Giải hệ phương trình không mẫu mực bằng phương pháp thế49893

GI I H PH
NG TRÌNH KHƠNG M U M C
B NG PH
NG PHÁP TH
Giáo viên: Nguy n Duy Hoàng.
n v : Tr
it

ng THCS Tam D

ng b i d

ng, Tam D

ng.

ng: H c sinh gi i l p 9.

Ph ng pháp th là m t trong nh ng ph ng pháp có ng d ng nhi u trong
vi c tính giá tr bi u th c, ch ng minh, gi i ph ng trình, h ph ng trình, …
c bi t đ i v i gi i h ph

ng trình khơng m u m c thì ph

ng pháp th là

ph ng pháp đ c s d ng linh ho t, có hi u qu . Tuy nhiên khi s d ng ph ng
pháp th c n l u ý r ng ph ng trình thu đ c ph i các ph ng trình gi i đ c.
Ph

ng pháp th g m: Phép th đ n; Phép th nhóm; Phép th h ng s .

1. Phép th đ n:
a) C s ph ng pháp. Ta rút m t n t m t ph
ph ng trình cịn l i.

ng trình trong h và th vào

b) Nh n d ng. Ph ng pháp này th ng hay s d ng khi trong h có m t ph
trình là b c nh t đ i v i m t n nào đó.

ng

* N u m t ph ng trình trong h có b c nh t đ i v i t t c các n thì rút tùy ý m t
n đ thay vào ph ng trình cịn l i.
Bài 1. Gi i h ph

(1)
2 x  3 y  5
ng trình  2
2
3 x  y  2 y  4 (2)
L i gi i.

5  3y
T (1) ta có x 
th vào (2) ta đ
2

2

 5  3y 
2
c 3
  y  2y  4  0
 2 

 3(25  30 y  9 y 2 )  4 y 2  8 y  16  23 y 2  82 y  59  0  y  1, y 
V y t p nghi m c a h ph


 31 59  
ng trình là 1;1 ;   ;  
 23 23  


1
ThuVienDeThi.com

59
23


* N u m t ph

ng trình trong h có b c nh t đ i v i m t n thì rút n đó đ thay

vào ph ng trình cịn l i. Trong tr
vào khơng ph i b c nh t.
Bài 2. Gi i h ph

ng h p này ph c t p h n b i bi u th c thay

3
2
3 x  (6  y ) x  2 xy  0 (1)
ng trình  2
(2)
 x  x  y  3

L i gi i.
Ph

ng trình (2) là b c nh t v i y nên t (2) suy ra y  3  x 2  x thay vào ph

trình (1) ta đ

ng

c 3 x3  (6  x 2  x  3) x 2  2 x(  x 2  x  3)  0

 x4  4 x3  7 x 2  6 x  0
 x( x 3  4 x 2  7 x  6)  0
 x( x  2)( x 2  2 x  3)  0 (*)

Vì x 2  2 x  3  ( x  1) 2  2  0 m i x nên ph
T đó tìm đ

c nghi m c a h ph

Bài 3. Gi i h ph

Phân tích. Ph

ng trình (*) có nghi m x  0; 2

ng trình là (0; 3); (2;9)

 x 4  2 x 3 y  x 2 y 2  2 x  9 (1)
ng trình  2
(2)
 x  2 xy  6 x  6
ng trình (2) là b c nh t đ i v i y nên ta dùng phép th .
L i gi i.

TH 1: V i x = 0 không th a mãn (2)
TH

2:

V i

6x  6  x2
x  0, (2)  y 
,
2x

th

vào

(1)

ta

2

 6x  6  x2  2  6x  6  x2 
x  2x 
 x 
  2x  9
2
x
2
x




4

3

x  0
(6 x  6  x 2 ) 2
 x  x (6 x  6  x ) 
 2 x  9  x ( x  4) 3  0  
4
 x  4
4

2

Do x  0 nên h ph
Bài 4. Gi i h ph

2

 17 
ng trình có nghi m duy nh t  4; 
4

2
2
ng trình x  y  xy  3 (1) .


2
xy  3x  4

(2)

2
ThuVienDeThi.com

đ

c


L i gi i.
2

 4  3x 2 
4  3x 2
4  3x 2
2
x


x.
3
, thay vµo (1) ta cã:
Tõ (2)  x  0, y 


x
x
x


2
2
 7x 4  23x 2  16  0 . Gi¶i ra ta được x 1 hoặc x =

16
7

Từ x 2 1  x  1  y  1 ;
Tõ x 2 

16

4 7
5 7
x
y
7
7
7

 4 7 5 7   4 7 5 7 
;
;
VËy hÖ cã nghiÖm (x; y) lµ (1; 1); (-1; -1); 

 ; 
7
7
7
7

 


Bài t p v n d ng: Gi i các h ph
 x  y  1
1) 
1
 x  y  2 (1  xy )
x  y 1  0
2)  2 2
x  y  x  0

x  y  4

3) 

2
( x  1) y  xy  4( y  2)

2 x  y  5

4) 

2

ng trình sau:
 x 2  4 xy  3 y 2  x  1
8) 
 x  y  1

 x  y  1  1

9) 

 x  y  2  2 y  2

10 xy  3x  3 y  58
10) 
 x  y  6

2 x  y  1  0

2

 x  xy  y  7
x  2 y  4

5) 

2
2
 x  xy  3 y  2 x  5 y  4  0

 x 2 y 9
6) 
 x  4 y  9

 x  y  2 xy
 x  y  12

11) 

2
2
 x  2 y  3x  2 y  2  0

3 x 3  (5  y ) x 2  2 xy  2 x  0
12)  2
 x  x  y  4
3
2
2

2
3 x  (6  y ) x  2 xy  0
13)  2
2
 x  x  y  3

7) 

3
ThuVienDeThi.com


2. Phép th nhóm:
a) C s ph ng pháp: Ta rút m t bi u th c t m t ph
vào ph ng trình cịn l i.
b) Nh n d ng: Phép th nhóm đ
gi ng nhau.
Bài 1. Gi i h ph

c dùng khi h ph

 x 2  y 2  xy  1  4 y
ng trình 
 y( x  y )2  2 x 2  7 y  2

ng trình trong h và th
ng trình có m t nhóm th

(1)
(2)

.

L i gi i.
T (1) x 2  1  4 y  y 2  xy . Th vào (2) ta có y( x  y )2  2(4 y  y 2  xy )  7 y
y  0

 y ( x  y) 2  2( x  y )  15  0  
( x  y) 2  2( x  y )  15  0


V i y = 0 thì x2 + 1 = 0 (lo i)
 x  y  5
x  y  3

V i ( x  y ) 2  2( x  y )  15  0  

N u x + y = -5, th vào (1) ta có
2
x 2   5  x   x  5  x   1  4  5  x   x 2  9 x  46  0 vô nghi m

N u x + y = 3, th vào (1) ta có
x  1
2
x2   3  x   x  3  x   1  4  3  x   x2  x  2  0 

 x  2

V y h ph

ng trình có nghi m (1; 2); ( 2;5)

Bài 2. Gi i h ph

(1)
 x ( x  y  1)  3  0

ng trình 
.
5
2
(
)
1
0
(2)




x
y

x2

L i gi i.
K: x  0
T (1) suy ra x  y 

3

 1 và thay vào ph
x

ng trình (2), ta có

2
x 1
5
2 3
3 









1
1
0
1
0



2
x2 x
x  x

x  2

4
ThuVienDeThi.com


V y h ph

3
2

ng trình có nghi m (1;1); (2;  )

Bài 3. Gi i h ph

4
3
2 2
 x  2 x y  x y  2 x  9
ng trình  2
 x  2 xy  6 x  6

L i gi i.

 x 2  6 x  6 2
 x 2  xy 2  2 x  9

  2x  9



2

H 

x2  6 x  6
2
2
 x  xy 
 2
x  6x  6
2

 x  xy 
2
2

 x2  6x  6 
x  0
3
x
x
x
2
9
(
4)
0







Khi đó 


2
 x  4


Vì x  0 nên h ph

Bài 4. Gi i h ph

 17 
ng trình có nghi m duy nh t  4; 
4

x  3y

 x  x2  y 2  3
ng trình 
 y  y  3x  0

x2  y 2

(1)
(2)

L i gi i.

K: x 2  y 2  0
T (2) ta có y ( x 2  y 2 )  ( y  3 x )  0
N u y = 0 thì x = 0 (lo i)
N u y  0 thì x 2  y 2 

y  3x
y( x  3 y )
3
. Th vào (1), ta có x 
y
y  3x

 3x 2  3 y 2  3( y  3 x)  3.

 y  3x
y  3x
 3( y  3 x)  
y
 y  1

V i y = 3x thì x = y = 0 (lo i)
V i y = -1 thì x = 0 ho c x = 3
V y h ph

ng trình có nghi m (0; 1); (3; 1)

5
ThuVienDeThi.com

Bài t p v n d ng: Gi i các h ph

ng trình sau:
 xy ( x  2 y )  y  2 x
 xy (2  xy )  y  2 x

x

x  y   4
y
1) 
 x 2  xy  y  0


12) 

2
2
 x  y  x  2 y  5
13)  2 2
 x  y  2 x  y  3

x

x  2 y   6
y
2) 
 x 2  2 xy  6 y  0


2
 xy  2 y  x  4 y  0
14) 
2
2 xy  y  x  2 y  0

 x  y  xy  1

3) 

 x 2  y 2  xy ( x  y )  4 xy
15)  2 2
 x  y  xy ( x  1)

2
2
x  y  2

( x  1)(2 y  1)  x  y  6
( x  1)(3 y  2)  2 x  y  3

4) 

2
2
 xy  x  xy  4 x  1
16)  2 2
 xy  x  2 xy  3 x  1

2 xy  3x  4 y  6

5) 

6 xy  4  x  y

2
2
 x  4 y  4 x  12 y  3

17) 

2
2
 x  y  x  y  4 xy

2y

 2
x  y 
6) 
x
2 xy  2 y 2  x  0


 y ( x  y  1)  3x

18) 

2
2

 y ( y  xy  x)  x

( x  y )( x 2  y 2 )  4
7) 
2
2

1

 x  y  (1  xy )
19) 
2
 xy  x  y  2  0

(2 x  y )( x  y )  2
( x  y  1)( x  2 y  1)  12

8) 

 x 2  y 2  2 x  3 y  9
20)  2
2
2 x  2 y  x  5 y  1

2
 x  2 y  ( x  1)(3 y  1)  11

 xy  x  y  1
3 xy  2 x  y  4

9) 

 x 2  y 2  2( x  y )  7
21) 
 y ( y  2 x)  2 x  10

 x  y  xy (2 x  y )  5 xy
 x  y  xy (3 x  y )  4 xy

10) 

3x 2  4 y 2  6x  4 y  11
22)  2
2
3 x  15y  6x  15y  33

 x 2 y  xy 2  x  y  4
11)  2
2
2 x y  xy  2 x  y  2

3. Phép th h ng s :
a) C s ph ng pháp: T m t ph
thay vào ph ng trình cịn l i.

ng trình ta rút m t s b ng m t bi u th c đ

b) Nh n d ng: Phép th h ng s nh m m c đích đ a ph
tích ho c ph

ng trình đ ng c p.
6
ThuVienDeThi.com

ng trình v ph

ng trình


Bài 1. Gi i h ph

2 x 3  1  5 y  5 x
ng trình  3 3
 x  y  1

1
 2

L i gi i.
Th s 1 t

(2) và (1) ta đ

c:

x  y
x 3  y 3  5  x  y   0   x  y   x 2  xy  y 2  5   0   2
2
 x  xy  y  5  0 (3)

Ph

2

1  3

ng trình (3)   x  y   y 2  5  0 vô nghi m.
2  4


3
V i x  y  2 x3  2 y 3  1  x  y  3 1  4 .

2

V y h ph

2

34 34
;

2
2 


ng trình có nghi m duy nh t  x; y   

Bài 2. Gi i h ph

3
3
(1)
 x  2 y  x  4 y
ng trình  2
v i x, y là s h u t .
2
6 x  19 xy  15 y  1 (2)

L i gi i.
Th s 1 t

(2) và (1) ta đ

a (*) v ph

 x3  2 y 3  x  4 y
c 2
2
3
3
(6 x  19 xy  15 y )( x  4 y )  x  2 y (*)

ng trình 5 x3  5x 2 y  61xy 2  62 y 3  0 là ph

ng trình đ ng c p

b c3
Xét y = 0 thì x = 0 (lo i).
Xét y khác 0, đ t t 

Gi i ph

x
v i t là s h u t , ta đ
y

ng trình v i t h u t , ta có đ

c 5t 3  5t 2  61t  62  0

c t = 2.

K t qu (x,y) là (2; 1), (-2; -1)
Bài 3. Gi i h ph

 x 2  y 2  5
ng trình  5 5
 x  y  11( x  y )

L i gi i.
Ta có x 5  y 5  ( x 2  y 2 )( x 3  y 3 )  x 2 y 2 ( x  y )
Khi đó ta có 5( x3  y 3 )  x 2 y 2 ( x  y )  11( x  y )  ( x  y ) 5( x 2  y 2 )  5 xy  x 2 y 2  11  0
7
ThuVienDeThi.com


V i x+ y = 0 ta đ

 10
10   10 10 

;
;
 ;  

2
2
2
2 

 

c 

V i 5( x 2  y 2 )  5 xy  x 2 y 2  11  0  t 2  5t  14  0 v i t = xy.
Gi i ph

ng trình đ

c t = 2 ho c t = -7
x  y  3
 x  y  3

N u t = 2 thì x 2  y 2  5   x  y 2  9  

N u t = -7 thì x 2  y 2  5   x  y   9 (lo i)
2

K t qu (x, y) là (1; 2), (2;1), (-1; -2), (-2;-1)
Bài t p v n d ng: Gi i các h ph

x2  y2  1
7)  10 10 4 4 1
x  y  x y  8


 x3  y3  9

1) 

 xy ( x  y )  6

 x 3  3x 2 y  20
2)  3
2

 x 2  y 2  xy  3

8)  x 5  y 5 31
 x3  y 3  7


 y  3xy  7
 x( x  y )  6

3) 

3
3
 x  y  18 y  27

 x 4  y 4  6 x 2 y 2  41
9) 
2
2
 xy ( x  y )  10

x2  y2  1
4)  8 8 10

10
 x  y  x  y

x  y  5
10)  4 4
2

x  y  1

5) 

3

3

2

x  y  x  y

2

2 2
 x  y  6 x y  20 xy  81

2

 x  y  2 xy ( x  y )  6
11)  5 5
3

x  y  1
6)  5 5 2
3

ng trình sau:

3

3

 x  y  30 xy  32

2
 x  y  x  y

x  y  1
12)  5 5 2
3

3

2
 x  y  x  y

TÀI LI U THAM KH O
1. Chuyên đ B i d

ng HSG toán THCS.

2. Nâng cao và phát tri n toán 9.
3. Báo Toán h c tu i th , Toán h c tu i tr .
4. Các ngu n trên m ng Internet.
8
ThuVienDeThi.com