Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp ma trận

0

MỞ ðẦU

1. Lý do chọn ñề tài khóa luận
Hệ phương trình vi phân là một khái niệm quan trọng của chuyên
ngành phương trình vi phân. ðây là một chuyên ngành quan trọng của toán
học với nhiều ứng dụng trong khoa học công nghệ. Do ñó trong chương trình
ñào tạo của các trường ñại học, cao ñẳng thuộc các khối ngành kinh tế, kĩ
thuật hệ phương trình vi phân thường ñược ñưa vào như một nội dung bắt
buộc thuộc môn học toán cao cấp. ðối với các cơ sở ñào tạo về ngành toán, hệ
phương trình vi phân ñược ñề cập trong học phần phương trình vi phân. Nhìn
chung việc giải một hệ phương trình vi phân là khá phức tạp trừ một vài dạng
quen thuộc. Vì vậy bên cạnh việc tìm công thức nghiệm người ta còn ñi sâu
nghiên cứu các bài toán về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, bài toán về tính ổn
ñịnh, tính trơn của nghiệm…
Lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính là một lý thuyết khó, bởi
vì nghiệm của hệ ñã cho bao gồm n hàm số cần tìm, và ta phải tìm ñược n
nghiệm như thế ñộc lập tuyến tính thì mới tìm ñược nghiệm tổng quát của
phương trình. Trong các hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân
tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng là ñơn giản nhất. Về mặt lí thuyết người ta ñã
ñưa ra công thức nghiệm của nó dưới dạng hàm mũ của ma trận. Khái niệm
hàm mũ của ma trận giữ vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các hệ tuyến
tính ñối với hệ số hằng. Thông qua hàm số ma trận sẽ biểu diễn ñược nghiệm
của hệ tuyến tính. Tuy nhiên, từ công thức dạng lí thuyết ñể tính ñược tường
minh nghiệm tổng quát trong nhiều trường hợp không hề ñơn giản. Trong
nhiều tài liệu viết về phương trình vi phân cho các khối ngành kinh tế, kĩ
thuật, nông, lâm, y học, … có thể xuất phát từ mục ñích sư phạm người ta
thường không trình bày cách giải hệ này bằng ma trận mà biến ñổi hệ về
phương trình vi phân tuyến tính ñể giải. ðối với nhiều sinh viên ngành toán,
1

khi nghiên cứu về hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng
vẫn thường chỉ tập trung theo cách nói trên. Tuy nhiên,cách này chỉ hạn chế
ñối với việc giải một bài toán cụ thể, không thể phát huy khi chúng ta muốn ñi
sâu vào bản chất ñể nghiên cứu bài toán tổng quát.
Do vai trò quan trọng của hệ phương trình vi phân trong chương trình
ñào tạo của nhiều ngành, ñặc biệt là với ngành ñại học sư phạm toán, tôi chọn
ñề tài: “Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng bằng
phương pháp ma trận” cho khóa luận tốt nghiệp.

2. Mục tiêu khóa luận
•
••
• Trình bày chi tiết từng bước giải một hệ phương trình vi phân tuyến
tính cấp 1 hệ số hằng bằng phương pháp ma trận.
•
••
• ðưa ra hệ thống các ví dụ minh họa nhằm cụ thể hóa các công thức
nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng
trong nhiều trường hợp.
•
••
• Liên hệ công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính
cấp 1 hệ số hằng với các vấn ñề về nghiệm của phương trình vi phân
tuyến tính hệ số hằng.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
•
••
• ðưa ma trận vuông về dạng chuẩn tắc Jordan.

•
••
• Mối liên hệ giữa phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân.
•
••
• Cách giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng.
•
••
• Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng bằng
phương pháp sử dụng ma trận.


2

4. Phương pháp nghiên cứu
Như ñã biết, hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng
thường ñược giải bằng cách biến ñổi hệ về phương trình vi phân tuyến tính ñể
giải. Tuy nhiên cách này chủ yếu rèn luyện kĩ năng tính toán mà không giải
thích cụ thể vì sao có các công thức nghiệm ñó. Việc nghiên cứu giải hệ
phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng sẽ giúp ta giải thích ñược
công thức nghiệm trong một số trường hợp cụ.
Công cụ mà chúng ta sử dụng ñể giải hệ phương trình vi phân tuyến
tính cấp 1 hệ số hằng ñó là ma trận. Do ñó, ñầu tiên chúng ta nghiên cứu giáo
trình, tài liệu tìm cách ñưa một ma trận vuông về dạng chuẩn tắc Jordan. Tiếp
ñó, về mặt lí thuyết người ta có thể ñưa ra công thức nghiệm của hệ phương
trình vi phân tuyến tính cấp một dưới dạng hàm mũ ma trận. Nên chúng ta sẽ
ñi tìm hiểu hàm mũ ma trận, cách tính hàm mũ ma trận.
Từ mối liên hệ giữa phương trình và hệ phương trình, chúng ta biết
cách chuyển phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng dưới dạng ma
trận. Cuối cùng trên cơ sở công thức nghiệm ñã biết và dạng Jordan của ma

trận hệ số, chúng tôi tính toán nghiệm cụ thể nghiệm của hệ phương trình vi
phân trong một số trường hợp cụ thể. Bên cạnh ñó, ta ñi xây dựng hệ thống ví
dụ minh họa nhằm cụ thể hóa các công thức nghiệm trên trong nhiều trường
hợp cụ thể.
Sau khi nghiên cứu ma trận nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến
tính cấp 1 hệ số hằng, ta rút ra ñược mối liên hệ công thức nghiệm của hệ
phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng với các vấn ñề về nghiệm
của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng.




3

5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu
•
••
• ðối tượng: Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng.
•
••
• Phạm vi: Khóa luận nghiên cứu cách giải hệ phương trình vi phân
tuyến tính hệ số hằng bằng phương pháp sử dụng ma trận.

6. Ý nghĩa khoa học
Kết quả nghiên cứu của khóa luận góp phần làm rõ hơn cách giải hệ
phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng bằng cách sử dụng ma trận
thông qua hệ thống các ví dụ minh họa. Qua nội dung khóa luận, chúng ta
một lần nữa thấy ñược vai trò quan trọng của ma trận trong các lĩnh vực toán
học. Khóa luận là tài liệu tham khảo hữu ích ñối với các sinh viên ngành toán
khi học tập và nghiên cứu về hệ phương trình vi phân tuyến tính.

7. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở ñầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận ñược chia thành
ba chương:
Chương 1. Phép thu gọn Jordan
Chương 2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
Chương 3. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng









4

Chương 1: Phép thu gọn Jordan

Trong toàn bộ khóa luận này, chúng tôi giới hạn xét ma trận trên các
trường số thực
ℝ
và trường số phức
ℂ
. Ở chương 1, chúng ta sẽ ñi nghiên
cứu ma trận lũy linh, dạng chuẩn tắc Jordan của một ma trận vuông và dạng
chuẩn tắc Jordan của một tự ñồng cấu.

1.1. Ma trận lũy linh

1.1.1. Ma trận lũy linh
ðịnh nghĩa 1.1. Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn ñiều kiện
0
k
A
=

với một số nguyên dương k nào ñó thì A ñược gọi là một ma trận lũy linh.
ða thức ñặc trưng của ma trận A ñịnh nghĩa bởi
(
)
(
)
det
A
I A
χ λ λ
= −
.
ðể
ki
ể
m tra tính l
ũ
y linh c
ủ
a ma tr
ậ
n A c
ấ

p
(
)
n n
×
ta
xé
t
ñế
n l
ũ
y th
ừ
a
th
ứ
n. N
ế
u
ñế
n l
ũ
y th
ừ
a th
ứ
n mà ch
ư
a nh
ậ

n
ñượ
c ma tr
ậ
n 0 thì ch
ứ
ng t
ỏ
ma
tr
ậ
n A không là l
ũ
y linh.

Ví dụ 1
: Cho A =
0 1 0
0 0 1
0 0 0
 
 
 
 
 
. Chứng minh A là ma trận lũy linh.
Giải
Ta có
2
0 1 0 0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
A
    
    
= =
    
    
    
.
3 2
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
A AA
  
  
= = =
  
  
  
.
Vì A là ma trận vuông cấp 3, A
0
≠
nên A là ma trận lũy linh cấp 3.
5

Ví dụ 2: Cho
1 1 1 0

0 1 0 1
1 2 1 1
0 1 0 1
A
−
 
 
−
 
=
 
− −
 
−
 
. Chứng minh A là ma trận lũy linh.
Giải
Ta có
2
1 1 1 0 1 1 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1
1 2 1 1 1 2 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
A
− −
  
  
− −
  
=

  
− − − −
  
− −
  
0
=
.
Vậy A là ma trận lũy linh cấp 2.

ðịnh lý 1.1. Cho A là ma trận vuông cấp
n n
×
. Thế thì A là ma trận lũy
linh nếu và chỉ nếu
(
)
n
A
χ λ λ
=
.
Chứng minh
(
)
⇒
Nếu
(
)
n

A
χ λ λ
=
thì A là ma trận lũy linh.
ðịnh lý Caley – Hamilton : Cho A là ma trận vuông cấp n. ða thức ñặc trưng
của A bậc n là ñịnh thức
(
)
A
E A
χ λ λ
= −
. Khi ñó
(
)
0
A
χ λ
=
.
V
ớ
i
(
)
n
A
χ λ λ
=
áp d

ụ
ng
ñị
nh lý Caley – Hamilton ta có
0
n
A
=
. Do
ñ
ó A là
ma tr
ậ
n l
ũ
y linh.
(
)
⇐
N
ế
u A là ma tr
ậ
n l
ũ
y linh thì
(
)
n
A

χ λ λ
=
.
G
ọ
i
λ
là m
ộ
t giá tr
ị
riêng c
ủ
a ma tr
ậ
n l
ũ
y linh A
ứ
ng v
ớ
i vect
ơ
riêng
v
c
ủ
a A.
Khi
ñ

ó
Av v
λ
=
. ( V
ớ
i
λ
∈ Κ
: m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng c
ủ
a
Κ
)
Theo gi
ả
thi
ế
t A là ma tr
ậ
n l
ũ
y linh nên
1

p
∃ >
sao cho
0
p
A
=
.
Do
ñ
ó
0
p p
A v v
λ
= =
.
Nh
ư
ng vì
0
v
≠
nên:
0
p
λ
=

0

λ
⇒ =
.
6

V
ậ
y
ñ
a th
ứ
c
ñặ
c tr
ư
ng c
ủ
a A có d
ạ
ng
n
λ
.

Hệ quả 1.1: Nếu A là ma trận lũy linh cấp
(
)
n n
×
thì

0
n
A
=
.

1.1.2. Tính chất ma trận lũy linh
Ví dụ 3
: Cho
1 1
0 1
A
−
 
=
 
 
, tính
2009
A
.
Giải :
Ta có
2
1 1 1 1 1 2
0 1 0 1 0 1
A
− − −
    
= =

    
    
.
3
1 1 1 2 1 3
0 1 0 1 0 1
A
− − −
    
= =
    
    
.
⇒
1
,
0 1
n
n
A n
∗
−
 
= ∀ ∈
 
 
ℕ
.(1)
Chứng minh (1) ñúng với
n

∗
∀ ∈
ℕ
.
Thật vậy, (1) ñúng với
2, 3
n n
= =
( chứng minh trên).
Giả sử (1) ñúng với
n k
=
, nghĩa là ta có
1
,
0 1
k
k
A k
∗
−
 
= ∀ ∈
 
 
ℕ
.
Ta ñi chứng minh (1) ñúng với
1
n k

= +
. Tức là
1
1 ( 1)
,
0 1
k
k
A k
+ ∗
− +
 
= ∀ ∈
 
 
ℕ
.
Thật vậy, ta có:
1
1 1 1 1 ( 1)
0 1 0 1 0 1
k k
k k
A AA
+
− − − +
    
= = =
    
    

( ñúng ).
Vậy
2009
1 2009
0 1
A
−
 
=
 
 
.
7

Ví dụ 4: Cho
2 0
1 0
B
 
=
 
 
. Tính
(
)
2009
2
I B−
.
Giải

2
1 0 2 0 1 0
0 1 1 0 1 1
I B
−
     
− = − =
     
−
     
.
( )
2
2 2
1 0 1 0 1 0
1 1 1 1 0 1
I B I
− −
    
− = = =
    
− −
    
.
Vậy
( ) ( )( )
2009 2008
2 2 2 2
1 0 1 0
1 1 1 1

I B I B I B I
− −
   
− = − − = =
   
− −
   
.
Chú ý: Tổng, tích của hai ma trận lũy linh không nhất thiết là lũy linh. Thật
vậy, xét hai ma trận lũy linh cấp
(
)
2 2
×
sau:
0 1
0 0
A
 
=
 
 
và
0 0
1 0
B
 
=
 
 

.
Ta có
2 2
0
A B
= =
do
ñ
ó
,
A B
là ma tr
ậ
n l
ũ
y linh c
ấ
p 2.
Nh
ư
ng
0 1
1 0
A B
 
+ =
 
 
và
1 0

0 0
AB
 
=
 
 
không là ma tr
ậ
n l
ũ
y linh vì:
(
)
2
A B I
+ =
,
(
)
2
AB AB
=
.
M
ặ
t khác n
ế
u hai ma tr
ậ
n l

ũ
y linh
A
và
B
là t
ự
a giao hoán v
ớ
i nhau
(
)
AB BA
λ
=
thì rõ ràng t
ổ
ng và tích c
ủ
a chúng là l
ũ
y linh.
ðả
o l
ạ
i ta có hai
m
ệ
nh
ñề

quan tr
ọ
ng sau:

Mệnh ñề 1.1. Nếu
,
A B
và
A B
+
là ma trận lũy linh cấp
(
)
2 2
×
thì ta có
AB BA
= −
. Từ ñó suy ra
AB
và
BA
là ma trận lũy linh.
Chứng minh
Theo ñịnh lí 1.1 ta có
(
)
2
2 2
0

A B A B
= = + =
.
8

Vì vậy ta có
(
)
2
0 0
AB BA AB BA AB AABB
+ = ⇒ = − ⇒ = − =
.
Do ñó
AB
là ma trận lũy linh.
Chứng minh tương tự có
BA
là ma trận lũy linh.

Mệnh ñề 1.2. Nếu
,
A B
và
AB
,
BA
là ma trận lũy linh cấp
(
)

2 2
×
thì ta có
A B
+
là ma trận lũy linh và
AB BA
= −
.
Chứng minh
Ta có
(
)
2
2 2
A B A AB BA B
+ = + + +
.
Từ ñó
(
)
(
)
(
)
4 2 2
0
A B AB ABBA BAAB BA
+ = + + + =
.

ðiều này chứng tỏ
A B
+
là ma trận lũy linh và ta thu ñược
AB BA
= −
.

Nhận xét: ðối với ma trận lũy linh lớn hơn cấp
(
)
2 2
×
thì hai mệ
nh
ñề
trên
không còn
ñ
úng.
Ví dụ 5:
Cho
0 0 0
2 0 0
2 2 0
A
 
 
=
 

 
 
và
0 2 1
0 0 1
0 0 0
B
−
 
 
=
 
 
 
.
Dễ kiểm tra
,
A B
và
A B
+
là ma trận lũy linh nhưng
0 0 0
0 4 2
0 4 4
AB
 
 
= −
 

 
−
 

không là lũy linh vì
(
)
3
0
AB
≠
.

1.2. Biến ñổi một ma trận vuông về dạng chuẩn tắc Jordan
1.2.1. Tự ñồng cấu lũy linh
ðịnh nghĩa 1.2.(Xem [3]) Giả sử f :
V V
→
là một tự ñồng cấu của một
không gian vectơ trên trường K, U là một không gian vectơ con của V. Khi ñó
9

U gọi là không gian vectơ con bất biến ñối với f (hay f – bất biến) nếu
(
)
f U U
⊂
.
ðối với tự ñồng cấu
f

:
V V
→
bất kỳ, các không gian con sau ñây ñều là bất
biến
{
}
0 , , er ,Im
V K f f
.
Nế
u có các không gian con
1
U
và
2
U
là
f – b
ấ
t bi
ế
n sao cho
1 2
V U U
= ⊕
thì
1
f U
,

2
f U

ñề
u là các t
ự

ñồ
ng c
ấ
u. M
ỗ
i
v V
∈
sao cho vi
ế
t
ñượ
c duy nh
ấ
t
d
ướ
i d
ạ
ng
1 2
v u u
= +

v
ớ
i
1 1
u U
∈
,
2 2
u U
∈
và
(
)
(
)
(
)
1 2
f v f u f u
= +
.
Khi
ñ
ó vi
ệ
c nghiên c
ứ
u t
ự

ñồ
ng c
ấ
u f trên V có th
ể
quy v
ề
nghiên c
ứ
u các t
ự

ñồ
ng c
ấ
u
i
f
c
ủ
a
i
U

(
)
1,2
i
=
. Nói rõ h

ơ
n n
ế
u
1
f
có ma tr
ậ
n A trong c
ơ
s
ở

(
)
1 2
, , ,
m
e e e
c
ủ
a
1
U
, và
2
f
có ma tr
ậ
n B trong c

ơ
s
ở

(
)
1
, ,
m n
e e
+
c
ủ
a
2
U
, thì
f có ma tr
ậ
n:
0
0
A
B
 
 
 

Trong c
ơ

s
ở

(
)
1 2 1
, , , , , ,
m m n
e e e e e
+
c
ủ
a V. Nh
ư
th
ế

1 2
det det .det
f f f
=
.

ðịnh nghĩa 1.3. (Xem [3]) (i) Tự ñồng cấu f của K – không gian vectơ V trên
trường K gọi là lũy linh nếu có số nguyên dương q ñể
0
q
f
=
.

(
,
q
f f f f
=
 
q lần)
Nếu
1
0
q
f
−
≠
thì q g
ọ
i là b
ậ
c l
ũ
y linh c
ủ
a f.
(ii) C
ơ
s
ở

(
)

1
, ,
n
e e
c
ủ
a V
ñượ
c g
ọ
i là m
ộ
t c
ơ
s
ở
xyclic
ñố
i v
ớ
i f n
ế
u
(
)
(
)
(
)
1 2 2 3

, , , 0
n
f e e f e e f e
= = =
.
(iii) Không gian vect
ơ
con U c
ủ
a V
ñượ
c g
ọ
i là m
ộ
t không gian con xyclic
ñố
i
v
ớ
i f n
ế
u U có m
ộ
t c
ơ
s
ở
xyclic
ñố

i v
ớ
i f.
10
Mệnh ñề 1.3. Giả sử f là một tự ñồng cấu lũy linh khác 0 của K – không
gian vectơ hữu hạn chiều V, q là chỉ số lũy linh của f,
{
}
0,1, ,
k q
∀ ∈
. ðặ
t
(
)
er
k
k
F K f
=
, khi
ñ
ó ta có
{
}
0 1
0
q
F F F V
≠ ≠ ≠

= ⊂ ⊂ ⊂ =
.
Chứng minh
Ta có 0 =
(
)
v
Ker Id
=
(
)
0
0
Ker f F
=
và
(
)
(
)
0
q
Ker f Ker V
= =
.
{
}
0, , 1 ,
i
i q x F

∀ ∈ − ∀ ∈
thì
(
)
0
i
f x
=
suy ra
(
)
(
)
(
)
(
)
1
0 0
i i
f x f f x f
+
= = =
. Do
ñ
ó
1
i
x F
+

∈
nên
1
i i
F F
+
⊂
.
V
ậ
y ta
ñượ
c
{
}
0 1
0
q
F F F V
= ⊂ ⊂ ⊂ =
.
Bây gi
ờ
, gi
ả
s
ử
có
{
}

0,1, , 1
i q
∈ −
sao cho
1
i i
F F
+
=
.
Khi
ñ
ó
, 1
k k
∀ ∈ ≥
ℕ
ta có
x V
∀ ∈
ta có:

1
0
k
f
+
=

(

)
(
)
(
)
1
0
i k i k i
f f x f x
+ − −
⇔ = ⇔ ∈
1
i i
F F
+
=

(
)
(
)
0 0
i k i k
k
f f x f x F
−
⇔ = ⇔ = ⇔ ∈
k q
F V F
⇔ = =

.
ð
i
ề
u này x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
1 1

k k q q
F F F F
+ −
= = = =
.
Vì
f
l
ũ
y linh ch
ỉ
s
ố

q
nên
1
0
q

f
−
≠
t
ứ
c là
1
q q
F V F
−
≠ =
(mâu thu
ẫ
n v
ớ
i trên).
Do
ñ
ó ta luôn có
{
}
0 1
0
q
F F F V
≠ ≠ ≠
= ⊂ ⊂ ⊂ =
.

ðịnh lí 1.2. (Xem [3]) Giả sử f là một tự ñồng cấu lũy linh của không gian

vectơ hữu hạn chiều V. Khi ñó V phân tích ñược thành tổng trực tiếp của các
không gian con xyclic ñối với f. Hơn nữa với mối số nguyên dương s, số
không con s chiều xyclic ñối với f trong mọi phân tích như thế là không ñổi
và bằng:
(
)
(
)
(
)
1 1
2
s s s
rank f rank f rank f
− +
− +

Chứng minh
11
Gọi q là bậc lũy linh của f. ðặt
(
)
1
imf
q
i
V f
−
=
(trong ñó quy ước

0
v
f Id
=
)
thì ta thu ñược một dãy không gian vectơ lồng vào nhau:
{
}
1 2 1 0
0
q q
V V V V V V
−
= ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ =
, và với mỗi
0,1, , 1
i q
= −
,
1 1
:
i i i
f V V V
+ +
→
là toàn cấu.
ðặt
(
)
(

)
1
1 1 1
er
V V K f V
= =
.
Ta xây dựng các không gian vectơ con
j
i
V
với
1
i j q
≤ ≤ ≤
có các tính chất
sau:
1) Với mọi
j
,
1
j n
≤ ≤
,
( ) ( ) ( )
1
:
j j j
n n n
f V V V

−
→
là ñẳng cấu.
2)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
1 2
er
n
n n
K f V V V V
= ⊕ ⊕ ⊕

(
)
1
n q
≤ ≤
.
3)
(
)
1

j
n i
j i n
V V
≤ ≤ ≤
= ⊕

(
)
1
n q
≤ ≤
.
Ta di
ễ
n t
ả
t
ấ
t c
ả

ñ
i
ề
u
ñ
ó b
ở
i s

ơ

ñồ
sau :
(
)
1
1
V

(
)
1
2
V

(
)
2
2
V

…
(
)
1
1
k
V
−

(
)
2
1
k
V
−
…
(
)
1
1
k
k
V
−
−

(
)
1
k
V

(
)
2
k
V

…
(
)
1
k
k
V
−

…
(
)
1
i
V

(
)
2
i
V
…
(
)
1
k
i
V
−

(
)
k
i
V
…
(
)
i
i
V

V
ớ
i
(
)
1
1 1
V V
=
th
ỏ
a mãn 3 tính ch
ấ
t trên.
Gi
ả
s
ử

ñ
ã xây d
ự
ng
ñượ
c các không gian
j
i
V
v
ớ
i
1
i j q
≤ ≤ ≤
th
ỏ
a mãn các
tính ch
ấ
t nói trên
ñ
úng v
ớ
i
1
i n
= −
.

Ta
ñ
i ch
ứ
ng minh không gian
j
i
V

ñ
úng v
ớ
i
i n
=
.
12
Vì
1
:
n n n
f V V V
−
→
là m
ộ
t toàn ánh, nên có th
ể
ch
ọ

n các không gian
(
)
(
)
1 1
, ,
n
n n
V V
−
sao cho
( ) ( ) ( )
1
:
j j j
n n n
f V V V
−
→
(
)
1, , 1
j n
= −
.
Ta ch
ọ
n
(

)
n
n
V
là ph
ầ
n bù tuy
ế
n tính c
ủ
a
(
)
1
n
Ker f V
−
trong
(
)
n
Ker f V
. Nh
ư

v
ậ
y ta có
(
)

n
Ker f V

(
)
(
)
1
n
n n
Ker f V V
−
= ⊕
(
)
(
)
(
)
1 2
1 2

n
n
V V V
= ⊕ ⊕ ⊕
. (1)
Khi
ñ
ó ta có th

ể
ch
ứ
ng minh
ñẳ
ng th
ứ
c sau b
ằ
ng quy n
ạ
p theo n:
( ) ( )
(
)
( )
1
1 1
n
j j
n n i n
j j i n
V V V Ker f V
−
= ≤ < <
 
= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕
 
 
. (2)

K
ế
t h
ợ
p hai
ñẳ
ng th
ứ
c (1) và (2) ta có:
(
)
1
j
n i
j i n
V V
≤ ≤ ≤
= ⊕
.
V
ậ
y h
ọ
các không gian vect
ơ
con
j
i
V
v

ớ
i
1
i j q
≤ ≤ ≤

ñ
ã
ñượ
c ch
ứ
ng minh
b
ằ
ng quy n
ạ
p theo i.
Nh
ậ
n xét r
ằ
ng m
ỗ
i
0
e
≠

trong
(

)
j
q
V
(
1
j q
≤ ≤
)
ñặ
t t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i m
ộ
t không
gian con xyclic (
1
q j
− +
chi
ề
u)
ñố
i v
ớ
i f, v

ớ
i m
ỗ
i c
ơ
s
ở
xyclic g
ồ
m các
vect
ơ
sau:
(
)
(
)
(
)
, , ,
q j
e f e f e
−
  

Nh
ư
th
ế

(
)
(
)
(
)
1

j j j
q q j
V V V
−
⊕ ⊕ ⊕
là t
ổ
ng tr
ự
c ti
ế
p c
ủ
a m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n không

gian con xyclic (
1
q j
− +
chi
ề
u)
ñố
i v
ớ
i f (s
ố
không gian trong t
ổ
ng này b
ằ
ng
(
)
dim
j
q
V
).
Do
ñ
ó
( ) ( ) ( )
(
)

1
1

q
j j j
q q q j
j
V V V V V
−
=
= = ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ là t
ổ
ng tr
ự
c ti
ế
p c
ủ
a m
ộ
t s
ố
h
ữ
u
h
ạ
n không gian con xyclic
ñố
i v

ớ
i f.
Gi
ả
s
ử

W
i
i
V
= ⊕
là m
ộ
t phân tích c
ủ
a V thành t
ổ
ng tr
ự
c ti
ế
p c
ủ
a các không
gian con xyclic
ñố
i v
ớ
i f.

13
Vì m
ỗ
i
W
i

ñề
u là m
ộ
t không gian f -
ổ
n
ñị
nh, cho nên
(
)
(
)
W
i
i
rank f rank f=
∑
.
N
ế
u
W
i

là m
ộ
t không gian vect
ơ
m chi
ề
u xyclic
ñố
i v
ớ
i f thì d
ễ
th
ấ
y r
ằ
ng
( )
W
0 ,
,
i
m s
rank f
m s
m s
−

=


<

≥

Vì th
ế
v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng s ta có
(
)
(
)
(
)
1 1
2
s s s
rank f rank f rank f
− +
− + chính là s
ố
không gian con s chi
ề

u
xyclic
ñố
i v
ớ
i f trong m
ọ
i phân tích c
ủ
a V.

1.2.2. Ma trận lũy linh Jordan
ðịnh lí 1.3. Cho f là một tự ñồng cấu lũy linh khác 0 của K – không gian
vectơ hữu hạn chiều V, q là chỉ số lũy linh của f (
, 2
q q
∈ ≥
ℕ
). Khi ñó tồn tại
một cơ sở của V ñể ma trận J của f ñối với cơ sở ñó có dạng theo chéo khối
(
)
1 1 1 1
, , , , , , , , ,
q q q q
J diag J J J J J J
− −
=

Tức là

1
1
1
1
0
0
q
q
q
q
J
J
J
J
J
J
J
−
−
 
 
 
 
 
 
 
 
=
 
 

 
 
 
 
 
 
 
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱

14
Trong ñó
k
J
là các khối ma trận lũy linh cấp k và số lần xuất hiện của
k
J

trong J là
(
)
(
)
1
k k
rank f rank f
−

−
lần,
1,
k q
∀ =
.
Khi ñó J ñược gọi là ma trận lũy linh Jordan của tự ñồng cấu f.
Chứng minh
Ta kí hiệu
(
)
dim
k k
n G
=
v
ớ
i
{
}
1, ,
k q
∈
,
(
)
er
k
k
F K f

=
.
+) B
ằ
ng quy n
ạ
p ta ch
ứ
ng minh
ñượ
c t
ồ
n t
ạ
i các không gian vect
ơ
con
1 2
, , ,
q
G G G
c
ủ
a V sao cho:
{
}
{ }
( )
( )
1

1
1, , ,
1
1, , 1 ,
k q k q k
k k
k q G F F
k q f G G
− − +
+
∀ ∈ ⊕ =



∀ ∈ − ⊂



+)
Ở
m
ệ
nh
ñề
1.3 ta có
1
q q
F F
−
≠

⊂
nên có ít nh
ấ
t m
ộ
t ph
ầ
n bù
1
G

{
}
0
≠
c
ủ
a
1
q
F
−
trong
q
F
t
ứ
c
1 1
q q

G F F V
−
⊕ = =
.
+)
{
}
1, , 1
i q
∀ ∈ −
, gi
ả
s
ử
t
ồ
n t
ạ
i các không gian vect
ơ
con
1 2
, , ,
i
G G G
c
ủ
a
V sao cho
( )

1
, 1, ,
, 1, , 1
k q k q k i
k k
G F F k i
f G G k i
− − +
+
⊕ = ∀ =



⊂ ∀ = −



Vì
1 1
i q q i
G F F
− − +
⊕ =
nên
1
i q i
G F
− +
⊂
. Do

ñ
ó
{
}
0
i
x G
∀ ∈ −
thì :
-
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
0
q i q i
q i q i
x F f f x f x f x F
− − +
− + −
∀ ∈ ⇒ = = ⇒ ∈

(
)

i q i
f G F
−
⇒ ⊂

-
{
}
0
i q i
G F
−
∩ =
nên
q i
x F
−
∉
hay
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
0

q i q i
q i
f f x f x f x F
− + −
− −
= ≠ ⇒ ∉
(2)
Khi
ñ
ó gi
ả
s
ử

,
C C
′
l
ầ
n l
ượ
t là c
ơ
s
ở
c
ủ
a
(
)

1
,
i q i
f G F
− −
và
C
′
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
ph
ầ
n bù c
ủ
a
(
)
1
i q i
f G F
− −
⊕
trong

q i
F
−
.
G
ọ
i
1
i
G
+
là không gian vect
ơ
sinh b
ở
i
C C
′
∪
thì
( )
1 1 1
1
i q i q
i i
G F F
f G G
+ − − −
+
⊕ =




⊂


.
V
ậ
y ta ch
ứ
ng minh
ñượ
c (1).
15
+) Bây gi
ờ

{
}
1, ,
i q
∀ ∈
. G
ọ
i
(
)
1 1
dim

n G
=
và xét ánh x
ạ
tuy
ế
n tính
i
g
thu
h
ẹ
p c
ủ
a
f
trên
i
G
.
( )
:
i i
g f G G V
x f x
= →
→

Khi
ñ

ó
{
}
0
i
x G
∀ ∈ −
n
ế
u
(
)
0
i
g x
=

(
)
(
)
(
)
1
0 0
q i
q i
f x f x f x F
−
− −

⇒ = ⇒ = ⇒ ∈
(mâu thu
ẫ
n v
ớ
i (2)).
Do
ñ
ó
{
}
0
i
x G
∀ ∈ −
thì
(
)
0
i
g x
≠
hay
(
)
er 0
i
k g
=
t

ứ
c
i
g
là
ñơ
n c
ấ
u.
T
ừ

ñ
ó
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1
dim dim dim dim
i i i i i
n G g f G G n
+ +
= = = ≤ = .

(Do
(
)
1
i i
f G G
+
⊂
)
Theo ch
ứ
ng minh trên thì
1
0
G
≠
nên ta có
1
1
q
n n
≤ ≤ ≤
.
Gi
ả
s
ử
ch
ọ
n

ñượ
c m
ộ
t c
ơ
s
ở

1
B

(
)
1
1,1 1,
, ,
n
e e
=
c
ủ
a
1
G
.
Vì
1 1
g f G
=
là

ñơ
n c
ấ
u nên
(
)
(
)
(
)
{
}
1
1,1 1,2 1,
, , ,
n
f e f e f e là h
ệ

ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n
tính. Mà
(
)
1 2
f G G

⊂
nên
(
)
(
)
(
)
{
}
1
1,1 1,2 1,
, , ,
n
f e f e f e
là h
ệ

ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính
c
ủ
a
2
G
. Do

ñ
ó có th
ể
b
ổ
sung vào h
ệ
này thành m
ộ
t c
ơ
s
ở

2
B

(
)
1
2,1 2,
, ,
n
e e=

c
ủ
a
2
G

trong
ñ
ó
(
)
2, 1, 1
1, ,
j j
e f e j n
= ∀ =
.
Ti
ế
p t
ụ
c quá trình này
{
}
1, ,
i q
∀ ∈
ta ch
ọ
n
ñượ
c các c
ơ
s
ở

i
B

(
)
1
,1 ,
, ,
i i n
e e
=

c
ủ
a
i
G
sao cho
i q
∀ ≠
thì
(
)
1, ,
1, ,
i j i j i
e f e j n
+
= ∀ =
.

Do
0 1
q
G F F
⊕ =
nên
1
q
G F
=
nên các vect
ơ

,1 ,
, ,
q
q q n
e e
trong c
ơ
s
ở

q
G
c
ũ
ng
ph
ụ

thu
ộ
c
1
F
suy ra
(
)
(
)
,1 ,
0
q
q q n
f e f e
= = =
.
Vì
(
)
(
)
1 1 1 2 2 1 2 0

q q q q
V F G F G G F G G G F
− −
= = ⊕ = ⊕ ⊕ = = ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

Mà

{
}
0
0
F
=
nên
i
V G
= ⊕
. Do
ñ
ó
B
=
=
∪
1
m
i
i
B
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ

a V.
16
ðặ
t
(
)
(
)
( )
( )
1 1
1 1
1 ,1 ,
1
1
1 , 1
2
,
, ,

q q
i n i n
i q
i q
n i n
i q
n q n
V Vect e V Vect e
V Vect e
V Vect e

≤ ≤
≤ ≤
+ +
≤ ≤

= =


=




=



T
ứ
c là ta
ñặ
t trong m
ộ
t b
ả
ng các c
ơ
s
ở
c

ủ
a
i
G

ñượ
c xây d
ự
ng nh
ư
v
ậ
y, sao
cho m
ỗ
i vect
ơ
n
ằ
m ngay trên
ả
nh c
ủ
a nó qua f, các vect
ơ
c
ủ
a dòng cu
ố
i có

ả
nh 0 :
i
G
C
ơ
s
ở
c
ủ
a
i
G

1
G

1
1,1 1,
, ,
n
e e

2
G

1
2,1 2,
, ,
n

e e

1 2
2, 1 2,
, ,
n n
e e
+

… …
q
G

1
,1 ,
, ,
q q n
e e

1 2
, 1 ,
, ,
q n q n
e e
+

…
1
, 1 ,
, ,

q q
q n q n
e e
−
+


Kí hi
ệ
u
j
V
là không gian vect
ơ
c
ủ
a V sinh b
ở
i vect
ơ
c
ộ
t th
ứ
j trong b
ả
ng
1, ,
q
j n

∀ =
hay
j
V
(
)
,i j
k i q
Vect e
≤ ≤
=
v
ớ
i k là s
ố
t
ự
nhiên duy nh
ấ
t thu
ộ
c
{
}
1, ,
q
sao cho
1
k k
n j n

−
< <
(coi
0
0
n
=
).
G
ọ
i
′
j
B
(
)
, 1, ,
, , , ,
q j q j k j
e e e
−
=

{
}
1, ,
q
j n
∀ ∈
và k

ñượ
c xác
ñị
nh b
ở
i
1
k k
n j n
−
< ≤

Thì
′
B
=
′
= ∪
1
m
n
j
j
B
=
B
.
Khi
ñ
ó

{
}
1, ,
q
j n
∀ ∈
và k
ñượ
c xác
ñị
nh b
ở
i
1
k k
n j n
−
< ≤
ta có :
(
)
(
)
(
)
, 1, 1, , ,
, , , , 0
k j k j q j q j q j
f e e f e e f e
+ −

= = =
nên
j
V
là
ổ
n
ñị
nh v
ớ
i f và ma
tr
ậ
n c
ủ
a t
ự

ñồ
ng c
ấ
u c
ả
m sinh b
ở
i f trên
j
V
có d
ạ

ng là :
17
1
0 1
0 1

0 1
0
q k
J
− +
 
 
 
 
=
 
 
 
 
⋱ ⋱

Là ma tr
ậ
n Jordan c
ấ
p q – k + 1.
Khi
ñ
ó ma tr

ậ
n c
ủ
a f
ñố
i v
ớ
i
′
B
là J, trong
ñ
ó d
ự
a vào b
ả
ng trên thì
q
J
xu
ấ
t
hi
ệ
n
1
n
l
ầ
n,

1
q
J
−
xu
ấ
t hi
ệ
n
2 1
n n
−
l
ầ
n, … ,
1
J
xu
ấ
t hi
ệ
n
1
q q
n n
−
−
l
ầ
n.

+)
ðặ
t
(
)
{
}
dim 1, ,
i i
d F i m
= ∀ ∈
và
(
)
1
dim
m
d n V
+
= =

{
}
1, ,
i m
∀ ∈
do
1
i q i m i
G F F

− − +
⊕ =
nên
1 1 1
i q q i i q i m i
n d d n d d
− − + − + −
+ = ⇒ = −
.
Nên s
ố
l
ầ
n xu
ấ
t hi
ệ
n c
ủ
a
s
J
trong
J
là
1
q s q s
n n
− + −
−

,
1, ,
s m
∀ =
(coi
0
0
n
=
).
M
ặ
t khác,
(
)
1 1 1 1
, , , , , , , , ,
p p p p p p p
q q q q
J diag J J J J J J
− −
=

p
∗
∀ ∈
ℕ
và
i
J

là
ma tr
ậ
n l
ũ
y linh ch
ỉ
s
ố
i,
1, ,
i m
∀ =
. Do
ñ
ó, ta có:
(
)
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
, , , , , , , , , ,0, ,0
q q q q
J diag J J J J J J
− −
=
.
(
)
3 3 3 3 3 3 3
1 1 3 3

, , , , , , , , , ,0, ,0
q q q q
J diag J J J J J J
− −
=

…
(
)
1 1 1
, , ,0, ,0
q q q
q q
J diag J J
− − −
=
.
0
q
J
=
.
T
ừ

ñ
ó s
ố
l
ầ

n xu
ấ
t hi
ệ
n c
ủ
a
i
J
trong
J
là:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
i i i i
rank J rank J rank f rank f
− −
− = −
,
1, ,
i m
∀ =
.

Nh
ư
v
ậ
y
(
)
1
0
J
=
,
2
0 1
0 0
J
 
=
 
 
,
3
0 1 0
0 0 1
0 0 0
J
 
 
=
 

 
 
, …
18
Khi
ñ
ó ma tr
ậ
n
(
)
0
,
J q
λ
có d
ạ
ng
0
0
0
0
1
1

1

λ
λ
λ

λ
 
 
 
 
 
 
 
 
⋱ ⋱

ñượ
c g
ọ
i là ma tr
ậ
n
Jordan c
ấ
p q
ứ
ng v
ớ
i giá tr
ị

0
λ
.

Ví dụ 6: Cho
( )
4
1 1 1 0
0 1 0 1
1 2 1 1
0 1 0 1
A M
−
 
 
−
 
= ∈
 
− −
 
−
 
ℝ
.
a) Chứng minh rằng A là ma trận lũy linh.
b) Xác ñịnh thu gọn Jordan của A và ma trận khả nghịch P sao cho

1
A PJP
−
=
.
Giải

a) Ta có
2
0, 0
A A
= ≠
nên
A
là ma trận lũy linh chỉ số
2
q
=
.
b) Giả sử
f
là một tự ñồng cấu của
(
)
4,1
V M
=
ℝ
có ma trận ñối với cơ sở
chính tắc là
A
thì
f
là tự ñồng cấu lũy linh chỉ số 2. Với các kí hiệu như ñịnh
lí trên, ta có:
0 1 2 1 2
, , , ,

F F F G G
là các không gian con vectơ con của
(
)
4,1
V M
=
ℝ
thỏa mãn:
{
}
0
0
F
=
,
(
)
1
F Ker A
=
,
(
)
(
)
2
2 4,1
F Ker A V M= = =
ℝ

và
1 1 2
G F F
⊕ =
,
2 0 1
G F F
⊕ =
,
(
)
1 2
f G G
⊂
.
V
ậ
y
1 1
G F V
⊕ =
nên
1
G
là ph
ầ
n bù c
ủ
a
(

)
Ker A
trong V và
(
)
2 1
er
G F K A
= =
.
Ta có
(
)
(
)
2 2
dim dim 2
n G Ker A
= = =
nên
(
)
1 1 2
dim dim 2
n G G
= = =
.
19
+) Ch
ọ

n hai vect
ơ

ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính không thu
ộ
c
(
)
1
F Ker A
=

ñể
t
ạ
o c
ơ
s
ở

c
ủ
a
1
G

, ch
ẳ
ng h
ạ
n
B
(
)
1,1 1,2
,
e e
=
v
ớ
i
1,1
1
0
0
0
e
 
 
 
=
 
 
 
,
1,2

0
1
0
0
e
 
 
 
=
 
 
 
.
+)
ðặ
t
2,1 1,1
1
0
1
0
e Ae
−
 
 
 
= =
 
−
 

 
,
2,2 1,2
1
1
2
1
e Ae
−
 
 
−
 
= =
 
 
−
 

Thì
2
B
(
)
2,1 2,2
,
e e
=
là m
ộ

t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
2
G
.
+)
ðặ
t
1 2,1
u e
=
,
2 1,1
u e
=
,
3 2,2
u e
=
,
4 1,2
u e
=
thì
B

(
)
1 2 3 4
, , ,
u u u u
=
là m
ộ
t c
ơ

s
ở
c
ủ
a V và
1
0
Au
=
,
2 1
Au u
=
,
3
0
Au
=
,

4 3
Au u
=
.
Khi
ñ
ó
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
J
 
 
 
=
 
 
 
là ma tr
ậ
n Jordan c
ủ
a A, và P là ma tr
ậ
n chuy
ể
n t
ừ

c
ơ
s
ở
chính t
ắ
c c
ủ
a
(
)
4,1
M
ℝ
sang
B
là:
1 1 1 0
0 0 1 1
1 0 2 0
0 0 1 0
P
−
 
 
−
 
=
 
−

 
−
 


Mệnh ñề 1.4. (Xem [3]) Cho f là một tự ñồng cấu lũy linh trong không gian
vectơ n chiều V thì không gian V tồn tại một cơ sở sao cho ma trận của f ñối
với cơ sở ñó là ma trận Jordan với các ô Jordan dạng
(
)
,0
J k
.
Chứng minh
20
Giả sử f là tự ñồng cấu lũy linh cấp q. Khi ñó trong không gian V, tồn tại
e


sao cho
(
)
1
0
q
f e
−
≠

và

(
)
0
q
f e
=

.
Ta có
(
)
(
)
{
}
1
, , ,
q
e f e f e
−
  
là ñộc lập tuyến tính.
Giả sử
f
là tự ñồng cấu lũy linh cấp 2. Khi ñó tồn tại
0
e
≠
 
và

(
)
0
f e
≠

,
(
)
2
0
f e
=

.
D
ễ
th
ấ
y
(
)
{
}
,
e f e
 
là
ñộ
c l

ậ
p tuy
ế
n tính. Gi
ả
s
ử

1 2
,
λ λ
∈
K
sao cho:
(
)
( )
( ) ( )
( )
1 2
2
1 2
1 1
0 1
0.
0 0
e f e
f e f e
f e
λ λ

λ λ
λ λ
+ =
⇒ + =
⇒ = ⇒ =
 
 


Thay
1
0
λ
=
vào (1) ta
ñượ
c
2
0
λ
=
.
V
ậ
y
(
)
{
}
,

e f e
 
là
ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính.
Tổng quát: f là tự ñồng cấu lũy linh cấp q. Khi ñó trong không gian V,
e
∃


sao cho
(
)
1
0
q
f e
−
≠

và
(
)
0
q
f e

=

khi ñó
(
)
(
)
{
}
1
, , ,
q
e f e f e
−
  
là ñộc lập
tuyến tính.
Không gian con
1
F
=
L
(
)
(
)
{
}
(
)

1
, , ,
q
e f e f e
−
  
là bất biến ñối với f. Ma trận
của
1 1
f f F
=
trong không gian vectơ
1
F
ñối với cơ sở
(
)
(
)
{
}
1 2
1 2
, , ,
q q
q
u f e u f e u e
− −
= = =
  

là ô Jordan dạng
(
)
,0
J q
.
Ta sẽ chứng minh không gian con
1
F
có bù tuyến tính trong
V
bất biến ñối
với
f
, tức là tồn tại không gian con
1
L
sao cho
1 1
V F L
= ⊕
và
(
)
1 1
f L L
⊆
.
Kí hiệu (H ) là họ các không gian con
G

của
V
ñối với
f
và có
{
}
F G
θ
∩ =
.
Dễ thấy
{
}
θ
∈
(H ) nên (H )
0
≠
.
21
Ta chứng minh rằng với mỗi
G
∈
(H ) nếu
1
F G V
+ ≠
thì tồn tại
1

H
∈
(H )
sao cho
1
G H
⊂
và
1
G H
≠
.
Ta chọn
{
}
1
\
x V F G
∈ +

.
Vì
(
)
q
f x
θ
=

nên tồn tại số nguyên

0
r
≥
sao cho
(
)
r
u f x
= ∈
 
1
F G
+
và
(
)
(
)
1r
f u f x
+
= ∈


1
F G
+
.
Khi ñó tồn tại các vectơ
1

,
y F z G
∈ ∈
 
sao cho
(
)
f u y z
= +
  
.
Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1
q q q q
f y z f y f z f u
θ
− − −
+ = + = =
    
.
Vì
1

,
F G
bất biến ñối với
f
và
{
}
F G
θ
∩ =
nên ta có
(
)
(
)
1 1
q q
f y f z
θ
− −
= =
 
.
Vì
y F
∈

nên ta có biểu diễn tuyến tính dạng:
(
)

(
)
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
1 2
1 1 1
1 2
1
1


q
q
q q q
q
q
y a e a f e a f e
f y f a e a f e a f e
a f e
θ
−
− − −
−
= + + +
⇒ = + + +
⇒ =
   
   



Vì
(
)
1q
f e
θ
−
≠

nên
1
0
a
=
. Vậy thì
(
)
(
)
(
)
1
2 1

q
q
y a f e a f e f F
−

= + + ∈
  
.
Do
ñ
ó t
ồ
n t
ạ
i
1
y F
′
∈

sao cho
(
)
y f y
′
=

.
Vì
1
u F G
∈ +

nên
ñặ

t
1
x u y F G
′ ′
= − ∈ +
  
. Ta có:
(
)
(
)
(
)
f x f u f y y z y z G
′ ′
= − = + − = ∈
      
.
Ta xét không gian con
1
H

{
}
(
)
G x
′
= ∪


. Ta có
1
G H
⊂
và
1
G H
≠
,
(
)
1
f H G
⊂
v
ậ
y
1
H
là không gian b
ấ
t bi
ế
n
ñố
i v
ớ
i f

và G b

ị
ch
ứ
a th
ự
c s
ự

trong
1
H
.
+) Gi
ả
s
ử

1 1
z F H
∈ ∩

. Khi
ñ
ó t
ồ
n t
ạ
i
z G
′

∈

sao cho
z z x
λ
′ ′
= +
  
. Ta có:
x z z
λ
′ ′
= −
  

1
F G
∈ +
.
22
Vì
1
x F G
′
∈ +

nên
0
λ
=

.
Vì
{
}
F G
θ
∩ =
nên
0
z
′
=

. Do
ñ
ó
0
z
=

và
{
}
1
F H
θ
∩ =
.
V
ậ

y không gian con
1
H
thu
ộ
c h
ọ
(
H
).
+) T
ươ
ng t
ự
n
ế
u
1 1
F H V
+ ≠
thì ta ph
ả
i tìm
ñượ
c không gian con
2
H
thu
ộ
c

h
ọ
(
H
) sao cho
1 2 1 2
,
H H H H
⊂ ≠
.
Vì các không gian con thu
ộ
c h
ọ
(
H
) có s
ố
chi
ề
u nh
ỏ
h
ơ
n ho
ặ
c b
ằ
ng
n q

−
,
nên sau h
ữ
u h
ạ
n b
ướ
c ta s
ẽ
tìm
ñượ
c
1
s
L H
= ∈
(
H
) và
1 1
F L V
+ =
. Không
gian con
1
L
là bù tuy
ế
n tính c

ủ
a
1
F
và b
ấ
t bi
ế
n
ñố
i v
ớ
i f .
+) Ta l
ạ
i ti
ế
p t
ụ
c quá trình nh
ư
trên v
ớ
i
1
f L
trong không gian
1
L
. Sau h

ữ
u
h
ạ
n b
ướ
c phân tích
1 2

r
V F F F
= ⊕ ⊕ ⊕
trong
ñ
ó
i
F
v
ớ
i
1 , ,
i r
=
là
không gian con b
ấ
t bi
ế
n
ñố

i v
ớ
i f và trong
i
F
có c
ơ
s
ở

i
q
sao cho ma tr
ậ
n c
ủ
a
i
f F
là ô Jordan d
ạ
ng
(
)
,0
i
J k . Khi
ñ
ó
r

i
i i
Q q
=
= ∪
là c
ơ
s
ở
không gian V .
ðố
i v
ớ
i c
ơ
s
ở
Q, ma tr
ậ
n f có d
ạ
ng:
(
)
(
)
(
)
1 2
,0 ,0 ,0

r
J k J k J k
⊕ ⊕ ⊕
1
2
0 0
0 0
0 0
r
J
J
J
 
 
 
=
 
 
 
 
…
…
… … … …
…


1.2.3. Dạng chuẩn tắc Jordan của một tự ñồng cấu
ðịnh nghĩa 1.4 . (i) Giả sử f:
V V
→

là một tự ñồng cấu tuyến tính của K –
không gian vectơ V. Vectơ
0
α
≠
 
của V mà
(
)
f
α λα
=
 
với một
λ
nào ñó
của trường K, gọi là
m
ột vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng
λ
của f.
(ii) Với
λ

∈
K, xét
(
)
v
Ker f Id

λ
−
. Khi nó khác
{
}
0

thì ñó là không gian
vectơ con của V gồm vectơ
0

và tất cả các vectơ riêng của
f
ứng với giá trị
23
riêng
λ
. Không gian này gọi là
không gian riêng
ứng với giá trị riêng
λ
và
ñược kí kiệu là
λ
P
. Vậy
λ
P
(
)

v
Ker f Id
λ
= −
.
(iii) ða thức bậc n của một ẩn X với hệ số trong K
Khi ñó
(
)
(
)
det
f V
P X f Xid
= −
ñược gọi là ñ
a th
ứ
c
ñặ
c tr
ư
ng
của tự ñồng
cấu
f
.
(
)
(

)
det
A n
P X A XE
= −
ñược gọi là ña thức ñặc trưng của ma trận A của
f,

nghiệm của ña thức này gọi là
giá tr
ị
riêng
của A.
Chú ý
+)
λ
P
là một không gian con
f
– bất biến vì nếu
α
∈

λ
P
thì
(
)
f
α λα

=
 
, cho
nên
(
)
(
)
(
)
(
)
f f f f
α λα λ α
= =
  
tức là
(
)
f
α
∈

λ
P
.
+)
(
)
det

V
f Xid
−

(
)
det
n
A XE
= −
.

Mệnh ñề 1.5. Giả sử U là một không gian vectơ con bất biến với tự ñồng cấu
f :
V V
→
. Gọi
: / /
f V U V U
→
với
(
)
(
)
f f
α α
 
 
=

 
 
 
là ñồng cấu cảm
sinh bởi f . Khi ñó, ña thức ñặc trưng của f bằng tích ña thức ñặc trưng
f U

và của
f
.
Chứng minh
Chọn một cơ sở bất kì
(
)
1 2
, , ,
m
e e e
của U. Rồi bổ sung
n m
−
vectơ ñể ñược
một cơ sở
(
)
1 2
, , , , ,
m n
e e e e
c

ủ
a V.
Vì U là không gian con b
ấ
t bi
ế
n
ñố
i v
ớ
i f cho nên f trong c
ơ
s
ở
trên V có ma
tr
ậ
n d
ạ
ng:
0
B C
A
D
 
=
 
 

Trong

ñ
ó B là ma tr
ậ
n c
ủ
a
f U
trong c
ơ
s
ở

(
)
1 2
, , ,
m
e e e
.
24
Vì
[
]
[
]
[
]
1 2
0
m

e e e
= = = =
trong
/
V U
(
j
e
 
 
là l
ớ
p t
ươ
ng
ñươ
ng ch
ứ
a
j
e
)
nên D chính là ma tr
ậ
n c
ủ
a
f
trong c
ơ

s
ở

[
]
[
]
[
]
{
}
1 2
, , ,
m m n
e e e
+ +
.
Rõ ràng
(
)
(
)
(
)
det det .det
n n n m
A XE B XE D XE
−
− = − −

Hay
(
)
(
)
(
)
.
f
f U
f
P X P X P X
=
.

ðịnh nghĩa 1.5. Giả sử f là là một tự ñồng cấu tuyến tính của K – không gian
vectơ hữu hạn chiều V. Với mỗi
λ

∈
K, xét tập
( )
(
)
{
}
: , 0 à 0
m
V
V m m m f Id

α λ α
∈ ∃ ∈ > − =
  
ℤ
là một không gian vectơ
con của V. Khi nó khác
{
}
0

thì nó gọi là không gian suy rộng của f ứng với
λ
và kí hiệu là
R
λ
.
Khi ñó
dim
P
λ
và dim
R
λ
tương ứng ñược gọi là số chiều hình học và số
chiều ñại số của giá trị riêng
λ
.

Mệnh ñề 1.6. Nếu
λ

là một giá trị riêng của một tự ñồng cấu f :
V V
→
thì
dim
R
λ
bằng bội của
λ
xem như nghiệm của ña thức ñặc trưng.
Chứng minh
Theo ñịnh nghĩa của không gian con suy rộng, ñồng cấu
(
)
V
f id
λ
−
R
λ
là lũy
linh.
Thật vậy, giả sử
{
}
1 2
, , ,
n
e e e
  

là một cơ sở của
R
λ
, thì với mỗi
1, ,
j n
=
có
j
m
ñể
(
)
(
)
0
j
m
V j
f Id e
λ
− =
 
. L
ấ
y
(
)
j
n max m

=
, v
ớ
i
1, ,
j n
=
thì
(
)
(
V
f id
λ
−
R
λ
) 0
n
=
.
Do
ñ
ó
(
)
V
f id
λ
−

R
λ
là
ñồ
ng c
ấ
u l
ũ
y linh nên có d
ạ
ng chính t
ắ
c t
ứ
c là ma
tr
ậ
n c
ủ
a
f
R
λ
có d
ạ
ng chéo kh
ố
i, v
ớ
i các kh

ố
i trên
ñườ
ng chéo có d
ạ
ng :