Tài liệu Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ôn thi đại học năm 2009 pptx

1

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2009
I. Đường thẳng
1. Phương trình đường thẳng
a) Các định nghĩa
• Vectơ
()
;nAB
G
khác vectơ
0
G
và có giá vuông góc với đường thẳng
( )
d
được gọi là vectơ
pháp tuyến của đường thẳng
( )
d

• Vectơ
()
;uab
G
khác vectơ
0
G

có giá song song hoặc trùng với
( )
d
được gọi là vectơ chỉ
phương của đường thẳng
()
d

Nếu
0a ≠
thì
b
k
a
=
được gọi là hệ số góc của đường thẳng
( )
d

• Chú ý:
- Các vectơ pháp tuyến (vectơ chỉ phương) của một đường thẳng thì cùng phương. Nếu
()
;
nAB
G
là vectơ pháp tuyến của
( )
d
thì
( )

.;
k n kA kB
=
G
cũng là vectơ pháp tuyến của
( )
d

- Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì vuông góc nhau. Nếu
()
;
nAB
G
là vectơ pháp tuyến thì
( )
;
uB A
−
G
là vectơ chỉ phương.
b) Các dạng phương trình
• Phương trình tổng quát của đường thẳng
( )
d
đi qua điểm
( )
00
;M xy
có vectơ pháp tuyến
()

;
nAB
G
là:
() ( ) ( )
()
00
00
:0
0
dAxxByy
Ax By C C Ax By
−+ −=
⇔++= =−−

Nhận xét:
Phương trình đường thẳng
()
1
d
song song với
( )
d
có dạng:
( )
1
:0dAxByC
′
++=

Phương trình đường thẳng
()
2
d
vuông góc với
( )
d
có dạng
( )
2
:0
dBxAyC
′′
−+=

Phương trình đường thẳng có hệ số góc
k
và đi qua điểm
( )
00
;
A xy
là:
()
00
ykxx y
=−+

Phương trình đường thẳng đi qua
( ) ( )

;0 , 0;
Aa B b
là:
()
:1
xy
AB
ab
+ =
(phương trình đoạn chắn)
• Phương trình tham số của đường thẳng
( )
d
đi qua
( )
00
;
Nx y
có vectơ chỉ phương
( )
;uab
G

là:

()
0
0
:
x xat

d
yybt
=+
⎧
⎨
=+
⎩
(
t
là tham số)
MATHVN.COM - www.mathvn.com

2
• Phương trình chính tắc của đường thẳng
( )
d
đi qua
( )
00
;Nx y
có vectơ chỉ phương
( )
;uab
G

()
,0ab≠
là:
00
x xyy

ab
−−
=

c) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
()
11 1 1
:0dAxByC++=
và
( )
22 2 2
:0dAxByC+ +=
. Khi đó số giao điểm
của
()
1
d
và
()
2
d
là số nghiệm của hệ phương trình:
()
11 1
22 2
0
:
0
Ax By C

I
Ax By C
+ +=
⎧
⎨
+ +=
⎩

Trong trường hợp
()
1
d
và
()
2
d
cắt nhau thì nghiệm của
( )
I
chính là tọa độ của giao điểm.

2. Khoảng cách và góc
a) Khoảng cách
• Cho đường thẳng
()
:0Ax By CΔ++=
và điểm
( )
00
;A xy

.
Khoảng cách từ điểm
A
đến đường thẳng
( )
d
là:
()
00
/
22
A
Ax By C
d
AB
Δ
+ +
=
+

• Cho hai đường thẳng
()
11 1
:0Ax By CΔ++=
và
( )
22 2 2
:0Ax By CΔ ++=
cắt nhau tại
A

. Khi
đó phương trình hai đường phân giác của góc
A
là:
()
11 12 2 2
1
22 22
11 22
:0
Ax By C Ax B y C
d
AB AB
++ ++
+=
++
và
()
11 12 2 2
2
22 22
11 22
:0
Ax By C Ax B y C
d
AB AB
+ +++
− =
++

b) Góc
Hai đường thẳng
()
1
d
và
()
2
d
cắt nhau tại
A
tạo ra 4 góc, góc nhỏ nhất trong 4 góc đó được
gọi là góc giữa hai đường thẳng
( )
1
d
và
( )
2
d
. Nếu
12
//dd
thì góc giữa hai được thẳng là
0
o
.
Gọi
α
là góc giữa

()
1
d
và
()
2
d
,
β
là góc giữa hai vectơ chỉ phương
()
111
;uab
JG
và
( )
222
;uab
JJG
.
Khi đó: Nếu
090
oo
≤β≤
thì
α=β

Nếu
90 180
oo

<β≤
thì
180
o
α= −β

Trong đó
β
được tính như sau:
12 12 12
22 22
12
11 22
.
cos
.
.
uu aa bb
uu
abab
+
β= =
+ +
JGJJG
JG JJG

Khi đó
12 12
22 22
11 22

cos cos
.
aa bb
abab
+
α= β=
++

Các kết quả trên vẫn đúng nếu thay vectơ chỉ phương bằng vectơ pháp tuyến.
Trường hợp đặc biệt:
Phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
00
;A xy
hợp với
Ox
một góc
α
có hệ số góc
là
tank =α
và có phương trình là:
( )
00
ykxx y
= −+

3. Bài tập về đường thẳng
MATHVN.COM - www.mathvn.com

3
a) Bài tập cơ bản
Bài 1. (Phương trình các đường thẳng cơ bản trong tam giác).
Cho tam giác ABC có A(1;2), B(-3; 4) và C(2;0).
a) Viết phương trình đường trung tuyến AM.
b) Viết phương trình đường cao BK
c) Viết phương trình đường trung trực của AB.
Bài 2. (Tìm tọa độ các điểm đặc biệt trong tam giác)
Cho tam giác ABC có A(0;1), B(-2; 3) và C(2;0)
a) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
c) Viết phươ
ng trình đường thẳng qua IH và chứng minh rằng IH đi qua trọng tâm G của tam
giác ABC.
Bài 3. (Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng).
Cho 2 điểm A(1;2) và B(-3; 3) và đường thẳng
( )
:0dxy
− =

a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên
( )
d

b) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua d.
c) Tìm giao điểm của
()
BD
và
()

d

Bài 4. (Tìm điểm trên đường thẳng cách một điểm khác một khoảng cho trước)

Cho đường thẳng
22
:
12
x t
y t
=− −
⎧
Δ
⎨
=+
⎩
và điểm M(3;1).
a) Tìm trên Δ điểm A sao cho
13AM
=

b) Tìm trên Δ điểm B sao cho MB là ngắn nhất.
Bài 5. (Viết phương trình đường thẳng qua một điểm cách một điểm một khoảng cho
trước)
Cho điểm
()
1;1A
và điểm
()
2; 2B

−
. Viết phương trình đường thẳng
( )
d
qua
A
và cách
B
một
khoảng bằng
5
.
Bài 6. (Viết phương trình đường thẳng hợp với một đường thẳng cho trước một góc)
Cho đường thẳng
()
10xy
Δ+−=
. Viết phương trình đường thẳng
( )
d
hợp với
()
Δ
một góc
a)
0
90
b)
0
45

c)
0
60
d)
0
30

b) Bài tập nâng cao
Bài 1. (B – 2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm
( )
1; 1A
và
()
4; 3B
−
. Tìm điểm C
thuộc đường thẳng
210xy−−=
sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
Bài 2. (A – 2006) Trong mặt phẳng tọa độ, cho các đường thẳng:
() () ( )
123
:30 :40 :20dxy dxy dx y
++= −−= − =

MATHVN.COM - www.mathvn.com

4
Tìm tọa độ điểm M trên
()

3
d
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
()
1
d
bằng hai lần
khoảng cách từ M đến
( )
2
d

Bài 3. (D – 2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh
()()()
1; 0 ; 4; 0 ; 0;ABCm
−
với
0m ≠
. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định
m để tam giác GAB vuông tại G.
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm
1
;0
2
I
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
,
phương trình đường thẳng AB là

220xy− +=
và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D
biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
Bài 5. Cho đường thẳng
()
:240dx y
−+=
và điểm
( )
2; 0A
−
. Tìm điểm B trên trục hoành và
điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC vuông cân tại C.

Bài 6 (A – 2002). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc cho tam giác ABC vuông tại
A, phương trình đường thẳng BC là
330xy− −=
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán
kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 7. (B – 2003) Trong mặt phẳng tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có
n
,90
o
AB AC BAC
==
. Biết
()
1; 1M
−
là trung điểm cạnh BC và

2
;0
3
G
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
là trọng tâm tam giác
ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
Bài 8 (A – 2004). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm
()
2; 0A
và
()
3; 1B − −
. Tìm
tọa độ trực và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
Bài 9 ( A – 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
() ( )
12
:0 :210dxy d xy
−= +−=

Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc
1
d
, đỉnh
C
thuộc
2

d
và các
đỉnh B, D thuộc trục hoành.

Bài 11 (B – 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ điểm
C
của tam
giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm
C
trên đường thẳng
AB
là
( )
1; 1H
− −
.
Đường phân giác trong của góc
A
có phương trình
20xy− +=
và đường cao kẻ từ
B
có
phương trình
4310xy+−=




Bài 10 ( B – 2007) Trong mặt phẳng tọa độ với hệ tọa độ Oxy, cho điểm

()
2; 2A
và các đường
thẳng:
() ()
12
:20 :80dxy dxy
+−= +−=

MATHVN.COM - www.mathvn.com

5
Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc các đường thẳng
( )
1
d
và
( )
2
d
sao cho tam giác ABC
vuông cân tại A.
Bài 12. Cho hai đường thẳng
1
3
:
31
x y
d
−

=
−
và
2
3
:
2
x t
d
y t
= +
⎧
⎨
= −
⎩
và điểm M(1,2)
Tìm trên
1
d
điểm A và
2
d
điểm B sao cho A, B đối xứng nhau qua M.
Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
cho tam giác ABC vuông tại
C
. Khoảng cách từ
trọng tâm
G

đến trục hoành bằng
1
3
và tọa độ hai đỉnh
( ) ( )
2; 0 , 2; 0AB
−
. Tìm tọa độ đỉnh
C
.
Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
cho hai điểm
( ) ( )
0; 4 , 5; 0AB
và đường thẳng
()
:2 2 1 0dxy
−+=
. Lập phương trình hai đường thẳng lần lượt đi qua
,A B
nhận đường thẳng
()
d
làm đường phân giác.
Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho đường thẳng
( )
:220dx y

− +=
và điểm
()
0; 2A
. Tìm trên
()
d
hai điểm
,B C
sao cho tam giác
ABC
vuông tại
B
và
2
AB BC
=
.
Bài 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
cho hai đường thẳng
()
1
:3 4 6 0
dxy
−−=
và
()
2
:5 12 4 0

dxy
++=
cắt nhau tại điểm
M
. Lập phương trình đường thẳng qua
()
1;1
K
cắt
()()
12
,
dd
tai hai điểm
,
AB
sao cho tam giác
MAB
cân tại
M
.
Bài 17. Cho 3 đường thẳng
() ( ) ( )
12 3
:0,:20,:210
dxy dx y dxy
+= + = − +=
. Viết phương trình
các cạnh của tam giác
ABC

; biết
A
là giao điểm của
( )
1
d
và
( )
2
d
;
()
3
,
B Cd
∈
và tam giác
BAC

vuông cân tại
A

Bài 18 – 20. Các bài cực trị cơ bản.
Bài 18. Cho đường thẳng
()
:10
dxy
++=
và hai điểm
( ) ( )

2;3 , 2; 0
AB
. Tìm điểm
M
trên đường
thẳng
( )
d
sao cho:
a)
MAMB
+
nhỏ b)
MAMB
−
lớn nhất
Bài 19. Cho đường thẳng
()
:220
dx y
+−=
và hai điểm
( ) ( )
2; 0 , 2; 6
AB
−
. Tìm điểm
N
trên
đường thẳng

( )
d
sao cho: a)
NA NB
+
là nhỏ nhất b)
NA NB
−
lớn nhất
Bài 20 Bài 3. Cho đường thẳng
()
:10
dxy
+ +=
và hai điểm
( )( )
2;3 , 4;1
AB
−
. Tìm điểm
M
trên
đường thẳng
( )
d
sao cho: a)
MAMB
+
JJJG JJJG
nhỏ nhất. b)

22
23MAMB+
nhỏ nhất.
b) Chuyên đề - Xác định các yếu tố của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước
Dạng 1: Biết tọa độ đỉnh và phương trình các đường cùng tính chất.
Cho tam giác ABC có điểm A(2;2), hai đường thẳng
1
:9 3 4 0
dxy
− −=
,
2
:20
dxy
+−=
.
Sử dụng giả thiết này để giải các bài toán sau.
MATHVN.COM - www.mathvn.com