(SKKN mới NHẤT) SKKN một số SAI lầm THƯỜNG gặp KHI TÍNH TÍCH PHÂN

Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH
TRƯỜNG THPT SỐ 1 QUẢNG TRẠCH

---------------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Giáo viên: Võ Tố Như

*
Trường THPT Số 1 Quảng Trạch
download by :

‫٭‬

1


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

Tên đề tài:

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH
TÍCH PHÂN

Người thực hiện : Võ Tố Như
Tổ

: Toán

Năm

: 2018 – 2019

Giáo viên: Võ Tố Như

THPT Số 1 Quảng Trạch
download* byTrường
:

‫٭‬

2


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Tích phân, một chuyên đề hầu như không thể thiếu trong đề thi tốt nghiệp
THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các năm. Nhưng đối với học sinh THPT tích
phân là một trong những bài tốn khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định
nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân và sự đa dạng của chúng
Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là:
tìm một ngun hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích
phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít
học sinh để ý đến ngun hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm
số đó trên đoạn lấy tích phân hay khơng? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi

biến số có nghĩa khơng? Phép biến đổi hàm số có tương đương khơng? Vì thế trong
q trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai
Nhằm giúp học sinh ôn luyện thi tốt nghiệp và thi vào các trường Đại học ,
Cao đẳng được tốt hơn, tơi đã tìm tịi và biên soạn ra một số kinh nghiệm khi giải
tốn Tích phân.
.II. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Đổi mới phương pháp dạy học là sự thay đổi từ các phương pháp dạy học tiêu
cực đến các phương pháp tích cực, sáng tạo. Đó phải là một quá trình áp dụng
phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương

Giáo viên: Võ Tố Như

*
Trường THPT Số 1 Quảng Trạch
download by :

‫٭‬

3


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học
sinh chuyển từ thụ động sang chủ động.
Trong chương trình giải tích 12 mới hiện nay, chương Tích phân chiếm vị trí
khá quan trọng và thường có trong các đề thi tốt nghiệp ,Đại học và Cao đẳng. Phần
lớn học sinh còn lúng túng trong việc phân tích đề để tìm lời giải. Chính vì thế mà
tơi đã tìm tịi, biện soạn vấn đề này nhằm giúp học sinh đi đúng hướng và tìm ra lời
giải nhanh, gọn và tối ưu nhất .

II. CƠ SỞ THỰC TIỄN
Đây là vấn đề quan trọng đối với học sinh phổ thông. Qua thực tế giảng dạy
tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tơi đã hệ thống lại : “ Một số
sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân” bằng cách tuyển chọn các ví dụ,
các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh, rút kinh nghiệm qua
các lời giải đúng của bài toán.. Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu
điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài tốn tích phân nói riêng và đạt
kết quả cao trong q trình học tập nói chung.

Giáo viên: Võ Tố Như

THPT Số 1 Quảng Trạch
download* byTrường
:

‫٭‬

4


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

PHẦN II: NỘI DUNG
I. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số
nguyên hàm của

liên tục trên K và

là hai số bất kì thuộc K . Nếu F là một

trên K thì hiệu số:

được gọi là tích phân của

từ a đến b và kí hiệu là :

II. NỘI DUNG CỤ THỂ.
Giáo viên: Võ Tố Như

*
Trường THPT Số 1 Quảng Trạch
download by :

‫٭‬

5


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
Một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân
Bài tập minh hoạ:
Bài 1:

* Biến đổi sai: I =

Tính tích phân: I =

=

=-

=-

-1 = -

* Nguyên nhân :
Hàm số y =
trên

không xác định tại x= -1

suy ra hàm số không liên tục

nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải

trên.
* Lời giải đúng
Hàm số y =
trên

không xác định tại x= -1

suy ra hàm số không liên tục

do đó tích phân trên khơng tồn tại.

* Chú ý :
Khi tính

cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên

khơng? nếu

có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho cịn nếu khơng thì kết
luận ngay tích phân này khơng tồn tại.

* Một số bài tập tương tự:

Giáo viên: Võ Tố Như

THPT Số 1 Quảng Trạch
download* byTrường
:

‫٭‬

6


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
Tính các tích phân sau:
1/

.

2/

3/

4/

Bài 2

Tính tích phân

* Biến đổi sai: Đặt t = tg
=

I=

do tg

.

thì dx =

=

=

;
d(t+1) =

=

I=

=
+c

-

khơng xác định nên tích phân trên khơng tồn tại

* Ngun nhân:
Đặt t = tg

x

tại x =

thì tg

khơng có nghĩa.

* Lời giải đúng:

I=

=

= tg

.

* Chú ý :

Giáo viên: Võ Tố Như

*
Trường THPT Số 1 Quảng Trạch
download by :

‫٭‬

7


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục
và có đạo hàm liên tục trên

.

*Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
1/

2/
Bài 3

Tính I =

dx

* Biến đổi sai:
I=

dx =

* Nguyên nhân :
Phép biến đổi

với x

là không tương đương.

* Lời giải đúng:
I=

dx

=
=* Chú ý :

Giáo viên: Võ Tố Như

THPT Số 1 Quảng Trạch
download* byTrường
:

‫٭‬

8


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
I=

ta phải xét dấu hàm số f(x) trên

rồi dùng tính chất

tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
* Một số bài tập tương tự:
1/ I =

dx ;

3/ I =

2/ I =

dx

Bài 4

dx

4/ I =

Tính

dx

I=

* Biến đổi sai:
I=

* Nguyên nhân sai lầm :
Học sinh không học khái niệm arctgx trong sách giáo khoa hiện thời
* Lời giải đúng:
Đặt x+1 = tgt
với x=-1 thì t = 0
với x = 0 thì t =

Khi đó I =

Giáo viên: Võ Tố Như

*
Trường THPT Số 1 Quảng Trạch
download by :

‫٭‬

9


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
* Chú ý :
Các khái niệm arcsinx , arctgx khơng trình bày trong sách giáo khoa hiện thời. Học
sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham
khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000
đến nay do các khái niệm này khơng có trong sách giáo khoa nên học sinh không

được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng

ta

dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tgx hoặc t = cotgx ;
thì đặt x = sint hoặc x = cost
*Một số bài tập tương tự:
1/ I =

2/ I =

3/ I =

Bài 5

Tính

I=

* Biến đổi sai: Đặt x= sint , dx = costdt

Đổi cận: với x = 0 thì t = 0

Giáo viên: Võ Tố Như

THPT Số 1 Quảng Trạch
download* byTrường
:

‫٭‬

10

Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
với x=

thì t = ?

* Ngun nhân :
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa

thì thường đặt x = sint nhưng đối với

tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x =

khơng tìm được chính

xác t = ?
* Lời giải đúng:
Đặt t =

dt =

Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =

I=

thì t =

=

* Chú ý : Khi gặp tích phân của hàm số có chứa

thì thường đặt x = sint hoặc

gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x 2 thì đặt x = tgt nhưng cần chú ý đến cận của
tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo
phương pháp này cịn nếu khơng thì phải nghĩ đếnphương pháp khác.
* Một số bài tập tương tự:
1/ I =
Bài 6
Giáo viên: Võ Tố Như

2/ I =
Tính
I=
*
Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

download by :

‫٭‬

11


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

* Biến đổi sai: thường mắc: I =

Đặt t = x+
Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2;

I=

=

=(ln

-ln

)

= ln

* Nguyên nhân :

là sai vì trong

chứa x = 0 nên không thể

chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được
* Lời giải đúng:
xét hàm số F(x) =
F’(x) =
Do đó I =

=

Giáo viên: Võ Tố Như

THPT Số 1 Quảng Trạch
download* byTrường

:

‫٭‬

12


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
*Chú ý :Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng
trong đoạn lấy tích phân phải khơng chứa điểm x = 0 .

PHẦN III:KẾT LUẬN

Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý
nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh
nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về
vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ
động củng cố trau rồi thêm kiến thức về tính tích phân từ đó làm chủ được kiến
thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thi tuyển sinh vào các
trường đại học, cao đẳng , THCN.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp giải tốn Tích phân và Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam – NXB
Trẻ )
2. Phương pháp giải tốn Tích phân (Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXB
Giáo Dục)
3. Sách giáo khoa Giải tích 12 (Đồn Quỳnh Chủ biên – NXB GD – 2008)

Giáo viên: Võ Tố Như

*
Trường THPT Số 1 Quảng Trạch
download by :

‫٭‬

13


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
4. Phương pháp giải tốn Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà
Nội – 2005)
5. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán ( Trần Phương và Nguyễn
Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004)

MỤC LỤC

Trang

PHẦN I : MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề

1

II. Cơ sở lý luận

1

III. Cơ sở thực tiễn

2

PHẦN II : NỘI DUNG

Giáo viên: Võ Tố Như

THPT Số 1 Quảng Trạch
download* byTrường
:

‫٭‬

14


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
I. Nội dung cụ thể

3

PHẦN III: KẾT LUẬN
I. Kết luận

11

II. Tài liệu tham khảo

11

Giáo viên: Võ Tố Như

*
Trường THPT Số 1 Quảng Trạch
download by :

‫٭‬

15