phuong phap quy nap toan hoc

Chµo mõng
Các thày cơ giáo đến dự giờ thăm lớp


Chương

III

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG
VÀ CẤP SỐ NHÂN
§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC
§ 2: d·y sè
§ 3: cÊp số cộng
Đ 4: cấp số nhân

11


Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n):”3n < n + 100” vµ Q(n): ”2n > n” víi n N*
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b. Với mọi n N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
Trả lời:
a. P(n)

3n

?

1

3

2

9

3

27

4

81






5

243



n

n

2n

?

n

1

2

1

102

2

4

103

3

104

4

8
16





4

105

5

32




n+100
101

Q(n)

2
3
5

b. Với mọi n N* P(n) sai;
Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn.

ViÖc chøng tá cho Q(n) đúng với mọi số tự nhiên n N* bằng cách
thử với 1 số giá trị của ncho dù làm đợc với số lợng lớn cũng
không thể đợc coi là CM hơn nữa tập số tự nhiên là vô hạn nên việc
thử là không thể thực hiện đợc.

Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC
1. Phương pháp qui np toỏn hc

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên nN*
là đúng với mọi n ta lµm nh sau:
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1
B2: .Giả sử mệnh đề đúng với n k 1 (Giả thiết qui nạp-GTQN)
.Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
. KL mệnh đề đúng với mọi nN*.

L­u­ý: NÕu

ë Bíc 1 sai thi ta kÕt ln mƯnh dỊ cÇn c/m lµ sai.

2. Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi nN*, ta có:1  2  3  ...  n 

n(n  1)
2

(1)


Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi nN*, ta có:

n(n  1)
1  2  3  ...  n 
2

(1)

Lời giải:
1(1  1)
VP(1) ,đẳng thức (1) đúng.
+) Với n = 1, ta có VT(1) 1 
2
k (k  1)
+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là 1  2  3  ...  k 
(GTQN)
2
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh:

1  2  3  ...  k  (k  1) 
Thật vậy:

(k  1)[(k  1)  1]
2

(2)

VT (2) (1  2  3  ...  k )  ( k  1)

k (k  1)
 (k  1)
2
(k  1)  (k  1)  1





VP (2)

2

n(n  1)
Vậy với mọi nN*, ta có: 1  2  3  ...  n 
2

(1)


Xét mệnh đề chứa biến Q(n): “ 3n > 3n + 1” víi n  N*
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì Q(n) đúng hay sai?
b. Với mọi n  N* thì Q(n) đúng hay sai?
c. Dự đốn kết quả tổng qt của Q(n) vµ c/m b»ng phơng pháp quy nạp
Tr li:
a. Q(n)

n

3n

?

3n+1

1

3

4

2

9




3

27

10

4

81

5

243





7

13
16

b. Vi mi n N*, Q(n) sai.
c. DựCM
đoán:

n 2, n N có : 3n  3n  1


§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp tốn học
2. Ví dụ áp dụng:

Chó ý: §Ĩ chøng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n p
( p là một số tự nhiên) thỡ :
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ p

(Giả thiết qui nạp - GTQN)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n= k+1

HOẠT ĐỘNG NHÓM

CMR:n  N*cã 2 + 4 + 6 + . . . . . . + 2n = n(n+1) (1)
CMR:n  N*cã un = n3 – n chia hÕt cho 3 (2)
CMR : n 2, n  N cã : 3n  3n  1

CMR:n  N*cã 2 + 4 + 6 + . . . . . . + 2n = n(n+1) (1)

Giaûi: * Với n =1, ta có VT=VP = 2. Vâïy (1) đúng với n=1.
* Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là
*

2 + 4 + 6 +. . . .+ 2k = k(k+1) (2) (GT quy nạp)
Ta phải cmr (1) cũng đúng với n = k +1, tức là
2 + 4 + 6 +. . . .+ 2k + 2(k +1) =(k+1)(k+2)

Thật vậy, từ (2) ta coù
VT(3) = 2+ 4+ 6 +. . .+ 2k + 2(k+1)
= k(k+1) + 2(k +1) = (k+1)(k+2)=VP(3)

•Vậy hệ thức (1) đúng với mọi số n  N*.

(3)


CMR:n  N*cã un = n3 – n chia hÕt cho 3 (2)
Với n = 1 ta có: u1 = 0 chia hÕt cho 3

(Mệnh đề (2) đúng)

Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: uk= k3 – k chia hÕt cho
3
Ta phải c/m (2) đúng với n = k+ 1, tức là :uk +1 =(k+1)3 – (k+1) chia hÕt cho 3
Thật vậy:
Uk +1 =(k+1)3 – (k+1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 – k – 1
=(k3 – k) +3(k2 + k)

=uk + 3(k2 + k) chia hÕt cho 3

Vậy với mọi nN*, ta có: un = n3 – n chia

hÕt

cho 3


CMR : n 2, n  N cã : 3n  3n  1

 3

Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3) đúng
Giả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:
3k
Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là :

 3k  1

3k 1  3(k  1)  1

Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có:

3k  3k  1  3k 1  3(3k  1)
k 1

3

 9k  3

 3k 1  3k  4  6k  1
V × 6k  1  0 nª n : 3k 1  3k  4
Vậy: n 2, n  N

cã : 3n  3n  1


§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC

•Nêu phương pháp qui nạp tốn học
•Chú ý khi chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n ≥ p

• Học thuộc và nắm chắc qui trình chứng minh bài tốn bằng
phương pháp qui nạp
• Các bài tập 1,2,3,4 tự luyện tập
• Bài 5: Đa giác lồi ít nhất mấy cạnh thì có đường chéo?
• Đọc bài : Bạn có biết Suy luận qui nạp


QUÝ THẦY CÔ CÙNG
CÁC EM SỨC KHỎE
THÀNH ĐẠT.