Bài giảng 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng Phần 350075

BÀI GI NG 1.

IC

NG V

NG TH NG VÀ M T PH NG

---ph n 3--Biên so n: Tr nh Ph

ng Liên

BÀI TOÁN 3. CH NG MINH BA I M TH NG HÀNG
CH NG MINH BA

NG TH NG

NG QUY

Cách gi i
m h ba

 Ch

m th ng hàng

Ngoài cách ch ng minh theo hình h c ph ng thơng th

ng, ta có th dùng cách sau:

Ta ch ng minh ba đi m đó thu c giao tuy n c a hai m t ph ng phân bi t.

m h ba

 Ch

ng th

ng quy

Cách 1. Ch ng minh chúng là giao tuy n c a ba m t ph ng phân bi t
Cách 2. Ch ng minh m t đ

ng th ng đi qua giao đi m c a hai đ

ng th ng còn l i

Ví d 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là m t hình bình hành, O là tâm c a đáy. G i M, N l n
l

t là trung đi m c a SA, SC. G i (P) là m t ph ng qua M, N và B. Xác đ nh giao đi m E, F

c a các đ

ng th ng DA, DC v i mp(P), ch ng t ba đi m E, B, F th ng hàng.

Gi i

c tài tr

b i: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn.

Khánh, Ng c Khánh, Ba
g i email t

ình, Hà N i.

a ch : 6A1, Ti u khu Ng c

ký h c, quý ph huynh và h c sinh g i

hòm th :
Trân tr ng!

n t i: 0977.333.961 ho c


Xét mp(SAC), g i I là giao đi m c a SO v i MN thì I là giao đi m c a SO v i mp(P)
G i K là giao đi m c a BI v i SD thì K là giao đi m c a SD v i mp(P)
Kéo dài MN c t AD t i E
Kéo dài KN c t DC t i F
Khi đó ta có E, B, E là ba đi m chung c a hai m t ph ng (P) và (ABC) nên chúng th ng hàng.
Ví d 2. Cho hình chóp S.ABCD . Trên c nh SC l y đi m E không trùng v i đi m S và C. Xác
đ nh giao đi m F c a đ
Ch ng minh ba đ

ng th ng SD v i mp(ABE). Gi s AB không song song v i CD.

ng th ng AB, CD, EF đ ng quy.
Gi i

G i O là giao đi m c a AC và BD; J là giao đi m c a SO và AE.

Hai m t ph ng (SBD) và (ABE) có hai đi m chung là B, J.
Do đó giao tuy n c a (SBD) và (ABE) là BJ
G i F là giao đi m c a BJ và SD thì F là giao tuy n c a đ

c tài tr

b i: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn.

Khánh, Ng c Khánh, Ba
g i email t

ng th ng SD v i mp(ABE).

ình, Hà N i.

a ch : 6A1, Ti u khu Ng c

ký h c, quý ph huynh và h c sinh g i

hòm th :
Trân tr ng!

n t i: 0977.333.961 ho c


G i I là giao di m c a AB và CD.
Khi đó ba đi m I, E, F cùng thu c hai
m t ph ng (ABE) và (SCD) nên
chúng th ng hàng.
Hay ba đ

ng th ng AB, CD, EF

đ ng quy t i I.

Bài t p
Bài 1. Cho t di n OABC. G i M, N, P là các đi m l n l

t l y trên các đo n th ng OA, OB, OC

và không trùng v i đ u mút các đo n th ng đó. Ch ng minh r ng n u các c p đ
và AB, NP và BC, PM và CA c t nhau l n l

ng th ng MN

t t i D, E, F thì ba đi m D, E, F th ng hàng.

HD. Ba đi m D, E, F n m trên giao tuy n c a hai m t ph ng (MNP) và (ABC)
Bài 2. Cho t di n S.ABC có D, E l n l

t là trung đi m AC, BC và G là tr ng tâm tam giác

ABC. M t ph ng (P) qua AC c t SE, SB l n l
l nl

t t i M, N. M t ph ng (Q) qua BC c t SD và SA

t t i R, T.
a) G i I = AM  DN, J = BR  ET. Ch ng minh r ng S, I, J, G th ng hàng.
b) G i K = AN  DM, L = BT  ER. Ch ng minh r ng S, K, L th ng hàng.

HD.a) S, I, J, G  (SAE)  (SBD)
b) S, K, L  (SAB)  (SDE)

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có O là giao đi m c a AC và BD. M t m t ph ng (P) c t các
c nh SA, SB, SC, SD l n l

c tài tr

b i: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn.

Khánh, Ng c Khánh, Ba
g i email t

t t i M, N, P, Q. Ch ng minh r ng MP, NQ và SO đ ng quy.

ình, Hà N i.

a ch : 6A1, Ti u khu Ng c

ký h c, quý ph huynh và h c sinh g i

hòm th :
Trân tr ng!

n t i: 0977.333.961 ho c


HD.
Cách 1. MP là giao tuy n c a hai m t ph ng (SAC) và (P)
NQ là giao tuy n c a hai m t ph ng (SBD) và (P)

SO là giao tuy n c a hai m t ph ng (SAC) và (SBD)
Suy ra ba đ

ng th ng trên đ ng quy

Cách 2. G i I là giao đi m c a MP và NQ
Mà MP thu c mp(SAC), NQ thu c mp(SBD)
Suy ra I thu c giao tuy n SO c a mp(SAC) và mp(SBD)
V y ba đ
Bài 4. (

c

ng th ng đ ng quy t i I

ng h c k I Tr

a) G i I, J, K l n l

ng THPT chuyên Hà N i - Amsterdam) Cho t di n ABCD.

t là trung đi m c a BC, CD và DB. Ch ng minh r ng các m t ph ng (ADI),

(ABJ), (ACK) cùng đi qua m t đ

ng th ng.

b) G i D ' là tr ng tâm tam giác ABC và E là trung đi m AJ. D ng thi t di n c a t di n c t b i
m t ph ng ( KD ' E ).
c) G i A', B ', C ' l n l

đ

t là tr ng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB. Ch ng minh r ng các

ng th ng AA',BB',CC', DD' đ ng quy t i m t đi m G g i là tr ng tâm c a t di n

d) Ch ng minh r ng G chia các đo n th ng AA',BB',CC', DD' theo cùng m t t s . Tính t s đó.
HD. a) G i O là giao c a BJ và DI. Ba m t ph ng trên cùng đi qua đ

ng th ng AO.

b) G  D' E  IJ ,GK  BC  H ,HD'  AC  L,LE  AD  M.
Thi t di n c n tìm là t giác KHLM.
c) Ch ng minh AA',BB',CC' , AA',BB',DD' chúng là là giao tuy n c a ba m t ph ng, t đó m i
b 3 đ ng th ng đó đ ng quy.
T đó có AA',BB',CC', DD' đ ng quy t i G.

c tài tr

b i: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn.

Khánh, Ng c Khánh, Ba
g i email t

ình, Hà N i.

a ch : 6A1, Ti u khu Ng c

ký h c, quý ph huynh và h c sinh g i

hòm th :
Trân tr ng!

n t i: 0977.333.961 ho c