tiểu luận thông tin số

LỜI NÓI ĐẦU
Thế giới ngày nay đang tiến đến nền kinh tế tri thức, trong đó thơng tin đóng vai
trị rất quan trọng. Trao đổi thông tin hằng nay là hoạt động không thể thiếu đối với mỗi
chúng ta. Công nghệ viễn thông đã và đang phát triển rất nhanh nhằm cung cấp nhiều loại
hình dịch vụ đáp ứng nhu cầu ngày càng cao của con người. Nhờ sự phát triển rất mạnh
của các hệ thống viễn thông, con người có thể trao đổi thơng tin với nhau ở khắp nơi trên
thế giới.
Các hệ thống thông tin di động, thông tin vệ tin, hệ thống truyền hình giúp chúng
ta có thể kết nối, trao đổi và chia sẻ thông tin trên tồn thế giới mà khơng cịn khái niệm
xa, gần.
Như vậy trong lần trình bày này thì tơi sẽ đề cập nội dung chính về là trong tài liệu
tham khảo này

“MODERN DIGITAL AND ANALOG COMMUNICATION

SYSTEMS” tôi sẽ đề cập đến các loại năng lượng tín hiệu và mật độ phổ năng lượng và
các q trình đều có cơng cụ để biến đổi chứng minh cụ thể và sử dụng công thức của ông
Fourier để biến đổi và các việc làm này gồm các quy trình đã phân tích ở trên.
Trong q trình thực hiện đề tài, mặc dù tơi đã rất cố gắng để hồn thiện tốt nhiệm
vụ của mình. Nhưng, đề tài chắc chắn không thể tránh khỏi được những thiếu sót nhất
định.Trong phạm vi đề tài này tơi tập trung vào tìm hiểu về các loại năng lượng tín hiệu
và mật độ phổ năng lượng đó như thế nào. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của
Thầy để đề tài có thể hồn thiện hơn nữa.

1


MỤC LỤC

DANH SÁCH HÌNH VẼ

2


DANH SÁCH VÍ DỤ

3


CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ TRUYỀN NĂNG LƯỢNG TÍN HIỆU
Tín hiệu có thể được biểu thị khơng chỉ dạng sóng và phổ của chúng mà cịn
bằng năng lượng, cơng suất và hiệu suất tương quan.
Có thể tìm thấy một trong những ví dụ ấn tượng nhất về việc sử dụng năng
lượng của các tín hiệu trong thực tế trong các radar, ở đây xung thẩm vấn được
truyền đi cũng bị trễ ở máy thu.
Khi thời gian trễ trở nên bằng với thời gian trong xung nhận được năng
lượng chung của hai tín hiệu đạt cực đại. Thơng qua độ trễ thời gian được xác định,
khoảng cách giữa máy dị hỏi và mục tiêu được đo.
Năng lượng tín hiệu trong miền tần số cũng được sử dụng rộng rãi, ví dụ
như là phổ năng lượng tín hiệu có thể bị hạn chế trong các kênh truyền thơng có
băng thơng thiết yếu mà trong đó tín hiệu chứa khoảng 90 đến 95% tổng năng
lượng của nó. Để sở hữu các đặc tính năng lượng cần thiết của một tín hiệu phải có
dạng sóng nhất định được giải thích rõ ràng trong q trình phân tích tương quan.

CHƯƠNG II: MẬT ĐỘ PHỔ NĂNG LƯỢNG
1. Định lý Parseval
-

Năng lượng tín hiệu có thể liên quan đến phổ tín hiệu
như sau:

4

G (ω )

từ đó có phương trình


-

Từ đó giá trị

g * (t )

cũng là liên từ của giá trị

g (t )

và cũng có thể được biểu diễn

dưới dạng liên hợp và bây giờ sẽ hoán đổi thứ tự thích hợp và có phương trình như
sau:
-

Đó là những phát biểu nổi tiếng của định lý Parseval, từ đó thu được một kết quả

-

tương tự thu được đối với một tín hiệu tuần hồn và chuỗi Fourier.
Kết quả trên cho phép người dùng xác định năng lượng tín hiệu từ đặc điểm miền
thời gian

g (t )

hoặc đặc điểm miền tần số

G (ω )

cùng một tín hiệu trên.

• Ví dụ 1: Xác định định lý Parseval cho tín hiệu như sau:

g (t ) = e− at u (t )

( a > 0)

Giải:
Ta có:

Eg =

∞

∫

−∞

Giờ ta có

Eg

từ phổ tín hiệu

∞

g (t )dt = ∫ e −2 at dt =
2

0

G (ω )

G (ω ) =

1
2a

được cho bởi hàm:

1
a + jω

(2)

Và từ (1) trên thì có dạng hồn chỉnh như sau:
-

Từ ví dụ trên thì chứng minh được là cơng thức của định lý Parseval rất hiệu quả.

2. Mật độ phổ năng lượng
-

Định nghĩa: Trong xử lý tín hiệu thống kê và vật lý, mật độ phổ, mật độ phổ công
suất (PSD), hoặc mật độ phổ năng lượng (ESD) 1, là một hàm thực và dương theo
biến tần số gắn với các quá trình ngẫu nhiên dừng, hoặc hàm xác định theo thời
gian, có thứ ngun là cơng suất trên Hz, hoặc năng lượng trên Hz. Nó thường

1 ESD: (Energy Spectrum Density) Mật độ phổ năng lượng

5


được gọi đơn giản là phổ của tín hiệu. Qua trực giác, mật độ phổ giữ lại phổ tần
suất của q trình ngẫu nhiên và giúp nhận dạng tính tuần hồn.2
-

Từ cơng thức (1) trên thì có thể được hiểu là năng lượng của tín hiệu

g (t )

quả của năng lượng được tích hợp bởi tất cả các thành phần phổ của tín hiệu

Do đó thành phần phổ của tần số

ω

là có giá trị tương ứng với

thêm điều này thì hãy nhìn xem xét một tín hiệu
của bộ lọc thơng dải lý tưởng, có hàm truyền
-

và tập trung ở tần số

Nếu đầu ra của bộ lọc là

và
-

H (ω )

g (t )

.

2

. Để hiểu rõ

được áp dụng tại đầu vào

được hiển thị trong (hình 1.a)

dưới:
Bộ lọc này có cái đặc biệt là loại bỏ tất cả các tần số ngoại trừ các dải hẹp

∆ω (∆ω → 0)
-

g (t )

G (ω )

là kết

Ey

Bởi vì

y (t )

ω0

như hình 1b dưới.

thì biến đổi Fourier của nó là

, do đó năng lượng của đầu ra của

H (ω ) = 1

trên băng thông

∆ω

y (t )

Y (ω ) = G ( ω ) H ( ω )

là:

và bằng 0 ở mỗi nơi khác, tích phân của

phía bên phải trong (hình 1.b) thì ta có dạng (đối với

∆ω → 0

):

2 Trích dẫn tài liệu tham khảo bên ngồi: Wikipedia, Mật độ phổ năng lượng, Internet: 04/11/2021 lúc 12:03, (đã truy
cập ngày 03/01/2022).

6


a)

b)
Hình 1:Mật độ phổ năng lượng của một tín hiệu 3

-

Do đó

2 | G (ω ) |2 df

là năng lượng do các thành phần của phổ đóng góp trong hai

dải hẹp, mỗi dải có độ rộng

| G (ω ) |2

∆f Hz

, có tâm là

±ω0

. Do đó ta có thể diễn giải

là năng lượng trên một đơn vị băng thông và được tín bằng Hertz của các

thành phần phổ của

g (t )

tập trung ở tần số

| G (ω ) |

ω

.

2

-

Có cách trình bày khác của

là mật độ năng lượng trên một đơn vị băng

g (t )

-

thơng tính bằng Hertz của giá trị
.
Nhưng trong thực tế thì năng lượng đóng góp trên một đơn vị băng thông là gấp

đôi của

| G (ω ) |2

có nghĩa là

2 | G (ω ) |2

bởi vì thành phần tần số dương và âm

được kết hợp với nhau để tạo thành các thành phần trong dải

∆f

. Tuy nhiên để

thuận lợi trong q trình thực hiện thì tơi sẽ coi các thành phần tần số âm dương là
3 Hình ảnh sử dụng được mơ tả và vẽ lại trong tài liệu: A. Sedra, Modern Digital And Analog Communication
Systems, Oxford University Press: New York, 1998.

7

được sống độc lập, bởi vì có một số tác giả đã định nghĩa rằng

2 | G (ω ) |2

là mật

độ phổ năng lượng rồi cho nên do đó mật độ phổ năng lượng của tín hiệu năng

lượng là đại lượng này

φg (t )

sẽ được định nghĩa là dưới đây:

φg (ω ) =| G (ω ) |2
-

Từ (1) trên thì có thể được viết dưới dạng phương trình của

Eg =

-

1
2π

∞

∫φ

(ω )d ω =

g

−∞

∞

∫φ

g

φg (t )

này như sau:

(ω )df

−∞

Từ kết quả của ví dụ 1 trên thì mật độ phổ năng lượng có tín hiệu

g (t ) = e − at u (t )

như thế này được viết dưới dạng là:

φg (ω ) =| ( G (ω ) |2 =

1
ω + a2
2

(3)
 Hoặc có thể sử dụng cách biến đổi Fourier khác nhưng kết quả vẫn không đổi và

ϕ x ( τ ) ↔ X (ω )

được dựa theo tính chất của phổ (ở tính chất 13) ta có dạng
 Người đọc sẽ thắc mắc rằng tính chất 13 sẽ nằm ở đâu?
 Tính chất 13 của phổ hàm tương quan và tự tương quan.
o Theo định nghĩa thì ta có:

ϕ xy ( τ ) =

2

.4

∞

∫ x(t ) y (t − τ )dt = x(t ). y
*

*

−∞

F [ϕ xy ( τ ) ] = X (ω ).Y * (ω )

o Đối với hàm tự tương quan thì

x(t ) = y (t )

F [ϕ x ( τ ) ] = X ( ω ) = φ ( ω )
2

-

Như vậy thì

ϕ (τ ) & φ (ω )

→
mật độ phổ năng lượng

là cặp biến đổi Fourier

4 Trích dẫn tham khảo tài liệu bên ngồi và đã có sửa đổi: P. V. Duẩn, Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu chương 3,
slideshare.net: Link dẫn: 2010.

8


∞

φ ( ω ) = ∫ ϕ x ( τ ) .e − jωτ dτ
−∞

1

ϕx ( τ ) =
2π

∞

∫ φ ( ω ) .e

jωτ

dω

−∞

(HTTQ)5
 Với tín hiệu thực thì ở hàm tương tự quan (HTTQ) đó là chẵn, do đó mật độ
phổ năng lượng cũng làm hàm chẵn theo
• Khi thay giá trị

τ =0

ω

vào phương trình (2) trên thì ta có dang:
∞

1
ϕ x (0) =
2π

∫ φ ( ω ) dω = E

x

−∞

(4)
• (4) Năng lượng của tín hiệu được xác định trong miền tần số.
• Như vậy năng lượng của tín hiệu có thể xác định theo 3 cách sau:
 Tính trực tiếp từ tích phân bình thường tín hiệu

Ex = ϕ ( 0 )

 Tính từ hàm tự tương quan
 Tính từ mật độ phổ năng lượng.

1
Ex =
2π

∞

-

−ω1

.

.

∞

1
φ
(
ω
)
d
ω
=
φ (ω )
∫
π ∫0
−∞

o Năng lượng một dải tần

1
Ex =
2π

Ex = [x 2 ]

∆ω = ω2 − ω1

1
∫−ω φ ( ω ) dω + 2π
2

ω1

(when

φ

is even)6
ω

1 2
∫ω φ ( ω ) dω → Ex = π ω∫ φ ( ω ) dω
2
1
(when φ  is even)

Để hiểu rõ hơn cách biến đổi này thì sẽ ví dụ mẫu một câu để tham khảo.
• Ví dụ 2: Tìm mật độ phổ năng lượng và năng lượng của tín hiệu

x(t ) = e −α t .1.(t )
Ta có:

5 HTTQ: Hàm tự tương quan
6 when is even: Khi là chẵn

9

(α > 0)


X (ω ) =

1

1
⇒φ ( ω) = 2
α + jω
α +ω2

ϕ (τ ) = F −1[φ ( ω ) ] =

1 −α τ
1
.e
⇒ Ex =
2α
2α
 3

∆ω = 
α ,α ÷
 3


Năng lượng tín hiệu trong dải tần:
Mật độ phổ năng lượng tương hỗ:
Tương tự:

Bởi vì hệ tương quan có tính chất này nên.

10


CHƯƠNG III: NĂNG LƯỢNG TÍN HIỆU

1. Năng lượng tín hiệu
-

Có một loại tín hiệu quan trọng, năng lượng là hữu hạn do đó tích phân trong hội

-

tụ, các tín hiệu thực sẽ không theo chu kỳ thuộc về lớp này.
Định nghĩa năng lượng tín hiệu là một tín hiệu năng lượng hoặc tín hiệu năng
lượng hữu hạn nếu năng lượng của nó là hữu hạn trong các giởi hạn thời gian vơ
hạn, tất cả các tín hiệu năng lượng hữu hạn đều biến mất ở dạng vô cùng.

2. Băng thông thiết yếu của một tín hiệu.
-

Năng lượng của tín hiệu thực tế là hữu hạn cho nên phổ của tín hiệu phải tiến tới 0
là

ω →∞

. Hầu hết mọi năng lượng tín hiệu được giới hạn trong một dải tần của B

hz nhất định và nội dung năng lượng của các thành phần có tần số lớn hơn B hz
-

nhưng khơng đáng kể lắm.
Do đó, ta có thể triệt tiêu phổ tín hiệu được vượt quá B hz với ảnh hưởng nhỏ đến

-

hình dạng và năng lượng của tín hiệu.
Băng thơng B được gọi là băng thơng chính của tín hiệu.
Tiêu chí để chọn B phải phụ thuộc vào khả năng chịu lỗi trong một ứng dụng có cụ
thể nhất định như là ta có thể chọn B là băng tần có sức chứa khoảng 95% năng
lượng tín hiệu. Với con số trên có thể cao hơn hoặc thấp hơn 95% đó đều phải tùy

-

thuộc vào độ chính xác cần thiết nhất.
Muốn sử dụng được tiêu chí như vậy, ta có thể phải xác định được băng thơng thiết
yếu của tín hiệu như là việc triệt tiêu tất cả các thành phần phổ của

g (t )

nếu vượt

quá băng thông cơ bản thì sẽ dẫn đến tín hiệu của cho nên tín hiệu gần đúng của

g (t )

-

.
Nếu ta sử dụng tiêu chí 95% cho một băng thơng thiết yếu thì năng lượng của sai

số và sự khác biệt của

g (t ) gˆ (t )
-

là 5% của

11

Eg

.


• Ví dụ 3: Quy trình ước tính băng thơng cơ bản của W rad/s của một tín

hiệu

e − at u (t )

nếu băng tần thiết yếu mà được yêu cầu lưu trữ khoảng 95%

của năng lượng tín hiệu.
 Trong trường hợp này thì sử dụng cơng thức phổ tín hiệu

G (ω )

từ số (2)

trên:

G (ω ) =

1
a + jω

 Từ (3) trên và có mật độ phổ năng lượng là:

G( ω) =
2

1
ω 2 + a2

 Với mật độ phổ năng lượng này là được hiển thị như hình 2 bên dưới, so với

năng lượng tín hiệu

Eg

là

1
2π

này mà đã được tìm thấy là

lần diện tích theo với mật độ phổ năng lượng

1
2a

, gọi W rad/s là băng thông cơ bản được

chứa khoảng 95% của tổng năng lượng tín hiệu

1
2π

Eg

, từ điều này có nghĩa là

lần diện tích mà được tơ gạch chéo chéo bên dưới hình 2 là

nghĩa là

12

0,95
2a

có


0,95 1
⇒
=
2a
2π

dω
∫− W ω 2 + a2
W

⇔

1
ω W
.tan −1 .
2π a
a −W

0,95π
W
= tan −1 .
2
a
rad / s

1
W
.tan −1 .
πa
a
⇒ W = 12,706a
⇔

⇔

Hình 2 7

 Kết luận lại những điều này có nghĩa rằng là các thành phần phổ của

g (t )

nằm trong dải từ 0 đến 12,706 rad/s (2,02 Hz) đã góp phần 95% tổng năng
lượng tín hiệu và cịn tất cả các thành phần quang phổ còn lại từ trong dải từ
12,706 rad/s trở về đến
-

∞

thì chỉ đóng góp được 5% năng lượng tín hiệu

mà thơi.
Để hiểu rõ hơn về những năng lượng tín hiệu này thì sẽ ví dụ thêm một câu nữa.

7 Hình ảnh sử dụng được mô tả và vẽ lại trong tài liệu: A. Sedra, Modern Digital And Analog Communication
Systems, Oxford University Press: New York, 1998.

13


• Ví dụ 4: Cho một lượng băng thơng thiết yếu của một xung hình chữ nhật

t 
g ( t ) = rect  ÷
T 

như hình 3 bên dưới, trong đó băng thơng cơ bản phải

chiếm ít nhất khoảng 90% năng lượng xung. Hãy tìm giá trị năng lượng
cịn lại?

Hình 3: Giản đồ thị xung hình chữ nhật 8

 Giả sử cho xung này năng lượng

Eg =

Eg

∞

∫g

−∞

2

là:

(t )dt =

T
2

∫ dt = T

−

T
2

 Bởi vì là do:

t
rect 
T


 ωT 
÷ ⇔ T sin c 
÷

 2 

 Vậy mật độ phổ năng lượng cho xung này là:
8 Hình ảnh sử dụng được mô tả và vẽ lại trong tài liệu: A. Sedra, Modern Digital And Analog Communication
Systems, Oxford University Press: New York, 1998.

14


2
 ωT 
φg (ω ) = G ( ω ) = T 2 sin c 2 
÷
 2 

 Mật độ phổ năng lượng này là được hiển thị ở hình 4 bên dưới và có một
hàm của

ωT

và cũng như

Như vậy năng lượng của

Ew

fT

, khi đó f là tần số được tính đơn vị là Hz.

trong băng thơng từ 0 đến W rad/s được đưa ra

giá trị như sau:

1
EW =
2π

 Đặt

ωT = x

dω =
là trong tích phân

EW =

 Bởi vì

2
2  ωT
T
sin
c

∫
 2
−W
W

Eg = T

T
π

1
dx
T

WT

∫ sin c

2

0


÷dω



và ta thu được như sau:

x
 ÷dx
2

nên ta có thể biến đổi như thế này:

EW 1
=
Eg π

15

WT

∫ sin c
0

2

 x
 ÷dx
2


Hình 4: Mật độ phổ năng lượng hiển thị cho giá trị tần số 9

 Từ đó nhìn thấy rằng tích phân ở phía bên phải được tính bằng số và độ thị

của

EW
Eg

với giá trị WT được hiển thị trên hình 5, nhưng lưu ý rằng 90,28 là

tổng năng lượng của xung

B=
hoặc

1
hz
T

g (t )

W=
là được nằm trong dải

2z
rad / s
T

. Do đó muốn sử dụng tiêu chí 90% băng thơng của một

xung hình chữ nhật có chiều rộng T giây là mất khoảng

1
Hz
7

. Cũng như

kết quả thu được có giá trị tương đương như Ví dụ 3 trên.

9 Hình ảnh sử dụng được mô tả và vẽ lại trong tài liệu: A. Sedra, Modern Digital And Analog Communication
Systems, Oxford University Press: New York, 1998.

16


EW / E g
Hình 5:Giản đồ thị giá trị miền của hàm

10

3. Điều chế năng lượng tín hiệu
-

Ta có thể thấy rằng điều chế khi dịch chuyển phổ tín hiệu
theo bởi

ω0

G (ω )

sang trái và phải

thì bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng với một điều tương tự xảy ra với

mật độ phổ năng lượng của tín hiệu điều chế.
-

Giả sử như

g (t )

là một dải tần tín hiệu cơ sở có băng thơng giới hạn ở B Hz thì

biên độ của tín hiệu điều chế

-

ϕ (t )

là:

ϕ (t ) = g (t )cos ω0t

Và quang phổ (biến đổi Fourier) của

ϕ (t)

là:

10 Hình ảnh sử dụng được mơ tả và vẽ lại trong tài liệu: A. Sedra, Modern Digital And Analog Communication

Systems, Oxford University Press: New York, 1998.

17


1
X (ω ) = G ( ω + ω0 ) + G ( ω − ω0 ) 
2
-

Do đó mật độ phổ năng lượng của điều chế tín hiệu

ϕ (t )

X (ω )

là

2

cho nên có

hàm như sau là:
2

1

φ (ω ) =  G ( ω + ω0 ) + G ( ω − ω0 ) ÷
2


2
1
φ (ω ) = G ( ω + ω0 ) + G ( ω − ω0 )
4

2
2
1
φϕ (ω ) =  G ( ω + ω0 ) + G ( ω − ω0 ) 

4
1
= φg ( ω + ω0 ) + φg ( ω − ω0 ) 
4

-

Nếu

ω0 ≥ 2π B

, sau đó

G (ω + ω0 )

và

G (ω − ω0 )

18

thì ta sẽ thấy đồ thị ở hình 6


Hình 6 11

-

Vậy mật độ phổ năng lượng (ESD) của cả hai

g (t)

và tín hiệu điều chế

ϕ (t )

được

thể hiện qua hình 7, như vậy là trong quá trình điều chế đã làm thay đổi ESD của

g (t )

bởi

±ω0

, cho nên việc quan sát rằng diện tích dưới

φϕ (ω )

là bằng một nữa

φg (ω )

-

diện tích của
.
Bởi vì năng lượng của một tín hiệu là tỷ lệ với diện tích dưới ESD có nghĩa là năng
lượng của

ϕ (t)

là chỉ bằng một nữa năng lượng của

1
Eϕ = .Eg
2

g (t )

cho nên có nghĩa là:

ω0 ≥ 2π B

11 Hình ảnh sử dụng được mô tả và vẽ lại trong tài liệu: A. Sedra, Modern Digital And Analog Communication
Systems, Oxford University Press: New York, 1998.

19

-

Điều đó cho thầy rằng là khi một tín hiệu
so với

g (t )

ϕ (t )

, đã có xuất hiện nhiều năng lượng

với lại chỉ có một nữa năng lượng của

g (t )

, cho nên năng lượng của

một tín hiệu có tỷ lệ với bình phương biên độ của nó và các biên độ cao hơn thì sẽ
được tích góp nhiều năng lượng hơn nữa.
-

Như thế tín hiệu

ϕ (t )

do hệ số

g (t )

cos ω0t

vẫn ở mức biên độ cao hơn tại thời điểm đó, mặt khác thì
bị giảm xuống mức biên độ bằng 0 nhiều lần do đó điều này

đã làm giảm năng lượng của nó xuống.

Hình 7 12

4. Hàm tự tương quan thời gian và mật độ phổ năng lượng
-

Đối với một tín hiệu thực

g (t )

hàm tự tương quan là:

ϕ g (τ ) =

∞

∫ g (t ) g (t + τ )dt

−∞

-

Đặt

x = t +τ

vậy

ϕ g (τ ) =

∞

∫ g (x)g(x − τ )dx

−∞

12 Hình ảnh sử dụng được mô tả và vẽ lại trong tài liệu: A. Sedra, Modern Digital And Analog Communication
Systems, Oxford University Press: New York, 1998.

20


-

Trong phương trình này thì x là được đặt tạm để thay thế cho t, do đó
∞

∫ g (t ) g (t ± τ )dt

ϕ g (τ ) =

−∞

-

Điều này cho thầy rằng

g (t )

, với hàm tự tương quan là một hàm chẵn của

nên có nghĩa là:

-

(5)

tương quan

φg (ω ) = G (ω )

2

là biến đổi Fourier của hàm

nhưng kết quả được chứng minh ở đây đối với các tín hiệu thực,

cho nên nó cũng có giá trị đối với tín hiệu phứt tạp.
-

τ

Lưu ý rằng với hàm tự tương quan là một hàm của

τ

nhiều người hay nhầm lẫn t và
đúng như mong muốn).
-

cho

ϕ g (τ ) = ϕ g (−τ )

Bây giờ ta chỉ cần chỉ ra cái ESD của

g (t)

τ

Do đó biến đổi Fourier là

chứ khơng phải t (có rất

cho nên điều đó sẽ là sai dẫn đến kết quả không

∫ ϕ ( τ ) .e

− jωτ

dτ
vậy sẽ có phương trình hồn chỉnh như

sau:

∞

F ϕ g ( τ )  = ∫ e
 ∫ g (t ) g (t + τ )dt  dτ
−∞
 −∞

∞
∞

= ∫ g (t )  ∫ g (τ + t).e − jωτ dτ dt
−∞
 −∞

∞

-

− jωτ

Tích phân bên trong biến đổi Fourier của

g (τ + t )

chuyển sang trái bởi t, kể từ đó nên được đưa ra bởi

F ϕ g ( τ )  = G ( ω )
-

∞

∫

là giá trị

G ().e jωt

g (τ )

, vì vậy có:

g (t ).e jωt dt = G ( ω ) .G ( −ω ) = G ( ω )

−∞

Điều này đã cho ta thấy rằng là:

ϕ g ( τ ) ⇔ φg ( ω ) = G ( ω )
21

2

2

này được


-

Theo như quan sát rằng là về hoạt động của mối tương quan cho ta thấy rằng đó là

sự mối liên hệ rất chặt chẽ với cái tích chập, như vậy thì hàm tương quan

này là tích chập của

g (τ )

g ( τ ) * g ( −τ ) =
-

và với

g ( −τ )

ϕ g (τ )

từ đó ta kết hợp thử xem.

∞

∞

−∞

−∞

∫ g ( x).g[ − (τ − x)]dx ⇔ ∫ g ( x).g ( x − τ )dx = ϕ

g

(τ )

Để hiểu rõ hơn về hàm tự tương quan trên thì tơi sẽ ví dụ mẫu một câu.
• Ví dụ 5: Tìm hàm tự tương quan theo thời gian của tín hiệu
và cũng từ đó hãy xác định mật độ phổ năng lượng của

g (t )

g (t ) = e− at .u (t)

.

 Trong trường hợp này thì:

g (t ) = e− at .u (t ) & g (t − τ ) = e − a (t −τ ) .u (t − τ )

Hình 8: Hàm tự tương quan 13

13 Hình ảnh sử dụng được mơ tả và vẽ lại trong tài liệu: A. Sedra, Modern Digital And Analog Communication
Systems, Oxford University Press: New York, 1998.

22


 Nhớ lại cái giá trị

g (t − τ )

là

g (t )

hình 8 trên thì thấy, nhưng đối với

quan của

ϕ g (τ )

được dịch sang phải bởi

τ

τ

, như hiển thị

là phải dương. Như vậy hàm tự tương

là được cho bởi diện tích dưới của tích

g (t ) g (t − τ )

được

cho thầy rằng ở (5) trên, vì vậy có:
∞

ϕ g (τ ) =

∞

∫ g (t ).g (t − τ )dt = e ∫ e
aτ

 Điều này đã cho thấy rằng phải đúng với

τ

1 − aτ
.e
2a

là phải sườn dương bởi vì ta có

τ

thể thực hiện một quy trình tương tự đối với

phải biết rằng đối với

dt =

τ

−∞

g (t )

−2 at

là một hàm thực,

là sườn âm, tuy nhiên thì ta

ϕ g (τ )

là một hàm chẵn của

τ

, do vậy:

ϕ g (τ ) =

1 −a τ
.e
2a

 Từ hình 9 bên dưới thì cho thấy đó là hàm tự tương quan

độ phổ năng lượng

φg ( ω )

là biến đổi fourier của

giá trị cuối cùng là:

φg ( ω ) =

23

1
a + ω2
2

ϕ g (τ )

ϕ g (τ )

do vậy mật

, từ (3) trên thì có


Hình 9: Hàm tự tương quan của

ϕg ( τ )

14

5. Mật độ phổ năng lượng của đầu vào và đầu ra
-

Nếu

g (t ) & y(t)

là đầu vào và cả đầu ra tương ứng với hệ bất biến thời gian tuyến

tính, sau đó thì.

Y ( ω) = H ( ω) G( ω)

 Vì vậy ta có:

Y ( ω ) = H ( ω ) .G ( ω )
2

2

2

 Tương tự điều này cho ta thấy rằng:

φ y ( ω ) = H ( ω ) .φg ( ω )
2

-

Do đó, tín hiệu đầu vào ESD là

H (ω )

2

lần của tín hiệu đầu vào ESD 15.

14 Hình ảnh sử dụng được mơ tả và vẽ lại trong tài liệu: A. Sedra, Modern Digital And Analog Communication

Systems, Oxford University Press: New York, 1998.
15 Trích dẫn tham khảo tài liệu bên ngồi và đã có sửa đổi: A. Sedra, Modern Digital And Analog Communication
Systems, Oxford University Press: New York, 1998.

24


CHƯƠNG VI: MỐI QUAN HỆ NĂNG LƯỢNG TÍN HIỆU VÀ MẬT ĐỘ PHỔ
NĂNG LƯỢNG VÀ ỨNG DỤNG
1 Mối quan hệ của hai khái niệm
-

Mật độ phổ năng lượng là do sự phân bố năng lượng tín hiệu trên tần số.
Chức năng tự tương quan của tín hiệu năng lượng là do mức độ tự tương đồng của

-

tín hiệu so với độ trễ, có thể được sử dụng để đồng bộ hóa.
Tự tương quan của tín hiệu và ESD là các cặp biến đổi Fourier.
Mọi thứ đều được liên kết với nhau có một trình tự riêng.

6. Ứng dụng
-

Ứng dụng Tách năng lượng trong điều chế tín hiệu với ứng dụng để phân tích
giọng nói một giải pháp hiệu quả cho vấn đề cơ bản là ước tính đường bao biên độ
thay đổi theo thời gian và tần số tức thời của tín hiệu có giá trị thực có cả cấu trúc
AM và FM được cung cấp.

25