Tài liệu Không gian vecto doc

gth1 1
CHƯƠNG MỘT
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
gth1 2
KHÔNG GIAN VECTƠ
Ta thường ký hiệu
∑ — : tập hợp các số thực .
∑ ¬ : tập hợp các số phức .
∑  : một trong hai tập hợp — và ¬ .
gth1 3
Đònh nghóa . Cho E là một tập khác trống . Ta nói E là một không
gian vectơ trên  , nếu có
nội luật + : E μ E Ø E và
ngoại luật . :  μ E Ø E có các tính chất sau
(i) Luật + có tính giao hoán , phối hợp, có phần tử
trung hoà 0, và với mọi x trong E \ {0} có một phần tử đối
ký hiệu là -x , nghóa là (E, +) là một nhóm cộng giao hoán.
(ii) Ngoại luật . phối hợp với nội luật + trong E và các nội luật
trong , nghóa là với mọi x và y trong E ; t và s trong  ta
có
t.(x + y) = t.x + t.y ,
(t+s).x = t.x + s.x ,
(t.s).x =
t.(s.x) .
(iii) 1.x = x.
gth1 4
Thí dụ 1 . Cho n là một số nguyên dương và đặt
E = { x = (x
1
, . . . , x
n

) : x
1
, . . . , x
n
œ — }
nội luật + : E μ E Ø E
(x
1
, . . . , x
n
) + (y
1
, . . . , y
n
) = (x
1
+y
1
, . . . , x
n
+y
n
)
và
ngoại luật . : — μ E Ø E
t. (x
1
, . . . , x
n
) = (tx

1
, . . . , t x
n
)
Lúc đó E là một không gian vectơ trên — .
Ta thường dùng —
n
để ký hiệu không gian vectơ này .
gth1 5
Thí dụ 2 . Cho n là một số nguyên dương và đặt
E = { x = (x
1
, . . . , x
n
) : x
1
, . . . , x
n
œ ¬ }
nội luật + : E μ E Ø E
(x
1
, . . . , x
n
) + (y
1
, . . . , y
n
) = (x
1

+y
1
, . . . , x
n
+y
n
)
và
ngoại luật . : ¬ μ E Ø E
z. (x
1
, . . . , x
n
) = (z x
1
, . . . , z x
n
)
Lúc đó E là một không gian vectơ trên ¬ .
Ta thường dùng ¬
n
để ký hiệu không gian vectơ này .
gth1 6
Thí dụ 3 . Cho E là tập hợp tất cả các đa thức thực trên một
khoảng đóng [a , b] .
nghóa là f œ E nếu và chỉ nếu có một số nguyên dương k và
k +1 số thực
a
0
,

a
1
, . . . ,
a
k
sao cho
f (t) =
a
0
+
a
1
t + . . . +
a
k
t
k
" t œ [a , b] .
nội luật + : E μ E Ø E
(f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b]
và ngoại luật . : — μ E Ø E
(s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b]
Lúc đó E là một không gian vectơ trên — .
Ta thường dùng P([a , b] ,—) để ký hiệu không gian vectơ này .
gth1 7
Thí dụ 4 . Cho E là tập hợp tất cả các đa thức thực bậc nhỏ hơn
hay bằng N trên một khoảng đóng [a , b] .
nghóa là f œ E nếu và chỉ nếu có N +1 số thực
a
0

,
a
1
, . . . ,
a
N
sao cho f (t) =
a
0
+
a
1
t + . . . +
a
N
t
N
" t œ [a , b] .
nội luật + : E μ E Ø E
(f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b]
và ngoại luật . : — μ E Ø E
(s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b]
Lúc đó E là một không gian vectơ trên — . Ta thường dùng
P
N
([a , b] ,—) để ký hiệu không gian vectơ này .
gth1 8
Thí dụ 4 . Cho E là tập hợp tất cả các hàm số thực liên tục
trên một khoảng đóng [a , b] .
nội luật + : E μ E Ø E

(f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b]
và ngoại luật . : — μ E Ø E
(s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b]
Lúc đó E là một không gian vectơ trên — .
Ta thường dùng C([a , b] ,—) để ký hiệu không gian vectơ này .
gth1 9
Đònh nghóa . Cho E là một không gian vectơ F và A là một tập
hợp con của E . Ta nói :
† A là một tập độc lập tuyến tính nếu với mọi tập con
hữu hạn {a
1
, ,a
n
} các phần tử khác nhau trong A và
với mọi họ con hữu hạn {a
1
, ,a
n
} trong F sao cho a
1
a
1
+ +a
n
a
n
=0 thì
a
1
= . . . = a

n
= 0 .
† A là một tập sinh của E nếu
E = {a
1
a
1
+ . . .+ a
n
a
n
: a
1
, . . . , a
n
œ A ; a
1
, . . . ,a
n
œF}.
† A là một cơ sở của E nếu A là một tập độc lập tuyến tính
và tập sinh của E.
gth1 10
† Nếu A là một cơ sở của E và A có hữu hạn phần tử , ta nói
E là một không gian vectơ hữu hạn chiều và số phần tử của A
được gọi là số chiều của E và được ký hiệu là dim (E ) .
† Nếu A là một cơ sở của E và A có vô hạn phần tử , ta nói
E là một không gian vectơ vô hạn chiều và viết dim (E ) = ¶ .
gth1 11
Đònh nghóa . Cho E là một không gian vectơ trên F,

cho || || là một ánh xạ từ E vào —, ta nói || || là chuẩn trên
E , nếu || || có các tính chất sau:
(i) || x || ¥ 0 " x œ E , và || x || = 0 nếu và chỉ nếu x = 0 .
(ii) || tx || = |t| || x || " x œ E , t œF.
(iii) || x + y ||  || x || + || y || " x , y œ E .
Nếu || || là một chuẩn trên E , ta nói (E, || ||) là một không gian
vectơ đònh chuẩn , hoặc một không gian đònh chuẩn . Nếu không
có gì để sợ lầm lẩn , ta ghi E thế cho (E, || ||) .
gth1 12
Thí dụ 1 . Cho x = (x
1
, . . . , x
n
) trong —
n
. Đặt
|| x ||
1
= | x
1
| + . . . + | x
n
|
|| x ||
2
= ( | x
1
|
2
+ . . . + | x

n
|
2
)
1/2
|| x ||
¶
= max{ | x
1
| , . . . , | x
n
| }
Lúc đó || ||
1
, || ||
2
và || ||
¶
là các chuẩn trên —
n
.
gth1 13
Thí dụ 2 . Cho C([0,1],
—
) là họ tất cả các hàm số liên tục từ
khoãng [0 , 1] vào
—
.
C([0,1],
—

) là một không gian vectơ với các luật cộng và nhân
của các hàm số thực.
Ta đặt
|| f || = sup { | f(t) | : t

[0 , 1 ] }
 f  C([0,1],
—
)
Lúc đó (C([0,1],
—
) , ||.||) là một không gian đònh chuẩn
gth1 14
Đònh nghóa . Cho (E,||.||) là một không gian đònh chuẩn
(trên ) và f là một ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương
Õ
vào E. Đặt
x
n
= f(n)  n œ
Õ
.
Ta gọi {x
n
} là một dãy trong không gian đònh chuẩn E
Thí dụ 1. {sin(n
3
+ 2n)} là một dãy trong khoãng đóng [-1 , 1]
Đònh nghóa . Cho E là một tập hợp khác trống và f là một
ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương

Õ
vào E. Đặt
x
n
= f(n)  n œ
Õ
.
Ta gọi {x
n
} là một dãy trong E
gth1 15
Thí dụ 2 . Cho C([0,1],
—
) là họ tất cả các hàm số liên tục từ
khoãng [0 , 1] vào
—
.
C([0,1],
—
) là một không gian vectơ với các luật cộng và nhân
của các hàm số thực.
Ta đặt
|| f || = sup { | f(t) | : t

[0 , 1 ] }
 f  C([0,1],
—
)
Lúc đó (C([0,1],
—

) , ||.||) là một không gian đònh chuẩn
Ta sẽ cho một thí dụ về một dãy { u
n
} trong C([0,1],
—
)
gth1 16
Đặt
u
n
(t)
  1
1
2
2
1
tt t
n
n

!
 t  [0 , 1]  n 
Õ
Lúc đó u
n
là một hàm số liên tục từ [0,1] vào
—
.
Ta sẽ cho một thí dụ về một dãy { u
n

} trong C([0,1],
—
)
Vậy { u
n
} là một dãy trong C([0,1],
—
)
gth1 17
Cho { x
n
} là một dãy trong một không gian đònh chuẩn
(E ,||.|| ) và một phần tử a trong E .
Ta nói dãy { x
n
} hội tụ về a nếu và chỉ nếu
  > 0  N() 
Õ
sao cho
|| x
n
- a || <   n > N()
gth1 18
Đặt
a (t) = t  t  [0 , 1]
x
n
(t) = t + sin(n
-1
t)  n 

Õ
 t  [0 , 1]
Chứng minh {x
n
} hội tụ về a trong (C([0,1], ||.||)
Chứng minh   > 0  N() 
Õ
sao cho
|| x
n
- a || <   n > N()
Cho trước một số thực dương  , tìm một số nguyên dương
N() sao cho
|| x
n
- a || <   n > N()
gth1 19
Cho trước một số thực dương  , tìm một số nguyên dương
N() sao cho
( || f || = sup { | f(t) | : t

[0 , 1 ] } )
sup { |x
n
(t) - a(t) | : t

[0 , 1 ] } < 
 n > N()
|x
n

(t) - a(t) | < 
 n > N()  t  [0 , 1]
|| x
n
- a || <   n > N()
gth1 20
Cho trước một số thực dương  , tìm một số nguyên dương
N() sao cho
a (t) = t  t  [0 , 1]
x
n
(t) = t + sin(n
-1
t)  n 
Õ
 t  [0 , 1]
|t + sin(n
-1
t) - t | <   n > N()  t  [0 , 1]
| sin(n
-1
t) | <   n > N()  t  [0 , 1]
( n
-1
 n
-1
t  | sin(n
-1
t) |  t  [0 , 1] )
n

-1
<   n > N()  t  [0 , 1]
|x
n
(t) - a(t) | <   n > N() ,  t  [0 , 1]
gth1 21
Đònh nghóa . Cho g là một ánh xạ từ tập hợp các số nguyên
dương
Õ
vào
Õ
. Đặt
n
k
= g(k)  k 
Õ
.
Ta dùng {n
k
} thay cho {x
n
} vì ta thường ký hiệu các số
nguyên dương là n
Ta thấy {n
k
} là một dãy trong
Õ
gth1 22
Cho E là một tập hợp khác trống ,
g là một ánh xạ từ

Õ
vào
Õ
và
f là một ánh xạ từ
Õ
vào E.
Đặt
x
n
= f(n)  n œ
Õ
.
b
n
= fog(n)  n œ
Õ
.
Ta thấy fog cũng là một ánh xạ từ
Õ
vào E .
Vậy {x
n
} và {b
n
} là các dãy trong E
gth1 23
Cho { x
n
} là một dãy trong một không gian đònh chuẩn

(E ,||.|| ) và một phần tử a trong E . Ta nói dãy { x
n
} hội
tụ về a nếu và chỉ nếu
  > 0  N() 
Õ
sao cho
|| x
n
- a || <   n > N()
Cho E là một tập hợp khác trống , g là một ánh xạ từ
Õ
vào
Õ
và f là một ánh xạ từ
Õ
vào E. Đặt
x
n
= f(n)  n œ
Õ
.
b
n
= fog(n)  n œ
Õ
.
Ta nói {b
n
} là một dãy con của {x

n
} nếu g tăng nghiêm cách.
Lúc đó ta ký hiệu b
n
=
k
n
x
( b
n
= fog(n) = b
n
= f (g(n) ) = f(n
k
) )
gth1 24
Nếu g(n) = 5n+3 ta ký hiệu là x
5n+3
k
n
x
Nếu g(n) = 2n ta ký hiệu là x
2n
k
n
x
Nếu g(n) = 2n+1 ta ký hiệu là x
2n+1
k
n

x
gth1 25
Cho { x
n
} là một dãy trong một không gian đònh chuẩn
(E ,||.|| )
Ta nói dãy { x
n
} là một dãy Cauchy nếu và chỉ nếu
  > 0  N() 
Õ
sao cho
|| x
n
- x
m
|| <   n > m > N()
gth1 26
Cho { x
n
} là một dãy hội tụ về a trong một không gian đònh
chuẩn (E ,||.|| ) . Chứng minh { x
n
} là một dãy Cauchy .
  > 0  N() 
Õ
sao cho
|| x
n
- a || <   n > N()

  > 0  N() 
Õ
sao cho
|| x
n
- x
m
|| <   n > m > N()
 ’ > 0  M(’) 
Õ
sao cho
|| x
n
- x
m
|| < ’  n > m > M(’)
gth1 27
Cho { x
n
} là một dãy hội tụ về a trong một không gian đònh
chuẩn (E ,||.|| ) . Chứng minh { x
n
} là một dãy Cauchy .
  > 0  N() 
Õ
sao cho
|| x
n
- a || <   n > N()
 ’ > 0  M(’) 

Õ
sao cho
|| x
n
- x
m
|| < ’  n > m > M(’)
Cho một  > 0 ta có N() 
Õ
sao cho
|| x
n
- a || <   n > N()
Cho một ’ > 0 tìm M(’) 
Õ
sao cho
|| x
n
- x
m
|| < ’  n > m > M(’)
gth1 28
Cho một  > 0 ta có N() 
Õ
sao cho
|| x
n
- a || <   n > N()
Cho một ’ > 0 tìm M(’) 
Õ

sao cho
|| x
n
- x
m
|| < ’  n > m > M(’)
|| x
n
- x
m
|| § || x
n
- a || + || a - x
m
||
|| x
n
- x
m
|| §  +   n , m > N()
gth1 29
Cho một  > 0 ta có N() 
Õ
sao cho
|| x
n
- a || <   n > N()
Cho một ’ > 0 tìm M(’) 
Õ
sao cho

|| x
n
- x
m
|| < ’  n > m > M(’)
|| x
n
- x
m
|| § || x
n
- a || + || a - x
m
||
|| x
n
- x
m
|| §  +   n , m > N()
 +  V ’ M(’) V N()
Cho một ’ > 0 , ta chọn  =  ’ và
M(’) = N() . Ta có
|| x
n
- x
m
|| § || x
n
- a || + || a - x
m

||
§  +  = ’  n > m > M(’)
gth1 30
Cho E là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực
Cho f (t) = a
0
+ a
1
t + . . . + a
m
t
m
. Đặt
|| f || = max { | a
0
| , | a
1
| , . . . , | a
m
| }
Lúc đó (E , ||.||) là một không gian đònh chuẩn.
Đặt u
n
(t) = t + 2
-1
t
2
+ . . . + n
-1
t

n
Ta thấy {u
n
} là một dãy trong E
Ta sẽ chứng minh {u
n
} là một dãy Cauchy trong E . Nhưng
không có v trong E sao cho {u
n
} hội tụ về v .
gth1 31
  > 0  N() 
Õ
sao cho
|| u
n
- u
m
|| <   n > m > N()
Cho một  > 0 , tìm N() 
Õ
sao cho
|| u
n
- u
m
|| <   n > m > N()
|| u || = max { | a
0
| , | a

1
| , . . . , | a
k
| } nếu
u (t) = a
0
+ a
1
t + . . . + a
k
t
k
u
n
(t) = t + 2
-1
t
2
+ . . . + n
-1
t
n
u( t ) = u
n
(t) - u
m
(t) = (m+1)
-1
t
2

+ . . . + n
-1
t
n
|| u
n
- u
m
|| = (m+1)
-1
 n > m
Cho một  > 0 , tìm N() 
Õ
sao cho
|| u
n
- u
m
|| = (m+1)
-1
<   n > m > N()
Suy ra ta cần chọn N() sao cho N()
-1
< 
Vậy {u
n
} là một dãy Cauchy trong E .
gth1 32
Chứng minh không có v trong E sao cho {u
n

} hội tụ về v
Cho v trong E . Chứng minh {u
n
} không hội tụ về v
  > 0  N() 
Õ
sao cho
|| u
n
- v || >   n > N()
 > 0 sao cho  N 
Õ
,  n > N
|| u
n
- v || > 
Tìm  > 0 sao cho với mọi N 
Õ
ta tìm được một n > N
|| u
n
- v || > 
gth1 33
Tìm  > 0 sao cho với mọi N 
Õ
ta tìm được một n > N
để cho || u
n
- v || > 
|| u || = max { | a

0
| , | a
1
| , . . . , | a
n
| } nếu
u (t) = a
0
+ a
1
t + . . . + a
m
t
m
u
n
(t) = t + 2
-1
t
2
+ . . . + n
-1
t
n
v (t) = b
0
+ b
1
t + . . . + b
k

t
k
u (t) = u
n
(t) - v (t) = - b
0
+(1 – b
1
)t + . . . +
+(k
-1
-b
k
)t
k
+ (k+1)
-1
t
k+1
+ . . . + n
-1
t
n
nếu n > k
|| u || = max{ | b
0
| , | 1 - b
1
| , . . . , | k
-1

- b
k
| , (k+1)
-1
, . . . , n
-1
}
 (k+1)
-1
nếu n > k
(k+1)
-1
§ || u
n
- v || nếu n > k
Chọn  = (k+2 )
-1
. Ta có kết quả
gth1 34
Cho a
1
,a
2
, ,a
n
là n vectơ trong một không gian đònh
chuẩn ( E , ||.||) . Ta đặt
a
1
+ a

2
+ a
3
= (a
1
+ a
2
)+ a
3
a
1
+ a
2
+. . .+a
n
= (a
1
+ a
2
+. . .+a
n-1
)+a
n
Cho {a
n
} là một dãy trong một không gian đònh chuẩn
( E , ||.||) . Ta đặt
s
n
= a

1
+ a
2
+. . .+a
n
 n 

Õ
Lúc đó {s
n
} là một dãy trong E . Nếu dãy này hội tụ
về s , ta nói s là giới hạn của chuỗi (vectơ)
a
n
n


1
gth1 35
Cho C([0,1],
—
) là họ tất cả các hàm số liên tục từ khoãng [0 ,
1] vào
—
.
Ta đặt
|| f || = sup { | f(t) | : t

[0 , 1 ] }
 f  C([0,1],

—
)
Lúc đó (C([0,1],
—
) , ||.||) là một không gian đònh chuẩn . Đặt
Lúc đó {x
n
} là một dãy trong C([0,1], — ) .
Chứng minh chuỗi hội tụ về s trong C([0,1], — ) ,
x
nn



1
x
n
(t)  t  [ 0 ,1] , n
œ Ù

1
n
n
t
!
với s(t) = e
t
 t  [ 0 ,1]
gth1 36
Đặt s

n



x
i
i
n
0
Chứng minh {s
n
} hội tụ về s trong C([0,1], — )
Ta có
s
n
(t)
 t  [ 0 ,1] ,  n  Õ
  1
1
2
2
1
tt t
n
n

!
  > 0  N() 
Õ
sao cho

|| s
n
- s || <   n > N()
Cho trước một số thực dương  , tìm một số nguyên
dương N() sao cho || s
n
- s || <   n > N()
Chứng minh chuỗi hội tụ về s trong C([0,1], — )
x
i
i 


0
gth1 37
Cho trước một số thực dương  , tìm một số nguyên dương
N() sao cho || s
n
- s || <   n > N()
|| f || = sup { | f(t) | : t

[0 , 1 ] }  f  C([0,1], — )
s
n
(t)
 t  [ 0 ,1] ,  n  Õ
  1
1
2
2

1
tt t
n
n

!
s(t) = e
t
=  t  [ 0 ,1]
1
0
i
i
i
t
!



f(t) = s
n
(t) - s(t) =
1
1
i
in
i
t
!




Cho trước một số thực dương  , tìm một số nguyên dương
N() sao cho
sup {| | : t

[0 , 1] } <   n > N()
1
1
i
in
i
t
!



| | <   n > N() ,  t

[0 , 1]
1
1
i
in
i
t
!




gth1 38
Để ý < 
1
0
i
i
!



Cho trước một số thực dương  , tìm một số nguyên dương
N() sao cho
| | <   n > N() ,  t

[0 , 1 ]
1
1
i
in
i
t
!



| | <   n > N()
1
1
i
in

!



| | = t

[0 , 1 ]
1
1
i
in
i
t
!



1
1
i
in
!



1
1
i
in
i

t
!



gth1 39
Cho {a
n
} là một dãy trong một không gian đònh chuẩn
( E , ||.||) . Ta đặt
s
n
= a
1
+ a
2
+. . .+a
n
 n 

Õ
Lúc đó {s
n
} là một dãy trong E . Nếu dãy {s
n
} là một dãy
Cauchy trong E , ta nói chuỗi là một chuỗi Cauchy
a
n
n 



1
Tương tự như dãy , một chuỗi hội tụ trong E sẽ là một chuỗi
Cauchy trong E.
gth1 40
Cho E là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực.
Cho u (t) = a
0
+ a
1
t + . . . + a
m
t
m
. Đặt
|| u || = max { | a
0
| , | a
1
| , . . . , | a
n
| }
Lúc đó (E , ||.||) là một không gian đònh chuẩn.
x
n
(t)  t  [ 0 ,1] , n
œ Ù

1

n
n
t
!
Ta thấy {x
n
} là một dãy trong E .
Tương tự như trong phần dãy, ta chứng minh được chuỗi
là một chuỗi Cauchy trong E nhưng không hội tụ trong E .
x
n
n 


0
Lưu ý . Chuỗi chính là chuỗi
và đã được chứng minh hội tụ về s(t) = e
t
trong không gian
đònh chuẩn C([0,1], — ) ở đoạn bên trên.
x
n
n 


0
1
0
i
i

i
t
!



gth1 41
Đònh nghóa.Cho(E, ||.||) là một không gian đònh chuẩn
(trên ). Với mọi a trong E và với mọi số thực dương r ta
đặt
B(a,r) = { x  E : || x – a || < r }
Ta gọi B(a,r) là quả cầu mở tâm a bán kính r trong (E, ||.||) .
Cho { x
n
} là một dãy trong một không gian đònh chuẩn
(E ,||.|| ) và một phần tử a trong E . Ta nói dãy { x
n
}
hội tụ về a nếu và chỉ nếu
  > 0  N() 
Õ
sao cho
|| x
n
- a || <   n > N()
  > 0  N() 
Õ
sao cho
x
n

 B(a , )  n > N()
gth1 42
Cho B là một tập con khác trống trong một không gian đònh
chuẩn (E, ||.||) . Cho a là một phần tử trong E.
Giả sử có một dãy {x
n
} trong B sao cho {x
n
} hội tụ về a .
Chứng minh
B(a , r) … B
∫« "
r > 0 .
Có một dãy {x
n
} trong B sao cho
  > 0  N() 
Õ
để cho || x
n
- a || <   n > N()
B(a , r) … B
∫« "
r > 0
Cómộtdãy{x
n
} trong B sao cho với mổi số thực dương  ,ta
có một số nguyên N() để cho || x
n
- a || <   n >

N()
Cho một r > 0 , tìm một x
r
œ B(a , r) … B
gth1 43
Có một dãy {x
n
}trongB sao cho với mổi số thực dương  ,tacó
một số nguyên N() sao cho
|| x
n
- a || <   n > N()
Cho một r > 0 , tìm một x
r
œ B(a , r) … B
Cómộtdãy{x
n
} trong B sao cho với mổi số thực dương  ,ta
có một số nguyên N() sao cho
|| x
n
- a || <   n > N()
Cho một r > 0 , tìm một y
r
œ B(a , r) … B
gth1 44
Có một dãy {x
n
}trongB sao cho với mổi số thực dương  ,tacó
một số nguyên N() sao cho

x
n
œ B(a , )  n > N()
Cho một r > 0 , tìm một y
r
œ B(a , r) … B
x
n
W y
r
 W r
Cho một r > 0 .
Chọn  = r
Xét n = N() +1 và x
n
Đặt y
r
= x
n
Ta có y
r
= x
n
œ B(a , ) … B = B(a , r) … B
gth1 45
Lúc đó ||x
m
- a || <   m > N()
Cho một dãy {x
n

} trong một không gian đònh chuẩn (E ,||.||) và
một điểm a trong E sao cho
|| x
n
– a || < n
-1
" n œ Õ .
Chứng minh dãy {x
n
} hội tụ về a trong E .
|| x
n
– a || < n
-1
" n œ Õ
Với mỗi số thực dương  , ta tìm một số nguyên N() sao cho
||x
m
- a || <   m > N()
|| x
m
– a || < m
-1
< 
V m
-1
<  V m> 
-1
Với mỗi số thực dương  , ta tìm một số nguyên N() sao cho
N() > 

-1 .
gth1 46
Cho B là một tập con khác trống trong một không gian đònh
chuẩn (E, ||.||) . Cho a là một phần tử trong E.
Giả sử B(a , r) … B
∫« "
r > 0 .
Chứng minh có một dãy {x
n
} trong B sao cho {x
n
} hội tụ về a .
B(a , r) … B
∫« "
r > 0
Tìm một dãy {x
n
} trong B sao cho
  > 0  N() 
Õ
sao cho || x
n
- a || <   n > N()
Cho một r > 0 , ta có một y
r
œ B(a , r) … B
Tìm một dãy {x
n
} trong B sao cho
|| x

n
– a || < n
-1
" n œ Õ
Cho một r > 0 , ta có một y
r
trong B với || y
r
– a || < r
gth1 47
Cho một r > 0 , ta có một y
r
trong B với
|| y
r
– a || < r
Tìm một dãy {x
n
} trong B sao cho
|| x
n
– a || < n
-
1
" n œ Õ
y
r
V x
n
r V n

-1
Cho một số nguyên n, ta đặt
r = n
-1
x
n
= y
r
Ta có x
n
= y
r
œ B và
|| x
n
– a || = || y
r
– a || < r = n
-1
gth1 48
Cho a và b là hai số thực sao cho a < b . Đặt
c =

(a + b) và r =

(b - a)
( a , b ) = B(c,r)
ở đây B(c,r) là quả cầu tâm c bán kính r trong ( —, |.|) .
Đònh nghóa. Cho (E , ||.||) là một không gian đònh chuẩn và
A là một tập con của E , ta nói

A là một tập mở trong (E , ||.||) nếu có một họ các quả cầu mở
trong (E , ||.||) để cho
A =
),(
i
I
i
i
r
a
B


I
i
i
i
r
a
B

}{ ),(
E = với r
x
= 1
"
x œ E
),(
x
E

x
r
x
B


« = với r
x
= 1
"
x œ«
),(
x
x
r
x
B


gth1 49
Đònh nghóa. Cho (E , ||.||) là một không gian đònh chuẩn và
A là một tập con của E , ta nói
A là một tập đóng trong (E ,||.||) nếu E \ A là một tập
mở trong (E , ||.||)
« = E \ E : « là một tập đóng trong E
E = E \ « :
E là một tập đóng trong E
Đònh nghóa.Cho(E,||.||) là một không gian đònh chuẩn
(trên ). Với mọi a trong E và với mọi số thực dương r ta
đặt

B’(a,r) = { x  E : || x – a ||  r }
Ta gọi B’(a,r) là quả cầu đóng tâm a bán kính r trong (E, ||.||).
Ta gọi B(0,1) và
B’(0,1) là các quả cầu đơn vò mở và
đóng của (E, ||.||).
gth1 50
Đònh nghóa. Cho (E, ||.||) là một không gian đònh chuẩn
(trên ). Cho x trong E và A là một tập con của E . Ta nói
x là một điểm dính của A nếu và chỉ nếu
B(x,r)…A ∫« "r > 0
Cho (E, ||.||) = (
—
, |.|) , A = ( 0 , 1] ,
x = -1 và y = 0 .
B(x,1) … A = (-2 , 0) … ( 0 , 1] = «
B(y,r) … A = (- r , r ) … ( 0 , 1] ∫« "r > 0
Ta thấy x và y đều không thuộc A , nhưng x không là điểm dính
của A mà y là một điểm dính của A
gth1 51
Đònh nghóa. Cho (E, ||.||) là một không gian đònh chuẩn
(trên ). Cho x trong E và A là một tập con của E . Ta nói
x là một điểm trong của A nếu có một thực dương r sao cho
B(x,r) Õ A
Cho (E, ||.||) = (
—
, |.|) , A = (-1 , 1] ,
y = 0 và z = 1 .
Ta thấy y và z đều thuộc A , nhưng z không là điểm trong
của A mà y là một điểm trong của A
B(y , 1) = ( 1- , 1) Õ A

B(z , r) = ] 1- r , 1 + r [ Ã A " r > 0
gth1 52
Đònh nghóa. Cho (E, ||.||) là một không gian đònh chuẩn
(trên ). Cho A là một tập con của E . Ta đặt
= {x œ E : x là một điểm dính của A }
A
= {x œ E : x là một điểm trong của A }
o
A
gth1 53
Đònh nghóa. Cho (E, ||.||
E
) và (F, ||.||
F
) là hai không gian đònh
chuẩn . Cho A là một tập con của E và f là một ánh xạ từ A
vào F. Cho x là một điểm của A . Ta nói f liên tục tại x nếu
và chỉ nếu
" e > 0 $ d(x,e) > 0 sao cho
|| f(y) - f(x) ||
F
< e " y œ A với || y – x ||
E
< d(x,e)
Cho f(x) = 4x + sin(x
5
+ 1) – 2 cos (x
3
+ 4)
Chứng minh phương trình sau đây có nghiệm

f(x) = 0
Để ý f là một hàm số liên tục từ [ -1 , 1] vào — và
f(-1) § - 1 < 0 < 1 § f(1)
Suy ra 0 œ f([ -1, 1])
gth1 54
Cho (E, ||.||
E
) và (F, ||.||
F
) là hai không gian đònh chuẩn . Cho
A là một tập con của E và f là một ánh xạ từ A vào F. Cho x
là một điểm của A . Cho {x
n
} là một dãy trong A và hội tụ về x .
Giả sử f liên tục tại x .
Chứng minh {f(x
n
)} là một dãy hội tụ về f(x) .
"e> 0 $d(x,e) > 0 sao cho
|| f(y) - f(x) ||
F
< e"y œ A
với || y – x ||
E
< d(x,e)
Cho một e > 0 ta có d(x,e) > 0 sao cho
|| f(y) - f(x) ||
F
< e"y œ A
với || y – x ||

E
< d(x,e)
gth1 55
"e’ > 0 $ N(e’) œ Õ sao cho
|| x
n
- x ||
E
< e’ " n ¥ N(e’) .
"e> 0 $ N(e) œ Õ sao cho
|| x
n
- x ||
E
< e"n ¥ N(e) .
Cho một e’ > 0 ta có một N(e’) œ Õ sao cho
|| x
n
- x ||
E
< e’ " n ¥ N(e’) .
"e” > 0 $ M(e”) œ Õ sao cho
|| f(x
n
) - f(x) ||
F
< e” " n ¥ M(e”) .
Cho một e” > 0 tìm một M(e”) œ Õ sao cho
|| f(x
n

) - f(x) ||
F
< e” " n ¥ M(e”) .
gth1 56
Cho một e” > 0 tìm một M(e”) œ Õ sao cho
|| f(x
n
) - f(x) ||
F
< e” " n ¥ M(e”) .
Cho một e’ > 0 ta có một N(e’) œ Õ sao cho
|| x
n
- x ||
E
< e’ " n ¥ N(e’) .
Cho một e > 0 ta có d(x,e) > 0 sao cho
|| f(y) - f(x) ||
F
< e"y œ A với || y – x ||
E
< d(x,e)
y V x
n
e V e”
|| x
n
- x ||
E
V || y – x ||

E
|| x
n
- x ||
E
< e’ V || y – x ||
E
< d(x,e)
e’ V d(x,e)
N(e’) V M(e”)
Cho một e” > 0 . Đặt
e = e” , e’ = d(x,e) , M(e”) = N(d(x,e) )
Nếu n ¥ N(d(x,e) ) thì || x
n
-x ||
E
< e’. Suy ra || f(x
n
)- f(x) ||
F
< e”
gth1 57
Cho (E, ||.||
E
) và (F, ||.||
F
) là hai không gian đònh chuẩn . Cho
A là một tập con của E và f là một ánh xạ từ A vào F. Cho
x là một điểm của A .
Giả sử với mọi dãy {x

n
} hội tụ về x trong A, ta có {f(x
n
)} hội tụ
về f(x) .
Chứng minh f liên tục tại x .
gth1 58
Giả sử với mọi dãy {x
n
} hội tụ về x trong A, ta có {f(x
n
)} hội tụ
về f(x)
Chứng minh f liên tục tại x .
fl
Cho một e’ > 0 ta có một M(e’) œ Õ sao cho
|| f(x
n
) - f(x) ||
F
< e’ " n ¥ M(e’) .
Cho một e” > 0 tìm d(x,e”) > 0 sao cho
|| f(y) - f(x) ||
F
< e” " y œ A với || y – x ||
E
< d(x,e”)
Có e” > 0 sao cho với mỗi d > 0 ta có một y
d
œ A

với || y
d
– x ||
E
< d sao cho || f(y
d
) - f(x) ||
F
> e”
Cho một e > 0 ta có một N(e) œ Õ sao cho
|| x
n
- x ||
E
< e"n ¥ N(e)
gth1 59
fl
Cho một e > 0 ta có một N(e) œ Õ sao cho
|| x
n
- x ||
E
< e"n ¥ N(e) .
Cho một e’ > 0 ta có một M(e’) œ Õ sao cho
|| f(x
n
) - f(x) ||
F
< e’ " n ¥ M(e’) .
Có e” > 0 sao cho với mỗi d > 0 ta có một y

d
œ A với
|| y
d
– x ||
E
< d sao cho || f(y
d
) - f(x) ||
F
> e”
Tìm các thành tố có vẽ mâu thuẫn với nhau
|| f(x
n
) - f(x) ||
F
< e’ V || f(y
d
) - f(x) ||
F
> e”
y
d
V x
n
|| y
d
– x ||
E
< d V || x

n
- x ||
E
< e
Chọn d = n
-1
và x
n
= y
1/n
|| x
n
- x ||
E
< n
-1
và || f(x
n
) - f(x) ||
F
= || f(y
d
) - f(x) ||
F
> e” " n
gth1 60
Đònh nghóa. Cho E là một không gian đònh chuẩn . Cho A là
một tập con của E . Ta nói A là một tập compắc nếu và chỉ nếu
mọi dãy trong A đều có một dãy con hội tụ .
Cho a và b là hai số thực sao cho a § b . Lúc đó [ a , b ] là

một tập compắc trong — .
gth1 61
Cho {x
n
} là một dãy trong một không gian đònh chuẩn (E, ||.||).
Cho J là một tập con trong Õ và J có vô hạn phần tử .
Dùng qui nạp toán học ta đặt
n
1
= min J
n
2
= min J \[ 0 , n
1
]
n
3
= min J \[0,n
2
]
n
k+1
= min J \[0 , n
k
] " k œ Õ
Ta thấy {n
k
} là một dãy đơn điệu tăng trong Õ
Vậy
}{

k
n
x
là một dãy con của dãy {x
n
}
gth1 62
Cho A ={a
1,
, ,a
n
} là một tập hữu hạn phần tử trong một
không gian đònh chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A là một tập
compắc.
Cho {x
n
} là một dãy trong A , tìm một dãy con
}{
k
n
x
hội tụ về một phần tử x trong A .
Với mọi số nguyên k trong {1,. . . , n} ta đặt
I
k
= {m œ
Õ
: x
m
= a

k
}
Ta có
Õ
= I
1
» I
2
» . . . » I
n
Vậy có một số nguyên m trong {1,. . . , n} sao cho tập J = I
m
có vô hạn phần tử .
Đặt
}{
k
n
x
là một dãy con của dãy {x
n
} ứng với J
Ta thấy
k
n
x
= a
m
" k œ Õ
Vậy
}{

k
n
x
hội tụ về a
m
gth1 63
Cho (E, ||.||
E
) và (F, ||.||
F
) là hai không gian đònh chuẩn . Cho
A là một tập con compắc của E và f là một ánh xạ liên tục từ
A vào F. Chứng minh B ª f (A) là một tập bò chận trong F.
Cho {x
n
} là một dãy trong A , có dãy con hội tụ về x œ
A
}{
k
n
x
Cho x œ A và e > 0 ta có d(x,e) > 0 sao cho
|| f(y) - f(x) ||
F
< e"y œ A với || y – x ||
E
< d(x,e)
Tìm b œ F và r > 0 sao cho { f(z) : z œ A } Õ B(b,r)
Tìm b œ F và r > 0 sao cho || f(z) - b || < r " z œ A
Đặt s = || b || +r . Cho z œ A, thì || f(z)|| § || f(z)-b|| +|| b ||< r +|| b || = s

Tìm s > 0 sao cho || f(z) || < s " z œ A
Cho {x
n
} là một dãy hội tụ về x trong A . Ta có {f (x
n
)} là một
dãy hội tụ về f (x) trong F .
Cho {y
n
} là một dãy hội tụ về y trong A . Ta có {f (y
n
)} là một
dãy hội tụ về f (y) trong F .
gth1 64
Cho {x
n
} là một dãy trong A , ta có dãy con hội tụ về
một phần tử x trong A
}{
k
n
x
Cho {y
n
} là một dãy hội tụ về y trong A . Ta có {f (y
n
)} là một
dãy hội tụ về f (y) trong F .
Tìm s > 0 sao cho || f(z) || < s " z œ A
Với mọi s > 0 có một z œ A sao cho || f(z) ||

F
¥ s
Với mọi n œ Õ có một z
n
œ A sao cho || f(z
n
) ||
F
¥ n
gth1 65
Cho {x
n
} là một dãy trong A , ta có dãy con hội tụ
về một phần tử x trong A
}
{
k
n
x
Có dãy con của dãy {z
n
} sao cho hội tụ về một
phần tử z trong A và || f () ||
F
¥ n
k
" k œÕ
(1)
}{
k

n
z
}{
k
n
z
k
n
z
{f ( )} là một dãy hội tụ về f (z) trong F
k
n
z
Cho một e > 0 ta có một N(e) œ Õ sao cho
|| f ( ) - f (z)||
F
< e"k ¥ N(e) . (2)
k
n
z
|| f(z
n
) ||
F
¥ n
k
" k œÕ
(1) + (2) fl n
k
§ || f () ||

F
§ || f ( ) - f (z)||
F
+ || f (z)||
F
§e + || f (z)||
F
" k ¥ N(e)
k
n
z
k
n
z
k § n
k
§e+ || f (z)||
F
" k ¥ N(e)
Cho {y
n
} là một dãy hội tụ về y trong A . Ta có {f (y
n
)} là một
dãy hội tụ về f (y) trong F .
Với mọi n œ Õ có một z
n
œ A sao cho || f(z
n
) ||

F
¥ n
gth1 66
Đònh nghóa .ChoE và F là hai không gian đònh chuẩn trên
F và T là một ánh xạ từ E vào F .TanóiT tuyến tính nếu
với mọi x và y trong E và với mọi t trong F ta có
T(x+y) = T(x) + T(y) và T(tx) = t T(x)
Cho một không gian đònh chuẩn E và một s trong F , ta đặt
T(x) = sx " x œ E
T(x+y)=s (x+y)=sx + sy = T(x)+T(y)
T(tx) = s (tx) = (st)x = (
ts)x = t (sx) = t T(x) " x,y œ E, t œF
Vậy T là một ánh xạ tuyến tính từ E vào E
Cho một không gian đònh chuẩn E . Đặt T(x) = x " x œ E
T(x+y)=x+y = T(x)+T(y)vàT(tx)=tx= t T(x) " x,y œ E, t œF
Vậy T là một ánh xạ tuyến tính từ E vào E . Ta gọi ánh xạ này
là ánh xạ đồng nhất trên E và ký hiệu T là Id
E
hoặc Id
gth1 67
Cho C([0,1],
—
) là họ tất cả các hàm số liên tục từ khoãng [0 ,
1] vào
—
. Ta đặt
|| f || = sup { | f(t) | : t

[0 , 1 ] }  f  C([0,1],
—

)
Lúc đó (C([0,1],
—
), ||.|| ) là một không gian đònh chuẩn .
Đặt T(f ) =

1
0
dttf
)(
 f  C([0,1],
—
)
Cho f và g trong C([0,1],
—
) và s trong
—
. Ta có
T(sf ) =

1
0
dttsf
)(


1
0
dttfs )(
= sT(f )

Vậy T là một ánh xạ tuyến tính từ C([0,1],
—
) vào
—
.
T(f + g) = +


1
0
dttgf
))((


1
0
dttf
)(

1
0
dttg
)(
= T(f ) + T(g)
gth1 68
Đònh nghóa .ChoE và F là hai không gian đònh chuẩn trên
F và T là một ánh xạ tuyến tính từ E vào F .NếuT liên tục
từ E vào F .TanóiT là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào
F .
Ta đặt L(E , F) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục

từ E vào F .
Đònh lý 2.1. Cho E và F là hai không gian đònh chuẩn và T
là một ánh xạ tuyến tính từ E vào F. Các tính chất sau đây
tương đương
(i) T liên tục trên E
(ii) T liên tục tại 0
(iii) Có hằng số dương M sao cho
|| T(x)||
F
§ M|| x ||
E
" x œ E.
gth1 69
Xét không gian đònh chuẩn (C([0,1],
—
), || f || ) với
|| f || = sup { | f(t) | : t

[0 , 1 ] }.
Đặt T(f ) =

1
0
dttf )(
 f  C([0,1],
—
).
Chứng minh T œ L(C([0,1],
—
),

—
)
1. Chứng minh T là một ánh xạ tuyến tính .
2. Chứng minh có hằng số dương M sao cho
|T(f )| § M || f || " f œ C([0,1],
—
).
|| f || = sup { | f(t) | : t  [0 , 1] }
|T(f ) | =
|)(|

1
0
dttf


1
0
dttf
|)(|
|f(t)| § || f || " t  [0 , 1]
|T(f ) |


1
0
dttf
|)(|



1
0
dtf
||||
§ M|| f ||
" f œ C([0,1],
—
).
với M = 1
gth1 70
Cho E = —
n
với chuẩn
||x ||
E
= max {|x
1
| , . . . , |x
n
|} " x = (x
1
,. . .,x
n
) œ —
n
Cho T là một ánh xạ tuyến tính từ E vào một không gian đònh
chuẩn (F, ||.||
F
) . Chứng minh T liên tục từ E vào F.
Khai thác các tính chất của —

n
. Đặt
e
k
= (d
k
1
,d
k
2
, . . .,d
k
n
) " k = 1 , . . ., n với d
k
j
là các số Kronecker
x = x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ . . . + x
n
e
n
" x = (x

1
,. . .,x
n
) œ —
n
T(x) = T(x
1
e
1
+ . . . + x
n
e
n
) = T(x
1
e
1
) + . . . + T(x
n
e
n
)
= x
1
T(e
1
)+ x
2
T( e
2

) + . . . + x
n
T(e
n
)
||T(x)||
F
= ||x
1
T(e
1
)+. . .+x
n
T(e
n
)||
F
§ |x
1
|||T(e
1
)|| +. . .+ |x
n
|||T(e
n
)||
§ ||x || ||T(e
1
)|| + ||x || ||T(e
2

)|| + . . . + ||x || ||T(e
n
)||
gth1 71
||T(x)||
F
= ||x
1
T(e
1
)+ x
2
T( e
2
) + . . . + x
n
T(e
n
)||
F
§ |x
1
|||T(e
1
)||
F
+ |x
2
|||T(e
2

)||
F
+ . . . + |x
n
|||T(e
n
)||
F
§ ||x || ||T(e
1
)||
F
+ ||x || ||T(e
2
)||
F
+ . . . + ||x || ||T(e
n
)||
F
§ ||x || [||T(e
1
)||
F
+ ||T(e
2
)||
F
+ . . . + ||T(e
n

)||
F
]
||T(x)||
F
§ M ||x || " x œ —
n
với
M = ||T(e
1
)||
F
+ ||T(e
2
)||
F
+ . . . + ||T(e
n
)||
F
gth1 72
Cho E =F = C([0,1],
—
) . Với f œ C([0,1],
—
)
|| f ||
E
=


1
0
dttf
|)(|
|| f ||
F
= sup { | f(t) | : t

[0 , 1 ] } " f œ C([0,1],
—
)
Đặt T : E Ø F
T(f ) = f " f œ C([0,1],
—
)
Chứng minh T là một ánh xạ tuyến tính từ E vào F nhưng T
không liên tục từ (E, ||.||
E
) vào (E, ||.||
F
)
Đặt f
n
(t) =t
n
" t œ [0,1], n œ Õ
|| f
n
||
E

=
1
1
1
0



n
n
dtt
|| T( f
n
)||
F
= || f
n
||
F
= 1
Vậy dãy {f
n
} hội tụ về 0 trong E nhưng dãy {T( f
n
)}
không hội tụ về T(0) = 0 trong F.
gth1 73
1.3.6. Cho (E, || . ||
E
) là một không gian đònh chuẩn. Cho V là

một không gian vectơ con đóng của E . Trên E ta đònh nghóa
quan hệ sau x
~
y ‹ (x - y) œ V " x , y œ E
Ta chứng minh được
~
là một quan hệ tương đương trên E và tập
hợp thương G ª E /
~
là một không gian vectơ với các cấu trúc
đại số sau


,,, Eyxxxyxyx
ở đây = {z + u : u œ V} là lớp tương đương chứa z.
z
Đặt = inf{ || u ||
E
: u œ }.
G
||||
x
x
Lúc đó (G,||.||
G
) là một không gian đònh chuẩn trên F . Ta gọi
không gian này là không gian đònh chuẩn thương E / V.
Xét ánh xạ T : E Ø G : " x œ E
_
x)x( 

T
Chứng minh T là một ánh xạ liên tục từ E vào G .
Vậy T liên tục từ E vào G .
||T(x) ||
G
= ||x ||
G
=||x + v ||
G
§ ||x ||
G
" x œ E
inf
vV
gth2 74
Cho E và F là hai không gian đònh chuẩn trên F và T là một
ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F . Đặt
V = T
-1
({0}) = {x œ E : T(x) = 0}.
Đặt G là không gian đònh chuẩn thương E / V
Đặt
.xy,Gx)y(T)x(S 
Chứng minh S là một ánh xạ liên tục từ G vào F
Tìm M > 0 sao cho
Gx||x||M||)x(S||
F

)(xy||)y(T||||)x(S||
FF

1
)(||z||inf||x||
E
x
z
G
2


Có K > 0 sao cho ||T(y)||
F
§ K || y ||
E
" y œ X (3)
xy||y||K||)y(T||||)x(S||
XFF

Gx||x||K||z||infK||)x(S
||
GX
x
z
F


gth1 75
Ta đặt L(E , F) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục
từ mộtkhônggianđònhchuẩn E vào một không gian đònh chuẩn
F .
Đặt

|| T|| =
F
||)x(T||
sup
E
||x|| 1
" T œ L(E,F)
Lúc đó ||.|| là một chuẩn trên L(E,F)
Đònh lý 2.3. Cho E là một không gian đònh chuẩn, F là một
không gian Banach. Lúc đó (L(E,F), ||.||) là một không gian
Banach.
gth1 76
Tìm hai không gian đònh chuẩn E và F và một T trong L(E,F)
sao cho không có x trong E để cho : || x || § 1 và || T(x)|| = || x ||
Xét không gian đònh chuẩn (C([0,1],
—
), || f || ) với
|| f || = sup { | f(t) | : t

[0 , 1] }.
Đặt T(f ) =

1
0
dttf
)(
 f  C([0,1],
—
).
Ta đã chứng minh T œ L(C([0,1],

—
),
—
) và
| T(f ) | § || f ||  f  C([0,1],
—
) (1)
Chứng minh || T || = 1 .
F
x
T
E
x
T
||)(||
sup
||||
||||
1

|)f(T|
sup
||f||
||T||
1

Theo (1) ta có
|| T || § 1
Đặt f (t) = 1 với mọi t trong [0 , 1] . Ta có
F œ C([0,1],

—
) và || f || = 1 và |Tf | = 1
Suy ra || T || = 1
gth1 77
Cho E và F là hai không gian đònh chuẩn và T trong L(E,F) .
Đặt
f (x) = || T(x) || " x œ E .
Chứng minh f liên tục từ E vào — .
Với mỗi x trong E ta tính f (x) như sau
||)(||)(
xTxTx
g
T

||||
||.||
z
z



Đặt g : F Ø —
g(z) = || z || " z œ F .
Ta thấy f = g

T và T và g liên tục nên f liên tục .
gth1 78
Đònh lý 2.4 ( Banach- Steinhaus) Cho E và F là hai không
gian đònh chuẩn và là một họ các phần tử trong
L(E,F).

I
ii
T

}{
Thì hoặc ta có {||T
i
||} bò chặn trong — hoặc ta có một dãy tập
mở trù mật {G
m
} trong E sao cho {|T
i
(x)|}
i œ I
không bò chặn
với mọi x trong G ª…
m œ Õ
G
m
Lúc đó nếu {||T
i
||} không bò chặn trong — thì có một dãy tập
mở trù mật {G
m
} trong E sao cho {|T
i
(x)|}
i œ I
không bò chặn
với mọi x trong G ª…

m œ Õ
G
m
Đònh Lý Baire . Nếu {G
m
} là một dãy tập mở trù mật trong
một không gian Banach E thì G ª…
m œ Õ
G
m
là một tập trù
mật trong E
Lúc đó nếu E là một không gian Banach {||T
i
||}
i œ I
không
bò chặn trong — thì có một tập G trù mật trong E sao cho
{|T
i
(x)|}
i œ
I
không bò chặn với mọi x trong G .
gth1 79
I
i
i
T


}{
Đònh lý 2.4 ( Banach- Steinhaus) Cho E là một không gian
Banach và F là một không gian đònh chuẩn và { T
i
}
i œ I
là
một họ các phần tử trong L(E,F).
Lúc đó nếu {||T
i
||}
i œ I
không bò chặn trong — thì có một tập G
trù mật trong E sao cho {|T
i
(x)|}
i œ I
không bò chặn với mọi x
trong G .
Lúc đó nếu không có một tập G trù mật nào trong E sao cho
{|T
i
(x)|}
i œ I
không bò chặn với mọi x trong G thì {||T
i
||}
i œ I
bò
chặn trong —

Lúc đó nếu {|T
i
(x)|}
i œ I
bò chặn với mọi x trong E thì
{||T
i
||}
i œ I
bò chặn trong —
gth1 80
Đònh lý 2.4 (Banach- Steinhaus) Cho E và F là hai không gian
đònh chuẩn và là một họ các phần tử trong L(E,F).
I
i
i
T

}{
Thì hoặc ta có {||T
i
||} bò chặn trong — hoặc ta có một dãy tập
mở trù mật {G
m
} trong E sao cho {|T
i
(x)|}
i œ I
không bò chặn
với mọi x trong G ª…

m œ Õ
G
m
Đặt G
m,i
= {x œ E : || T
i
(x) ||
F
> m}
G
m
= »
i œ I
G
m,i
" m œ Õ , " i œ I
Ta thấy G
m,i
là các tập mở , do đó G
m
cũng mở
Cho x œ G ª…
m œ Õ
G
m
Ta có
Với mỗi m œ Õ : x œ G
m
ª»

i œ I
G
m,i
(1)
Với mỗi m œ Õ , có i(m) œ I : x œ G
i(m)
(2)
Với mỗi m œ Õ,cói(m) œ I :||T
i(m)
(x)||
F
>m (3)
Cho x œ G ta có {|T
i
(x)|}
i œ I
không bò chặn
gth1 81
Đặt G
m,i
= {x œ E : || T
i
(x) ||
F
> m}
G
m
= »
i œ I
G

m,i
" m œ Õ , " i œ I
(a) Tất cả các G
m
đều trù mật trong E
(b) Có một k sao cho G
k
không trù mật trong E
G
k
trù mật trong E ‹ mọi điểm trong E đều là điểm dính của G
k
(b’) Có một k sao cho có một a trong E mà a không là một
điểm dính của G
k
a là một điểm dính của G
k
‹ B(a,r) … G
k
∫f "r > 0
a không là một điểm dính của G
k
Có r > 0 sao cho B(a,r) … G
k
= f
Có r > 0 sao cho B(a,r) Õ E \ G
k
(b’’) Có k œ
Õ
, a œ E và r > 0 sao cho B(a,r) Õ E \ G

k
gth1 82
Đặt G
m,i
= {x œ E : || T
i
(x) ||
F
> m}
G
m
= »
i œ I
G
m,i
" m œ Õ , " i œ I
(a) Tất cả các G
m
đều trù mật trong E
(b) Có k œ
Õ
, a œ E và r > 0 sao cho B(a,r) Õ E \ G
k
E \ G
k
= E \ »
i œ I
G
k,I
= …

i œ I
E \ G
k,I
= …
i œ I
E \ {x œ E : || T
i
(x) ||
F
> k}
= …
i œ I
{x œ E : || T
i
(x) ||
F
§ k}
(b’) Có k œ
Õ
, a œ E và r > 0 sao cho
B(a,r) Õ {x œ E : || T
i
(x) ||
F
§ k} " i œ I
gth1 83
(a) Tất cả các G
m
đều trù mật trong E
(b) Có k œ

Õ
, a œ E và r > 0 sao cho " i œ I
(1) B(a,r) Õ {x œ E : || T
i
(x) ||
F
§ k}
Cho y œ E với ||y|| = r , ta có
z = a + y œ B(a,r) Õ {x œ E : || T
i
(x) ||
F
§ k}
Vậy || T
i
(a+y)||
F
= || T
i
(z)||
F
§ k " y œ E , ||y|| = r
(2) " i œ I , " y œ E , ||y|| = r
|| T
i
(y)||
F
§ || T
i
(-a)||

F
+ || T
i
(a+y)||
F
§ || T
i
(a)||
F
+ || T
i
(a+y)||
F
§ 2k
(3)" i œ I , " x œ E , ||x|| ∫ 0 (đặt y = r||x||
-1
x )
||T
i
(x)||
F
= ||T
i
(r
-1
||x|| r||x||
-1
x)||
F
= r

-1
||x|| || T
i
(r||x||
-1
x)||
F
§ 2k r
-1
||x||
(4) || T
i
|| § 2k r
-1
" i œ I
gth1 84
Đònh lý 2.5. ( Đònh lý ánh xạ mở) Cho E và F là hai không
gian Banach và T trong L(E,F) . Giả sử T(E) = F. Lúc đó T là
một ánh xạ mở, nghóa là T(O) mở trong F nếu O mở trong E.
Cho E và F là hai không gian Banach và T trong L(E,F) . Giả
sử T là một song ánh. Lúc đó T
–1
là một ánh xạ tuyến tính
liên tục từ F vào E.
Chứng minh T
–1
là một ánh xạ tuyến tính
Cho u và v trong F chứng minh T
–1
(u + v) = T

–1
(u) + T
–1
(v)
Vì T đơn ánh ta có
x = y ‹ T(x) = T(y)
T( T
–1
(u + v) ) = u + v
T( T
–1
(u) + T
–1
(v) ) = T( T
–1
(u) ) + T(T
–1
(v) )
= u + v
gth1 85
Cho E và F là hai không gian Banach và T trong L(E,F) . Giả
sử T là một song ánh. Lúc đó S ª T
–1
là một ánh xạ tuyến
tính liên tục từ F vào E.
Cho một mở O trong E , ta phải chứng minh S
-1
(O) là một tập
mở trong F .
S

-1
(O) = T(O)
gth1 86
Đònh lý 2.5. Cho E và F là hai không gian Banach và T trong
L(E,F) . Giả sử T(E) = F. Lúc đó T là một ánh xạ mở, nghóa là
T(O) mở trong F nếu O mở trong E.
(1) Dùng đònh lý Baire chứng minh có một a œ F và một
s > 0 sao cho
)),((),( 10
E
F
B
T
s
a
B

(2) Chứng minh có một r > 0 sao cho
)),((),( 100
E
F
B
T
r
B

B
F
(0,r) Õ T(B
E

(0,1) ) + B
F
(0,r)
B
F
(0,r) Õ ( T(B
E
(0,1) ) + B
F
(0,r) )
Õ T(B
E
(0, ) ) + B
F
(0,r) )
2
-n
B
F
(0,r) Õ T(B
E
(0, 2
-n
) ) + 2
-n-1
B
F
(0,r) )
(3) B
F

(0,r) Õ T(B’
E
(0,2) )
gth1 87
Đònh lý 2.6. ( Đònh lý đồ thò đóng ) Cho E và F là hai không
gian Banach và T là một ánh xạ tuyến tính từ E vào F. Đặt
G = {(x,Tx) : x œ E}
Lúc đó T liên tục trên E nếu và chỉ nếu G đóng trong EμF .
EμF = {(x,y) : x œ E và y œ F }
(x,y) + (u,v) = (x+u,y+v) " (x,y), (u,v) œ EμF
t (x,y) = (tx,ty) "(x,y)œ EμF , t œ
F
||(x,y)|| = ||x||
E
+ ||y||
F
" (x,y)œ EμF
pr
1
(x,y) = x
pr
2
(x,y) = y " (x,y)œ EμF
pr
1
là ánh xạ tuyến tính liên tục từ EμF vào E
pr
2
là ánh xạ tuyến tính liên tục từ EμF vào F
gth1 88

Đònh lý 2.6. ( Đònh lý đồ thò đóng ) Cho E và F là hai không
gian Banach và T là một ánh xạ tuyến tính từ E vào F. Đặt
G = {(x,Tx) : x œ E} . Lúc đó T liên tục trên E nếu và chỉ nếu G
đóng trong E μ F .
G là một không gian vectơ con của E μ F .
Cho (x,y), (u,v) œG , ta có y = T(x) và v = T(u)
(x,y)+ (u,v) = (x+u,y+v) = (x+u, T(x) +T(u) )= (x+u, T(x+u) ) œG
Nếu G đóng trong E μ F thì G là một không gian Banach với
chuẩn hạn chế của ||.||
E μ F
.
Đặt S : GØE , S(x,y) = x " (x,y) œG
S là một song ánh tuyến tính liên tục từ G vào E
S
-1
là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào G
S
-1
(x) = (x,y) = (x,T(x)) " x œ E . Vậy T = pr
2
o S
-1
gth1 89
Đònh lý 2.7. ( Đònh lý Hahn- Banach) Cho E là một không
gian đònh chuẩn trên F , M là một không gian vectơ con của E và
f œ L(M, F). Khi đó có g œ L(E, F) sao cho g|
M
= f và
||g|| = || f ||
Cho E là một không gian đònh chuẩn trên F , a là một vectơ

trong E . Khi đó có f œ L(E, F) sao cho
|| f || = 1 và f (a) = || a ||
gth1 90
Cho c = a+ib với a và b trong —, đặt
i
b
a
c

Đònh nghóa 3.2. Cho E là một không gian vectơ trên F , f là
một ánh xạ từ E vào F . Ta nói f là một dạng Hermite dương
trên E, nếu và chỉ nếu f có các tính chất sau: với mọi x, x’ , y
và y’ trong E và s trong F
(i) f(x+x’,y) = f(x,y) + f(x’,y) ,
(ii) f(x,y+y’) = f(x,y) + f(x,y’),
(iii) f(sx,y) = sf(x,y),
(iv)
f
(x,sy) = f(x,y) ,
(v)
f
(x,y) = ,
(vi) f(x,x) ¥ 0,
(vii) f(x,x) = 0 ‹ x = 0.
s
)x,y(f
CHƯƠNG BA
KHÔNG GIAN HILBERT
gth1 91
Cho E là không gian —

n
. Với x =(x
1
,…, x
n
) ,y = (y
1
,…, y
n
) œ E đặt
f(x,y) = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+. . . + x
n
y
n
f(x,y) thường được ký hiệu là x
ÿ
y hoặc <x,y> và được gọi là
tích vô hướng của x và y .
Cho E là không gian ¬
n
. Với x =(x
1

,…, x
n
) ,y = (y
1
,…, y
n
) œ E đặt
f(x,y) =
nn
yxyxyx  
2211
Cho E là không gian —
n
và n số thực dương a
1
, a
2
, …, a
n
. Với
mọi x =(x
1
,…, x
n
) ,y = (y
1
,…, y
n
) œ E đặt
f(x,y) = a

1
x
1
y
1
+ a
2
x
2
y
2
+ . . . + a
n
x
n
y
n
Cho E là không gian ¬
n
và n số thực dương a
1
, a
2
, …, a
n
. Với
mọi x =(x
1
,…, x
n

) ,y = (y
1
,…, y
n
) œ E đặt
f(x,y) =
nnn
yxyxyx



 
222111
gth1 92
Cho E là không gian các hàm số liên tục từ [0,1] vào — . Với
mọi u và v trong E đặt


1
0
dttvtuvuf
)()(),(
Cho E là không gian các hàm số liên tục từ [0,1] vào ¬ . Với
mọi u và v trong E đặt


1
0
dttvtuvuf
)()(),(

Đònh lý 3.1. Cho f là một dạng Hermite dương trên một không
gian vectơ E , và x và y trong E. Ta có
(i) Bất đẳng thức Schwartz | f(x,y) |
2
§ f(x,x)f(y,y),
(ii) Bất đẳng thức Minkowski f(x+y,x+y)

§ f(x,x)

+ f(y,y)

Đònh nghóa 3.3. Cho f là một dạng Hermite dương trong một
không gian vectơ E. Đặt || x || = f(x,x)

" x œ E.
Do đònh lý 3.1, (E,||.||) là một không gian đònh chuẩn. Nếu
(E,||.||) đầy đủ, ta gọi nó là một không gian Hilbert và viết
<x,y> thay cho f(x,y).
gth1 93
Đònh nghóa 3.4. Cho x và y trong E. Ta nói x thẳng góc với y
nếu và chỉ nếu <x,y> = 0 . Lúc đó ta ký hiệu x ^ y
1
0
1
a
b
1
0
1
3

u
v
Cho E là —
2
. Với mọi x = (x
1
, x
2
) , y = (y
1
, y
2
) œ E đặt
<x,y>
1
= x
1
y
1
+ x
2
y
2
<x,y>
2
= x
1
y
1
+ 3x

2
y
2
Cho a = (1,0) , b = (0,1) , u = (1,1) và v = (3,-1)
< a , b >
1
= 0 , < u , v >
1
∫ 0
< a , b >
2
= 0 , < u , v >
2
= 0
gth1 94
Cho E là không gian các hàm số liên tục từ [0,1] vào — . Với
mọi u và v trong E đặt


1
0
dttvtuvufvu
)()(),(,
Đặt u
n
(t) = 2
1/2
sin n
p
t " n œ

Õ
, t œ [0,1]
< u
n
, u
m
> = 0 " n
∫
m
< u
n
, u
n
> = 1 " n œ
Õ
.
Cho {u
i
}
iœI
là một họ vectơ trong một không gian Hilbert E. Ta
nói {u
i
}
iœI
là một họ trực chuẩn nếu và chỉ nếu
< u
i
, u
k

> = 0 " i
∫
k
< u
i
, u
i
> = 1 " i œ I
Ta gọi một họ trực chuẩn {u
i
}
iœI
là một họ trực chuẩn tối đa
nếu và chỉ nếu
“ với mọi họ trực chuẩn {v
j
}
jœJ
trong E sao cho
{u
i
}
iœI
Õ {v
j
}
jœJ
ta có {u
i
}

iœI
= {v
j
}
jœJ
“
gth1 95
Đònh lý 3.2. Cho {u
i
}
iœI
là một họ trực chuẩn tối đa trong một
không gian Hilbert E và x là một vectơ trong E. Đặt
x
i
= < x , u
i
> " i œ I.
Lúc đó I(x) ª { i œ I : x
i
∫ 0} là một tập quá lắm đếm được và
(i)
(ii)
i
I
i
i
u
x
x







I
i
i
xx
22
||||||
Nếu I(x) là một tập hữu hạn , ta thấy
là một tổng hữu hạn các vectơ .
i
xIi
ii
Ii
i
u
x
u
x



 )(
Nếu I(x) là một tập vô hạn , ta có một dãy {i
m
} các phần tử

khác nhau trong I sao cho I(x) = {i
m
} và











n
m
ii
n
m
iii
xIi
ii
Ii
i
mmmm
uxuxuxux
11
lim
)(
gth1 96

Đònh lý 3.3. (Riesz) Cho T là một ánh xạ tuyến tính từ
một không gian Hilbert E vào F. Lúc đó T liên tục trên E nếu
và chỉ nếu có duy nhất một a trong E sao cho
|| T|| = || a ||
E
và
Tx = < x , a > " x œ E
Cho E là —
n
. Với mọi x = (x
1
, …, x
n
) , y = (y
1
, …, y
n
) œ E đặt
<x , y > = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ . . . + x
n
y
n

|| x || = <x , x >

=
22
1 n
xx  
Lúc đó (E,||.||) là một không gian Hilbert. Cho T là một ánh xạ
tuyến tính liên tục từ E vào — .
p dụng đònh lý Riesz ta tìm được một vectơ a = (a
1
, a
2
,…, a
n
)
trong E sao cho ||a|| = || T || và
T(y) = <a , y > = a
1
y
1
+ a
2
y
2
+. . . + a
n
y
n
" y = (y
1

, y
2
,…, y
n
) œ E
gth1 97
Cho E là không gian các hàm số liên tục từ [0,1] vào — . Với
mọi u và v trong E đặt
|| u || =


1
0
dttvtuvu
)()(,


1
0
2
2
1
2
1
})({,
dttuuu
Cho T trong L(E, —) . Hỏi có f trong E sao cho || T || = || f ||
và với mọi u trong E
T(u) =



1
0
dt)t(f)t(uf,u
gth1 98
Cho T trong L(E, E ) và l trong — . Ta nói l là một giá trò
riêng của T nếu có một u trong E \ {0} sao cho
T(u) = lu
l là một giá trò riêng của T nếu và chỉ nếu
(l.Id
E
-T )
-1
({0}) ∫ {0} , nghóa là (l.Id
E
-T ) không là một
đơn ánh
Cho S là một ánh xạ tuyến tính từ —
n
vào —
n
. Các
tính chất sau đây tương đương với nhau
(i) S là một đơn ánh .
(ii) S là một toàn ánh .
(iii) S là một song ánh .
CHƯƠNG BỐN
PHỔ CỦA TOÁN TỬ COMPẮC
gth1 99
Cho S là một ánh xạ tuyến tính từ —

n
vào —
n
. Các tính chất sau
đây tương đương với nhau
(i) S là một đơn ánh .
(ii) S là một toàn ánh .
(iii) S là một song ánh .
Cho E là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực. Cho
u (t) = a
0
+ a
1
t + . . . + a
m
t
m
. Đặt
|| u || = max { | a
0
| , | a
1
| , . . . , | a
m
| }
T(u) (t) = a
1
+ a
2
t + . . . + a

m
t
m-1
Lúc đó (E , ||.||) là một không gian đònh chuẩn. Ta thấy T là một
ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E
T là một không đơn ánh
T là một toàn ánh ( T(E) không chứa các hàm hằng )
gth1 100
Đặt
S(u) (t) = a
0
+ a
1
t + 2
-1
a
2
t
2
+. . . + m
-1
a
m
t
m
nếu u(t) = a
0
+ a
1
t + a

2
t
2
+. . . + a
m
t
m
Ta thấy
S là một ánh xạ tuyến tính
||S(u) || = max {| a
0
|,| a
1
| ,2
-1
| a
2
|,. . . , n
-1
| a
m
| }
§ max { | a
0
| , | a
1
| , | a
2
| ,. . . , | a
m

| } = ||u|| " u œ E
Vậy S là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E .
S là một song ánh và
S
-1
(u) (t) = a
0
+ a
1
t + 2a
2
t
2
+. . . + ma
m
t
m
nếu u(t) = a
0
+ a
1
t + a
2
t
2
+. . . + a
m
t
m
S

-1
không liên tục trên E .