Bài giảng Đại số 11 chương 1 bài 3 Một số phương trình lượng giác thường gặp

TRƯỜNG THPT TÁNH LINH
TỔ: TOÁN – TIN KHỐI 11
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Hoạt động 1: Bài cũ
Hỏi 1: Em hãy nêu công thức cộng
Hỏi 2: Hãy chứng minh
rằng
a/ sinx +cosx =
)
4
sin(2
π
+
x
)
4
sin(2
π
−
x
b/ sinx – cosx =
Trả lời
Công thức cộng:
Sin(a b) = sina.cosb sinb.cosa
±
±
Cos(a b) = cosa.cosb sina.sinb
±

Tan(a b) =

±
ba
ba
tan.tan1
tantan

±
Chứng minh:
a/ sinx +cosx =
)
4
sin(2
π
+
x
sinx +cosx =
)cos
2
2
sin
2
2
(2 xx
−
)cos
2
2
sin
2
2

(2 xx
+
)cos
4
sinsin
4
(cos2 xx
ππ
+
)
4
sin(2
π
+
x
=
=
)
4
sin(2
π
−
x
b/ sinx – cosx =
sinx – cosx =
)cos
4
sinsin
4
(cos2 xx

ππ
−
=
=
)
4
sin(2
π
−
x
Hoạt động 2: Bài mới
HĐ 2.1: Công thức biến đổi biểu thức.
Hỏi: từ kết quả trên hãy nhận xét xem: asinx + bcosx = ?
Nhận xét: đối chiếu kết quả trên ta thấy
Theo kết quả trên ta có: sinx +cosx =
)
4
sin(2
π
+
x
asinx + bcosx =
1sinx + 1cosx =
)
4
()sin(11
22
π
αα
=++

x
)sin(.?
α
+
x
⇒
?)sin(
22
=++
αα
xba
asinx + bcosx =
Chứng minh:
)sin(
22
α
++
xba
asinx + bcosx =
Ta có:
asinx + bcosx =
)cossin(
2222
22
x
ba
b
x
ba
a

ba
+
+
+
+
1)(
2
2222
=
+
+
+
ba
b
ba
a
α
Nên ta có 1 góc để
Vì
α
cos
22
=
+
ba
a
α
sin
22
=

+
ba
b
,
(1)
Vậy (1) =
)cossinsin(cos
22
xxxxba
++
)sin(
22
α
++
xba
=
Vậy:
)sin(
22
α
++
xba
asinx + bcosx =
)sin(
22
α
−+
xba
asinx - bcosx =
Tương tự, ta

có:
Bài tập 1: Biểu thức được biến
đổi thành biểu thức nào sau đây?
xx cossin3
+
Bài tập củng cố:
)
4
cos(2/
π
−
xa
)
6
sin(2/
π
+
xb
)
6
cos(2/
π
−
xc
)
3
cos(2/
π
+
xd

22
cos
ba
a
+
=
α
)sin(
22
α
++
xba
asinx + bcosx =
Theo chứng minh:
Với:
Thật vậy, ta có:
xx cossin3
+
=
)sin(1)3(
22
α
++
x
Với:
22
1)3(
3
cos
+

=
α
=
2
3
⇒
6
π
α
=
)sin(2
α
+
x
=
Vậy ta chọn câu:
)
6
sin(2/
π
+
xb
Bài tập 2: Biểu thức tương đương
với phương trình sau đây?
1cos3sin
=−
xx
2
1
)

4
sin(/
=+
π
xa
2
1
)
3
sin(/
=−
π
xb
2
1
)
6
cos(/
=+
π
xc
2
1
)
3
cos(/
=−
π
xd
22

cos
ba
a
+
=
α
)sin(
22
α
−+
xba
asinx - bcosx =
Theo chứng minh:
Với:
Thật vậy, ta có:
xx cos3sin
−
=
)sin()3(1
22
α
−−+
x
Với:
22
)3(1
1
cos
+
=

α
=
2
1
⇒
3
π
α
=
)sin(2
α
−
x
=
Vậy ta chọn câu:
2
1
)
3
sin(/
=−
π
xb
Hoạt động 2.2: Xét phương trình dạng:
asinx + bcosx = c
baRcba ,;,, ∈
(Với
TH1:




=≠
≠=
0,0
0,0
ba
ba
Nếu
không
đồng thời bằng không)
Phuong trình (*) là
(*)
phương trình lượng giác cơ bản
)sin(
22
α
++
xba
asinx + bcosx =
TH2:
,0,0 ≠≠ ba
Ta áp dụng công thức (1):
để giải
Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau.
1cossin3
=+
xx
Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau.
1cossin3
=+

xx
Giải:
(a)
(a)
⇔
1)sin(2 =+
α
x
⇔
2
1
)sin(
=+
α
x
Với
,
2
1
)sin(
=
α
2
3
)cos(
=
α
⇒
6
π

α
=
Vậy: (a)
⇔
2
1
)
6
sin( =+
π
x
⇔
)(
2
3
2
2
zk
kx
kx
∈




+=
=
π
π
π

asinx + bcosx = c
)sin(
22
α
++
xba
asinx + bcosx =

⇔
HĐ 2.3: Điều kiện có nghiệm của phương trình
Hỏi:
Từ phương trình: hãy nhận
xét xem phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm khi nào?
Ta có: asinx + bcosx = c
22
)sin(
ba
c
x
+
=+
α
Phương trình trên có
nghiệm:
⇔
1
22
≤
+
ba

c
⇔
222
bac
+≤
Vậy phương trình (b) có nghiệm
(b)
⇔
222
bac
+≤
HĐ 3: Củng cố và dặn dò.
Bài tập 1:Nghiệm của p.trình: là?
2cos3sin
=−
xx
π
π
2
3
/ kxa
+=
π
π
2
3
2
/ kxb
+=
π

π
2
6
5
/ kxc
+=
π
π
2
6
5
/ kxd
+−=
Giải:
2cos3sin
=−
xx
⇔
2)
3
sin(2
=−
π
x
⇔
1)
3
sin(
=−
π

x
⇔
π
π
2
6
5
kx
+=
Vậy ta chọn câu b/
Ta có:
Bài tập 2: Nghiệm của p.trình: 5sinx +4cosx = 11 là?
ππ
2/ kxa
+=
πα
2/ kxc
+=
b/ vô nghiệm
d/ Cả a và c
222
4511
+>
Phương trình vô
nghiệm
Vậy ta chọn cau b/
Giải:
DẶN DÒ:
-Nắm và biến đổi thành thạo công thức: asinx + bcosx
- áp dụng công thức trên để giải Các phương

trình dạng: asinx + bcosx = c
* Bài tập về nhà: Làm các bài tập trong SGK