Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán lớp 9 Đề 1845848

ĐỀ 18
Χυ 1. (3,0 điểm)
α. (1,5 điểm) Χηο ξ  1  3 2  3 4 ,
Chứng mινη rằng: Π  ξ 3  3ξ 2  3ξ  3 λ◊ một số χηνη phương.
β. (1,5 điểm):
1. Chứng mινη rằng mọi số νγυψν tố π lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng π =
6m  1 , với m λ◊ số tự νηιν.
2. Τm số νγυψν tố π σαο χηο 8 π 2  1 λ◊ số νγυψν tố.
Χυ 2 (3,0 điểm):
Χηο biểu thức: Π 

ξ
2
ξ2


ξ  ξ ξ  2 ξ ( ξ  1)( ξ  2 ξ )

α. Ρτ gọn Π .
β. Τνη Π κηι ξ  3  2 2 .
χ. Τm γι〈 trị νγυψν của ξ để Π nhận γι〈 trị νγυψν.
Χυ 3 (6,0 điểm):
2

2

 ξ   ξ  10
α) (2,0 điểm) Giải phương τρνη: 
 
 
9

 ξ 1  ξ 1

β) (2,0 điểm) Χηο trước số hữu tỉ m σαο χηο

3

m λ◊ số ϖ tỉ. Τm χ〈χ số hữu tỉ α,

β, χ để: a 3 m 2  b 3 m  c  0
 2
1
1
 ξ  ξ  1    4
ψ
ψ

χ) (2,0 điểm) Giải hệ phương τρνη: 
2
 ξ3  ξ  ξ  1  4

ψ ψ3
ψ2


Χυ 4 (6,0 điểm)
Χηο đường τρ∫ν (Ο ; Ρ), τρν đó lấy một điểm cố định Α ϖ◊ vẽ đường τρ∫ν (Α ; Ρ).
Lấy điểm Η δι động τρν (Α ; Ρ), χ〈τ tuyến của (Ο) đi θυα Α ϖ◊ Η cắt (Ο) tại điểm thứ
ηαι Κ. Dựng τρυνγ trực của đoạn ΗΚ cắt (Ο) tại Β ϖ◊ Χ.
1. Chứng tỏ rằng Η λ◊ trực τm của ταm γι〈χ ΑΒΧ.
2. Τνη số đo γ⌠χ Α của ταm γι〈χ ΑΒΧ.

Χυ 5 (2,0 điểm): Χηο α, β, χ λ◊ βα số dương . Chứng mινη rằng :
α

βχ

β

χα

χ
2
αβ

−−−−−−−−−−−−−−− Hết −−−−−−−−−−−−−−

ThuVienDeThi.com


ΠΗΝΓ ΓΙℑΟ DỤC ςℵ ĐÀO TẠO ΠΗ∧ ΝΙΝΗ

ΗD CHẤM ĐỀ ΤΗΙ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC ΣΙΝΗ GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 − 2013

Μν: Το〈ν
Χυ Ι. (3,0 điểm)
α. ( 1,5 điểm) Χηο ξ  1  3 2  3 4 , Chứng mινη rằng: Π  ξ 3  3ξ 2  3ξ  3 λ◊
một số χηνη phương.
1  3 2 

3

3
ξ  1 2  4  
ξ

 2  1 1 
3

3

 2   . 2  1  2   1


3

3

2

3

2 1

3

3

3

2 1

2.ξ  ξ  1  3 2.ξ  ξ  1 

0,75 đ

1
3

2 1

 2.ξ   ξ  1
3

3

3

0,75 đ

 2ξ 3  ξ 3  3ξ 2  3ξ  1  Π  ξ 3  3ξ 2  3ξ  3  4  22 .

Vậy Π λ◊ số χηνη phương.

β. (1,5 điểm): 1. Chứng mινη rằng mọi số νγυψν tố π lớn hơn 3 đều viết được
dưới dạng π = 6m  1 , với m λ◊ số tự νηιν.
2. Τm số νγυψν tố π σαο χηο 8 π 2  1 λ◊ số νγυψν tố.
0,75
 π  6m  3

− Mọi π νγυψν tố lớn hơn 3, π κηνγ χηια hết χηο 2 ϖ◊ 3 νν  π  6m  2 ,
 π  6m



 π  6m  5
ηαψ π = 6m  1
 π  6m  1

từ đó 

− Ξτ π>3 τηαψ π = 6m  1 ϖ◊ο biểu thức Α= 8 π 2  1 thấy 3  Α3 (loại)
τηαψ trực tiếp π =3, Α=73 (nhận)
π=2, Α=33 (loại).

0,75

2. Χυ 2 (3,0 điểm):

ξ
2
ξ2


ξ  ξ ξ  2 ξ ( ξ  1)( ξ  2 ξ )
Ρτ gọn Π .
Τνη Π κηι ξ  3  2 2 .
Τm γι〈 trị νγυψν của ξ để Π nhận γι〈 trị νγυψν.
ξ
2
ξ2



ξ ( ξ  1)
ξ ( ξ  2)
ξ ( ξ  1)( ξ  2)

Χηο biểu thức: Π 
δ.
ε.
φ.
Π

α



ξ( ξ  2)  2( ξ  1)  ξ  2 ξ ξ  2 ξ  2 ξ  2  ξ  2

ξ ( ξ  1)( ξ  2)
ξ ( ξ  1)( ξ  2)



ξ ξ  2ξ  2 ξ  ξ

ξ ( ξ  1)( ξ  2)

ξ ( ξ  1)( ξ  2) ( ξ  1)

ξ ( ξ  1)( ξ  2) ( ξ  1)

ThuVienDeThi.com

1,0


ξ  3  2 2  ξ  2  2 2  1  ( 2  1) 2  2  1

β

Π

( ξ  1)
2 11
22


 1 2
( ξ  1)
2 1 1
2

ĐK: ξ  0; ξ  1 :
χ

Π

1,0

( ξ  1)

( ξ  1)

1,0

2
ξ 1  2
 1
ξ 1
ξ 1

Học σινη lập luận để τm ρα ξ  4 hoặc ξ  9
3. Χυ 3 (6,0 điểm): Đại số
2

2

 ξ   ξ  10
α) (2,0 điểm) Giải phương τρνη: 
 
 
9
 ξ 1  ξ 1

1)
2,0đ

Đk: ξ  1. Phương τρνη tương đương với
2

 2 ξ2 
ξ 

ξ2
10
2 ξ 2 10
 ξ


 2   2
  0.

 2 2
ξ 1 9
 ξ 1 ξ 1 
 ξ 1  ξ 1 9
2ξ2
10
5
2
Đặt τ  2 , τα được phương τρνη τ 2  τ   0  τ  hoặc τ 
ξ 1
9
3
3
2
2ξ
5
5
 (ϖ nghiệm)
Với τ  , τα được 2
ξ 1 3
3

2ξ2
2
2
1
  συψ ρα ξ   .
Với τ   , τα được 2
ξ 1
3
3
2
2

β) (2,0 điểm) Χηο trước số hữu tỉ m σαο χηο

3

m λ◊ số ϖ tỉ. Τm χ〈χ số hữu tỉ α,

β, χ để: a 3 m 2  b 3 m  c  0
a 3 m 2  b 3 m  c  0 (1)
Giả sử χ⌠ (1)
 b 3 m 2  c 3 m  am  0 (2)
Từ (1), (2)  (b2  ac) 3 m  (a 2 m  bc)
a 2 m  bc
Nếu a 2 m  bc  0  3 m  2
λ◊ số hữu tỉ. Τρ〈ι với giả thiết!
b  ac
b 2  ac  0
b3  abc
 2


2
a m  bc  0 bc  am
 b3  a 3m  b  a 3 m . Nếu β  0 τη 3 m 

0.5

0.5

b
λ◊ số hữu tỉ. Τρ〈ι với giả thiết!
a

 a  0;b  0 . Từ đó τα τm được χ = 0.
Ngược lại nếu α = β = χ = 0 τη (1) λυν đúng. Vậy: α = β = χ = 0

ThuVienDeThi.com

0.5
0.5


 2
1
1
 ξ  ξ  1    4
ψ
ψ

β) (2,0 điểm) Giải hệ phương τρνη: 

2
 ξ3  ξ  ξ  1  4

ψ ψ3
ψ2


2)
2,0đ

 2
ξ 
Đk: ψ  0. Hệ tương đương với 

 ξ3 



1

υ  ξ  ψ
Đặt 
τα được hệ
ξ
ϖ  ,

ψ


1

1
ξ 4
ψ2
ψ
1
1
ξ
  ξ    4.
3
ψ
ψ
ψ

υ 2  υ  2ϖ  4
υ 2  4υ  4  0
υ  2
 2

 3
ϖ  1.
υ  2υϖ  4
υ  υ  4  2ϖ

1

ξ

2

υ  2

ψ
ξ  1

Với 
τα được 
(thoả mν điều kiện)

1.
ξ
ψ

ϖ  1,

 1

ψ

4. Χυ 4 (6,0 điểm)
Χηο đường τρ∫ν (Ο ; Ρ), τρν đó lấy một điểm cố định Α ϖ◊ vẽ đường τρ∫ν (Α ; Ρ).
Lấy điểm Η δι động τρν (Α ; Ρ), χ〈τ tuyến của (Ο) đi θυα Α ϖ◊ Η cắt (Ο) tại điểm thứ
ηαι Κ. Dựng τρυνγ trực của đoạn ΗΚ cắt (Ο) tại Β ϖ◊ Χ.
3. Chứng tỏ rằng Η λ◊ trực τm của ταm γι〈χ ΑΒΧ.
4. Τνη số đo γ⌠χ Α của ταm γι〈χ ΑΒΧ.
(6,0 điểm)
4.1
+ Τα χ⌠: Ηαι ταm γι〈χ ΒΗΧ ϖ◊ ΒΚΧ đối xứng với
(2 đ)
νηαυ θυα ΒΧ, νν χηνγ bằng νηαυ, συψ ρα:
฀
฀

0,25
.
ΒΗΧ
 ΒΚΧ
Α
Γ
Vẽ τια ΧΗ cắt ΑΒ tại Ε ϖ◊ τια ΒΗ cắt ΑΧ tại D.
฀
฀
 ΒΧΚ
Τα χ⌠: ΒΑΚ
(γ⌠χ nội tiếp χνγ chắn χυνγ
0,25
D
฀
฀
฀
ΒΚ ) ϖ◊ ΒΧΗ  ΒΧΚ (ΧΙ λ◊ đường χαο của ταm
Ε
Η
γι〈χ χν ΗΧΚ, vừa λ◊ πην γι〈χ γ⌠χ Χ).
Ο
Ι
฀
฀
Β
Συψ ρα: ΒΑΚ
 ΒΧΕ
0,5
Μ

0
0
฀
฀
฀
฀
Μ◊ ΒΑΚ  ΑΒΧ  90 νν ΒΧΕ  ΑΒΧ  90
Κ
Χ
฀
Dο đó: ΒΕΧ
 900 , νν ΧΕ λ◊ đường χαο thứ ηαι 0,5
Φ
của ταm γι〈χ ΑΒΧ.
Η λ◊ γιαο điểm của ηαι đường χαο ΑΙ ϖ◊ ΧΕ của ταm γι〈χ ΑΒΧ, vậy Η λ◊ trực
0,5
τm của ταm γι〈χ ΑΒΧ.
4.2
+ Trường hợp Η ở τρονγ đường τρ∫ν (Ο):
(4 đ) Kẻ đường κνη ΦΓ của (Ο) ϖυνγ γ⌠χ với δψ ΒΧ tại Μ, τη Μ λ◊ τρυνγ điểm 0,25
của ΒΧ.
Τρονγ đường τρ∫ν (Ο) ηαι δψ ΑΚ ϖ◊ ΦΓ σονγ σονγ νν chắn ηαι χυνγ
฀  ฀ΑΓ  ΚΦ  ΑΓ (1).
0,25
ΚΦ
Tứ γι〈χ ΟΗΑΓ χ⌠ ΟΓ // = ΑΗ = Ρ νν ΟΗΑΓ λ◊ ηνη βνη η◊νη, συψ ρα:
ThuVienDeThi.com


ΑΓ = ΟΗ (2).

0,25
Từ (1) ϖ◊ (2) συψ ρα ΚΦ = ΗΟ, νν ΗΚΦΟ λ◊ ηνη τηανγ χν.
(2 đ) Μ◊ ΒΧ λ◊ τρυνγ trực của ΗΚ νν cũng λ◊ τρυνγ trực của ΟΦ, νν 0,25
1
Ρ
ΟΜ 1
฀
฀
ΟΜ  ΟΦ   χοσ ΦΟΧ

  ΦΟΧ
 600
2
2
ΟΧ 2
1
฀
฀
฀
 ΒΟΧ
 ΦΟΧ
 600 (γ⌠χ nội tiếp ϖ◊ γ⌠χ ở τm χνγ chắn χυνγ
Μ◊ ΒΑΧ
2

ΒΧ)

Α
Π
Η

Θ

Κ

Ι

Ε
Χ

D

Γ

(1 đ)

Ο

Μ

+ Trường hợp Η ở νγο◊ι (Ο) nhưng vẫn ở τρν
nửa đường τρ∫ν (A)chứa điểm Ο, đường κνη ΠΘ
λ◊ tiếp tuyến của (Ο) tại Α.
Κηι đó ταm γι〈χ ΑΒΧ χ⌠ 2 γ⌠χ nhọn ϖ◊ một γ⌠χ
τ (γ⌠χ Χ τ chẳng hạn).
฀  ฀ΑΗΒ  900 , ΗΒΙ
฀  ΙΒΚ
฀
Τα χ⌠: ΗΒΙ
(đối xứng

฀  ΧΑΚ
฀
νηαυ θυα ΒΙ), ΙΒΚ
(γ⌠χ nội tiếp χνγ chắn
฀
฀
χυνγ ΚΧ), νν ΧΑΗ  ΑΗΒ  900 , συψ ρα: ΒΗ 
ΑΧ tại D. Vậy Η λ◊ trực τm của ταm γι〈χ ΑΒΧ.
Chứng mινη tương tự τρν, τα χ⌠ Μ λ◊ τρυνγ điểm

Φ

Β

฀
của ΟΦ ϖ◊ ΒΑΧ
 600

+ Trường hợp Η ở τρν nửa đường τρ∫ν (Α) đường
κνη ΠΘ ϖ◊ κηνγ chứa Ο:
Κηι đó Α λ◊ γ⌠χ τ. Τα cũng chứng mινη tương tự
Θ
Α
Η λ◊ trực τm ταm γι〈χ ΑΒΧ ϖ◊ Μ λ◊ τρυνγ điểm
Φ
của β〈ν κνη ΟΦ.
Π
Ι
฀
฀

Μ
Β
Χ
Συψ ρα ΜΟΧ
 600  ΒΟΧ
 1200
(1 đ)
฀
฀
Μ◊ ΒΦΧ
 ΒΟΧ
 1200 (2 γ⌠χ đối xứng νηαυ θυα
Ο
ΒΧ).
฀
฀
 ΒΦΧ
Nhưng ΒΑΧ
(γ⌠χ nội tiếp χνγ chắn χυνγ
ΒΚΧ.
Κ
฀
 1200
Vậy ΒΑΧ
Χυ 5 (2,0 điểm): Χηο α, β, χ λ◊ βα số dương . Chứng mινη rằng :

0,5
0,5

0,25

0,25
0,5

Η

α

βχ

Β◊ι 5
(2,5đ)

β

χα

ℑπ δυνγ Χσι :
Συψ ρα :
Tương tự :

βχ
1 βχ
=αβχ
 1)
.1  (
2α
α
2
α

α
2α
( dấu ∀ = ∀ κηι α = β + χ)

βχ αβχ
β
2β

αχ
αβχ
χ
2χ

αβ
αβχ

β

χα

0,25
0,25

0,25

χ
2
αβ

( dấu ∀ = ∀ κηι β = χ + α)

( dấu ∀ = ∀ κηι χ = α + β)

χ
2
αβ

dấu ∀ =∀ κηνγ xảy ρα 

0,5

0,5
0,25
0,25

Cộng vế với vế βα bất đẳng thức τρν , τα được :
α

βχ

0,25

0,5
α

βχ

β


χα

ThuVienDeThi.com

χ
2
αβ

0,5