(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp giải bài tập nhị thức niu tơn

GD&ĐT
VĨNHPHÚC
PHÚC
SỞSỞ
GD&ĐT
VĨNH
TRƯỜNG
THPT
……………………………….
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ GIANG
=====***=====
=====***=====

CÁOKẾT
KẾT QUẢ
BÁOBÁO
CÁO
QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:.......................................................
giả sáng kiến:.................................................
TênTác
sáng
kiến: Phương pháp giải bài tập Nhị
Môn: …………………………………………….
Trường THCS: …………………………………..

thức Niu-tơn

Tác giả sáng kiến: Hồ Thị Kim Thúy
Mã sáng kiến: 25.52….

Vĩnh phúc, năm 2018

Vĩnh phúc, năm 2018

download by :


SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ GIANG
=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu-tơn
Tác giả sáng kiến: Hồ Thị Kim Thúy
Mã sáng kiến: 25.52….

Vĩnh phúc, năm 2018

download by :


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Tốn học có vai trị lớn trong đời sống, trong khoa học và trong công

nghệ hiện đại; kiến thức Tốn học là cơng cụ để học sinh học tốt các môn khoa
học khác. Với tư cách là cố vấn cho q trình học tập, người giáo viên cần có sự
đầu tư về thời gian để nghiên cứu bài học, tìm tịi kiến thức để hướng dẫn cho
học sinh tiếp cận với tri thức, xóa bỏ rào cản của học sinh khi học mơn Tốn.
Để hồn thành tốt mơn học này các em cần nắm vững kiến thức cơ bản từ
thấp đến cao. Rèn luyện kỹ năng bằng cách chăm chỉ làm các bài tập trong sách
giáo khoa, sách bài tập và các sách nâng cao. Ngoài ra, học tốt mơn Tốn cần
chú ý đến việc hệ thống hóa kiến thức. Khi làm một bài tốn cần nhanh chóng tư
duy xem bài đó thuộc dạng nào để tìm ra cách giải.
Nhị thức Niu - tơn là một trong những nội dung kiến thức hay và có nhiều
điểm có thể huy động khai thác tư duy của học sinh. Việc học và rèn luyện nội
dung này cũng hết sức quan trọng và cần thiết để học sinh có sự chuẩn bị chu
đáo cho kỳ thi THPT quốc gia hiện nay khi đề thi có mở rộng sang nội dung
tốn 11. Tuy nhiên do hạn chế về thời gian lên lớp và đối tượng học sinh không
đồng đều nên sách giáo khoa chỉ đưa ra những tình huống cơ bản của Nhị thức
Niu- tơn, do đó học sinh gặp nhiều hạn chế về kiến thức cũng như khả năng
phân tích khi giải các bài toán này.
Đối với đối tượng học sinh khá giỏi thì việc phân dạng bài tốn này nhằm
nâng cao kiến thức và khả năng vận dụng kiến thức Nhị thức Niu-tơn một cách
hiệu quả trong các kì thi là thật sự cần thiết.
Chính vì vậy tơi xin mạnh dạn trình bày "Phương pháp giải bài tập Nhị
thức Niu - tơn" làm sáng kiến kinh nghiệm cho mình. Với hy vọng đề tài này sẽ
là một tài liệu tham khảo phục vụ tốt cho việc học tập của các em học sinh nói
riêng và cho cơng tác giảng dạy của đồng nghiệp nói chung.
2. Tên sáng kiến:
“Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu – tơn”.
1

download by :

3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Hồ Thị Kim Thúy
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Việt Trì – Phú Thọ.
- Số điện thoại: 0363735787 . E_mail:
4. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Mơn tốn học lớp 11, 12 – các bài toán liên quan tới khai triển Nhị thức
Niu- tơn.
5. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
- Đề tài được nghiên cứu và thực nghiệm từ tháng 10/2017 đến tháng 3/2018.
6. Mô tả bản chất của sáng kiến
6.1. Thực trạng của vấn đề
Nhị thức Niu - tơn trong chương trình THPT được đưa ra với thời lượng
chương trình trong 2 tiết học: 1 tiết lý thuyết và 1 tiết bài tập (chương trình cơ
bản). Như vậy việc thơng thạo kiến thức cũng như tiếp cận các dạng bài tập của
học sinh sẽ cịn hạn chế rất nhiều. Học sinh ít có thời gian luyện tập dẫn đến học
sinh thường không làm được bài tập.
Nhiều học sinh thụ động, chỉ áp dụng máy móc cơng thức, chỉ dừng lại ở
dạng bài tập khai triển một biểu thức theo công thức Nhị thức Niu-tơn. Trong
khi đó các dạng bài tập lại rất đa dạng và phong phú.
Học sinh chưa biết tự tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức cho nên kết quả
học tập chưa cao.
6.2. Mục đích nghiên cứu
- Rèn luyện kỹ năng thành thạo cho học sinh với các dạng toán cơ
bản trong chương trình tốn 11.
- Cung cấp thêm các kiến thức và các dạng tốn có sử dụng các kiến
thức trong chương trình lớp 12.
- Phối kết hợp một cách linh hoạt các kiến thức trong hai chương trình
để giải quyết các bài toán phức tạp.
- Giải quyết tốt các bài trong các đề thi THPT quốc gia, thi học sinh

giỏi.
6.3. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là đã hệ thống hóa được kiến thức và
khai thác có hiệu quả các bài tốn về “Nhị thức Niu tơn”, không áp đặt hoặc dập
2

download by :


khn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng tiếp thu để giải quyết các bài toán lạ,
các bài tốn khó liên quan đến “Nhị thức Niu tơn”.
6.4. Phương pháp thực hiện
- Bước 1: Khảo sát tư liệu
Nghiên cứu hệ thống lý thuyết, các dạng bài tập. Tìm hiểu các đề kiểm tra
của học sinh và các nguồn tư liệu khác có liên quan tới q trình dạy học phần
“Nhị thức Niu tơn”.
- Bước 2: Đưa ra các dạng bài tập, phương pháp giải, ví dụ và phân tích ví
dụ minh họa, bài tập tương tự để học sinh luyện tập.
- Bước 3: Tiến hành thực nghiệm sư phạm trên đối tượng học sinh (2 lớp
khối 11).
- Bước 4: Thu thập và xử lý số liệu, rút ra kết luận.
6.5. Nội dung
Phần 1. Cơ sở lý thuyết

 n  1

a) Hoán vị : Cho tập hợp A gồm n phần tử

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hốn
vị của n phần tử đó

Pn  n !  n(n  1)...2.1  n  N * 

* Quy ước : 0! = 1
b) Chỉnh hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử

 n  1

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp
chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã
cho

Ank 

n!
1  k  n, n  ¥
 n  k !

c) Tổ hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử



 n  1

Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

C nk 

n!
 0  k  n, n  ¥ 
k !  n  k !

* Chú ý :
n
 Pn  An

3

download by :




Ank  Cnk .k!

k
 Tính chất của các số Cn

Cnk  Cnn k  0  k  n
Cnk11  Cnk1  Cnk 1  k  n
d) Nhị thức Niu-tơn:
* Công thức nhị thức Niu - tơn

 a  b

n

 Cn0an  Cn1an1b  ...  Cnn1abn1  Cnnbn (1) với a  ¡ ; b  ¡ ; n  ¥
n

  Cnk ank bk

k0

Trong vế phải của công thức (1) :
- Số các hạng tử (số hạng ) là n + 1
- Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ
0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử bằng n
- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau
k n k k
- Số hạng tổng quát của khai triển là Tk 1  Cn a b và là số hạng thứ k +

1 trong khai triển
* Hệ quả :
Cn0  Cn1  ...  Cnn  2n
k

n

Cn0  Cn1  ...   1 Cnk  ...   1 Cnn

Phần 2. Hệ thống các dạng bài tập
 Dạng 1. Các bài toán liên quan đến hệ số và số hạng trong khai triển.
 Loại 1. Nhóm các bài tốn tìm hệ số và số hạng trong khai triển:
a) Bài tốn thường gặp :





n

Cho khai triển có dạng a  b . Tìm hệ số hoặc số hạng chứa xk trong khai
triển đã cho.
b) Các bước thực hiện bài toán:
n

Xét khai triển :  a  b  với a  ¡ ; b  ¡ ; n  ¥ .

4

download by :


- Bước 1 : Tìm số hạng tổng quát của khai triển
k
n

T k 1  C a

nk

b

k

 0  k  n; n  ¥ 





n

n

k n k k
hoặc biểu diễn a  b   Cn a b
k0

Rút gọn số hạng tổng quát với số mũ thu gọn của các biến có trong khai triển.
- Bước 2 : Căn cứ và yêu cầu của bài toán để đưa ra phương trình tương ứng với
giái trị của k. Giải phương trình tìm k.
- Bước 3 : Kết luận về hệ số hoặc số hạng của xk trong khai triển.
* Một số tính chất của lũy thừa với số mũ thực sử dụng trong loại toán này (để
thu gọn số mũ của biến) : Cho a, b là những số thực dương, m,n là những số
thực tùy ý:

am.an  am n
am
 amn
n
a

a 
m

n

 a.b

 am.n

m

 am.bm

m

 a
am

 
bm
 b
Cho a là số thực dương, m Z, n  N * ta có :

n

m

a a

m
n

c) Ví dụ minh họa :
5

10

Ví dụ 1 : Tìm hệ số của số hạng chứa x


2
trong khai triển  x3  2  với x  0 .
x 


Lời giải :
- Số hạng tổng quát của khai triển :
k
5

 

Tk1  C x

3

5 k

k

k
 2
k
155k
  2   C5 . 2 .x
 x 

10

- Số hạng chứa x trong khai triển ứng với

15  5k  10

0  k  5  k  1
k  N

5

download by :


1
1 10
10
10
- Vậy số hạng chứa x trong khai triển là : C5.(2) .x  10x

- Hệ số cần tìm là -10.
12


1
Ví dụ 2 : Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển  x   với x  0 .
x


Phân tích bài tốn :
- Thực hiện theo 3 bước thực hiện bài toán nêu trên.
Lời giải :

k

k 12 k
12

- Số hạng tổng quát của khai triển : Tk1  C x

 1
k
12 2 k
   C12 .x
 x

- Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với
12  2k  0

0  k  12  k  6
k  N

6
0
6
- Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là : C12 .x  C12



25 10
Ví dụ 3 : Tìm số hạng chứa x y trong khai triển x3  xy

15



Lời giải :
15 k

   xy

k
3
- Số hạng tổng quát của khai triển : Tk1  C15 x

k

 C15k .x452k .yk

25 10
- Số hạng chứa x y trong khai triển ứng với

45  2k  25

k  10
 k  10

0

k

15


k  N
10 25 10
25 10
25 10
- Vậy số hạng chứa x y trong khai triển là : C15 .x y  3003.x .y

Ví dụ 4 : Tìm hạng tử chứa x 2 trong khai triển:



3

x 2  x



7

Lời giải :
- Số hạng tổng quát của khai triển :
k
7

Tk 1  C 



3

x

2



7k

 2 
.x  C   x 3 


k

7 k

k
7

.x k  C7k  x

5 k 14
3

- Hạng tử chứa x 2 trong khai triển ứng với
6

download by :


 5k  14

 3 2

0  k  7  k  4
k  N


4 2
2
- Vậy hạng tử chứa x 2 trong khai triển là : C7 .x  35 x

Ví dụ 5 :
31

a) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển:  x3  xy 

12

1

b) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển:  3  x5 
x


Phân tích bài tốn :
- Thực hiện theo 3 bước thực hiện bài toán nêu trên.
- Khi xác định số hạng chính giữa của khai triển cần chú ý
+/ Nếu n là số chẵn thì số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ
+/ Nếu n là số lẻ thì số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ

n

1
2

n 1
và
2

n1
 1.
2

Lời giải :
31

a) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển:  x3  xy 

31 k

   xy

k
3
- Số hạng tổng quát của khai triển : Tk1  C31 x

k

k
 C31
.x932k .yk

- Số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 16 và số hạng thứ 17 lần
lượt ứng với các giá trị k =15 và k = 16
15 63 15
- Số hạng thứ 16 trong khai triển là : C31 .x .y và số hạng thứ 17 trong

16 61 16
khai triển là : C31 .x .y
12

1

b) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển:  3  x5 
x


12 k

 1
- Số hạng tổng quát của khai triển : Tk 1  C  3 
x 
k
12

k

 x   C .x
5

k
12

- Số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 7 ứng với k = 6
7

download by :

11k  72
2


6
3
- Số hạng thứ 7 trong khai triển là : C12 .x
5
Ví dụ 6 : Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của
5

x 1  2x   x2 (1  3x)10 .

Phân tích bài tốn :
5

5
Hệ số của x trong khai triển thành đa thức của x 1  2x   x2 (1  3x)10 bằng
5

5
tổng hệ số của x trong hai khai triển x 1  2x  và x2 (1  3x)10
5

5
4
Hệ số của x trong khai triển x 1  2x  bằng hệ số của x trong khai triển

1  2x 

5

5
3
Hệ số của x trong khai triển x2 (1  3x)10 bằng hệ số của x trong khai triển

(1  3x)10

Lời giải :
* Xét khai triển : 1  2x 

5

5

k

k 5 k
k
k
k
- Số hạng tổng quát của khai triển 1  2x  : Tk1  C5 .1  2x   C5 .(2) .x

4

- Số hạng chứa x trong khai triển ứng với

k  4

0  k  5  k  4
k  N

4
- Vậy hệ số số hạng chứa x trong khai triển là : C54 .(2)4

* Xét khai triển : (1  3x)10
k

k
10 k
k
k k
- Số hạng tổng quát của khai triển (1  3x)10 : Tk1  C10 .1  3x   C10 .3 .x

- Số hạng chứa x3 trong khai triển ứng với
k  3

 0  k  10  k  3
k  N

3
3
- Vậy hệ số số hạng chứa x3 trong khai triển là : C10 .3

8

download by :


5
Kết luận : Hệ số của x trong khai triển thành đa thức của
5

x 1  2x   x2 (1  3x)10 là :
3
C10
.33 + C54 .(2)4 = 3320
9

10

14

Ví dụ 7 : Cho đa thức p( x)  1  x   1  x   ...  1  x  có dạng khai triển là

p( x)  a0  a1x  a2 x2  a3 x3  ...  a14 x14 . Tìm hệ số a9.
Phân tích bài tốn :
2
3
14
Vì p( x)  a0  a1x  a2 x  a3 x  ...  a14 x nên a9 tương ứng là hệ số của x9.

Khi đó hệ số a9 bằng tổng tất cả các hệ số của x9 trong các khai triển
9

10

1  x  ; 1  x 

14

;...; 1  x 

Lời giải :
Ta có :
Hệ số a9 bằng tổng tất cả các hệ số của x9 trong các khai triển
9

10

1  x ; 1  x

14

;...; 1  x 

Khi đó : a9  C99  C109  ...  C149  3003
Ví dụ 8 : Tìm hạng tử của khai triển



3 3 2



9

là số ngun

Phân tích bài tốn :
Thực hiện viết số hạng tổng quát của khai triển. Để tìm được hạng tử của khai
triển là số nguyên thì số mũ của lũy thừa nguyên.
Lời giải :
- Số hạng tổng quát của khai triển : Tk 1  C9k 

9 k

   
3



3

2

k

 C9k  3

9k
2

k

 23

- Hạng tử Tk 1 là số nguyên  9  k chia hết cho 2 và k chia hết cho 3

 0  k  9; k  N 
Khi đó k  3;9
 k = 3 thì T4  C93  33  2  4536
 k = 9 thì T10  C99  23  8
Vậy hạng tử của khai triển là số nguyên là: T4  4536 và T10  8
8
2
Ví dụ 9: Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của: 1  x 1  x  

Lời giải : Cách 1 :
9

download by :


8
Ta có : 1  x 2 1  x  



3

4

 C80  ...  C83  x 2 1  x    C84  x 2 1  x    ...  C88  x 2 1  x  

8

3

3
2
Các hạng tử chứa x8 trong khai triển là : C8  x 1  x   ; C84  x 2 1  x  

Vậy hệ số của hạng tử chứa x8 là :

4

C83C32  C84C40  238

Cách 2:
k

k

 k
i i i




1

x
1


x

C
x
1

x

C
x

1
Ck x  .
       


Ta có: 


k 0
k 0
 i 0

8

8

2

k

8

8

k
8

2

2k

 i  0
0  i  k  8  
i

k  4
k i
Vậy ta có hệ số của x8 là:  1 C8 Ck thỏa mãn 2k  i  8  
i  2
i, k  ¥


  k  3

Hệ số trong khai triển của x8 là:

 1

0

2

C84C40   1 C83C32 =238
10

Ví dụ 10: Tìm hệ số của hạng tử chứa x 4 trong khai triển: 1  2 x  3x 2 
Lời giải :



2
Ta có : 1  2 x  3x

  (1  2 x)  3 x 2 

10



10

10

9

2

8

10

 C100 1  2 x   C101 1  2 x  .3x 2  C102 1  2 x  .  3 x 2   ...  C1010 .  3 x 2 
Các hạng tử chứa x4 trong khai triển là :
10

9

8

C100 1  2 x  ; C101 1  2 x  .3 x 2 ; C102 1  2 x  .  3x 2 

2

10

0
0
4
6
Hạng tử chứa x4 trong khai triển C10 1  2 x  là : C10 .C10 .1 .  2 x 
9

4

2

Hạng tử chứa x4 trong khai triển C101 1  2 x  .3x 2 là : C101 .C92 .17.  2 x  .3x 2
8

2

2
2
Hạng tử chứa x4 trong khai triển C10 1  2 x  .  3x  là :
0

C102 .C100 .110.  2 x  .  3 x 2 

2

0
4
1
2 2
2
0
2
Vậy hệ số của hạng tử chứa x4 là : C10 .C10  C10 .C9 .2 .3  C10 .C10 .3  8085

d) Bài tập áp dụng:
10

download by :


Bài 1 : Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển:  2  3x 

25

Bài 2 : a) Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau  x3  xy 


b) Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau  x 4 x 





1 





21

1
3

 xy 

2






20

7

Bài 3 : Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển  3 x  4  với x  0
x
10

1
Bài 4 : Tìm hệ số của số hạng thứ 4 trong khai triển:  x  
x



Bài 5 : Tìm hệ số của x31 trong khai triển:  x 


Bài 6 : Tìm hạng tử chứa x 2 trong khai triển:

1 

x2 



3

40

x 2  x



7

14

Bài 7: Tìm số hạng chính giữa của khai triển  x  2 y 

 Loại 2. Nhóm các bài tốn tìm hệ số và số hạng trong khai triển thỏa
mãn điều kiện cho trước
a) Bài toán thường gặp :





n

Cho khai triển có dạng a  b . Cho biết một vài số hạng hoặc các hệ số trong
tổng thỏa mãn một đẳng thức nào đó hoặc số mũ n thỏa mãn điều kiện cho
trước. Tìm hệ số hoặc số hạng chứa xk trong khai triển đã cho.
b) Các bước thực hiện bài toán:
- Dựa vào đẳng thức đã cho hoặc điều kiện về số mũ ta thực hiện tìm n.
- Sau khi tìm được n ta thực hiện theo 3 bước như loại 1 đã nêu.
c) Ví dụ minh họa:
Ví dụ 11 : Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển

 x  1
2

n

bằng 1024.

Tìm hệ số a của số hạng ax12 trong khai triển đó.
Phân tích bài tốn :





n

2
- Khai triển x  1 theo cơng thức Nhị thức Niu- tơn

- Tính tổng các hệ số của khai triển và cho bằng 1024 để tìm n
- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1
Lời giải :
11

download by :






n

 

Ta có: x2  1  Cn0 x2

n

 

 Cn1 x2

n1

 ...  Cnn (1)

Thay x = 1 vào hai vế của đẳng thức (1) ta được : Cn0  Cn1  ...  Cnn  2n
Theo bài ta có tổng các hệ số của khai triển

x

2



1

n

bằng 1024 nên

2n  1024  n  10



10



2
Xét khai triển : x  1



10



- Số hạng tổng quát của khai triển x2  1

10 k

 

k
2
: Tk1  C10 . x

 C10k .x202k

- Số hạng ax12 trong khai triển ứng với
20  2k  12

0  k  10  k  4

k  N


- Vậy hệ số cần tìm là : a  C104  210
n1
3
Ví dụ 12: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cn  Cn . Tìm số hạng chứa x5
n

 2

trong khai triển  nx  1  với x  0
 14 x 

Phân tích bài tốn :
n1
3
- Tìm n thỏa mãn điều kiện 5Cn  Cn

- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1
Lời giải :
n1
3
Ta có: 5Cn  Cn  5.



5

 n  2 n  1



n!
n!

 n  1! 3!  n  3!

1
  n  2 n  1  30
6

 n2  3n  28  0
 n  4( KTM )

n  7
 x2 1 
Với n = 7 xét khai triển   
 2 x

7

12

download by :


7

 x2 1 

- Số hạng tổng quát của khai triển    là :
 2 x
 x2 
Tk1  C . 
 2

7 k

k
7

k

k
 1
1 143k
k
    C7 . 1 . 7k .x
2
 x

- Số hạng chứa x5 trong khai triển ứng với
14  3k  5

0  k  7  k  3
k  N


- Vậy số hạng cần tìm là : 

1 3 5
35
C7 .x   x5
16
16
n

 1
5 
Ví dụ 13: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  3  x  biết rằng
x

8

C nn 14  C nn  3  7  n  3 
Phân tích bài tốn :
n1
3
- Tìm n thỏa mãn điều kiện 5Cn  Cn

- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1
Lời giải :
n 1

n

Ta có: C n  4  C n  3  7(n  3)
  C nn 13  Cnn 3   Cnn 3  7  n  3
 Cnn 13  7  n  3
 C2n 3  7  n  3



 n  2  n  3  7

2!
 n  2  7.2!  14

 n  3

 n  12
12

1
Với n = 12 xét khai triển  3  x 5 
x


12

1
- Số hạng tổng quát của khai triển  3  x 5  là :
x

12 k

 

Tk1  C12k x3

k

 25 
 x 
 

 C12k x

6011k
2

13

download by :


- Số hạng chứa x5 trong khai triển ứng với
 60  11k
8
 2

0  k  12  k  4
k  N



- Vậy hệ số của số hạng chứa x8 là : C124 

12!
 495
4!12  4  !

n

 3 2
0
3
Ví dụ 14 : Cho khai triển  x  2   Cn x
x 


 

n

1
n

 

C x

3

n1

n

 2
2
. 2  ...  Cnn  2  .

x
x 

Biết tổng ba hệ số của ba số hạng đầu tiên của khai triển là 33. Tìm hệ số của x2
Phân tích bài tốn :
- Xác định hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển ( Chú ý hệ số là phần
không chứa biến x)
- Cho tổng ba hệ số bằng 33, giải phương trình tìm n
- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1 để tìm hệ số của x2
Lời giải :
0
1
2 2
Ta có: Cn  2Cn  2 Cn  33

 1  2.

n!
n!
 4.
 33
 n  1! 2!  n  2!

 1  2n  2n(n  1)  33
 2n2  32  0
n  4

 n  4( KTM )

2

Với n = 7 xét khai triển  x3  2 
x 


4

4


2
- Số hạng tổng quát của khai triển  x3  2  là :
x 

k

k
4

 

Tk 1  C . x

3

4 k

 2
k
k 125k
 2   C4 .2 .x

x 

- Số hạng chứa x2 trong khai triển ứng với

14

download by :


12  5k  2

0  k  4  k  2
k  N


- Vậy hệ số của x2 là : C42 .22  24
n

 x 1
Ví dụ 15 : Trong khai triển  2  x  tổng các hệ số của hạng tử thứ hai và thứ
4 

ba bằng 36. Hạng tử thứ ba gấp 7 lần hạng tử thứ hai. Tìm x
Phân tích bài tốn :
Bài tốn trên tuy khơng u cầu tìm hệ số hay số hạng chứa xk trong khai triển
nhưng vẫn dẫn đến việc ta cần tìm n và sau đó tìm x là số mũ liên quan đến các
số hạng trong khai triển
1
2
- Xác định hệ số của của hạng tử thứ hai và thứ ba lần lượt là : Cn ; Cn ; cho

tổng hai hệ số bằng 36, giải phương trinh trình tìm n
- Xác định hạng tử thứ ba và hạng tử thứ hai, từ giả thiết hạng tử thứ ba gấp
7 lần hạng tử thứ hai ta thu được một phương trình mũ; giải phương trình
tìm x
Lời giải :

 x 1
Xét khai triển :  2  x 
4 


n

 

1
x
Hạng tử thứ hai của khai triển là : Cn . 2

2
n

 

Hạng tử thứ ba của khai triển là : C . 2

x

n1

n 2

.

1
4x

 1
. x 
4 

2

1
2
- Theo bài có : Cn  Cn  36

n(n  1)
 36
2
 n2  n  72  0
 n

n  8

 n  9( KTM )

15

download by :


 x 1
Với n = 8 xét khai triển  2  x 
4 

2
8

 

- Ta có : C . 2

x

6

8

2

7 1
 1
. x   7C81. 2x . x
4
4 

 

 28.26 x.24 x  56.27 x.22 x
 22 x  2.25x
 22 x  25x1
 5x  1  2x
 x

1
3

1
là giá trị cần tìm
3
d) Bài tập áp dụng
Vậy x  

n


1 
Bài 1 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  x 3 x  15 28  biết rằng
x 


Cnn  Cnn 1  Cnn  2  79
10

11

12

13

14

Bài 2 : Cho đa thức P ( x )   x  1   x  1   x  1   x  1   x  1
2

14

được viết dưới dạng P ( x )  a0  a1 x  a2 x  ...  a14 x . Tìm hệ số a7.
n


1 
Bài 3 : Tìm số thực x sao cho trong khai triển  2 x  x1  tổng các hạng tử thứ
2 


3 và thứ 5 bằng 135 và tổng hệ số ba hạng tử cuối bằng 22
Bài 4 : Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của
n

 1
7
1
2
n
20
 4  x  biết rằng C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1  2  1
x


Bài 5 : Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển
n

n

thành đa thức của  x 2  1  x  2  . Tìm n để a3n-3 = 26n.
 1

Bài 6 : Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  3  x 5 
x


n

8

n 1
n
biết rằng Cn 4  Cn 3  7  n  3

16

download by :


 Loại 3. Nhóm bài tốn tìm hệ số lớn nhất của số hạng trong khai triển
nhị thức:
a) Bài toán thường gặp :
Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng trong khai triển nhị thức.

b) Các bước thực hiện bài toán :





n

n

k n k k
- Biểu diễn : a  b   Cn a b
k0

- Giả sử uk là hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển

uk  uk1
và đối chiếu điều kiện của k để
uk  uk1

- Thực hiện giải bất phương trình 

tìm k. Từ đó suy ra hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển với k tìm được.
c) Ví dụ minh họa :
Ví dụ 16 : Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển
101

1  x

Phân tích bài tốn :

Bài tốn u cầu tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai



triển 1  x

101



nên ta thực hiện theo ba bước đã phân tích nêu trên

Lời giải :
101

Ta có : 1  x 

101
k
  C101
.x k
k0





k
Giả sử uk  C101 0  k  101, k  N là hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai

triển.
k
k 1
uk  uk1
C101  C101
 k
Xét hệ : 
k 1
uk  uk1
C101  C101

101!
101!


 k ! 101  k !  k  1! 100  k !


101!
101!


 k ! 101  k !  k  1! 102  k !

17

download by :


 1

1
101  k  k  1

1  1
 k 102  k

k  1  101  k

102  k  k
2k  100

2k  102
 50  k  51

Mà k  N nên k = 50 hoặc k = 51
Khi đó có hai số hạng có hệ số lớn nhất.
50
51
Vậy hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng là C101  C101



Ví dụ 17 : Cho khai triển 1  2x



n

 a0  a1x  a2 x2  ...  an xn , n  N * và các

hệ số a0, a1,a2,…,an thỏa mãn hệ thức a0 

a
a1
 ...  nn  4096 . Tìm số lớn nhất
2
2

trong các hệ số a0,a1,a2,…,an.
Phân tích bài tốn :
- Thực hiện tìm số mũ n theo u cầu bài tốn.
- Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển theo ba bước
đã phân tích nêu trên
Lời giải :



Ta có : 1  2x



n

 a0  a1x  a2 x2  ...  an xn (1)

Thay x 

1
vào hai vế của (1) ta được :
2

2n  a0 

a
a1
 ...  nn  2n  4096  n  12
2
2
12

12

12

k

k
k
k
Xét khai triển 1  2x    C . 2x    C12 .2 .x
k
12

k 0



k0



k
k
Giả sử uk  C12 .2 0  k  12, k  N là hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai

triển.
2k.C12k  C12k1.2k1
uk  uk1

Xét hệ : 
 k k
k 1
k 1
uk  uk1
2 .C12  2 .C12
18

download by :


 2k.12!
2k1.12!


k
!
12

k
!



 k  1! 11 k !


k
2k 1.12!
 2 .12! 
 k! 12  k !  k  1! 13  k !

 1
2
12  k  k  1


1
1
 
 k 2 13  k 

k  1  24  2k

26  2k  k
3k  23

3k  26


23
26

k
3
3

Mà k  N nên k = 8
8
8
Vậy hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng là 2 .C12

d) Bài tập áp dụng:
10

 1 2x 
Bài 1 : Trong khai triển    thành đa thức
3 3 

a0  a1x  a2 x2  a3 x3  ...  a10 x10 . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số
a0;a1;…;a10



Bài 2 : Trong khai triển 1  2x

12



thành đa thức

a0  a1x  a2 x2  a3 x3  ...  a12 x12 . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số

a0;a1;…;a12





Bài 3 : Biết rằng số hạng thứ 11 trong khai triển x 1

n

có hệ số lớn nhất. Tìm

số ngun dương n.
 Dạng 2. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp, tính tổng số tổ hợp dựa
vào khai triển một biểu thức.
a) Bài tốn thường gặp:
- Tính tổng số các tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức.
- Tìm số nguyên dương n trong khai triển một biểu thức.
19

download by :


- Chứng minh một đẳng thức tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức.
b) Các bước thực hiện:
- Dựa vào u cầu bài tốn chọn một hàm số thích hợp và thực hiện khai triển
theo công thức Nhị thức Niu – tơn. Ví dụ :
n

n

n

1  x  ; 1  x  ;  x  1 ;  x  1

n

…

- Thay x những giá trị thích hợp kết hợp với các phép biến đồi đại số để giải bài
tốn ban đầu.
c) Ví dụ minh họa:
16 0
15 1
14 2
13 3
16
16
Ví dụ 18 : Chứng minh rằng : 3 C16  3 C16  3 C16  3 C16  ...  C16  2

Phân tích bài tốn :
Ta thấy vế trái của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số mũ của 3





k
giảm từ 16 về 0, trong các số hạng có xuất hiện Cn 0  k  16, k  N . Nên ta



16



có thể chọn hàm số f ( x)  x  1

, thực hiện khai triển và sau đó thay x = - 3

(Vì số hạng ứng với k lẻ thì âm)
Lời giải :



16



Ta có : x  1

1 15
3 13
16
 C160 x16  C16
x  C162 x14  C16
x  ...  C16
(1)

Thay x= - 3 vào hai vế của (1) ta được :

1
2
3
16
316 C160  315 C16
 314 C16
 313 C16
 ...  C16
 216

Vậy đẳng thức được chứng minh.

 

n

0
1
2
3
n
Ví dụ 19 : Chứng minh rằng : Cn  Cn  Cn  Cn  ...  1 Cn  0

Phân tích bài tốn :
Tương tự ví dụ 18 đã nêu
Lời giải :



Ta có : 1  x



n

n

 Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  Cn3 x3  ...   1 Cnn .xn (1)

 

n

0
1
2
3
n
Thay x= 1 vào hai vế của (1) ta được : Cn  Cn  Cn  Cn  ...  1 Cn  0

Vậy đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 20 : Chứng minh rằng :
n

4n Cn0  4n1Cn1  4n2 Cn2  ...   1 Cnn  Cn0  2Cn1  22 Cn2  ...  2n Cnn
20

download by :

Phân tích bài tốn :
Nhận thấy cả 2 vế của đẳng thức đều được khai triển theo công thức Nhị thức
Niu tơn nhưng các số hạng có đặc điểm khác nhau nên ta cần thực hiện như sau
- Ta thấy vế trái của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số mũ
của 4 giảm từ n về 0, trong các số hạng có xuất hiện
n

Cnk  0  k  n, k  N  . Nên ta có thể chọn hàm số f ( x)   x  1 , thực
hiện khai triển và sau đó thay x = 4
- Ta thấy vế phải của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số
mũ của 2 tăng từ 0 đến n, trong các số hạng có xuất hiện
n

Cnk  0  k  n, k  N  . Nên ta có thể chọn hàm số f ( x)  1  x  , thực
hiện khai triển và sau đó thay x = 2
- Khi đó ta thu được kết quả vế trái và vế phải của đẳng thức cùng bằng
một giá trị trung gian là 3n
Lời giải :





n

 

n

0 n

1 n1
2 n2
n
Ta có : x  1  Cn x  Cn x  Cn x  ...  1 Cn (1)

Thay x= 4 vào hai vế của (1) ta được :
n

4n Cn0  4n1Cn1  4n2 Cn2  ...   1 Cnn  3n



Lại có : 1  x



n

 Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  ...  Cnn xn (2)

0
1
2 2
n n
n
Thay x= 2 vào hai vế của (2) ta được : Cn  2Cn  2 Cn  ...  2 Cn  3

 

n

n 0
n1 1
n2 2
n
0
1
2 2
n n
Suy ra 4 Cn  4 Cn  4 Cn  ...  1 Cn  Cn  2Cn  2 Cn  ...  2 Cn

Vậy đẳng thức được chứng minh.
0
1
2 2
n n
Ví dụ 21 : Tìm số nguyên dương n sao cho Cn  2Cn  2 Cn  ...  2 Cn  243

Phân tích bài tốn :
- Thực hiện thu gọn vế trái của đẳng thức ( sử dụng cách làm như ví dụ 19)
- Giải phương trình tìm n
Lời giải :



Ta có : 1  x



n

 Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  ...  Cnn .xn (1)

n
0
1
2 2
n n
Thay x= 2 vào hai vế của (1) ta được : 3  Cn  Cn 2  Cn 2  ...  Cn .2

21

download by :


Khi đó ta có : 3n  243  n  5
Vậy n = 5 là số nguyên dương cần tìm.
1
3
2 n1
Ví dụ 22: Tìm số ngun dương n sao cho C2n  C2n  ...  C2n  2048

Phân tích bài tốn :
- Thực hiện thu gọn vế trái của đẳng thức ( sử dụng cách làm như ví dụ 20)
- Giải phương trình tìm n.
Lời giải :



Ta có : 1  x



2n

 C20n  C21n x  C22n x2  C23n x3  ...  C22nn .x2n (1)

2n
0
1
2
3
2n
Thay x= 1 vào hai vế của (1) ta được : 2  C2n  C2n  C2n  C2n  ...  C2n (3)
0
1
2
3
2n
Thay x= -1 vào hai vế của (1) ta được :  C2n  C2n  C2n  C2n  ...  C2n (4)

Từ (3) và (4) ta được :

2(C21n  C23n  ...  C22nn1 )  22n  C21n  C23n  ...  C22nn1  22n1
Khi đó : 22n1  2048  2n  1  11  n  6
Vậy n = 6 là số ngun dương cần tìm
Ví dụ 23 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có :
2

   C 

C2nn  Cn0

1
n

2

 

 ...  Cnn

2

Phân tích bài tốn :

 

2

k
Để ý các số hạng của đẳng thức ở vế phải đều được viết dưới dạng Cn với

0  k  n, k  N nên ta thực hiện khai triển một biểu thức theo hai hướng khác
nhau sau đó thực hiện đồng nhất thức hệ số.
Lời giải :



Ta có : 1  x





2n

Mặt khác : 1  x

 C20n  C21n x  C22n x2  C23n x3  ...C2nn xn  ...  C22nn .x2n (1)



2n

2n

n

 1  x  1  x 

n





 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  ...  Cnn .xn Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  ...  Cnn .xn

(2)

n
Hệ số của xn ở vế phải của (1) là C2n

Hệ số của xn ở vế phải của (2) là:
22

download by :




Cn0 .Cnn  Cn1.Cnn1  Cn2 .Cnn2  ...  Cnn1Cn1  Cnn .Cn0
2

   C 

 Cn0

1
n

2

 

 ...  Cnn
2

   

n
0
Vậy C2n  Cn

 Cn1

2

2

 

 ...  Cnn

2

Ví dụ 24 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có :

C20n  32 C22n  34 C24n  ...  32 n C22nn  22 n 1  22 n  1
Phân tích bài toán :
Ta thấy các số hạng của đẳng thức ở vế trái của đẳng thức cần chứng minh có
đặc điểm :Số mũ của 3 tăng và đều là số chẵn ; trong các số hạng có xuất hiện

Cnk ( 0  k  2n, k  N , k chẵn)
Vậy để chứng minh được đẳng thức ta cần triệt tiêu các số hạng ứng với k lẻ.
Lời giải :
Ta có : 1  x 

1  x 

2n

2n

 C20n  C21n x  C22n x 2  ...  C22nn 1 x 2 n 1  C22nn x 2 n (1)
 C20n  C21n x  C22n x 2  ...  C22nn 1 x 2 n 1  C22nn x 2 n (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta được :

1  x 

2n

2n

 1  x   2 C20n  C22n x 2  ...  C22nn x 2 n  (3)

Thay x = 3 vào hai vế của (3) ta được :
2n

2n

  2   2 C20n  C22n 32  ...  C22nn 32 n 
24 n  22 n

 C20n  C22n 32  ...  C22nn 32 n
2
22 n  22 n  1

 C20n  C22n 32  ...  C22nn 32 n

2
2 n 1
 2 (22 n  1)  C20n  C22n 32  ...  C22nn 32 n

 4

Vậy đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 25 : Rút gọn biểu thức
n 0
n 2 2
n 4 4
a) A  2 Cn  2 Cn  2 Cn  ...
n1 1
n3 3
n 5 5
b) B  2 Cn  2 Cn  2 Cn  ...

Phân tích bài toán :

23

download by :