Phương pháp quy nạp toán học

TRƯỜNG THPT

Trung Giã


BÀI TOÁN THỨ NHẤT
1

1 + 3 =
1 + 3 + 5 =
1 + 3 + 5 + 7 =
1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
1
4
= 2
2
9 = 3
2
16 = 4
2
25 = 5
2
= 1
2
+ 3
+ 5 + 7 + 9
n
+...+
(2n – 1) = n
2

2.2
1.1
3.3
4.4
5.5
.n
Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈N

§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Chương III
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Bài toán : Chứng minh những mệnh đề phụ
thuộc vào số tự nhiên n∈N
Bước 1 :
Bước 2 :
Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng
với n = 0
Giả thuyết mệnh đề đúng với một
số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 0 (hay n = k ≥ p).
Chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1
Phương pháp quy nạp :
(hay n = p)
(hay n ≥ p, p∈N*)

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1
Ta có đẳng thức :
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n
2
(*)

Giải :
1) Khi : 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2 – 1) =
2
2) Giả thiết (*) đúng với mọi số tự nhiên bất kỳ

1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2 – 1) =
2
n n
n n
Ta sẽ chứng minh (*) đúng :

1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2k – 1)
khi n = k + 1
+ [2(k + 1) – 1] k
2
+ 2k + 2 – 1
= (k + 1)
2
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1
.1 1
hay 1 = 1. (*) đúng
k k
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2k – 1)
=
n = k
≥ 1 :
n = 1
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n
2
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n

2
Ví dụ 1.
1
k k
2