phuong phap quy nap toan hoc hay

Kiểm tra bài cũ

"3n > 3n + 1, n ∈ N * "

Cho mệnh đề chứa biến P(n):

a. Với n = 1, 2, 3 thì P(n) đúng hay sai?
b. Dự đoán mệnh đề P(n) đúng khi nào?
Trả lời:
a.
n

3n

1

3

2

9

3

27

?

<
>
>

3n+1
4

S

7

Đ
Đ

10

b. Dự đoán P(n) đúng với ∀n ∈ N

*

,n ≥ 2

.


Ch­¬ng III DÃY SỐ D·ySỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
Chương III:
- CP số-cấp số cộng
và cấp số nhân
Trong chng ny chúng ta sẽ nghiên cứu về
Tiết 37: PHƯƠNG PHÁP minh nhiều khẳng
một phương pháp chứngQUY NẠP TỐN HỌC
định trong tốn học liên quan tập hợp số tự

nhiên đó là “phương pháp quy nạp tốn học.”
Tiếp đó chúng ta sẽ nghiên cứu về “dãy số” và
cuối cùng các em sẽ được tìm hiểu một số vấn
đề xung quanh 2 dãy số đặc biệt là “cấp số
cộng” và “cấp số nhân.”


Xét bài toán: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta ln có

n(n + 1)(n + 2)
1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) =
.(1)
3
a) Hãy kiểm tra đẳng thức (1) khi n=1.
b) Em có thể kiểm tra đẳng thức (1) với mọi giá trị nguyên dương
của n hay không ?
Không thể kiểm tra được với mọi giá trị nguyên dương n, tuy nhiên ta
có thể chứng minh được khẳng định sau:
“ Với k là một số nguyên dương tùy ý, nếu (1) đã đúng khi n=k thì nó
cũng đúng khi n=k+1”


Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
§1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC
1. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi
sau:

n ∈ ¥ *ta thực hiện theo các bước

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1.
B2: Giả sử mệnh đề đúng với

n = k ≥ 1 (Giả thiết qui nạp-GTQN)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1.
( Phương pháp quy nạp toán học hay gọi tắt là phương pháp quy nạp)
2. Ví dụ áp dụng:

Ví dụ1: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có: 1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n + 1)
2

(1)


Ví dụ1: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có:

n(n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n =
2

(1)

Lời giải:
1(1 + 1)
= VP(1) , đẳng thức (1) đúng.
+) Với n = 1, ta có VT(1) = 1 =
2

k (k + 1)
+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là 1 + 2 + 3 + ... + k =
(GTQN)
2
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
(k + 1)[(k + 1) + 1]
1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1) =
(2)
2
Thật vậy: VT (2) = (1 + 2 + 3 + ... + k ) + ( k + 1)

=
=

k (k + 1)
+ (k + 1)
2
(k + 1) [ (k + 1) + 1]

= VP (2)

2

n(n + 1)
Vậy với mọi n ∈N*, ta có: 1 + 2 + 3 + ... + n =
2

(1)

§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi n ∈ ¥ *ta thực hiện theo các bước
sau:
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1
B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 (Giả thiết qui nạp-GTQN)
Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
2. Ví dụ áp dụng:
Chú ý:
Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên

n≥ p

(p là một số tự nhiên) thì:
Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n=p.
Ở bước 2, ta giả sử mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ
và phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1.

n=k≥ p


§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp toán học
Chú ý:
Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên

n≥ p

(p là một số tự nhiên) thì:
Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n=p.

Ở bước 2, ta giả sử mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ
và phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1.
2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

3n > 3n + 1

n ≥ 2 , ta ln có

n=k≥ p


Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

n ≥ 2 , ta ln có

3n > 3n + 1.(1)
Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (1) đúng
k

Giả sử bất đẳng thức (1) đúng với n = k≥ 2, nghĩa là:
3

> 3k + 1

Ta phải chứng minh bất đẳng thức (1) đúng với n = k+ 1, tức là :

3k +1 > 3(k + 1) + 1 = 3k + 4

Thật vậy: Theo giả thiết qui nạp có:

3k +1 = 3.3k > 3(3k + 1) = 9k + 3
= 3k + 4 + 6k − 1 > 3k + 4.

V × 6k − 1 > 0 nª n : 3k +1 > 3k + 4
Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương

n≥2

.


Ví dụ 3:

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ta có
*

Với n = 1 ta có:

u1 = 131 − 1 = 12M
6

un = 13n − 1 6

(Mệnh đề (1) đúng)

Giả sử mệnh đề (1) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: k
u
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+ 1, tức là :

Thật vậy:

uk +1 = 13k +1 − 1 = 13.13k − 1

= 13(13k − 1) + 12
= 13uk + 12M
6
Vậy với mọi n ∈N*, ta có:

un = 13n − 1M
6

= 13k − 1M
6

uk +1 = 13k +1 − 1M
6


Ví dụ 4:

( 1)

CMR ∀n ∈ ¥ * : 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1) 2

Với n = 1, ta có VT(1) = 1.(3.1+1) =4 = 1.(1+1) 2=VP(1), đẳng thức đúng
Giả sử đẳng thức đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:

1.4 + 2.7 + ... + k (3k + 1) = k (k + 1) 2

(GTQN)

Ta phải chứng minh đúng với n = k+ 1, tức là :

1.4 + 2.7 + ... + k (3k + 1) + ( k + 1) [ 3( k + 1) + 1] = ( k + 1) [ ( k + 1) + 1]

2

( 2)

= (k + 1)(k + 2) 2

Thật vậy:

VT (2) = [1.4 + 2.7 + ... + k (3k + 1)] + (k + 1) [ 3(k + 1) + 1]
= k (k + 1) 2 + (k + 1) [ 3(k + 1) + 1]
= (k + 1)[ k (k + 1) + 3k + 4]
= (k + 1)(k 2 + 4k + 4)
= (k + 1)(k + 2) 2
= VP(2)
Vậy với mọi n ∈N*, ta có: 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n( n + 1) 2

( 1)


§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi n ∈ ¥ *ta thực hiện theo các bước
sau:
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1

B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 (Giả thiết qui nạp-GTQN)
Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
2. Ví dụ áp dụng:

HOẠT ĐỘNG NHÓM
CMR :1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1) 2

CMR : ∀n ∈ N * cã un = 13n − 1M
6
CMR : n ≥ 2, ∀n ∈ N cã : 3n > 3n + 1


§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC

•Nêu phương pháp qui nạp tốn học ?
•Chú ý khi chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n ≥ p ?

• Học thuộc và nắm chắc qui trình chứng minh bài tốn bằng
phương pháp qui nạp.
• Các bài tập 1,2,3,4 tự luyện tập
• Bài 5: Đa giác lồi ít nhất mấy cạnh thì có đường chéo?
• Đọc bài : Bạn có biết Suy luận qui nạp


QUÝ THẦY CÔ CÙNG
CÁC EM SỨC KHỎE
THÀNH ĐẠT.