CHUYÊN ĐỀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH

Chuyên đề
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
( HỒ DŨNG – THCS NHƠN THÀNH )
Trong chương trình toán THCS ta gặp toạ độ giao điểm ( nếu có ) của hai đồ thò y = f(x) và
y = g(x) là nghiệm của hệ phương trình :
f(x)
y = g (x)
y =



. Phương trình hoành độ giao điểm :
f(x) = g(x) (*) . Biện luận số giao điểm của hai đồ thò trên là là biện luận số nghiệm của phương
trình (*) .
I) Sự tương giao giữa đường thẳng (D) y = mx + n và (D’) y = m’x + n’
Toạ độ giao điểm ( nếu có ) của hai đường thẳng (D) và (D’) là nghiệm cũa hệ phương trình
= mx+n
y = m'x+ n'
y



. Phương trình hoành độ giao điểm ( m – m’) x + n – n’ = 0 (*)
+ Phương trình (*) vô nghiệm
⇔
(D) // (D’)
⇔
m = m’ và n
≠
n’

+Phương trình (*) có nghiệm duy nhất
⇔
(D) cắt (D’)
⇔
m
≠
m’
+Phương trình (*) vô số nghiệm
⇔
(D) trùng (D’)
⇔
m = m’ và n = n’
Bài toán 1. Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình : 2kx +( k-1) y = 2 ( k
là tham số )
a) Tìm k để (d) song song với đường thẳng y = x 3 ? Và tính góc tạo bởi (d) với tia Ox .
b) Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất .
Giải :

1) Với k = 1 thì PT (d) là x = 1 , (d) không // y = 3x .Với k
≠
1 . Đưa PT (d) về dạng :
y =
2 2 -2k
. (**) ; (d) // y = 3 3 3(2 3)
1 1 k-1
k
x x k
k k
− + ⇔ = ⇒ = −
− −

khi đó (d) tạo với tia
Ox một góc
α
= 60
0
vì tg
α
= 3
2)+ Với k = 1 thì khoảng cách từ 0 đến (d) là 2 .
+Với k
≠
0 và k
≠
1 , gọi giao điểm của (d) với Ox , Oy là A,B . Thay y = 0 vào (**) ta có : x
A
=
1/k
⇒
OA = / 1/k / . Thay x = 0 vào (**) có
H
y = x
d
y
x1
3
0
y
B
= 2/ k – 1 hay OB = / 2/ k – 1 / . Rõ ràng (d) không đi qua gốc toạ độ O với k
≠

0 và 1
∆
AOB vuông có : 1/ OH
2
= 1/ OA
2
+ 1/ OB
2
. Từ đó OH =
2
2
;
5 2 1k k− +

Ta có : 5k
2
-2k +1 = 5 ( k – 1/5 )
2
+4/5
≥
4/5 , mọi k vì vậy OH
≥
5 & OH = 5 khi k = 1/5 . Tóm lại với k = 1/5 thì khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất
Bài toán 2. Cho bất PT : 3(m -1) x +1 > 2m +x ( m là tham số ) .
1) Giải bất PT với m = 1 -2
2
; 2) Tìm m để bất PT nhận mọi giá trò x > 1 là nghiệm .
Giải : 1) Với m = 1 - 2
2
, BPT đã cho có dạng - (6

4 2 1
2 1) 1 4 2 x < .
6 2 1
x
−
+ > − ⇔
+
2) BPT đã cho viết dưới dạng ( 3m-4)x +(1-2m) > 0 (1)
Xét hàm số f(x) = (3m – 4)x + ( 1 – 2m) . Đồ thò hàm số này là một đường thẳng nên để BPT (1)
đúng với mọi x > 1 thì
3 4 0
3.
(1) 3 0
m
m
f m
− >

⇔ ≥

= − ≥

II) Sự tương giao giữa đường thẳng (D) y = mx+n và parabol (P) y = ax
2
(a
≠
0)
Toạ độ giao điểm ( nếu có) của đường thẳng (D) y = mx+n và parabol (P) y = ax
2
là nghiệm của

hệ phương trình :
2
y mx n
y ax
= +


=

. Phương trình hoành độ giao điểm :
ax
2
–mx – n = 0 (*) . Biện luận số giao điểm của (D) và (P) là biện luận số nghiệm của phương
trình (*)
+Phương trình (*) vô nghiệm
⇔
(D) và (P) không có điểm chung .
+ Phương trình (*) có nghiệm kép
⇔
(D) tiếp xúc (P) .
+ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
⇔
(D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt .
Bài 1. Giá trò nào của m thì đường thẳng ( D) y = m(1-x) tiếp xúc với (P) y = -½ x
2
.Trong trường
hợp (D) tiếp xúc (P) . Tìm toạ độ tiếp điểm .
Giải : Toạ độ giao điểm của (D) và (P) (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình
2
2

(1 )
x
y
y m x

= −



= −

PT hoành độ giao điểm : ½ x
2
+m(1-x) = 0 hay x
2
-2mx +2m = 0 (*)
∆
’ = m
2
– 2m
+ (D) tiếp xúc với (P)
⇔
PT(*) có nghiệm kép
⇔
m
2
-2m = 0
⇔
m = 0 hay m = 2
+ PT các đường thẳng tiếp xúc với (P) : (D

1
) y = 0 tiếp xúc (P) tại 0 (0;0)
+PT hoành độ tiếp điểm của (D
2
) và (P) : x
2
-4x +4 = 0
⇔
(x-2)
2
= 0
⇔
x = 2 .
Tung độ tiếp điểm y = -½ . 2
2

= -2
Vậy (D
2
) tiếp xúc với (P) tại (2 ; -2)
Bài 2. Chứng minh rằng đường thẳng (D) y = 8mx – 8m
2
( m là tham số ) luôn tiế`p xúc với
parabol (P) y = 2x
2

Hướng dẫn : Chứng minh PT hoành độ giao điểm 2x
2
– 8mx +8m
2

= 0 hay x
2
- 4mx +4m
2
= 0
có nghiệm kép .
Bài 3) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d) : 2x – y – a
2
= 0 và parabol (p)
y = ax
2
( a là tham số dương ) .
1) Tìm a để (d) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A , B . Chứng ming rằng khi đó A,B nằm bên phải
trục tung .
2) Gọi u , v theo thứ tự là hoành độ của A,B . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
4 1
T
u v uv
= +
+
Giải : 1) PT hoành độ giao điểm của đường thẳng (D) và parabol (P) có dạng
ax
2
– 2x +a
2
= 0 (1)
Đường thẳng (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B khi và chỉ khi
3
> 0
0 a < 1 .

' 1-a 0
a

⇔ <

∆ = >

Lúc đó nếu gọi u , v lần lượt là hoành độ của A và B thì theo đònh
lí Vi-ét cho PT (1) ta có u+v = ½ a > 0 và u.v = a > 0 , suy ra A,B nằm về bên phải trục tung
(đpcm) .
2) Từ kết quả 1) ta có T = 2a +
1 1
2 (2 ) , T 2 2a hay
a a
 
≥ ≥
 
 
đạt được khi và chỉ khi a =
2
.
2
Bài 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = - x
2
và đường thẳng (d) đi qua điểm
I( 0 ; -1 ) có hệ số góc k .
1) Viết phương trình đường thẳng (d) . Chứng minh với mọi giá trò của k , (d) luôn cắt (P) tại hai
điểm phân biệt A và B .
2) Gọi hoành độ cùa A và B là x
1

và x
2
, chứng minh
1 2
2 x x− ≥
.
Giải : 1) (d) : y = kx +1 . PT hoành độ giao điểm của (P) và (d) là : x
2
+ kx -1 = 0 . PT này có

∆
> 0
⇒
đpcm . 2) x
1
.x
2
= -1 , từ đó
1 2 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
; x & cung dau nen x 2x x x x
x x x x
− = + + = + ≥
;
Bài 5. Cho hàm số y = -¼ x
2
.
1) Vẽ đồ thò (P) củahàm số trên .
2) Gọi I là điểm thuộc đường thẳng y = 1 và có hoành độ m ( m là tham số ) . Chứng minh rằng

từ I ta có thể vẽ được hai đường thẳng tiếp xúc với (P) .
Hướng dẫn :
1) Vẽ (P)
2) I(m;1)
∈
(D)
⇔
1 = am +b
⇔
b = 1- am . Lúc đó (D) y = ax + (1 – am )
PT hoành độ giao điểm của (D) và (P) :
x
2
+4ax +4 – 4am = 0
∆
’ = 4a
2
+ 4ma – 4
(D) tiếp xúc (P)
⇔
4a
2
+4ma – 4 = 0 (1)
Do 4 và -4 trái dấu nên PT (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
∈
R , điều này
chứng tỏ có hai đường thẳng vẽ từ I tiếp xúc với (P) , đó là :
(D
1
) y = a

1
x + (1 – a
1
m )
(D
2
) y = a
2
x + ( 1 – a
2
m ) , ( Trong đó a
1
, a
2
là nghiệm phương trình (1) )


Bài 6. Cho hàm số y = x
2

a) Vẽ đồ thò (P)
b) Trên (P) lấy hai điểm A và B có hoành độ là – 1 và 2 . Viết PT đường thẳng AB .
c) Trên cung AB của (P) tìm điểm C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất .
Hướng dẫn :
a) HS thực hiện ( Hình vẽ bên dưới )
b) Tìm toạ độ các điểm A,B
A(-1 ; 1) B(2;4)
Phương trình đường thẳng AB là (D) y = x +2 .
c) Tìm điểm C( x
0

; y
0
)
∈
(P) tại đó đường thẳng (D’) tiếp xúc với (P) và song song với (D) .
+Đường thẳng (D’) song song với (D) có dạng : y = x + b
+PT hoành độ giao điểm ( nếu có ) giữa (D’) và (P) : x
2
– x – b = 0 , vì (D’) tiếp xúc với (P) nên
PT hoành độ giao điểm trên có nghiệm kép , tức là :
∆
= 1 + 4b = 0
⇔
b = -¼
+ Lúc đó hoành độ giao điểm là x = ½ và tung độ giao điểm là y = ¼
+ Vậy điểm C( ½ ; ¼ ) và (D’) y = x – ¼ song song với (D) và tiếp xúc (P) .
+Ta có diện tích tam giác MAB
S = ½ MH’.AB ( MH’ là khoảng cách từ M
∈
cung AB đến (D) )
Do AB không đổi nên S lớn nhất
⇔
MH’ lớn nhất .
Ta có MH’
≤
CH ( vì M nằm giữa hai đường thẳng song song (D) và (D’) ) nên khoảng cách từ
-5
5
2
-2

-4
y
x
I
0
B
A
f x
( )
=
-x
2
4
M đến đường thẳng (D) nhỏ hơn khoảng cách giữa hai đường thẳng song song này .
Dấu “ = “ xảy ra
⇔
M trùng C
Vậy C ( ½ ; ¼ ) là điểm thuộc cung AB sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất .


M
y
x
(D')
(D)
(p)
H'
H
O
C

B
A