(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
Tốn học 11 tiếp nối chương trình Tốn 10 bắt đầu từ phần “Lượng giác”. Việc học
phần phương trình lượng giác của lớp 11 gây khó khăn khơng nhỏ cho học sinh vì học
sinh khơng nắm chắc cơng thức lượng giác nên khả năng vận dụng linh hoạt công thức
lượng giác của học sinh còn yếu và đặc biệt khả năng nhận dạng các phương trình
lượng giác của học sinh cịn hạn chế đó là một trong những lí do tôi chọn sáng kiến
kinh nghiệm này.
2. Tên sáng kiến: Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thanh Nhàn
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Thị trấn Lập Thạch - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 0948028536. E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đại số và giải tích
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 28/9/ 2018
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến:
Phần I
ĐẶT VẤN ĐỀ
Cơ sở lý luận:
- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của ngành giáo dục ở bậc phổ thông trung học.
- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học
tập bộ mơn Đại số và giải tích 11.
- Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Tốn học trình bày trong các tài liệu.
- Cách giải phương trình lượng giác cơ bản và thường gặp đã nêu trong sách giáo
khoa lớp 11(cơ bản và nâng cao).
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

1


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

- Chuẩn kiến thức kỹ năng trong chương trình tốn 11.
Cơ sở thực tiễn
- Những thuận lợi và khó khăn trong q trình giảng dạy bộ mơn Đại số và giải tích
và nhất là phần phương trình lượng giác.
Mục đích nghiên cứu:
- Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.
- `Nhằm tạo ra tư liệu cho học sinh tự rèn luyện và ôn thi.
a. Kết quả khảo sát đầu năm học
Giỏi
SL
%
11A1 36
03
8,3
11A3 31
0
b. Nguyên nhân
Lớp

Sĩ số

Khá
SL
%
06 16,7
03
9,6

Trung Bình
SL
%
17
47,2
16
51,6

Yếu
SL
%
06 16,7
06 19,4

Kém
SL
%
04 11,1
06 19,4

* Nguyên nhân khách quan
- Sau ba tháng nghỉ hè kiến thức cũ của học sinh mai một nhiều.

- Phân phối chương trình Tốn 11 khơng có tiết ơn tập đầu năm số tiết học Tốn giảm
nhiều so với chương trình cũ.
* Nguyên nhân chủ quan
- Đa số các em học sinh chưa có động cơ học tập đúng đắn.
- Chưa phát huy được tính tự học, tự rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc học
tốn nói riêng và học tập nói chung .
- Chưa có phương pháp học để khắc sâu kiến thức để từ đó vận dụng kiến thức một
cách linh hoạt vào việc giải toán, kĩ năng tính tốn, kĩ năng giải phương trình lượng
giác ...còn yếu.
c. Các giải pháp thực hiện
Để đạt được kết quả cao trong việc học toán nhất là chủ đề “Lượng giác” đòi hỏi học
sinh cần nắm vững kiến thức từ thấp đến cao, phải học toán thường xuyên liên tục,
biết quan sát bài toán và định hướng được phương pháp giải, biết vận dụng và kết nối
các chuỗi kiến thức đã học để từ đó tiếp thu dể dàng hơn, thuận lợi hơn trong q trình
giải tốn góp phần triệt để đổi mới chương trình mơn Tốn trung học phổ thơng.
Trong u cầu đổi mới chương trình và phương pháp giảng dạy Toán ở trường THPT
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

2


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

với phương châm “lấy học sinh làm trung tâm” kết hợp với kết quả khảo sát đầu năm
học trong chuyên đề này tơi đưa ra giải pháp chính là: hệ thống lại “Các công thức
lượng giác liên quan, công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và

phương pháp giải các phương trình lượng giác thường gặp đồng thời nêu lên hướng
mở rộng, nâng cao” đảm bảo cho tính liên tục và tính thực tiễn thuận lợi cho học sinh
trong việc học, rèn luyện và ôn tập.
Phần II
NỘI DUNG
A. CÁC KIẾN THỨC CĨ LIÊN QUAN:
 Cơng thức cộng:
 cos(a  b) = cosa cosb + sina sinb

 cos(a + b) = cosa cosb  sina sinb

 sin(a  b) = sina cosb  cosa sinb

 sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb




 Công thức nhân đôi:

 cos2a = cos2a  sin2a = 2cos2a  1 = 1  2sin2a
 sin2a = 2sinacosa



 Công thức hạ bậc:



 Cơng thức biến đổi tích thành tổng:




 Cơng thức biến đổi tổng thành tích:




Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

3


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP




 Một số cung liên quan đặc biệt

Cung đối:(cos đối)

Cung bù: (sin bù)

Cung phụ:(phụ chéo)

Cung khác

: (khác

tang và côtang)

 Phương trình lượng giác cơ bản:
a. Phương trình
: Phương trình vơ nghiệm



Tổng quát:
* Các trường hợp đặc biệt

b.Phương trình
: Phương trình vô nghiệm



Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

4

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Tổng quát:
* Các trường hợp đặc biệt

c. Phương trình

Tổng quát:
d. Phương trình

Tổng qt:
B. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM
SỐ LƯỢNG GIÁC.
1.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình
có dạng
(1) trong đó a,b là các hằng số
và t là một trong các hàm số
lượng giác.
Phương pháp giải: Biến đổi đưa phương trình (1) về các phương trình lượng giác cơ
bản.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
Giải

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

5


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
bậc nhất đối với một hàm số lượng giác)
Giải

(Phương trình đưa về phương trình

1.2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình
có dạng

(2), trong đó a, b, c là các hằng số

và t là một trong các

hàm số lượng giác.
Cách giải: Biến đổi đưa phương trình (2) về các phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ 3:
a)

là phương trình bậc hai đối với

.

b)

là phương trình bậc hai đối với

.

c)

là phương trình bậc hai đối với

d)

.

là phương trình bậc hai đối với

.

Giải
Đặt

, điều kiện

. Phương trình (1) trở thành:

Với t=1, ta được

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

6


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Đặt

, điều kiện

Với

. Phương trình (2) trở thành:

ta được

Các câu cịn lại giải tương tự
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
Giải

*) Giải phương trình:
*) Giải phương trình:
Vì

nên phương trình

vơ nghiệm.

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là

Điều kiện:
Khi đó:

và

Đặt
, ta giải phương trình bậc hai theo t:
Bài tập tương tự
Bài tập 1. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

Bài tập 2. Giải các phương trình sau:
a)
b)

c)

d)

e)

g)

h)

i)

k)

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

7


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A.
.
B.
. C.
Câu 2. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.
.

.

D.

Câu3.Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:
A.

.

.

B.

.

C.
.
D.
Câu 4. Tìm tập nghiệm T của phương trình .
A.

.

C.

.

.

B.

D.

.

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx và cosx
Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x l phng trỡnh cú
dng
trong ú
v
Cách giải:
Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 c¸ch sau:
C¸ch 1: Chia hai vế phương trình cho

ta được:

 Nếu

: Phương trình vơ nghiệm.

 Nếu

thì đặt

(hoặc

)

Đưa phương trình về dạng:

(hoặc

) sau đó

giải phương trình lượng giác cơ bản.

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

8


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Chú ý: Phương trình
trong đó
.
C¸ch 2: Thùc hiƯn theo c¸c bớc
Bớc 1: Với

v

cú nghim khi

thử vào phơng trình (1) xem

có là nghiệm hay không?
Bớc 2: Với
Đặt

suy ra

Khi đó phơng trình (1) có dạng

Bớc 3: Giải phơng trình (2) theo t , sau đó giải tìm x.
* Dạng đặc biệt:
.
.

.

Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau
từ kết quả đó ta có thể áp dụng
tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng
,
và phơng pháp đánh giá cho một số phơng trình lợng giác .
Ví dụ: Giải phơng trình:
Giải :
Cách 1: Chia cả hai vế phơng trình (1) cho

Đặt

(1)
ta đợc

. Lúc đó phơng trình (1) viết đợc dới

dạng

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

9


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GP

Vậy phơng trình có 2 nghiệm
Cách 2:Ta nhận thấy
là nghiệm của phơng trình
-Với

. Đặt

,ta có

Phơng trình (1) sẽ có dạng

Hay
Vậy phơng trình có 2 họ nghiệm
Cách 3: Biến đổi phơng trình về dạng

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm
Bi tp tương tự:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a)
b)
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a)
b)
d)
e)
h)

(*)

c)
g)
i)

Chú ý: Tùy từng bài có thể đặt theo lý thuyết nhưng có một số bài lại khơng nên dập
khn q máy móc nên tìm cách giải phù hợp đối với từng loại bài .
Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Các nghiệm của phương trình

là:

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

10


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

A.

B.

C.

Câu 2: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm:
A.
C.

D.

B.
D.

Câu 3: Phương trình:
A.

tương đương với phương trình nào sau đây:
B.

C.

Câu 4: Tìm m để pt sin2x + cos2x =

D.

có nghiệm là:

A.
B.
C.
D.
2
Câu 5: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin x là:
A.

B.

C.

D.

Câu 6: Tìm m để pt 2sin2x + m.sin2x = 2m vô nghiệm:
A. 0 < m <

B.

C.

D. m < 0 ;

DẠNG 3 : MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIẢI ĐƯA VỀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
DẠNG 3. 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sinx và cosx
Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx là phương trình có
dạng
Cách giải
1)
Phương trình chứa tổng và tích (cịn gọi là phương trình đối xứng theo sin và
cơsin)
 Dạng phương trình:
a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c
(1)
 Cách giải : Đặt t = sinx + cosx =

(1)

.

Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn
.
Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x =
để tìm x.
2)
Phương trình chứa hiệu và tích ( cịn gọi là phương trình phản xứng)
 Dạng phương trình:
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

11


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c

(2)

 Cách giải : Đặt t = sinx - cosx =

(1)

.

Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn
Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- để tìm x
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
a.

.

b.
c.
d.

Giải
a.

.

Do đó :

b.

(1)

Đặt :

.
Do đó phương trình :
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

12


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

c.

. Điều kiện :

. Khi đó phương trình (c)

trở thành :
Đặt :

. Thay vào phương trình ta được :

Thỏa mãn điều kiện .
d.

. Điều kiện :

.

Khi đó :

Trường hợp :
Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
Đặt :

Cho nên phương trình :

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

13

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

Bài tập 2: Giải các phương trình sau :
a.

b.

c.

d.

DẠNG 3.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI sinx và cosx

Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x là phương
trình có dạng
Cách giải:
 Cách giải 1: (Dùng cơng thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và
cơsin cùng cung)
(1)
.
 Cách giải 2 (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)
Kiểm tra
có là nghiệm khơng, nếu có thì nhận nghiệm này.
chia cả hai vế cho
đưa về phương trình bậc hai theo
Ví dụ: Giải phương trình

a. cos2x sin2x = 1 + sin2x
b. 4sin2x – 3sinxcosx +
cos2x = 4
c. 10 cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

:

(1)
(2)
(3)
Trang

14


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

d. cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3.
GIẢI
a.(1)
b. +Xét cosx = 0 thì

nghiệm đúng phương trình (2).

Vậy (2) có nghiệm
+Xét

(4)

.

. Chia hai vế PT(2) cho

và thay

và đặt ăn

phụ t = tanx :
Ta có :
Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là :

;

c. (3)
d. +Xét cosx = 0 thì

nghiệm đúng phương trình (2).

Vậy (2) có nghiệm
+Xét

.

. Chia hai vế PT(2) cho

và thay

và đặt ẩn

phụ t = tanx :
Ta có :
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

Phương trình thuần nhất bậc cao theo sin và côsin
cùng một cung
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Giải cách 1:
+ĐK:

(1)

.

+(1)
(*) (đẳng cấp bậc 3).
+cosx = 0 khơng nghiệm đúng PT. (vì
; vơ lý)
3
+cosx 0, chia hai vế (*) cho cos x được :

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

15


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

(t = tanx)
Giải cách 2:
(*)

(**)

Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tơi minh họa lại như
sau:
(**)
.

Ví dụ 2 : Giải phương trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp
bậc 4)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 thì sinx =
khơng nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx
4
+ Chia hai vế (2) cho cos x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:
Giải cách 2:
(4)

Ví dụ 3: Giải phương trình :
(5)
Giải cách 1:
Nếu biến đổi : sin 6 x  cos 6 x  (sin 2 x  cos 2 x)(sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x cos 2 x)

=
Và biến đổi :
Thì PT (5)
(*)
Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản
+ Nếu từ PT:
(đẳng cấp bậc 6)
Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình:
(Với t = tanx )
Khi đó PT (5.1)
PT (5.2) đặt ẩn phụ

(5.2)
thì được PT bậc hai

.

Trở lại với ẩn t thì các PT này vơ nghiệm.
+ Với t = 0
.
Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:
cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x =

phù hợp với mọi

cách giải.
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

16


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Bài tập tương tự:
1) Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
(đẳng cấp bậc
3)
2) Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)
3) Giải phương trình sinx – 4sin3x + cosx = 0
(đẳng cấp bậc 3)
4) Giải phương trình :
(đẳng cấp bậc 3)
5) Giải phương trình :
(đẳng cấp bậc 3)
6) Giải phương trình :
(đẳng cấp bậc 3)
7) Giải phương trình :
(đẳng cấp bậc 3)
8) Giải phương trình : 4
(đẳng cấp bậc 4)
9) Giải phương trình :
(đẳng cấp bậc 6)
10) Giải phương trình :
(đẳng cấp bậc 6)
Bài tập trắc nghiệm :
Câu 1: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là:

Câu 2: Số nghiệm của phương trình
A.

B.

thuộc đoạn

C.

là:

D.

Câu 3. Phương trình

có nghiệm là:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác.

Câu 4. Phương trình

có các nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Câu 5. Phương trình sin4x + cos4x = 2cos2x - 1.
A)

B)

C)

D)

Câu 6. Phương trình

A.

có các họ nghiệm là:

B.

C.

D.

DẠNG 4: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

17


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Cách giải
+ Dùng các công thức biến đổi về các phương trình đã biết
+ Đưa về phương trình tích.
+ Áp dụng một số tính chất đặc biệt trong biến đổi đại số
+ Áp dụng tính chất:

+ Áp dụng tính chất:

+ Áp dụng tính chất:
Bài 1: Giải phương trình
Giải : (1)

(1)

Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Giải các phương trình:
a) cosxcos7x = cos3xcos5x

(1)

c)

b) sin2x + sin4x = sin6x

(3) d)

(2)
(4)

Chú ý: Dùng các cơng thức biến đổi tích về tổng, tổng về tích, cơng thức nhân đơi,
cơng thức hạ bậc và sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác.
Giải:
a)
Câu 2 , 3 , 4 giải tương tự
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

Giải tương tự như bài tập 1
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

18


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Cách giải: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi
Bài tâp 4: Giải các phương trình sau:

Chú ý: Với dạng bài tập 4 cần phải có điều kiện
Bài tập 5: Giải các phương trình sau:

Lưu ý: câu a là dạng của pt bậc nhất theo sin x và cos x
Câu b và c đặt nhân tử chung hoặc đưa về pt bậc 3 theo sin x
Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Nghiệm của phương trình
A.

là:

B.

C.

Câu 2. Phương trình

D.

có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Câu 3. Cho phương trình
khoảng

. Các nghiệm thuộc

của phương trình là:

A.

B.

Câu 4. Số nghiệm của phương trình

C.
thuộc đoạn

D.
là:

A.
B.
C.
D.
Câu 5: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự là:
A.

B.

C.

D.

DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC –
THPTQG
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

19


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

KD-2002: Tìm

nghiệm đúng pt:

KB-2002:
KA-2002: Tìm nghiệm thuộc

của pt:

KD-2003:
KB-2003:
KA-2003:
KD-2004:

KB-2004:
KA-2004: Khơng hỏi về giải pt LG (thay bởi bài hệ thức lượng trong tam giác)
KD-2005:
KB-2005:
KA-2005:
KD-2006:
KB-2006:
KA-2006:
KD-2007:
KB-2007:
KA-2007:
CĐ-2008:
KD-2008:
KB-2008:
KA-2008:

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

20


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

CĐ-2009:
KD-2009:
KB-2009:

KA-2009:
KD-2010:
KB-2010:
KA-2010:

KD-2011:
KB-2011:
KA-2011:
KD-2012:
KB-2012:
KA-2012:
KA-2013:

KB- 2013:

KD-2013: sin 3 x  cos 2 x  sin x  0

CĐ – 2013:

KA- 2014 :
THPTQG-2015 Tính giá trị của biểu thức
THPT QG - 2016 Giải phương trình:

biết
.

Phần III
KẾT LUẬN

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

21


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Phương trình lượng giác là một nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán lớp
11 nói riêng và bậc THPT nói chung. Vì vậy, bản thân tôi rất chú trọng khi dạy phần
này cho học sinh.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân khi dạy phương trình lượng giác cho
học sinh. Tuy bản thân rất cố gắng tìm tòi học hỏi, nhưng chắc hẳn bài viết còn nhiều
hạn chế, mong các thầy cô chân tình góp ý và bố sung.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1)
2)
3)
4)

Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao - Nhà xuất bản Giáo dục.

Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục.
Các đề thi Đại học - Cao đẳng – THPT QG các năm.
Giải toán Đại số và lượng giác 11 – Võ Anh Dũng - Nhà xuất bản Giáo dục.

- Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Sáng kiến có thể sử dụng làm giáo án giảng
dạy cho giáo viên và tài liệu học tập cho học sinh trong nhà trường.

8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Khơng
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Trình độ chun mơn: Nắm vững các kiến thức cơ bản của phần lượng giác và có
phương pháp truyền đạt phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Cơ sở vật chất: Lớp học có đầy đủ các trang thiết bị cần thiết cho quá trình học tập.
10. Kết quả đạt được :
Sáng kiến đã nêu lên các dạng phương trình lượng giác thường gặp và các phương
pháp giải phù hợp. Sau khi áp dụng sáng kiến với các lớp trực tiếp giảng dạy tôi thu
được kết quả cụ thể như sau:
Giỏi
Khá
Trung Bình
Yếu
Kém
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11A1 36
03
8,3
06 16,7
21

58,3 04 11,1 02
5,6
11A3 31
0
03
9,7
20
64,5 05 16,1 03
9,7
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng
kiến lần đầu :
TT Tên tổ chức/cá nhân

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến

l

11A1

2

11A3

Trường THPT Triệu Đại số và giải tích
Thái – Vĩnh Phúc

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

22


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Lập Thạch, ngày tháng
năm 2018
Thủ trưởng đơn vị

Lập Thạch, ngày 25 tháng 10 năm 2018
Tác giả sáng kiến

Nguyễn Thanh Nhàn

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

download by :

Trang

23