Tải bản đầy đủ (.doc) (5 trang)

CHUYÊN ĐỀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (63.18 KB, 5 trang )

Chuyên đề
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
( HỒ DŨNG – THCS NHƠN THÀNH )
Trong chương trình toán THCS ta gặp toạ độ giao điểm ( nếu có ) của hai đồ thò y = f(x) và
y = g(x) là nghiệm của hệ phương trình :
f(x)
y = g (x)
y =



. Phương trình hoành độ giao điểm :
f(x) = g(x) (*) . Biện luận số giao điểm của hai đồ thò trên là là biện luận số nghiệm của phương
trình (*) .
I) Sự tương giao giữa đường thẳng (D) y = mx + n và (D’) y = m’x + n’
Toạ độ giao điểm ( nếu có ) của hai đường thẳng (D) và (D’) là nghiệm cũa hệ phương trình
= mx+n
y = m'x+ n'
y



. Phương trình hoành độ giao điểm ( m – m’) x + n – n’ = 0 (*)
+ Phương trình (*) vô nghiệm

(D) // (D’)

m = m’ và n

n’


+Phương trình (*) có nghiệm duy nhất

(D) cắt (D’)

m

m’
+Phương trình (*) vô số nghiệm

(D) trùng (D’)

m = m’ và n = n’
Bài toán 1. Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình : 2kx +( k-1) y = 2 ( k
là tham số )
a) Tìm k để (d) song song với đường thẳng y = x 3 ? Và tính góc tạo bởi (d) với tia Ox .
b) Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất .
Giải :

1) Với k = 1 thì PT (d) là x = 1 , (d) không // y = 3x .Với k

1 . Đưa PT (d) về dạng :
y =
2 2 -2k
. (**) ; (d) // y = 3 3 3(2 3)
1 1 k-1
k
x x k
k k
− + ⇔ = ⇒ = −
− −

khi đó (d) tạo với tia
Ox một góc
α
= 60
0
vì tg
α
= 3
2)+ Với k = 1 thì khoảng cách từ 0 đến (d) là 2 .
+Với k

0 và k

1 , gọi giao điểm của (d) với Ox , Oy là A,B . Thay y = 0 vào (**) ta có : x
A
=
1/k

OA = / 1/k / . Thay x = 0 vào (**) có
H
y = x
d
y
x1
3
0
y
B
= 2/ k – 1 hay OB = / 2/ k – 1 / . Rõ ràng (d) không đi qua gốc toạ độ O với k


0 và 1

AOB vuông có : 1/ OH
2
= 1/ OA
2
+ 1/ OB
2
. Từ đó OH =
2
2
;
5 2 1k k− +

Ta có : 5k
2
-2k +1 = 5 ( k – 1/5 )
2
+4/5

4/5 , mọi k vì vậy OH

5 & OH = 5 khi k = 1/5 . Tóm lại với k = 1/5 thì khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất
Bài toán 2. Cho bất PT : 3(m -1) x +1 > 2m +x ( m là tham số ) .
1) Giải bất PT với m = 1 -2
2
; 2) Tìm m để bất PT nhận mọi giá trò x > 1 là nghiệm .
Giải : 1) Với m = 1 - 2
2
, BPT đã cho có dạng - (6

4 2 1
2 1) 1 4 2 x < .
6 2 1
x

+ > − ⇔
+
2) BPT đã cho viết dưới dạng ( 3m-4)x +(1-2m) > 0 (1)
Xét hàm số f(x) = (3m – 4)x + ( 1 – 2m) . Đồ thò hàm số này là một đường thẳng nên để BPT (1)
đúng với mọi x > 1 thì
3 4 0
3.
(1) 3 0
m
m
f m
− >

⇔ ≥

= − ≥

II) Sự tương giao giữa đường thẳng (D) y = mx+n và parabol (P) y = ax
2
(a

0)
Toạ độ giao điểm ( nếu có) của đường thẳng (D) y = mx+n và parabol (P) y = ax
2
là nghiệm của

hệ phương trình :
2
y mx n
y ax
= +


=

. Phương trình hoành độ giao điểm :
ax
2
–mx – n = 0 (*) . Biện luận số giao điểm của (D) và (P) là biện luận số nghiệm của phương
trình (*)
+Phương trình (*) vô nghiệm

(D) và (P) không có điểm chung .
+ Phương trình (*) có nghiệm kép

(D) tiếp xúc (P) .
+ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

(D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt .
Bài 1. Giá trò nào của m thì đường thẳng ( D) y = m(1-x) tiếp xúc với (P) y = -½ x
2
.Trong trường
hợp (D) tiếp xúc (P) . Tìm toạ độ tiếp điểm .
Giải : Toạ độ giao điểm của (D) và (P) (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình
2
2

(1 )
x
y
y m x

= −



= −

PT hoành độ giao điểm : ½ x
2
+m(1-x) = 0 hay x
2
-2mx +2m = 0 (*)

’ = m
2
– 2m
+ (D) tiếp xúc với (P)

PT(*) có nghiệm kép

m
2
-2m = 0

m = 0 hay m = 2
+ PT các đường thẳng tiếp xúc với (P) : (D

1
) y = 0 tiếp xúc (P) tại 0 (0;0)
+PT hoành độ tiếp điểm của (D
2
) và (P) : x
2
-4x +4 = 0

(x-2)
2
= 0

x = 2 .
Tung độ tiếp điểm y = -½ . 2
2

= -2
Vậy (D
2
) tiếp xúc với (P) tại (2 ; -2)
Bài 2. Chứng minh rằng đường thẳng (D) y = 8mx – 8m
2
( m là tham số ) luôn tiế`p xúc với
parabol (P) y = 2x
2

Hướng dẫn : Chứng minh PT hoành độ giao điểm 2x
2
– 8mx +8m
2

= 0 hay x
2
- 4mx +4m
2
= 0
có nghiệm kép .
Bài 3) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d) : 2x – y – a
2
= 0 và parabol (p)
y = ax
2
( a là tham số dương ) .
1) Tìm a để (d) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A , B . Chứng ming rằng khi đó A,B nằm bên phải
trục tung .
2) Gọi u , v theo thứ tự là hoành độ của A,B . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
4 1
T
u v uv
= +
+
Giải : 1) PT hoành độ giao điểm của đường thẳng (D) và parabol (P) có dạng
ax
2
– 2x +a
2
= 0 (1)
Đường thẳng (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B khi và chỉ khi
3
> 0
0 a < 1 .

' 1-a 0
a

⇔ <

∆ = >

Lúc đó nếu gọi u , v lần lượt là hoành độ của A và B thì theo đònh
lí Vi-ét cho PT (1) ta có u+v = ½ a > 0 và u.v = a > 0 , suy ra A,B nằm về bên phải trục tung
(đpcm) .
2) Từ kết quả 1) ta có T = 2a +
1 1
2 (2 ) , T 2 2a hay
a a
 
≥ ≥
 
 
đạt được khi và chỉ khi a =
2
.
2
Bài 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = - x
2
và đường thẳng (d) đi qua điểm
I( 0 ; -1 ) có hệ số góc k .
1) Viết phương trình đường thẳng (d) . Chứng minh với mọi giá trò của k , (d) luôn cắt (P) tại hai
điểm phân biệt A và B .
2) Gọi hoành độ cùa A và B là x
1

và x
2
, chứng minh
1 2
2 x x− ≥
.
Giải : 1) (d) : y = kx +1 . PT hoành độ giao điểm của (P) và (d) là : x
2
+ kx -1 = 0 . PT này có


> 0

đpcm . 2) x
1
.x
2
= -1 , từ đó
1 2 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
; x & cung dau nen x 2x x x x
x x x x
− = + + = + ≥
;
Bài 5. Cho hàm số y = -¼ x
2
.
1) Vẽ đồ thò (P) củahàm số trên .
2) Gọi I là điểm thuộc đường thẳng y = 1 và có hoành độ m ( m là tham số ) . Chứng minh rằng

từ I ta có thể vẽ được hai đường thẳng tiếp xúc với (P) .
Hướng dẫn :
1) Vẽ (P)
2) I(m;1)

(D)

1 = am +b

b = 1- am . Lúc đó (D) y = ax + (1 – am )
PT hoành độ giao điểm của (D) và (P) :
x
2
+4ax +4 – 4am = 0

’ = 4a
2
+ 4ma – 4
(D) tiếp xúc (P)

4a
2
+4ma – 4 = 0 (1)
Do 4 và -4 trái dấu nên PT (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

R , điều này
chứng tỏ có hai đường thẳng vẽ từ I tiếp xúc với (P) , đó là :
(D
1
) y = a

1
x + (1 – a
1
m )
(D
2
) y = a
2
x + ( 1 – a
2
m ) , ( Trong đó a
1
, a
2
là nghiệm phương trình (1) )


Bài 6. Cho hàm số y = x
2

a) Vẽ đồ thò (P)
b) Trên (P) lấy hai điểm A và B có hoành độ là – 1 và 2 . Viết PT đường thẳng AB .
c) Trên cung AB của (P) tìm điểm C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất .
Hướng dẫn :
a) HS thực hiện ( Hình vẽ bên dưới )
b) Tìm toạ độ các điểm A,B
A(-1 ; 1) B(2;4)
Phương trình đường thẳng AB là (D) y = x +2 .
c) Tìm điểm C( x
0

; y
0
)

(P) tại đó đường thẳng (D’) tiếp xúc với (P) và song song với (D) .
+Đường thẳng (D’) song song với (D) có dạng : y = x + b
+PT hoành độ giao điểm ( nếu có ) giữa (D’) và (P) : x
2
– x – b = 0 , vì (D’) tiếp xúc với (P) nên
PT hoành độ giao điểm trên có nghiệm kép , tức là :

= 1 + 4b = 0

b = -¼
+ Lúc đó hoành độ giao điểm là x = ½ và tung độ giao điểm là y = ¼
+ Vậy điểm C( ½ ; ¼ ) và (D’) y = x – ¼ song song với (D) và tiếp xúc (P) .
+Ta có diện tích tam giác MAB
S = ½ MH’.AB ( MH’ là khoảng cách từ M

cung AB đến (D) )
Do AB không đổi nên S lớn nhất

MH’ lớn nhất .
Ta có MH’

CH ( vì M nằm giữa hai đường thẳng song song (D) và (D’) ) nên khoảng cách từ
-5
5
2
-2

-4
y
x
I
0
B
A
f x
( )
=
-x
2
4
M đến đường thẳng (D) nhỏ hơn khoảng cách giữa hai đường thẳng song song này .
Dấu “ = “ xảy ra

M trùng C
Vậy C ( ½ ; ¼ ) là điểm thuộc cung AB sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất .


M
y
x
(D')
(D)
(p)
H'
H
O
C

B
A

×