Tài liệu CHUYÊN ĐỀ: BIỆN LUẬN SỐ NGHỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ doc

GV: Nguyễn Thị Diệu Trường THPT Trần Phú
CHUYÊN Đ :Ề BIỆN LUẬN SỐ NGHỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH DỰA TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Biện luận số nghiệm của pt theo tham số m là bài toán thường gặp trong chương
trình phổ thông, đặc biệt là chương trình toán 12. Việc biện luận sẽ trở nên dễ dàng và
trực quan hơn nếu chúng ta dựa vào đồ thị, đây cũng là ứng dụng quan trọng của hàm số.
chuyên đề biện luận số nghiệm của pt dựa vào đồ thị của hàm số nhằm mục đích cung
cấp một số kiến thức cho các em học sinh dễ dàng làm việc với dạng toán này hơn.
Chuyên đề gồm phương pháp giải toán, bài tập ví dụ và bài tập tự luyện.
Bài toán : cho hàm số y= f(x) có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị ( C) biện luận số nghiệm của
pt g(x;m) = 0 với m là tham số.
Phương pháp : Đưa pt g(x;m) = 0 về dạng sau:
Dạng 1: f(x) = h (m), trong đó h(m) là một hàm phụ thuộc vào tham số m.
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x), tìm các giá trị cực đại, cực tiểu, giá trị của hàm số
tại các điểm đầu mút của mein62 xác định của hàm số y = f(x).
- Đường thẳng y = h(m) di động song song với trục hoành, dựa vào số giao
diểm của đường thẳng y = h(m) với đồ thị hàm số y = f(x) để suy ra số nghiệm
của phương trình g(x;m) = 0.
Dạng 2: f(x) = ax +b, trong đó a cố định, b thay đổi.
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).
- Tìm các tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) có hệ số góc cho trước là a.
- Tìm giao điểm của tiếp tuyến với trục tung ( hoặc trục hoành) và giao điểm
của đường thẳng y = ax +b với trục tung ( hoặc trục hoành). Cho b di động
trên trục tung để suy ra số nghiệm của pt g(x;m).
Dạng 3 : f(x) = ax +b, trong đó a thay đổi, b tùy ý.
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).
- Tìm điểm A(x
0
,y
0
) là điểm cố định của đường thẳng y =ax+b.

- Viết các pt tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =f(x) đi qua A.
- Cho đường thẳng y =ax+b xoay quanh điểm cố định A. Từ đó suy ra nghiệm
của pt g(x;m)=0.
Chú ý:
1. Nếu hàm số y = f(x) có miền xác định là đoạn thẳng [a,b] thì đồ thị hàm số y =f(x)
ta chỉ xét phần x
∈
[a,b].
2. Một số bài toán đặt ẩn phụ t =
( )x∂
, với
( )x∂
là một biểu thức trong pt ban đầu
thì:
- Dựa vào miền xác định của x để tìm miền xác định của t.
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(t) rồi làm giống như trên.
3. Đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối.
a) Dạng y = |f(x)|.
- Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y = f(x).
- Lấy các phần của ( C) ở phía trên trục hoành.
- Lấy thêm phần đối xứng qua trục hoành của các phần của ( C) phía dưới trục
hoành.
b) Dạng
( )
( )
f x
y
g x
=
- Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y =f(x).

- Lấy các phần của ( C) tương ứng với x sao cho g(x) >0.
- Lấy thêm phần đối xứng qua trục hoành của các phần của ( C) tương ứng với
x sao cho g(x) <0.
+∞
=
4x
3

CT
CĐ
GV: Nguyễn Thị Diệu Trường THPT Trần Phú
c) Dạng
( )
( )
f x
y
g x
=
làm tương tự như mục b).
d) Dạng y = f(x) + |g(x)|.
Đồ thị gồm 2 phần:
- Đồ thị ( C) y= f(x) + g(x) tương ứng với x sao cho g(x) >0.
- Đồ thị ( C’) y = f(x) – g(x) tương ứng với x sao cho g(x) <0.
e) Dạng y = f(|x|).
- Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y= f(x).
- Lấy phần của ( C) bên phải trục oy tương ứng với x>0.
- Lấy thêm phần đối xứng qua trục oy của phần của ( C) bên phải trục oy.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: a) khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số y = 4x
3

-3x.
b) Biện luận theo m số nghiệm của pt 4x
3
-3x +m =0.
Giải:
a) ( c) y = 4x
3
-3x
• D =
¡
• y’ = 12x
2
-3 = 0
1
1
2
1 1
2
x
y
y
x

=

= −

⇔ ⇒



=


= −


• y’’ = 24x = 0
⇔
x = 0
⇔
y = 0.
⇒
điểm uốn O(0,0).
•
lim ;lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
• Bảng biến thiên:
x
−∞
1
2
−
1
2
+∞
y’ + 0 - 0 +
y

1
−∞
-1
Đồ thị:.
+∞
=
4x
3

CT
CĐ
GV: Nguyễn Thị Diệu Trường THPT Trần Phú
b) 4x
3
-3x +m =0. (1)
⇔
4x
3
-3x = -m .
Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị ( c) và đường thẳng (d) y =
-m, dựa vào đồ thị ta được.
- -m>1
⇔
m<-1 => (1) có một nghiệm đơn
- -m = 1
⇔
m =-1 => (1) có nghiệm kép x
1
=x
2

=
1
2
. Và một nghiệm đơn x
3
= 1.
- -1< - m < 1
⇔
-1< m < 1 => (1) có 3 nghiệm đơn.
- -m < -1
⇔
m >1 => (1) có một nghiệm đơn.
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = x
3
-3x+1.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( c) của hàm số.
b) Biện luận theo k số nghiệm của pt |x
3
| -3|x| +k = 0.
Giải:
• D =
¡
• Y’ = 3x
2
-3 = 0
⇔

1 1
1 3
x y

x y
= = −
 
⇒
 
= − =
 
•
lim ;lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
• Bảng biến thiên:
x
−∞
-1 1
+∞
y’ + 0 - 0 +
y
3
−∞
-1
Đồ thị:
GV: Nguyễn Thị Diệu Trường THPT Trần Phú
a) |x
3
| -3|x| +k = 0. (2)
⇔
|x

3
| -3|x| = -k
⇔
| x
3
| -3|x| +1 = -k +1.
Số nghiệm của pt (2) là số giao điểm của đường cong ( c’) y:= | x
3
| -3|x| +1 và
đường thẳng (d) y = -k +1.
Vẽ đồ thị (c’) y:= | x
3
| -3|x| +1 dựa vào đồ thị (c) . Đồ thị (c’) gồm 2 phần:
phần bên phải trục oy và phần đối xứng qua trục oy của phần bên phải trục oy
của ( c).
(d) y = -k +1. song song với trục hoành.
Dựa vào đồ thị ta được:
• 1-k >1
⇔
k <0 => (2) có 2 nghiệm phân biệt
• 1-k =0
⇔
k =2 => (2) có 3 nghiệm.
• -1< 1-k<1
⇔
0<k<2 => (2) có 4 nghiệm
• 1-k = -1
⇔
k = 2 => (2) có 2 nghiệm
• 1-k <-1

⇔
k>2 => (2) vô nghiệm.
Bài 3: Cho hàm số
2
4 5
2
x x
y
x
− +
=
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( c) của hàm số.
b) Tìm k sao cho pt: k|x-2| = x
2
– 4x +5 vô nghiệm.
Giải:
a)
• D =
¡
•
( )
2
2
4 3
'
2
x x
y
x

− +
=
−
• Y’ = 0
⇔
x
2
– 4x +3 = 0
⇔
1 2
3 2
x y
x y
= = −
 
⇒
 
= =
 
• TC Đ : x=2
• TCX y= x-2
y= -k+1
+
∞
+
∞
-
∞
C Đ
CT

GV: Nguyễn Thị Diệu Trường THPT Trần Phú
• Bảng biến thiên:
x -
∞
1 2 3 +
∞
y’ 0 0
y
-2
-
∞
2
Đồ thị:
b) -2| = x
2
– 4x +5
⇔
2
4 5
2
x x
k
x
− +
=
−
( x= 2 không là nghiệm của pt).’
Đồ thị (c’) của hàm số
2
4 5

2
x x
y
x
− +
=
−
dựa vào đồ thị ( c), đồ thị (c’) gồm 2 phần, phần
đồ thị của ( c) với x>2 và phần đối xứng của ( c) với x<2 qua trục hoành.
Đường thẳng (d) : y = k song song với trục hoành.
y= k
+
∞
+
∞
-
∞
C Đ
CT
GV: Nguyễn Thị Diệu Trường THPT Trần Phú
Dựa vào đồ thị ta được (d) không cắt (c’) khi k<2.
Vậy pt vô nghiệm khi k<2.
Bài 4: Cho hàm số
2
2
1
x x
y
x
− +

=
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (c) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của pt: x
2
- (m+1)x +2 –m =0. (1)
c) Xác định m để pt
2
sin ( 1)sin 2 0x a x a− + + − =
có đúng 2 nghiệm
3
0;
2
π
 
∈
 
 
Giải:
a)
•
{ }
\ 1D = −¡
•
( )
2
2
2 3
'
1

x x
y
x
+ −
=
+
• Y’=0
⇔

2
1 1
2 3 0
3 7
x y
x x
x y
= =
 
+ − = ⇔ ⇒
 
= − = −
 
• TCD : x= -1.
• TCX : y= x – 2.
• Bảng biến thiên:
x -
∞
-3 -1 1 +
∞
y’ 0 0

y
-7
-
∞
1
Đồ thị:
GV: Nguyễn Thị Diệu Trường THPT Trần Phú
b) x
2
- (m+1)x +2 –m =0
⇔
x
2
–x –(x+1)m +2 = 0
⇔

2
2
1
x x
m
x
− +
=
+

Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đường cong ( c)
2
2
1

x x
y
x
− +
=
+
với đường thẳng
(d) y = m song song với trục hoành.
Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:
- -7<m<1 thì pt (1) vô nghiệm
-
7
1
m
m
= −


=

thì pt (1) có đúng một nghiệm.
-
7
1
m
m
< −


>


thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt.
c) Đặt t = sinx , ĐK : t
[ ]
1;1∈ −
pt (2) trở thành t
2
– (m+1)t +2 – m = 0
2
2
1
t t
m
t
− +
⇔ =
+
(do t = -1 không là nghiệm)
Đồ thị hàm số
2
2
1
t t
y
t
− +
=
+
trên (-1;1]
Ứng với một nghiệm t

∈
[0;1) thì pt t = sinx có 2 nghiệm x
∈

3
0;
2
π
 
 
 
Ứng với một nghiệm t
∈
[-1;0) thì pt t = sinx có 1 nghiệm x
∈

3
0;
2
π
 
 
 
Từ kết quả trên và dựa vào đồ thị ta có:
+
∞
+
∞
-
∞

C Đ
CT
GV: Nguyễn Thị Diệu Trường THPT Trần Phú
- Nếu
1 2m< ≤
thì đường thẳng y=m cắt đồ thị tại một điểm có hoành độ
∈

[0;1) => pt (2) có 2 nghiệm x
∈

3
0;
2
π
 
 
 
- Vậy
1 2m< ≤
thì pt (2) có đúng 2 nghiệm x
∈

3
0;
2
π
 
 
 

.
Bài 5: Cho hàm số
2
6 5
2 1
x x
y
x
− +
=
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( c) của hàm số. Từ đó suy ra đồ thị của hàm số
2
6 5
2 1
x x
y
x
− +
=
−
.
b) Dựa vào đồ thị ( c) biện luận số nghiệm của pt: 9x
2
- 2(5+m)x + 5 +m =0.
Giải:
a)
•
1
/

2
D
 
=
 
 
¡
•
2
2
2( 2)
'
(2 1)
x x
y
x
− −
=
−
• y’ = 0
1 4
2 1
x y
x y
= − = −
 
⇔ ⇒
 
= = −
 

.
• TCD: x = ½;
• TCX :
11
2 4
x
y = −
.
- Bảng biến thiên:
x -
∞
-1 1/2 2 +
∞
y’ 0 0
y
-4
-
∞
-1
Đồ thị:
2∆
GV: Nguyễn Thị Diệu Trường THPT Trần Phú
Đồ thị (c’) được suy ra từ đồ thị ( c) như sau: đồ thị (c’) gồm 2 phần:
+ Phần đồ thị của ( c) ứng với phần x> ½
+ phần đối xứng của ( c) qua trục ox ứng với x<1/2.
b) 9x
2
- 2(5+m)x + 5 +m =0 (1)

⇔

x
2
-6x+5 = -8x
2
+4x+2mx-m

⇔
x
2
-6x+5 = (2x-1)(m-4x).

⇔

2
6 5
4
2 1
x x
m x
x
− +
= −
−
Số nghiệm của pt (1) chính là số giao điểm của đồ thị ( c) với đường thẳng (d) y= m-4x.
Gọi (
∆
) là tiếp tuyến của ( c) có hệ số góc k =-4.
Ta có
2
0 0

0
2
0
0 0
0 0
2( 2)
'( ) 4
(2 1)
0 5
1 0
x x
y x
x
x y
x y
− −
= = −
−
= = −
 
⇔ ⇒
 
= =
 
=> có 2 tiếp tuyến là : (
∆
1): y = -4x-5
(
∆
2): y = -4x+4

Vẽ 2 tiếp tuyến (
∆
1), (
∆
2) trên đồ thị lần lượt cắt trục tung tại (0,-5) và (0,4).
Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:
- -5<m<4 thì (d) không cắt ( c) => pt (1) vô nghiệm.
-
5
4
m
m
= −


=

thì (d) tiếp xúc ( c) => pt có 1 nghiệm.
1∆
GV: Nguyễn Thị Diệu Trường THPT Trần Phú
-
4
5
m
m
>


< −


thì (d) cắt ( c) tại 2 điểm phân biệt => pt (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho hàm số y= x
3
+m(x+1) +1. (C
m
).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( c) khi m=3.
b) Dựa vào đồ thị ( c) suy ra đồ thị (c’) :y =
2
3 2x x− −
.
c) Dựa vào đồ thị (c’) hãy biện luận theo m số nghiệm của pt :
3
3x x m− =
Bài 2: Cho hàm số
2
4 4
1
x x
y
x
− +
=
−
( c).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( c). Dựa vào đồ thị ( c) suy ra đồ thị (c’):
2
4 4
1

x x
y
x
− +
=
−
b) Dựa vào đồ thị ( c) biện luận số nghiệm của pt:
2
4 4
( 2) 1
1
x x
m x
x
− +
= − +
−
Bài 3: Cho hàm số
2
3
2
x x
y
x
+ −
=
+
(c).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (c) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (c) suy ra đồ thị của hàm số

2
3
2
x x
y
x
+ −
=
+

c) Dựa và đồ thị (c) biện luận theo m số nghiệm của pt:
2
3
2
2
x x
x m
x
+ −
= +
+
Bài 4: Cho hàm số
2
3 3
2
x x
y
x
+ +
=

+
(c).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (c) của hàm số. suy ra đồ thị hàm số
2
3 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
(c’).
b) Viết pt tiếp tuyến của (c) biết tiếp tuyến này song song với (d): y= 3x-y+6.
Bài 5: Cho hàm số
2
3
2
x
y
x
−
=
−
(c).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (c). từ (c) suy ra đồ thị hàm số
2
3
2
x

y
x
−
=
−
(c’).
b) Dựa vào (c’) biện luận theo m số nghiệm của pt:
2
3
3
2
x
m
x
−
= +
−
Trên đây là chuyên đề giải và biện luận số nghiệm của pt dựa vào đồ thị hàm số
của tôi. Trong quá trình soạn còn nhiều thiếu xót, rất mong nhận được sự đóng góp
thêm của đồng nghiệp. Xin cám ơn!