Thuật toán Goertzel trượt học viện bưu chính viễn thông

Thuật tốn Goertzel trượt
Tóm tắt
Các thuật tốn Goertzel là kỹ thuật điều chế tín hiệu kỹ thuật số (DSP- Digital Signal
Processing) để xác định các thành phần tần số của tín hiệu, được xuất bản bởi Gerald
Goertzel vào năm 1958. Trong khi thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT- Fast Fourier
transform ) tính đồng đều trên băng thơng của tín hiệu đến, các thuật toán Goertzel chỉ xem
xét cụ thể, tần số được xác định trước, và có thể nhanh hơn nếu số lượng tần số thấp.
Một ứng dụng thực tế của thuật toán này là sự xác định của các âm DTMF được tạo ra
khi bấm vào một bàn phím điện thoại.
Nó cũng có thể được sử dụng "ngược lại" như là một chức năng tổng hợp đường hình
sin, chỉ cần 1 phép nhân và 1 phép trừ cho mỗi mẫu được tạo ra.
Bài viết này trình bày thuật tốn Goertzel trượt dùng để ước tính chính xác các hệ số
Fourier của (MF-Multi frequenz) tín hiệu hình sin đa tần số có nhiễu. Thuật tốn này được
dựa trên bộ cộng hưởng kỹ thuật số bậc hai được điều chỉnh tại tần số mong muốn. Phương
pháp cung cấp những ưu điểm sau khi so sánh với thuật tốn Goertzel thơng thường như
sau:
 Thứ nhất, nó tính tốn hệ số Fourier ít hơn trong một khoảng thời gian tín hiệu. Vì
vậy, đạt được thời gian dị tìm nhanh hơn, đặc biệt là khi ước chung lớn nhất (GCD)
của tần số đầu vào là nhỏ.
 Thứ hai, nó là ít bị các vấn đề tràn số trong việc thực hiện số học điểm cố định.
 Thứ ba, thuật toán là khá phù hợp với thời gian khác nhau của tín hiệu hình Sin. Một
phân tích được thực hiện để cung cấp cái nhìn sâu sắc vào các vấn đề của thời gian
với lại yêu cầu so với độ chính xác mong muốn cho các thuật tốn đề xuất. Mở rộng
kiểm tra mơ phỏng cũng được bao gồm để chứng minh hiệu quả của nó.
1.

Giới thiệu

Trong nhiều ứng dụng như đa âm (multifrequency) như tín hiệu đa tần (DTMF), máy
thu kỹ thuật số đa tần (MF) và khẩu độ rất nhỏ của hệ thống thơng tin vệ tinh (VSAT), đó là
các mong muốn để phát hiện các thành phần tần số một cách đơn giản và hiệu quả. Trong

các trường hợp trên, đòi hỏi số lượng hệ số Fourier thường là nhỏ, vì thế mà Biến đổi
Fourier rời rạc trực tiếp (DFT) là hiệu quả hơn biến đổi các thuật toán Fourier nhanh (FFT).
Chức năng thứ hai của các bộ lọc Goertzel cũng được ưa chuộng hơn các DFT trực tiếp bởi
vì kết quả của nó giảm được gánh nặng tính tốn, chức năng biến đổi của các bộ lọc được sử
dụng trong các thuật toán Goertzel được định nghĩa như sau:

(1)

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 1


Với ω k = 2nk /N. Đồ thị tín hiệu sau đây thể hiện chức năng của biến đổi Z được
đưa ra bởi phương trình (1) và được thể hiện trong (hình 1). Lưu ý rằng các bộ lọc Goertzel
bao gồm: một phần đệ quy (Recursive Part) (phía bên trái của các yếu tố trễ) và một phần
không đệ quy (NonRecursive Part) (phía bên phải của các yếu tố trễ). Các hệ số DFT có
được như đầu ra của hệ thống sau khi lặp đi lặp lại N lần. Phần đệ quy là chức năng thứ
hai (second-order) kỹ thuật số cộng hưởng.

Hình 1. Bộ lọc thực hiện các thuật tốn Goertzel
Tần số cộng hưởng của bộ cộng hưởng được thiết lập tại các điểm tần số cách đều
nhau với ω k = 2π k/N. Trong thực tế chúng tôi chỉ tính tốn đệ quy một phần của bộ lọc tại
tất cả các mẫu và một phần không đệ quy được tính tốn ngay lập tức sau khi lần thứ N thời
gian các hệ số Fourier được xác định.
Bộ lọc Goertzel thông thường bị hạn chế trong ý nghĩa rằng các hệ số Fourier của tín
hiệu đầu vào được đưa ra tại các điểm cách đều nhau trong miền tần số. Đây là một bất lợi
lớn của kỹ thuật Goertzel đặc biệt là khi các tín hiệu hình sin (sinusoids) đầu vào được tự ý
đặt. Nói cách khác, thuật tốn Goertzel thơng thường chỉ tìm các hệ số của một N điểm
DFT. Hệ số chính xác hình sin là thu được (obtained) nếu tồn tại một giá trị k như vậy mà
các tần số đầu vào chuẩn hóa chính xác bằng 2 nk/N. Nếu khơng, ước tính sẽ bị sai

số do vấn đề rị rỉ nổi. Do đó, N phải lớn khi tần số đầu vào rất gần nhau hoặc tần số của họ
là yếu tố nguyên tố. Độ phân giải có thể được cải thiện bằng cách sử dụng biến đổi thuật
toán Goertzel. Trong các thuật toán sửa đổi Goertzel, Phương trình (1) được đánh giá ở tần
số chính xác của điều đó có nghĩa là cộng hưởng được thiết lập tùy ý ở tần số góc đầu vào.
Việc thay đổi kết quả trong thời gian thu nhanh hơn cho các ước tính trao đổi biên độ của tín
hiệu hình sin đầu vào. Các thuật tốn Goertzelified, tuy nhiên, địi hỏi thời gian thu tương
tự như thuật tốn Goertzel thơng thường để ước tính cả pha và biên độ. Trong thực tế, thuật
tốn Goertzel thơng thường sản lượng ước tính chính xác của các thơng số hình sin được

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 2


cung cấp rằng tần số đầu vào rơi chính xác ở các (resonant-cộng hưởng) tần số cộng hưởng
của bộ cộng hưởng. Trong trường hợp cả hai được sửa đổi, thuật tốn Goertzel thơng
thường là tương đương.
Khi sử dụng các thuật tốn Goertzel thơng thường và Goertzel sửa đổi, chính xác pha
và dự đốn biên độ của các thành phần hình sin thu được ở phần cuối của một chu kỳ của tín
hiệu. Đối với trường hợp mà ước số chung lớn nhất (GCD- greatest common divisor) của
tần số đầu vào là 1 Hz, thời gian của tín hiệu bằng 1 s. Do đó, một số lượng lớn các mẫu
được yêu cầu làm tăng thời gian thu cũng như khả năng tràn tại đầu ra của bộ lọc Goertzel
để thực hiện số học điểm cố định.
Biến đổi Fourier Notch (NFT) cũng đề xuất một phương pháp hiệu quả để tính tốn
các hệ số Fourier tùy ý. Giả sử rằng các tín hiệu bao gồm m thành phần hình sin với tần số
đã biết, sử dụng phương pháp NFT cho (m - 1) chuỗi kết nối bậc hai để đáp ứng xung hữu
hạn (FIR) bộ lọc notch chỉ để cho một thành phần vượt qua. Cách tiếp cận này cung cấp
một lợi thế đáng kể tính tốn và phát hiện thời gian nhanh hơn khi so sánh với phương pháp
DFT. Tuy nhiên, hiệu quả của nó xuống cấp nghiêm trọng khi các thành phần được đặt
trong nhiễu.
Trong bài báo này, một tín hiệu hình Sin đầu vào được áp dụng cho bộ cộng hưởng

số bậc hai có tần số cộng hưởng được điều chỉnh chính xác với tần số đầu vào. Hệ quả cho
thấy tần suất được điều chỉnh chính xác với tần số đầu vào. Các đặc tính của tín hiệu ở đầu
ra của bộ cộng hưởng có nguồn gốc trong miền thời gian bằng kết quả của một phương
pháp chuyển đổi-z. Sau đó thành lập một thuật tốn tương tự như Goertzel thuật tốn thực
sự có giá trị ước tính pha và biên độ của tín hiệu hình sin đầu vào cho các giá trị kế tiếp của
n. Do đó, thuật toán đề xuất được gọi là một thuật toán trượt (SG) Goertzel. Phương pháp
mới này cung cấp các tính năng sau khi so sánh với các thuật toán Goertzel thơng thường và
sửa đổi Goertzel. Thứ nhất, nó tính tốn hệ số Fourier của tín hiệu hình SIN trong ít hơn
một thời gian tín hiệu, do đó dẫn đến thời gian thu nhanh hơn. Điều này là do thực tế các
tín hiệu hình sin đơn lẻ được tách ra và tăng cường thơng qua các cộng hưởng rất nhanh.
Nói cách khác, ảnh hưởng của nhiễu và các yếu tố khác đặt trong các thành phần ở đầu ra
của bộ cộng hưởng sẽ không đáng kể sau một thời gian ngắn. Thứ hai, kể từ khi các ước
tính hệ số Fourier được cập nhật tại tất cả các thời gian mẫu sau đó các thuật tốn được đề
xuất là có khả năng theo dõi các thay đổi nhanh chóng trong các tham số tín hiệu (pha và
biên độ). Cuối cùng, số lượng mẫu cần được giảm đáng kể điều đó có nghĩa là khả năng
tràn số giảm khi phương pháp đề nghị được thực hiện trong phần cứng với cố định điểm số
học. Việc đạt được điều chế (PG) yếu tố được định nghĩa như là tỷ lệ SNR đầu ra với SNR
đầu vào đã được phân tích thu được cho các thuật toán được đề xuất. Yếu tố này được sử
dụng để hình thành mối quan hệ giữa độ chính xác mong muốn và thời gian lấy lại cho các
thuật toán được đề xuất.
Bài báo cáo này được tổ chức như sau:
 Phần 2: Báo cáo vấn đề được đưa ra.
 Phần 3: Trình bày thuật tốn Goertzel như là một giải pháp được đề
xuất.
 Phần 4:Kiểm tra mô phỏng được.

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 3

 Phần 5:Cuối cùng, Phần kết luận.
2. Đặt vấn đề
Một vấn đề liên quan với các kỹ thuật DFT và Goertzel là họ có thể khơng chính xác
tính tốn hệ số Fourier cho đến khi kết thúc của một khối dữ liệu hồn chỉnh. Điều này có
nghĩa rằng để ước tính chính xác pha và biên độ của các thành phần hình sin của một tín
hiệu MF, số lượng mẫu cần phải được thực hiện trên toàn bộ thời gian của chuỗi đầu vào.
Rõ ràng, thời gian của một tín hiệu MF phụ thuộc vào tần số đầu vào cấu thành. Trong
trường hợp mà các tần số đầu vào là nguyên tố hoặc rất gần nhau, một số lượng lớn các mẫu
sẽ được yêu cầu mà kết quả trong một gia tăng không mong muốn trong thời gian lấy lại.
Trong những trường hợp này, độ phân giải cao hơn là cần thiết để ước tính chính xác
sinusoids. Độ phân giải có thể được tăng lên bằng cách tăng chiều dài khối đầu vào, do đó
kết quả trong một thời gian lấy lại tăng. Trong trường hợp với GCD của tần số đầu vào là
bằng ΔƒHz, số lượng tối thiểu của các mẫu (Amin) đó là cần thiết để tính tốn chính xác hệ
số sin được cho bởi (xem Phụ lục A)

(2)
trong đó f s là tần số lấy mẫu (f s được giả định là một yếu tố số nguyên Δƒ). Rõ ràng là
Nmin là tỉ lệ nghịch với Δƒ, có nghĩa là, một giá trị nhỏ Δƒ một số lượng lớn các mẫu được
yêu cầu. Lưu ý rằng khi sử dụng các DFT và thuật tốn Goertzel thì pha và biên độ phải
được cố định trong mỗi khối dữ liệu. Nếu các tham số tín hiệu đầu vào khác nhau trong mỗi
khung hình của dữ liệu, các ước tính xuống cấp trầm trọng. Điều này có nghĩa là số lượng
lớn các yêu cầu của các mẫu được đưa ra bởi phương trình (2) cũng làm giảm khả năng theo
dõi của kỹ thuật Goertzel khi các thơng số hình sin có thời gian khác nhau.
3. Thuật tốn Goetzel trượt.
Phần này trình bày một thuật tốn Goertzel trượt mà nó sẽ cập nhật các hệ số Fourier
ở mọi thời gian lấy mẫu. Phương pháp được đề xuất cung cấp thời gian thu nhanh hơn khi
so sánh với thuật tốn Goertzel thơng thường và do đó phù hợp với các tình huống khi các
thơng số của tín hiệu hình Sin thay đổi tương đối nhanh. Hãy xem xét một tín hiệu có giá trị
thực sự bao gồm tần số tùy ý thể hiện như sau:

(3)
Trong đó s là số lượng các thành phần và v(n) là thành phần nhiễu. Nhiệm vụ là để tính
tốn hệ số (ak, và bk) cho các thành phần hình sin được xác định bởi x(n). Hãy để chúng tôi
bắt đầu bằng cách kiểm tra các trường hợp tín hiệu đầu vào bao gồm một thành phần như
sau:
(4)

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 4


Áp dụng x k (n) để cộng hưởng, trong các điều kiện của biến đổi Z, đầu ra, Y k (z - 1 ) được cho
bởi
(5)

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 5


Với X k (z - 1 )là:

(6)
H r (z là chức năng biến đổi của một bộ cộng hưởng bậc hai. Lấy nghịch đảo z-biến
đổi của phương trình (5), nó có thể được hiển thị đầu ra, y k (n), được cho bởi (xem Phụ
lục B)
-])

(7)
Đánh giá Công thức (7) tại n lần và (n - l) thời gian mẫu và sau khi một số thao tác
chúng ta có được

(8)
Và

(9)
Hiển nhiên rằng, cũng như số lượng mẫu tăng, giá trị sản lượng cũng sẽ tăng độ
lớn. Điều này được dự kiến từ tần số đầu vào là bằng tần số cộng hưởng của bộ cộng
hưởng. Đối với lớn các giá trị của n lớn, các điều kiện thứ hai trong Cơng thức (8) và (9)
có thể được bỏ qua. Do đó sau khi một số tác đơn giản,các biểu thức sau đây (đối với
ước tính ak, và bk) thu được:

(10)
Thuật tốn này có một tham số giá trị thực sự tương tự như các thuật tốn
Goertzel thơng thường được trình bày trong hình thức trượt. Thuật tốn Goertzel thơng
thường phía bên tay trái của phương trình (10) chỉ được đánh giá ở thời điểm khi mẫu
thứ N và bộ cộng hưởng được điều chỉnh tại các điểm tần số cách đều nhau, đó là ω k =
2πk/N. Kỹ thuật Goertzel đề xuất và sửa đổi tương tự trong ý nghĩa rằng cả hai sử dụng
bộ cộng hưởng điều chỉnh chính xác ở tần số đầu vào. Tuy nhiên, thuật toán Goertzel
biến đổi takes/li và B k như ước tính của một ak và b k , tương ứng. Trong thuật tốn đề
xuất, cân bằng trên phía bên tay phải của cơng thức (10) cung cấp một phương tiện thích

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 6


hợp có thể để cập nhật cả hai pha và biên độ trong từng thời điểm mẫu. Nói cách khác,
bằng cách giải các phương trình tuyến tính (được xác định bởi phương trình (10)), thuật
tốn trượt cho hệ số Fourier thu được như sau:

(11)

Từ phương trình 10 nó thể hiện rằng:
(12)
Điều này có nghĩa rằng biên độ của các thành phần hình sin có thể được cập nhật
tại tất cả các thời gian mẫu mà không đánh giá biểu thức. (11). Pha liên quan với mỗi
hình sin cũng được cập nhật như sau:
(13)
Đối với trường hợp với các tín hiệu đầu vào bao gồm của tín hiệu sin có nhiễu,
cộng hưởng được yêu cầu trong đó mỗi cộng hưởng được điều chỉnh ở một tần số đầu
vào hình sin.
Tại thời điểm này, điều quan trọng là để xem xét vấn đề của thời gian thu t acq. Lưu
ý rằng mặc dù thuật toán cung cấp các hệ số thành phần hình sin tại mỗithời điểm lấy
mẫu, người ta khơng cần phải đánh giá công thức (10) và (11) ở tất cả các thời gian mẫu
nhưng chỉ sau khi thời gian thoáng qua và đầu ra của bộ cộng hưởng đã được giải quyết.
Nói cách khác, ước tính chính xác của các hệ số Fourier có sẵn sau khi một số lấy mẫu cụ
thể (như là Nacq) khi đóng góp của các thành phần nhiễu trở nên không đáng kể tại đầu ra
của bộ cộng hưởng. Do đó, chúng tơi có thể khẳng định:
(14)
3.1 Tiêu chí lựa chọn của Nacq:
Đối với kỹ thuật được đề xuất, thời gian thu phụ thuộc vào sức mạnh của nhiễu và
yêu cầu cần thiết. Nói cách khác, khi các đường đầu vào quang phổ rất gần nhau hoặc tín
hiệu đầu vào bị hỏng rất nhiều bởi nhiễu, một giá trị lớn của Nacq sẽ được yêu cầu. Trong
trường hợp với các tần số của hình sin đầu vào là khác nhau từ tần số cộng hưởng của bộ
cộng hưởng, đầu ra được cho bởi (xem Phụ lục B)

(15)
Với ωk là tần số cộng hưởng của bộ cộng hưởng trong khi ωi và Ci; là tần số và
biên độ của hình sin đầu vào tương ứng. Từ biểu thức (15), nó có thể được lưu ý rằng
mức độ đầu ra tỷ lệ nghịch với yếu tố (cos ωk - cos ωi ) có nghĩa là sự đóng góp của các
thành phần khơng mong muốn sẽ là lớn nhất khi nó gần với thành phần mong muốn. Tuy
nhiên, do bộ cộng hưởng được điều chỉnh chính xác tại tần số đầu vào, thành phần đầu ra

liên kết với hình sin đầu vào tương ứng trở nên lấn át rất nhanh chóng. Lưu ý rằng độ lớn

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 7


của các thành phần đầu ra liên quan với mong muốn hình sin tăng tuyến tính với thời gian
(xem phương trình (8)), trong khi các thành phần đầu ra do tần số khơng mong muốn là
hằng số. Nó cũng được dự kiến rằng các thuật toán cũng sẽ cung cấp hiệu suất tốt với
điều kiện SNR thấp. Điều này do thực tế là bộ cộng hưởng có thể được coi như là một bộ
lọc phù hợp lý tưởng cho tín hiệu hình sin có nhiễu.
Sự đóng góp của tín hiệu sin thứ i (i # k) trên ước tính biên độ thứ k tại thời điểm
lấy mẫu lần thứ jVacq thu được bằng cách thay thế phương trình. (15) vào phương trình.
(10). Sau một số thao tác, nó có thể được hiển thị:

(16)
Công thức (16) sẽ được sử dụng để xác định lượng đóng góp từ các xoang khác trên các
tần số mong muốn. Để có được nhiễu điện đầu ra tại thời điểm lấy mẫu N acq, cách tiếp
cận đề xuất có thể được coi là tương tự như các cơng ước thuật tốn Goertzel thực tế với
hình sin đầu vào được giả định là bằng tần số cộng hưởng của bộ cộng hưởng. Nói cách
khác, cơng suất nhiễu đầu ra tại thời gian mẫu N acq là tương đương với nhiễu điện tích
lũy ở mỗi bin của một Nacq điểm DFT. Do đó, nhiễu đầu ra được viết như sau:

(17)
trong đó v(n) được giả định là 0 có nghĩa là nhiễu Gaussian trắng liên tục với một công
suất σ2v. Từ công thức (17) là một biến đổi tuyến tính sau đó nhiễu đầu ra cũng được dự
kiến sẽ được trình tự một số khơng có nghĩa là Gaussian được cho bởi:

(18)
Từ công thức (16) và (18), SNR tại đầu ra của bộ cộng hưởng có thể được thể hiện như:

(19)
Điều kiện trong mẫu số của phương trình thứ nhất và thứ hai của biểu thức.(19) là nhiễu
và công suất hình sin khơng mong muốn, tương ứng.Từ biểu thức. (3) SNR đầu vào mỗi
hình sin được cho bởi:

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 8


(20)
Việc đạt được điều chế (PG) được định nghĩa về tỷ lệ SNR đầu ra với SNR đầu vào do
đó được đưa ra bởi:
(21)
Công thức (21) cung cấp một phương tiện thích hợp cho việc lựa chọn các giá trị
của Nacq về độ chính xác mong muốn.Hơn nữa, phương trình.(21) cho thấy rõ ràng rằng
các tiêu chí lựa chọn; Nacq phụ thuộc vào độ chính xác yêu cầu và tín hiệu điều kiện.Đối
với trường hợp của một hình sin đặt trong nhiễu trắng công thức(21) giảm xuống:
Kể từ khi ước tính cho pha và biên độ của hình sin có sẵn tại tất cả các thời gian
mẫu, giá trị của Nacq có thể được lựa chọ lớn tùy ý để có được kết quả chính xác hơn.
Đây khơng phải là trường hợp cho các thuật tốn Goertzel thơng thường. Các cơng thức
thuật tốn được tóm tắt trong Bảng 1. Để so sánh, các thuật tốn Goertzel thơng thường
cũng được đưa ra trong Bảng 2.Lưu đồ thuật toán được thể hiện trong:
Bảng 1: Các đề xuất mới thuật toán trượt Goertzel:
Với: k =1,2,….,m
Bước 1: Bộ cộng hưởng bậc hai được thiết lập một cách chính xác ở tần số đầu
vào thứ k. Nacq thu được theo lợi xử lý mong muốn bằng cách sử dụng phương trình.
(21).
Bước 2: Tất cả các điều kiện trạng thái được thiết lập về không.
Bước 3: Các tín hiệu đầu vào được áp dụng cộng hưởng, và đồng thời lấy mẫu tại
thời gian lấy mẫu thứ Nacq, các phương trình sau đây được tính tốn:

(1)
(2)
Bước 4: Ước tính cho hệ số sin được tính:

Bảng 2: Thuật tốn Goertzel thơng thường:
Với k= 1,2…..m
Bước 1: Bơ cộng hưởng bậc hai được thiết lập tại tần số 2πk/N với k được chọn như là
2πk/N trở nên càng nhỏ càng tốt với tần số đầu vào chuẩn hóa. Lưu ý rằng N phải tương
đương bằng ƒs/Δƒ nếu ước tính chính xác của hình sin là bắt buộc.
Bước 2: Tất cả các điều kiện trạng thái được thiết lập về không.

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 9


Bước 3: Các tín hiệu đầu vào được áp dụng cộng hưởng, và, ngay lập tức thời gian, hệ số
được tính như sau:

Hình2.Tần số của mẫu trong hình. 2 được đưa ra bởi:

Lưu ý rằng, thông thường sửa đổi và đề xuất các thuật toán Goertzel trượt chỉ cần
một phép cộng và phép nhân một một mẫu đầu ra để thực hiện một phần đệ quy.Để thực
hiện một phần không đệ quy, thuật tốn Goertzel biến đổi thơng thường u cầu hai phép
nhân, bổ sung một trong khi các phương pháp tiếp cận đề xuất yêu cầu sáu phép nhân bổ
sung. Kể từ khi một phần không đệ quy được thực hiện chỉ ngay thời gian thứ N acq, phức
tạp tính tốn tổng thể đã được tăng nhẹ bởi bốn phép nhân nhiều hơn và hai bổ sung
nhiều hơn mỗi tín hiệu hình sin đầu vào.
4.

Kết quả mơ phỏng

Xét nghiệm mô phỏng đã được thực hiện để đánh giá hiệu suất của thuật toán đề xuất.
Hai trường hợp được xem xét. Đầu tiên, thuật toán được sử dụng để phát hiện các tín
hiệu DTMF.Các tín hiệu DTMF bao gồm hai tần số được lựa chọn từ mức thấp và một
nhóm tần số cao. Trong trường hợp này, GCD của hai thành phần là bằng 1 Hz. Thứ hai,
thuật toán cũng sẽ ước tính pha và biên độ của một hình sin duy nhất có các tham số thời
gian khác nhau trong các chuỗi liên tiếp
Bảng 3 : Các thông số của tín hiệu DTMF
Thành phần
Thành phần
tần số thấp
tần số cao
Freq.
941 Hz
1209 Hz

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 10


Biên độ
2
2
Giai đoạn
1 (rad)
1 (rad)
Lấy mẫu freq.
8000 Hz
SNR
3dB

Ví dụ 1. Đề xuất thuật toán Goertzel được sử dụng cho các nhiệm vụ dự tốn hệ số
Fourier của một tín hiệu DTMF. Hãy xem xét tín hiệu DTMF sau đây:

Ước tính biên độ

(24)
Với v(n) bằng không trong nhiễu trắng Gauss. Các thơng số của các tín hiệu được đưa
ra trong Bảng 3.

(a)

Thời gian (n)

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 11


Ước tính biên độ
(b)
Thời gian (n)
Hình 3.Trượt tính tốn của (a) biên độ (C;, C /) và (b) pha DTMF (thành phần tần số
thấp (đường gạch gạch), thành phần tần số cao (rắn dịng))
Hình 3 cho thấy các quỹ đạo dự toán biên độ và pha của các thành phần tín hiệu đầu vào.
Biên độ ước tính khi các tần số đã không được truyền cũng được mô tả trong Hình 4.
Hình 4 nó thể hiện sự ảnh hưởng của nhiễu là không đáng kể sau khi 100 mẫu được so
sánh với độ lớn của các thành phần hình sin. Hình 5 tương ứng với trường hợp khi hai tần
số gần nhất (ft = 852 FIz và / /, = 1336 Hz) được truyền trong khi các bộ cộng hưởng
được điều chỉnh ở mức 941 và 1209 Hz. Nó là hiển nhiên rằng khi hai tần số liền kề được
truyền, sau khi 100 mẫu người nhận không sai phát hiện một tín hiệu DTMF. Một khi
thời gian thống qua của bộ lọc đã trơi qua, phát hiện có thể được thực hiện bằng cách sử

dụng một ngưỡng thích hợp.Nói cách khác, một phát hiện giá trị của tín hiệu được giả
định là nếu độ lớn của tín hiệu phát hiện là lớn hơn ngưỡng. Các kết quả rõ ràng cho thấy
rằng các hệ số sin được tính tốn rất nhanh thực sự. Lưu ý rằng nếu Goertzel thông
thường hoặc sửa đổi

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 12


Ước tính biên độ
Ước tính biên độ

Thời gian (n)
Hình4.Tính tốn biên độ trượt (Q, Q) bằng cách sử dụng trượt Goertzel thuật toán
trong sự hiện diện của phương sai đơn vị, khơng có nghĩa là nhiễu trắng (thành phần
tần số thấp (đường gạch gạch), thành phần tần số cao (rắn dịng)).

Thời gian (n)
Hình5. Tính tốn biên độ trượt (C / .Q,) bằng cách sử dụng thuật toán trượt Goertzel
khi hai kề tần số (/ / = 852 Hz, fk = 1336 Hz) được truyền (thành phần tần số thấp
(đường gạch gạch), thành phần tần số cao (rắn dịng))
các thuật tốn được sử dụng, ít nhất 8000 mẫu là cần thiết để ước tính chính xác cả hai
pha và biên độ của các thành phần.
Dựa trên 100 thí nghiệm độc lập, trung bình và độ lệch chuẩn của ước tính biên độ của
các thành phần tần số thấp (/ /) bằng cách sử dụng các đề xuất, thông thường và các thuật
tốn Goertzel sửa đổi được tính tốn tại các acq N = 256 khoảng thời gian. Điều này có
nghĩa là chúng ta đã áp dụng các tín hiệu cộng hưởng, và tại thời điểm lấy mẫu 256, các

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 13

Xử lý đạt được (dB)

hệ số được tính tốn và kết quả được đưa ra trong Bảng 4. Cho các thuật tốn Goertzel
thơng thường, k chỉ số được tìm thấy là bằng 30. Lưu ý rằng kể từ khi các thuật tốn
thơng thường và sửa đổi Goertzel khơng thể ước tính pha từ 256 mẫu có sẵn, những điều
này đã khơng được tính đến trong bảng 4. Đó cũng là điều hiển nhiên rằng trượt

Nacq
Hình6. Hình 6.Lý thuyết (rắn dịng) và thử nghiệm (điểm đánh dấu) chế biến tăng
(PG) so với Nacq
Bảng 4: Trung bình và độ lệch chuẩn của pha và biên độ ước tính bạn tình của các
thành phần tần số thấp (/ /) của tín hiệu DTMF (Ví dụ 1) bằng cách sử dụng thơng
thường, sửa đổi và đề xuất giảm ing Goertzel thuật toán (V acq = 256, SNR = 3 dB)
Trượt
Thay đổi
Thơng thường
Goertzel
Goertzel
Goertzel
thuật tốn thuật toán
thuật toán
Biên độ
Ave.
2,0158
1,9874
1,9610
(/ /.)
STD

0,0910
0,1115
0,1312
Giai đoạn
Ave.
0,9900
(/ /.)
STD
0,0441
Thuật toán Goertzel cung cấp độ chính xác tương tự cho tính tốn biên độ cũng như sửa
đổi Goertzel thuật toán.Cả hai trượt và sửa đổi Goertzel thuật toán thực hiện tốt hơn các
thuật toán Goertzel thơng thường.
Như đã nêu trước tính chính xác của thuật tốn đề xuất có thể được tăng lên bằng cách
chọn một giá trị lớn cho Nacq khi các hệ số sin được xác định. Hình 6 cho thấy độ lợi xử
lý (PG) so với Nacq Để đánh giá sức mạnh của nhiễu đầu ra, thuật toán đã được thực hiện
hơn 100 thử nghiệm độc lập cho mỗi giá trị của N acq lý thuyết giá trị của PG so với N acq
cũng được bao gồm trong Hình 6 và xác nhận rõ ràng phân tích lý thuyết được trình bày
trong Phần 3.Theo dự kiến, như tăng Nacq, độ chính xác cũng được cải thiện. Do đó giá
trị của Nacq có thể được lựa chọn để mang lại mức độ yêu cầu về độ chính xác ước tính.

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 14


Đương nhiên tăng Nacq, thời gian thu cũng tăng lên có nghĩa là một trong những nhu cầu
thương mại thời gian mua lại cho chính xác, hoặc ngược lại.
Việc thực hiện của thuật toán Goertzel trượt theo các điều kiện SNR khác nhau cũng
đã được kiểm tra. Tại mỗi điều kiện SNR, dự tốn được tính tốn dựa trên 100 thí
nghiệm độc lập. Độ lệch chuẩn và sai trung bình của các dự toán cho các biên độ và pha
được thể hiện trong các Hình 7 và 8, trải phổ. Các lỗi trung bình của các dự tốn cho các

biên độ và pha được tính tốn như sau:

biên độĐộ lệch chuẩn của Ước tính

(25)
Trong các hình.7 và 8, tham số N cho biết số mẫu mà tại đó các thuật tốn đã được
thực hiện. Nó được nhìn thấy rằng các thuật toán hiện hiệu suất tốt tại SNR cao.Tiếp theo
chúng ta xem xét các điều kiện khi không phù hợp tồn tại giữa các tần số cộng hưởng
của bộ cộng hưởng và tần số đầu vào thực tế hình sin. Điều này phản ánh tình hình thực
tế mà có thể tồn tại một số độ lệch tần số đầu vào. Đối với ví dụ đưa ra, giả sử ± độ lệch
tần số 1,0% trong thành phần tần số thấp của tín hiệu đầu vào.Sử dụng 100 thử nghiệm
khác nhau, độ lệch chuẩn và trung bình của các hệ số Fourier đã được xác định và kết
quả được mô tả trong Bảng 5.

(a)

SRN(dB)

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 15


biên độƯớc tính chuẩn của Độ lệch
(b)

SRN(dB)

Hình 7: (a) lỗi và (b) độ lệch chuẩn của ước tính biên độ so với SNR trung bình.
Tần số đầu vào được lựa chọn ngẫu nhiên từ một phạm vi tối đa có thể của các giá trị.
Như có thể quan sát, các màn trình diễn về tính chính xác của đề xuất và sửa đổi các

thuật toán Goertzel là tương tự và cung cấp các ước tính chính xác hơn khi so sánh với
các thuật tốn Goertzel thơng thường. Rõ ràng, chính xác phụ thuộc vào mức độ của sự
không chắc chắn trong
Bảng 5 : Trung bình và độ lệch chuẩn của pha và biên độ ước tính bạn tình của các
thành phần tần số thấp (Ví dụ 1) bằng cách sử dụng các thuật tốn Goertzel trượt, sửa đổi
và thơng thường những sai lệch 1% tần số (N acq = 256, SNR = 3 dB, freq. độ lệch = 1%)
Trượt
Thông thường Thay đổi
Goertzel
Goertzel
Goertzel
thuật toán
thuật toán
thuật toán
Biên độ
Ave.
2,0434
2,0454
1,8806
(Fi)
STD
0,1305
0,1285
0,2253
Giai đoạn Ave.
1,0120
(/ /)
STD
0,1036
-

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 16


biên độ (Rad)Độ lệch chuẩn của Ước tính

SRN(dB)

(Rad)biên độ Ước tính chuẩn của Độ lệch

(a)

(b)

SRN(dB)

Hình 8.(a) Trung bình lỗi và (b) độ lệch chuẩn của ước tính pha so với SNR.
tần số đầu vào, đó là, một ước tính chính xác hơn có thể được thu được như số lượng
khơng phù hợp làm giảm. In order to avoid overflows due to the recursive part of the
algorithm (resonator), the state variables of the resonator are checked at every /V acq
sample time, and if the magnitude at any node is halfway to saturation, all state variables
are scaled down to a small value near zero. Để tránh tràn do phần đệ quy của thuật toán
(cộng hưởng), các biến nhà nước của bộ cộng hưởng được kiểm tra tại tất cả các thời
gian mẫu Nacq, và nếu độ lớn tại một nút bất kỳ là nửa chừng để bão hòa, tất cả các biến
trạng thái được thu nhỏ xuống đến một giá trị nhỏ gần bằng khơng.
Ví dụ 2: Trong ví dụ này, chúng tơi xem xét các trường hợp mà các tín hiệu được thời
gian khác nhau.Mặc dù kỹ thuật đề nghị cung cấp một bản cập nhật ước tính trong từng
thời điểm mẫu, nó là cần thiết để chờ đợi cho tối thiểu mẫu N acq trước khi dự tốn có thể

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 17


Ước tính biên độ

được coi là đáng tin cậy.Lưu ý, tuy nhiên, N acq đó là ít hơn một khoảng thời gian của tín
hiệu. Hình 9 mơ tả ước tính biên độ và pha tại mỗi khoảng thời gian mẫu 30 của tín hiệu
sin có pha và biên độ thay đổi trong trình tự kế tiếp. Các đầu vào và tần số lấy mẫu được
lựa chọn bằng 941 và 8000Hz, tương ứng. SNR đã được thiết lập ở mức 20 dB và với
những thay đổi bước trong biên độ (từ 1 đến 2) và pha (từ 0 đến 1 rad) và những áp dụng
đồng thời với sinusoid đầu vào. Hình 9, rõ ràng là cho thuật tốn là có khả năng theo dõi
các thay đổi nhanh chóng trong các tham số của hình sin đầu vào.

Thời gian (n)

biên độƯớc tính

(a)

(b)

Thời gian (n)

Hình9. (a) Biên độ và tính tốn pha (b) hình sin duy nhất tại mỗi 30 mẫu với những
thay đổi bước trong biên độ và pha.

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 18

5.

Kết luận

Một thuật toán trượt tương tự như Goertzel thuật tốn thực sự có giá trị được đề xuất để
ước lượng các hệ số Fourier của tín hiệu đầu vào bao gồm tần số tùy ý. Việc thực hiện
thuật toán dựa trên cộng hưởng kỹ thuật số thứ tự thứ hai được điều chỉnh để các tần số
đầu vào.Phương pháp đề xuất tính hệ số Fourier chính xác trong vịng một khoảng thời
gian của tín hiệu.Điều này dẫn đến giảm đáng kể thời gian (so với các thuật tốn Goertzel
thơng thường), đặc biệt là khi số chia yếu tố phổ biến của tần số đầu vào là nhỏ.Điều này
có nghĩa rằng các thuật toán được đề xuất là phù hợp hơn để ước lượng của các hệ số
Fourier khi các thông số thời gian khác nhau trong chuỗi kế tiếp. Thử nghiệm mơ phỏng
cho dự tốn hệ số Fourier của một tín hiệu DTMF điển hình đã được tiến hành để đánh
giá hiệu suất tương đối của trượt, sửa đổi và Goertzel thuật tốn thơng thường.
Phụ lục A
Để chứng minh phương trình. (2), xem xét tổng hợp các tín hiệu sau đây:

(A.1)
Với C và f là biên độ và tần số của thành phần phức tạp j đầu vào hình sin, tương ứng.
DFT của một chuỗi x {n} có chiều dài N được sau đó được đưa ra bởi

(A.2)
Thay Eq.(A.l) vào phương trình. (A.2), chúng ta có được

(A.3)
Để tính tốn các thành phần thứ j như (Cj), ki chỉ số thích hợp là cần thiết để X (ki) =
NCi. Điều này cho thấy tổng kết đầu tiên và thời hạn thứ hai trong phương trình. (A.3) là
bằng N và số không, tương ứng. Để đáp ứng hai yêu cầu này, chúng tôi sử dụng thực tế là

Để đáp ứng yêu cầu đầu tiên chúng tơi có được

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 19


(A.5)
Giả sử có tồn tại ít nhất hai tần số (fp và fq) khơng có GCD hơn

,chúng tơi đã

(A.6)
Từ Eqs. (A.5) và (A.6), chúng ta có được

(A.7)
Kể từ khi Mp và MQ là nguyên tố, chỉ số kp và Kq nên bằng các giá trị của Mp và Mq,
tương ứng. Áp dụng thực tế này Eq. (A.5), chiều dài khối yêu cầu được đưa ra như sau:

(A.8)
Sử dụng phương trình.(A. 8), nó có thể dễ dàng chỉ ra rằng tổng kết thứ hai trong phương
trình. (A.3) là bằng khơng. Bây giờ chúng tôi cho thấy rằng chiều dài khối được đưa ra
bởi phương trình. (A.8) là một tối thiểu. Xem xét trường hợp của j = p và i = q trong biểu
thức. (A.3), chúng ta có được

(A.9)
Kể từ khi Mp và MQ là nguyên tố cùng, giá trị của r trở thành khơng khả tích cho
Do đó, nhiệm kỳ thứ hai trong biểu thức. (A.3) sẽ không giống hệt nhau
không và điều này kết thúc bằng chứng.
Khi M p và Mq là nguyên tố, giá trị của r trở thành khơng khả tích cho
Do đó, nhiệm kỳ thứ hai trong biểu thức. (A.3) sẽ không giống nhau

.

Phụ lục B
Khi tần số đầu vào là giống như tần số cộng hưởng của bộ cộng hưởng, biến đổi Z của
đầu ra được cho bởi

(B.1)
Xét cặp z biến đổi sau đây [5]:

(B.2)

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 20


(B.3)
cùng với đẳng sau đây:
(B.4)
(B.5)
với một số thao tác đơn giản sau đây cặp biến đổi z sẽ thu được:

(B.6)

(B.7)
Từ Eqs. (B.6) và (B.7), nó có thể được nhận thấy

(B.8)
Sử dụng Eqs (B.8) và (B.6), đầu ra của bộ cộng hưởng trong phạm vi thời gian,
, có

thể thu được. Bây giờ chúng ta hãy xem xét trường hợp khi tần số đầu vào
là khác
nhau từ tần số cộng hưởng của bộ cộng hưởng
. Khơng mất tổng qt xem xét hình
sin đầu vào sau đây chỉ bao gồm một thuật ngữ sin:
x(n)= Cisin win (B.9)
Đối với tín hiệu đầu vào cho bởi phương trình.(B.9), kết quả cộng hưởng trong miền Z
được cho bởi

(B.10)
Sử dụng phần mở rộng từng phần, chúng ta có

(B.11)
Từ biểu thức.(B.11), sản lượng trong miền thời gian có thể dễ dàng đạt được và được
đưa ra bởi phương trình. (15).

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 21


Các tài liệu tham khảo
Joe F. Chicharo, Mehdi T. Kilani *
Cục Kỹ thuật điện tử và máy tính, Đại học Wollongong, Northfields Avenue,
Wollongong, NSW 2522, Australia nhận được 19 Tháng 11 năm 1993, sửa đổi 30 1994,
ngày 27 tháng tư năm 1995 và 15 tháng 3 năm 1996

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/mwa16491589412386326-16491589411869/mwa1649158941.doc
Page 22