps^m
][#*/,1
{EB[BX4BZBX"?0•1
][#*/,1
e2.!9M
Bài 1Mx)#*/M
\`
\−x
Yt
\+x
]\VL
GiảiM
^,ML
≥
\l}m
2\M#!9% &27M\`
\−x
Yt
\+x
]\`1d1
\
d
\
−x
Y`1d1
\
d
`
+x
≤
\`lLe\Y
f
\
mY`lLY\Y
f
t
m]\VL
kqq]qqL)C
=+
=−
d
`
\
d
\
\
x
x
L]
f
b
)Pl}m
X*/l\m,!qq]qqFldmL)C
B>Cl\m,L]
f
b
1
Bài 2M?@0p]
`d −x
Y
xdb −
%1x)#*/M
`d −x
Y
xdb −
eL
d
YfLeV]al}m
Giải :
1-Ml
`d −x
Y
xdb −
m
d
≤
dldLe`YbedLm]f
`d −x
Y
xdb −
≤
d
][:Lp]dL]d1
%1s^M
d
b
d
`
≤≤ x
l}m
`d −x
Y
xdb −
]L
d
efLYV
BX]lLedm
d
Yd
≥
d!qq]qqL)CL]d1
dj
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
][@L]dl)Ps^mB]BX]d1
][#*/l}m,L]d1
Bài 3 :x)#*/M
x−V
Y
d+x
]L
d
eVLY\`
Giải : s^Med
≤
L
≤
V1
BX]lLe`m
d
Yf
≥
f1kqq]qqL)CL]`1
B
d
]l
x−V
1\Y
d+x
1\m
d
≤
lVeLYLYdml\Y\m]\V
][B
≤
f!qq]qqL)C
x−V
]
d+x
L]d1
][?0L (B]BX][X*/,
Bài 4Mx)#*/M
\V\d`
d
+− xx
Y
\`f
d
+− yy
]b
HD M
\V\d`
d
+− xx
≥
dh
\`f
d
+− yy
≥
`][B
≥
b1
kqq]qqL)CM
=−
=−
ad
ad
y
x
=
=
d
d
y
x
][#*/,ML]dhC]d1
3 - Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình :
eWEMk5% & (%E Ov#*/0,7C>
E>,1
p*SM:7<.M
d
Y%
d
≥
d%
%1YZh[a][Z%
1
\>
b
a
E[%[a1
e2.!9M
Bài 1Mx),#*/M
=−+
=+−+
ad
a`fd
ddd
d`
yyxx
yyx
l\m
L
`
]e\edlCe\m
d
L
`
≤
e\L
≤
e\1l}m
ldmL
d
≤
d
\
d
y
y
+
≤
\l\YC
d
≥
dCm
e\
≤
L
≤
\l}}m
vl}ml}}m][L]e\1CL]e\ldmMC]\1
][H,#*/,!CML]e\hC]\1
eWEM=E O#*/0,7 77@#*/
"*S!5% &K1
dt
Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức
Bài 2 :x),#*/M
=++
=++
xyzzyx
zyx
fff
\
Giải :
y#!9M=^Mn
d
Y=
d
≥
dn=!qq]qqL)Cn]=
ML
f
YC
f
≥
dL
d
C
d
hC
f
Yr
f
≥
dC
d
r
d
hr
f
YL
f
≥
dr
d
L
d
1
][L
f
YC
f
Yr
f
≥
L
d
C
d
YC
d
r
d
Yr
d
L
d
l}m
:-ML
d
C
d
YC
d
r
d
≥
dL
d
Cr
C
d
r
d
Yr
d
L
d
≥
dLC
d
r
L
d
C
d
Yr
d
L
d
≥
dLCr
d
][dlL
d
C
d
YC
d
r
d
Yr
d
L
d
m
≥
dLCrlLYCYrm]dLCr1
][L
d
C
d
YC
d
r
d
Yr
d
L
d
≥
LCr1l}}m
vl}ml}}m][L
f
YC
f
Yr
f
≥
LCr
kqq]qqL)CML]C]rLYCYr]\ML]C]r]
`
\
B>C,#*/,ML]C]r]
`
\
2dM#!9=^27h
eWEMk5#*/##E
Bài 3Mx),#*/
=++++
=++
\m
V`d
ml
V
\
`
\
d
\
l
\f
`d
zyx
zyx
zyx
l@LCr[am
Giải :
#!9M{E%[aM
d≥+
a
b
b
a
ldm
`Vmd`ml
\d`
l =++++ zyx
zyx
V
ddmldml`ml =+++++
y
z
z
y
x
z
z
x
x
y
y
x
:4MLCr[V
\dml ≥+
x
y
y
x
Vml` ≥+
x
z
z
x
h
fmld ≥+
z
y
y
z
ddmldml`ml ≥+++++
y
z
z
y
x
z
z
x
x
y
y
x
`a
