(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp quy nạp toán học

 I, Lý do chọn đề tài:
 
Tốn học là một mơn khoa học suy diễn. Các kết luận
Toán học đều được chứng minh một cách chặt chẽ. Nhưng
trong quá trình hình thành, trước khi có những kết luận mang
tính tổng qt, tốn học cũng đã phải tiến hành xét các trường
hợp cụ thể, riêng biệt. Ta phải đối chiếu các quan sát được, suy
ra các điều tương tự, phải thử đi thử lại, ... để từ đó dự đốn về
một định lý tốn học, trước khi chứng minh chúng. Bên cạnh
đó, ta phải dự đoán ra ý của phép chứng minh trước khi đi vào
chứng minh chi tiết.
Hiện nay, chúng ta đang tiến hành đổi mới giáo dục. Để công
cuộc đổi mới thành cơng thì phải gắn chặt việc đổi mới nội
dung chương trình – SGK với việc đổi mới phương pháp giảng
dạy. Một trong các xu hướng đổi mới phương pháp giảng dạy
mơn Tốn hiện nay là dạy cho học sinh biết dự đốn, dạy cho
học sinh biết suy luận có lý.
Thực tế là các sách giáo khoa Toán bậc THCS hiện nay, cấu
trúc một bài học thường là: 
Phần 1.  Xét các các trường hợp cụ thể: tính tốn, đo đạc, so
sánh, … trên các đối tượng khác nhau.
Phần 2. Dự đoán kết luận khái quát: nêu ra một mệnh đề tổng
quát.
Phần 3. Chứng minh ( hoặc công nhận ) mệnh đề tổng quát,
tuỳ đối tượng và trình độ  học sinh.
Phần 4. Các ví dụ và bài tập vận dụng.
Như thế học sinh được quan sát, thử nghiệm, dự đoán rồi bằng
suy luận để đi đến kiến thức mới, sau đó vận dụng kiến thức
mới vào các tình huống khác nhau.
Chúng ta xét một số bài học cụ thể sau:
 

Mục 4 ( trang 13 SGK Toán 7 tập I ).Giá tị tuyệt đối của
một số…
Sau khi đưa ra định nghĩa về giá trị tuyệt đối của một số, SGK
đưa ra bài tập  ?1 điền vào chỗ trống. Để từ đó phân tích, nhận
xét, đưa ra kết quả tổng quát:

download by :


                             

 

Kết quả này được cơng nhận, khơng chứng minh.
Sau đó là các bài tập vận dụng.
Mục 1 ( trang 106 SGK Tốn 7 tập I ).Tổng ba góc của
một tam giác.
SGK yêu cầu học sinh vẽ hai tam giác bất kỳ, đo và tính tổng
ba góc trong của mỗi tam giác rồi nêu nhận xét. Từ đó đưa ra
dự đốn về tổng ba góc trong một tam giác . Sau đó chứng
minh dự đốn này.
Tiếp theo là các bài tập vận dụng.
 
 
Mục 2. ( trang 8 SGK Toán 9 tập I ).Căn bậc hai và hằng
đẳng thức 

.

 Để dẫn đến định lý: Với mọi số a ta cố: 

học sinh điền số thích hợp vào bảng:

, SGK u cầu

 
a

-2

-1

0

2

3

a 2

 
Từ đó nhận xét, khái quát hoá để đưa ra định lý.  
Sau khi phát biểu định lý, SGK chứng minh định lý bằng suy
luận chặt chẽ.
Sau đó là các bài tập vận dụng.
Bên cạnh đó, trong nội dung ơn luyện Tốn cho học sinh giỏi,
một trong những chuyên đề không thể thiếu được là chuyên
đề: “ Phương pháp quy nạp Toán học ”. Bởi vì, thơng qua việc
giảng dạy chun đề này, người thầy dạy Toán đã:

download by :

1) Cung cấp cho học sinh một hướng suy nghĩ trong việc tìm
tịi lời giải các bài tốn;
2) Giúp học sinh giải được một lớp các bài toán Số học, Đại số
và Hình học  thuộc đủ các dạng bài tốn: chia hết, chứng minh
đồng nhất thức, chứng minh bất đẳng thức, ... mà trong đó có
liên quan đến tập hợp các số tự nhiên;
3) Đồng thời qua việc nghiên cứu các mệnh đề tốn học bao
hàm một số vơ hạn các trường hợp riêng, mà việc chứng minh
chúng chỉ cần xét một số hữu hạn các trường hợp theo một
lôgic chặt chẽ và chính xác, đã mở rộng tư duy lôgic cho các
em học sinh, giúp các em say mê, hứng thú học Tốn hơn.
 
               
 
 
II.  Mục đích của đề tài:
         
Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi các
cấp và bồi dưỡng giáo viên thay sách, tập hợp các bài giảng lại
tôi viết chuyên đề này nhằm mục đích:
          1) Cung cấp một số kiến thức cơ bản về phép quy nạp,
phép quy nạp hoàn toàn, quy nạp khơng hồn tồn, và ngun
lý quy nạp tốn học.
          2) Giúp học sinh có thêm một số phương pháp mới để
giải một số bài toán Toán học khác nhau.
          3) Cung cấp thêm một số bài tập hấp dẫn và nhiều vẻ,
qua đó củng cố và mở rộng thêm các kiến thức đã học.
          4) Rèn luyện tư duy, phát huy tính sáng tạo và gây hứng

thú học tốn cho học sinh.
 
III. Nội dung đề tài:
         
Nội dung của đề tài này bao gồm:
Phần I. Một số cơ sở lý luận.

download by :


Phần II. Vận dụng vào Dạy & Học toán ở trường phổ thơng.
A. Vận dụng phép quy nạp hồn tồn trong chứng minh một
mệnh  đề toán học
B. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải toán
1. Phát hiện quy luật và chứng minh quy luật đó.
2. Vận dụng vào giải toán chia hết.
3. Vận dụng vào chứng minh đồng nhất thức.
4. Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức.
5. Vận dụng vào các bài tốn hình học.
C. Có thể có cách giải khác?
D. Bổ sung: Một số dạng nguyên lý quy nạp Toán học.
Phần III. Hiệu quả của đề tài
Phần IV. Kết luận - đánh giá khái quát.
          Với lý do, mục đích và nội dung như trên mong rằng
chun đề được đơng đảo các đồng chí giáo viên và các em học
sinh tham khảo và góp ý kiến xây dựng.
 
 
 
 

Nội dung
 
Phần I. Cơ sở lý luận
 
1. Quy nạp hoàn tồn và khơng hồn tồn:
1.1 Danh từ “quy nạp” theo nghĩa đầu tiên của nó được dùng
để chỉ các quy luật nhờ đó mà thu được các kết luận tổng quát,
dựa vào một loạt các khẳng định riêng biệt.
          Quy nạp hoàn toàn là một mệnh đề tổng quát được
chứng minh theo từng trường hợp của một số hữu hạn các
trường hợp có thể có.

download by :


Ví dụ 1.: Chúng ta xác lập rằng :
          “ Mỗi số chẵn n trong khoảng 
dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố ”.

đều có thể biểu diễn

Muốn vậy chúng ta phân tích:
                   4 = 2+2
                             6 = 3+3
                   8 = 5+3
                   10 = 7+3
                   12 = 7+5
                   ......
                   ......
                   98 = 93+5

                   100 = 97+3
Sau khi thử 49 trường hợp, từ 49 đẳng thức này chứng tỏ rằng,
thực tế mỗi số chẵn trong khoảng xét được biểu diễn duới dạng
tổng của 2 số nguyên tố.
1.2 Quy nạp không hoàn toàn:
          Trong trường hợp kết luận tổng quát rút ra không dựa
trên sự kiểm tra tất cả các trường hợp có thể xảy ra mà chỉ
trên cơ sở một số đủ lớn các trường hợp thì ta có quy nạp
khơng hồn tồn.
          Quy nạp khơng hồn tồn được vận dụng nhiều trong
các khoa học thực nghiệm. Chẳng hạn bằng cách đó người ta
đã thiết lập nên định luật cơ bản bảo tồn khối lượng: định luật
này được Lơmơnơxơp phát biểu và chỉ được thừa nhận khi
Lavoadiê đã kiểm tra sự đúng đắn của nó với độ chính xác đủ
lớn và trong các điều kiện đủ khác nhau.
          Trong toán học, quy nạp khơng hồn tồn khơng được
xem là một phương pháp chứng minh chặt chẽ, do đó nó chỉ
được áp dụng rất hạn chế. Bởi vì một mệnh đề tốn học bao
hàm một số vơ hạn các trường hợp riêng, nhưng con người ta
không thể tiến hành kiểm tra một số vô hạn các trường hợp
được.Chẳng hạn
 

download by :


sau khi có kết quả đúng với 49 trường hợp như ở ví dụ 1, ta
chưa thể đưa ra kết luận rằng, mọi số tự nhiên chẵn đều có thể
phân tích được thành tổng của hai số nguyên tố.
          Đương nhiên, quy nạp khơng hồn tồn là một phương

pháp “gợi mở” rất hiệu lực để tìm ra chân lý mới. Chúng ta hãy
tham khảo một vài ví dụ.
Ví dụ 2. Xét tổng n số tự nhiên lẻ liên tiếp đầu tiên.
          Chúng ta hãy xét các trường hợp riêng biệt:
+ với n=1 : 1=1              mà 
+ với n=2 : 1+3=4                   mà 
+ với n=3 : 1+3+5=9               mà 
+ với n=4 : 1+3+5+7=16                  mà 
+ với n=5 : 1+3+5+7+9=25              mà  
          Sau khi xét một số trường hợp riêng này, ta nảy ra kết
luận tổng quát :
                             1+3+5+7+9+...+(2n-1) =

     (1)

tức là : “ tổng của n số lẻ liên tiếp đầu tiên bằng   ”.
          Việc chứng minh kết luận này một cách chặt chẽ (xem ví
dụ 7) đã chứng tỏ kết luận này là đúng.
Ví dụ 3: Tính tổng lập phương các số tự nhiên liên tiếp đầu
tiên:
                                      
Ta xét các trường hợp riêng biệt:
                   
                   

                        
                 

                   

          

                   

          

          Do đó có thể nảy ra kết luận tổng quát :
                   

       (2)

download by :


          Tất nhiên, điều nhận xét trên không phải là sự chứng
minh sự đúng đắn của các công thức (1) hay (2). ở phần sau,
chúng ta sẽ làm quen với một phương pháp giúp chúng ta
chứng minh được các công thức (1) và (2) là đúng.
          Chúng ta cũng cần chú ý rằng, suy luận bằng quy nạp
đôi khi dẫn đến kết luận sai, như các ví dụ sau:
Ví dụ 4: Khi nghiên cứu hiệu của một số có 2 chữ số trở lên với
số có cùng các chữ số như thế nhưng viết theo thứ tự ngược
lại. Trong trường hợp các số có 2 chữ số, 3 chữ số ta thấy kết
luận là các hiệu đó chia hết cho 9 và 99. Cụ thể
là:               
                   
          Nảy ra kết luận quy nạp là:
                   
          Kết luận này sai vì chẳng hạn ta có:
           2231-1322 = 909 khơng chia hết 999

Ví dụ 5: Khi xét các số có dạng 
 nhà tốn học Fecma
nhận xét rằng với n = 1; 2; 3 hoặc 4 thì thu được các số ngun
tố. Từ đó ơng đưa ra giả thiết rằng tất cả các số có dạng như
thế ( với 
) là số nguyên tố. Nhưng ơle đã chỉ ra rằng với n
= 5 ta được số 
 không phải là số ngun tố vì số đó chia
hết cho 641. Điều đó có nghĩa là kết luận của nhà tốn học
Fecma là sai lầm.
Ví dụ 6. Xét số  
2, 3; ...; 15 thì ta thấy 

 với 

 với các trường hợp n = 1,

 là số ngun tố.

          Từ đó có thể kết luận là 
số 
 hay khơng?

 là số nguyên tố với mọi

          Với n =16 thì ta được số 

 do đó 

khơng phải là số ngun tố, tức là kết luận quy nạp 

nguyên tố với mọi số 
 là sai.
2. Phương pháp quy nạp toán học.

download by :

 

 là số


          2.1 Như vậy, quy nạp khơng hồn tồn là một trong
những con đường để dẫn đến phát minh: người ta nghiên cứu
một số hữu hạn các trường hợp riêng để tìm ra quy luật tổng
quát. Thế nhưng, như ta đã biết, quy nạp khơng hồn tồn
thường dẫn đến các kết quả sai.
          Vậy làm thế nào để biết được quy luật tổng quát mà ta
đưa ra là đúng đắn,
 chẳng lẽ ta lại cứ thử tiếp, thử tiếp cho đến khi nào gặp một
trường hợp riêng mà kết luận đó khơng đúng ( như ở ví dụ 6:
thử đến lần thứ 16 ). Và lấy gì để đảm bảo rằng số lần thử là
hữu hạn.
          Trong nhiều trường hợp để tránh những khó khăn như
thế ta áp dụng một phương pháp suy luận đặc biệt được gọi là
“ phương pháp quy nạp tốn học”, cho phép thay thế những
hình dung tìm tịi theo phương pháp quy nạp khơng hồn tồn
bằng sự chứng minh chặt chẽ.
Ví dụ 7 : Xét lại cơng thức (1) ở ví dụ 2.
                                      
          Giả sử ta đã chứng minh được cơng thức đó với n =7, khi

chứng minh cơng thức này với n = 8, ta không cần phải tính
tổng của 7 số hạng đầu của tổng :                                          
mà ta đã biết rằng           
do đó có thể viết ngay:   
          Tổng quát, sau khi chứng minh công thức trên với n =
k (nghĩa là ta có 
cách:

), ta chứng minh nó với 

bằng

                                      
                                           
          Có thể sử dụng phương pháp tổng quát này sau khi đã
xét 

; những việc chuyển từ các đẳng thức khác :

                             

download by :


                             
của phép tính.

 ; v...v là các trường hợp riêng

          Khái quát những điều nói trên, chúng ta phát biểu quy

tắc tổng quát như sau:       Để chứng minh một mệnh đề tổng
quát nào đó đúng với đúng với mọi số 
, ta chỉ cần:
a) Xác lập mệnh đề đúng với n =1
b) Chứng minh rằng nếu mệnh đề đúng với n = k (

) thì

mệnh đề đúng với n = k+1.
          Tính hợp pháp của phương pháp chứng minh như thế là
“hiển nhiên”. Nhưng sự “hiển nhiên” đó khơng phải là một
chứng minh chặt chẽ. Người ta đã chứng minh được rằng mệnh
đề tổng quát ở trên có thể được chứng minh xuất phát từ một
số mệnh đề tổng quát khác, được thừa nhận là tiên đề. Tuy
nhiên, bản thân các tiên đề này cũng không rõ ràng hơn các
nguyên lý quy nạp mà chúng ta sẽ trình bày dưới đây, và do đó
chúng ta coi ngun lý quy nạp tốn học này chính là tiên đề
thì mức độ “ hợp pháp ” cũng ngang như thế.
2.2. Nguyên lý quy nạp toán học:
          Một mệnh đề phụ thuộc vào n ( 
) được coi là đã
được chứng minh với mọi số n nếu 2 điều kiện sau được thoả
mãn:
a. Mệnh đề đúng với n = 1
b. Từ sự đúng đắn của mệnh đề với một số tự nhiên n = k nào
đó thì suy ra sự đúng đắn của nó với n = k+1
2.3 Ví dụ: Sau đây chúng ta xét một vài ví dụ sử dụng phương
pháp quy nạp toán học để chứng minh các mệnh đề tốn học.
Ví dụ 8. Chứng minh rằng:
                   

Giải:
                   a) Ta có với 
          Do đó mệnh đề đúng với n = 1
                   b) Giả sử rằng mệnh đề đúng với n = k (
là đã chứng minh được rằng:

download by :

) tức


                   
          Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1.
Nghĩa
là
phải
chứng
minh:  
          
         
Thật vậy, ta có:     

                                              
          Từ đó theo ngun lý quy nạp tốn học ta có :
                   

 với mọi 

.

Ví dụ 9. Chứng minh rằng :
                   

 với 

Giải : a) Với n = 1 ta có 
                             => mệnh đề đúng với n = 1.
                   b) Giả sử mệnh đề đúng với n = k (
có

) tức là ta

                             
          Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 nghĩa
là:
                             
Thật vậy:     
                                   

   

          Từ đó theo ngun lý quy nạp tốn học, mệnh đề được
chứng minh.

download by :


2.4 Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ áp dụng
khơng đúng phương pháp quy nạp tốn học.
Ví dụ 10. Xét mệnh đề : “ Bất kỳ một tập hợp hữu hạn các số

tự nhiên nào cũng gồm toàn những số bằng nhau”.
Chứng minh: Ta tiến hành quy nạp theo số phần tử của tập
hợp.
a) Với n = 1, mệnh đề là hiển nhiên : mỗi số ln bằng chính
nó.
b) Giả sử mệnh đề đã được chứng minh với tập hợp có k phần
tử. Lấy tập hợp có k +1 phần tử  ;  ;  ;...;
thiết quy nạp ta có  = =...=
thì ta có :   = =...=

=

từ đó   = = =...= =

;

. Theo giả

, cũng theo giả thiết quy nạp

;
.               

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học suy ra mệnh đề trên
đúng.
* Sai lầm của suy luận trên là ở chỗ chỉ có thể chuyển
từ k đến k+1 với 
 ; nhưng khơng thể chuyển từ n = 1 đến n
= 2 bằng suy luận này được.
Ví dụ 11.  Mọi số tự nhiên đều bằng số tự nhiên tiếp sau nó.

Chứng minh: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, với 
ta có k = k+1.

; tức là

          Ta sẽ chứng minh rằng khi đó mệnh đề đúng với n =
k+1; tức là phải chứng minh k+1 = k+2.
          Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có k = k+1 => k+1 =
k+1+1 => k+1 = k+2.
          Từ đó theo ngun lý quy nạp tốn học, mệnh đề trên
luôn đúng với 
.
          Sai lầm của suy luận trên là đã quên kiểm tra định lý có
đúng khi n = 1 khơng? Ta thấy rõ ràng rằng khi n = 1 thì mệnh
đề khơng đúng ( vì 
), do đó ở đây ta khơng áp dụng được
phương pháp quy nạp tốn học được.
          Để kết thúc đoạn này, chúng tôi lưu ý các bạn rằng
trong nhiều trường hợp cần phải chứng minh một mệnh đề nào

download by :


đó đúng khơng phải với tất cả các số tự nhiên mà chỉ với 
( 

) thì nguyên lý quy nạp được trình bày dưới dạng sau:

Nếu :  a) Mệnh đề đúng với n = p;
                   b) Từ giả thiết mệnh đề đúng với các số tự

nhiên 
 ta suy ra mệnh đề cũng đúng với n = k+1.
          Thì khi đó mệnh đề sẽ đúng với tất cả các số tự
nhiên 
.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Phần II. Vận dụng vào việc dạy & học tốn
ở trường phổ thơng.
 
a. Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn
trong chứng minh một mệnh đề toán học
 
          Một kết quả tổng quát được chứng minh trong tong
trường hợp của một số hữu hạn các trường hợp, vét hết các khả
năng có thể xảy ra thì kết quả đó được chứng minh hồn tồn.
          Ta xét một số ví dụ:

download by :

          Ví dụ 1. Để chứng minh mệnh đề: “ Phương trình ( m – 1
) x2 – 2( 2m – 1 ) x + 3m = 0   (1) ln có nghiệm với mội giá trị
của tham số m. ”
          Ta xét 2 trường hợp:
1. Với  m = 1, PT (1) trở thành -2x + 1 = 0; PT này có nghiệm
x=.
 Như vậy trong trường hợp m = 1, mệnh đề trên đúng.
2. Với  m  1, PT (1) là PT bậc hai có
           = ( 2m – 1 )2 –( m – 1 ).3m = m2 –m + 1 > 0 với mọi giá
trị của m.     
Do đó PT ( 1) có hai nghiệm phân biệt. Nghĩa là trong trường
hợp này, PT
(1) cũng có nghiệm.
Rõ ràng hai trường hợp trên ta đã xét hết các khả năng có thể
có của m.
Vậy PT (1) có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
Ví dụ 2. Để chứng minh định lý về tính chất của góc nội tiếp:
   “ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số
đo của cung bị chắn ”. ( Trang 73 – SGK Toán 9 – Tập II ).
Để chứng minh đinh lý này, ta đã xét 3 trường hợp:
Trường hợp 1, Tâm đường tròn nằm trên một cạnh của góc.
 
Trường hợp 2. Tâm đường trịn nằm bên trong góc.
 
Trường hợp 3. Tâm đường trịn nằm bên ngồi góc.
Định lý được chứng minh trong trong trường hợp thì ta có thể
nói là định lý đã được chứng minh hồn tồn vì 3 trường hợp
trên đã vét hết các khả năng co thể xảy ra.
 

 
 

download by :


b. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học
để chứng minh một mệnh đề toán học
 
1.  Phát hiện quy luật và chứng minh quy luật đó.
 
ở các phần trước, chúng ta đã làm quen với một vài ví dụ về
việc tìm tịi phát hiện ra các quy luật ( ví dụ 2, ví dụ 3).
          Sau đây chúng tơi đưa thêm vài bài khác, trong đó, sau
khi phát hiện ra quy luật, chúng ta sử dụng nguyên lý quy nạp
để chứng minh.
 
Bài tốn 1. Tính tổng 
Giải :
* Tìm tịi :
          Xét     
                   
                   
                   
* Dự đoán :         
* Chứng minh dự đoán :
                   a) Với n = 1 ta có 
          => dự đốn đúng.
                   b) Giả sử với n = k ta có 
bất kỳ.

 trong đó 

          Ta phải chứng minh với n = k+1 thì

download by :

 


                   
          Thật vậy, ta có 
                                  
          Từ đó theo nguyên lý quy nạp tốn học ta có 
với 
.
          tức là dự đốn của chúng ta đúng.
 
Bài tốn 2: Tìm cơng thức tính tổng :
                                      
Giải :
* Tìm tịi:
          với n = 1 ta có 
          với n = 2 ta có 
          với n = 3 ta có 
          với n = 4 ta có  
* Dự đoán :  

 với  

* Chứng minh dự đoán :
a) Với n = 1 mệnh đề đúng.
b) Giả sử với n = k ( 

) ta có: 

ta phải chứng minh với n = k+1 thì: 
Thật vật, ta có:

download by :

 


                   + Với k lẻ thì:

                                     
                   + Với k chẵn thì:

                                   
Từ đó với 

 ta có 

Vậy theo ngun lý quy nạp tốn học thì: 
 với 
tức là dự đốn của chúng ta đúng.
 
 
 

2. Vận dụng vào giải toán chia hết :
 
Bài toán 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 

, ta có:

                                      a) 
                                      b) 
Giải :
a) Đặt 
          + Với n = 1 => 
                             => với n = 1, mệnh đề đúng.
          + Giả sử mệnh đề đúng với n = k ( 

) nghĩa là ta

có 

download by :


hay 

 => 

 (*)

với n = k+1 ta có :

                                      

tức là với n = k+1 thì mệnh đề cũng đúng.
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có: 
b) Đặt 
          + Với n = 1 => 

=> mệnh đề đúng

          + Giả sử với n = k  ta có 

 tức là

                                     
Xét :

                                  
nghĩa là với n = k +1, mệnh đề cũng đúng.
Vậy

theo

nguyên

lý

quy

nạp

toán

học

ta

được:  
Bài toán 4. Chứng minh rằng:
                   

 với  

Giải :
* a) Khi n = 1 mệnh đề đúng.
   b) Giả sử với n = k ta có : 
ta

sẽ

chứng

minh

với n

=

(*)

download by :

k+1 thì:

Vì 
nên nếu chứng minh được  

 thì ta sẽ có 

*Xét  
a) với k = 1 ta có  

 => 

b) Giả sử với k = m ta có 

 ta sẽ chứng minh với k =

m+1 thì 
Thật vậy, 
vì  
;  
; 
 ( do một trong 2 số m và m+1 là 2
số tự nhiên liên tiếp phải có một số chẵn  nên 
)
          Từ đó 
          Theo ngun lý quy nạp tốn học thì 
Vậy 

 với 

, tức là theo nguyên lý quy nạp toán học ta có :

                   
 
                     3. Vận dụng vào việc chứng minh đồng nhất
thức.
 
Bài toán 5. Chứng minh rằng:
          

 (1) với mọi giá trị của 

Giải: a) Ta có 

 với 

do đó đẳng thức (1) đúng với n = 1.
b) giả sử ta đã có 

 (2)

ta sẽ chứng minh khi đó :
          

 (3)

download by :

.

Thật vậy, ta có      

                                    
            Do đó theo nguyên lý quy nạp thì đẳng thức (1) ln
đúng với 
; 
.
Bài tốn 6. Chứng minh rằng với tất cả các giá trị có thể có
của x, đồng nhắt thức sau ln đúng:
          

(1)

Giải : Ta phải chứng minh (1) đúng với  
a) Với n = 1 => 
(1) đúng.

, 

 và 

 .

 đúng => với n=1 thì

b) Giả sử với n = k thì (1) đúng, nghĩa là:
          

.

Ta sẽ chứng minh khi đó:

                
Thật vậy ta có:   

  
                               => 
tức là (1) đúng với n = k+1.

download by :


Vậy theo ngun lý quy nạp tốn học thì đồng nhất thức (1)
ln đúng với  
, 
 và 
 .
Bài tốn 7. Chứng minh rằng :
                       

 (1)

Giải:  a) Với n = 1 ta có 
          => cơng thức (1) đúng với n = 1.

                   b) Giả sử  

 (2)

ta có 

 (2)

                 
Do đó theo ngun lý quy nạp tốn học ta có:
          
 
4. Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức :
 
Bài toán 8 . Chứng minh rằng 

 với 

Giải:
a) Khi n = 3 bất đẳng thức (1) đúng vì  
b) Giả sử rằng với 

 ta có 

(2)

download by :

.


ta phải chứng minh  

 (3)

Thật vậy  ta có  

 (áp dụng (2))

                                         
                                       (vì 

 với  

)

           => bất đẳng thức (3) đúng.
Vậy theo nguyên lý quy nạp tốn học thì: 
với 
.

 

Bài tốn 9: Chứng minh bất đẳng thức sau với 
                    

:

 (1)

(vế trái của bất đẳng thức (1) là tổng của các phân số mà mẫu
số tăng liên tiếp từ n+1 đến 3n+1; ví dụ với n = 3 thì bất đẳng
thức (1) có dạng:
          

3.3+1 = 10).

 vì n +1 = 3+1 = 4; 3n+1 =

Giải :
a) Khi n = 1 ta có bất đẳng thức đúng :    
b) Giả sử với n = k ta có:          

 (2)

Ta sẽ chứng minh với n = k+1 thì
có:         

(3)

Thật vậy ta
có :  
                                   
          do theo (2) : 

 => (3) đúng.

download by :


Vậy theo ngun lý quy nạp tốn học thì:
                   

 với  

.

 
5. Vận dụng vào các bài tốn hình học
 
Bài tốn 9: Chứng minh rằng n đường thẳng khác nhau trên
một mặt phẳng đi qua một điểm chia mặt phẳng ra 2n phần.
Giải:* Với n = 1 thì mệnh đề khẳng định là đúng, vì 1 đường
thẳng chia mặt phẳng ra 2 phần.
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k nào đó, nghĩa là với k đường
thẳng
khác nhau cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2k
phần.
                   Để chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1
đường thẳng, ta nhận xét rằng nếu dựng đường thẳng thứ k +
1, đi qua điểm đã cho và không trùng với đường thẳng nào thì
sẽ tạo thêm 2 phần nữa của mặt phẳng; và như vậy số phần
mặt phẳng tạo bởi k + 1 đường thẳng khác nhau cùng đi qua 1
điểm là 2k + 2 =
2 ( k + 1 ).
Theo ngun lý quy nạp tốn học thì mệnh đề đúng với mọi số
tự
nhiên n khác 0.
 
Bài toán 10: Cho n hình vng bất kỳ. Chứng minh rằng ta có
thể cắt chúng ra thành một số phần để từ các phần đó có thể
ghép lại thành một hình vng mới.
Giải:  * Với n = 1 thì mệnh đề là hiển nhiên.
* Với n = 2 ta chứng minh được mệnh đề cũng đúng.
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k, nghĩa là từ k hình vng, ta

có thể
cắt và ghép thành một hình vng. Xét k + 1 hình vng: V 1,
V2, …, Vk-1, Vk, Vk+1. Ta lấy ra 2 hình vng bất kỳ trong số k +

download by :


1 hình vng này, chẳng hạn Vk, Vk+1. Theo trên ta có thể cắt
và ghép thành một hình vng V’; do đó ta sẽ có k hình vng
V1, V2, …, Vk-1, V’. Theo giả thiết quy nạp, từ k hình vng này
ta có thể cắt và ghép lại thành một hình vng mới.
          Vậy mệnh đề đúng với n = k + 1. Theo ngun lý quy
nạp tốn học thì mệnh đề đúng với n hình vng bất kỳ.
 
Bài tốn 11: Trong mặt phẳng cho n   3 điểm, tất cả không
nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng tất cả các đường
thẳng nối 2 điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng
không nhỏ hơn n.
Giải: * Với n = 3, mệnh đề hiển nhiên đúng: với 3 điểm không
thẳng hàng, nối từng đôi lại với nhau tạo ra 3 đường thẳng
khác nhau.
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k    3 điểm. Ta chứng minh nó
cũng
đúng với k + 1 điểm. Ta nhận thấy có ít nhất  một đường thẳng
chỉ chứa 2 điểm Ak và Ak+1 chẳng hạn.
 + Nếu các điểm A1, A2, ,,,,; Ak+1 , Ak  cùng nằm trên một đường
thẳng ( là đường thẳng d chẳng hạn ) thì số đường thẳng sẽ là
k + 1 ( đó là k đường thẳng nối A k+1 với n điểm A1, A2, ….,; Ak1,  Ak và đường thẳng d ).
 + Nếu A1, A2,…; Ak-1,  Ak khơng cùng nằm trên một đường
thẳng thì theo giả thiết quy nạp ta có k đường thẳng khác nhau

từ k điểm này; Ngồi ra ta có các đường thẳng nối A k+1 với các
điểm A1, A2, ; …; Ak-1, Ak , do đường thẳng AkAk+1 không chứa
một điểm nào trong các điểm A 1, A2, ; …; Ak-1 nên đường thẳng
AkAk+1 khác các đường thẳng nối Ak+1+ với các điểm A1, A2, …;
Ak-1. Từ đó số đường thẳng tạo cũng không nhỏ hơn k + 1.
                   Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Theo
ngun lý quy nạp tốn học thì mệnh đề đúng với mọi n   3.
 
Bài toán 12: Chứng minh rằng tổng các góc trong của một ngiác lồi bằng ( n – 2 ) 1800.
Giải:  * Với n = 3, mệnh đề hiển nhiên đúng:  Tổng các góc
trong của một tam giác bằng ( 3 – 2 ).1800 = 1800.

download by :


* Giả sử mệnh đề đúng tất cả k-giác, với k < n. Ta chứng minh
nó
cũng đúng với mọi n – giác.Ta nhận thấy một n – giác có thể
chia thành 2 đa giác bởi một đường chéo, nếu số cạnh của một
đa giác đó là m + 1 thì số cạnh của đa giác kia là n – m + 1 và
cả 2 số đó đều nhỏ hơn n. Do đó tổng các góc trong của các đa
giác đó tương ứng bằng ( m – 1 ).180 0  và ( n – m - 1 ) .180 0. Khi
đó tổng các góc của n – giác bằng tổng các góc trong của các
đa giác đó, tức là bằng:
( m – 1 + n – m - 1 ).1800 = ( n – 2 ) .1800.
          Vậy theo nguyên lý quy nạp tốn học thì mệnh đề đúng
với mọi n   3.
 
 
 

C. có thể có cách khác hay hơn khơng ?
 
Một kết luận được chứng minh bằng phương pháp quy nạp
tốn học, thì có thể chứng minh bằng một phương pháp khác
nào đó, ngắn gọn hơn, hay hơn phương pháp quy nạp  toán
học.
Ta hãy xét một vài ví dụ:
1. Xét lại bài tốn 7 ở trên:

Chứng minh :          
Giải:
 

                   

download by :


-> đpcm.
2) Chứng minh:             
 Giải: Xét với 

.

 có:

                                      
          Từ đó với k = 1,  ta có: 
                        k = 2, ta có:  
     k = 3:            

     …………………..
     k = n:                   
          Cộng các đẳng thức này với nhau, ta được:
.
-> đpcm.
3) Chứng minh rằng              
Giải: Xét với 

 có:

                                      
 
          Từ đó: với  k = 1,  ta có:       
                           k = 2, ta có:        
        k = 3: ta có:       

download by :