(SKKN mới NHẤT) SKKN sáng tạo bài toán đồ thị trong chương trình vật lí 12, bằng phần mềm geogebra

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Hiện nay, đất nước chúng ta đang trong thời kỳ xây dựng, đổi mới và đẩy
mạnh cơng nghiệp hóa - hiện đại hóa. Bên cạnh đó, cuộc cách mạng 4.0 đang tạo
ra những cơ hội lớn cùng nhiều thách thức đối với mọi lĩnh vực của đời sống và xã
hội. Giai đoạn này đòi hỏi năng lực sáng tạo của con người Việt Nam cao hơn bất
kỳ giai đoạn nào khác. Để đáp ứng được nhu cầu của xã hội, ngành Giáo dục đã có
sự thay đổi về mọi mặt, đặc biệt là PPDH trong đó ứng dụng công nghệ thông tin
vào dạy học là một trong những vấn đề hàng đầu được ngành giáo dục quan tâm
trong lộ trình đổi mới.
Là một giáo viên giảng dạy bộ mơn Vật lí, tơi nhận thấy cơng nghệ thơng tin
đã thực sự tác động mạnh mẽ, góp phần rất lớn trong quá trình đổi mới giảng dạy
của bản thân cũng như đồng nghiệp. Công nghệ giúp cho sự tương tác giữa thầy và
trò nhiều hơn, nhanh hơn và sâu sát hơn. Công nghệ giúp cho bài học gần gũi hơn,
sinh động hơn và hiệu quả hơn. Bên cạnh đó, Cơng nghệ cịn hỗ trợ đắc lực và trở
thành công cụ hữu hiệu cho giáo viên trong công tác chun mơn.
Những năm gần đây ngành giáo dục đang tích cực đổi mới về mọi mặt, trong
đó đổi mới thi cử là một vấn đề đang được toàn xã hội quan tâm. Nội dung đề thi
THPT Quốc Gia cũng có tính phân hóa ngày càng mạnh theo bốn mức độ: nhận
biết, thông hiểu, vận dụng thấp và vận dụng cao. Để giúp học sinh chinh phục
được những câu hỏi ở mức độ vận dụng cao địi hỏi giáo viên khơng chỉ có tầm
nhìn kiến thức bao qt, phương pháp dạy học tốt mà cịn phải có hệ thống bài tập
sáng tạo, mới mẻ cho học sinh luyện tập.
Đối với bộ môn Vật lý, trong đề thi THPT Quốc gia những năm gần đây bài
tập vận dụng cao thường liên quan đến đồ thị biểu diễn mối liên hệ giữa các đại
lượng vật lí. Đây là loại bài tập địi hỏi học sinh phải có hiểu biết tổng hợp và khả
năng “đọc đồ thị”. Để giúp học sinh chinh phục được dạng bài tập này, trong q
trình giảng dạy tơi đã tìm tịi để có thể xây dựng được một hệ thống bài tập cho học
sinh. Tuy nhiên, việc vẽ đồ thị và tính tốn các đại lượng vật lý qua đồ thị một
cách chính xác là rất khó khăn. Từ đó tơi đã tìm hiểu các phần mềm vẽ đồ thị
thông dụng hiện nay và nhận thấy phần mềm vẽ đồ thị Geogebra là một phần mềm
có khả năng vẽ đồ thị hàm số rất chính xác, nó cịn giúp người sử dụng tính tốn

tọa độ cực trị, giao điểm, tiệm cận… Giao diện dễ sử dụng, có hỗ trợ tiếng Việt
nên rất tiện dụng cho giáo viên. Quá trình dùng phần mềm Geogebra để xây dựng
bài tập đồ thị vật lí, tơi nhận thấy có thể dùng phần mềm để tạo ra một thư viện đồ
thị vật lí cơ bản, từ đó giáo viên có thể dùng nó để sáng tạo bài tập hoặc nhân bản
bài tập cho học sinh một cách dễ dàng. Từ kinh nghiệm của bản thân, tôi xin phép
được giới thiệu cách tạo ra thư viện đồ thị vật lý cơ bản trong chương trình vật lí
12 - THPT bằng phần mềm Geogebra và cách dùng nó để sáng tạo bài tập đồ thị
thơng qua đề tài “Sáng tạo bài toán đồ thị trong chương trình vật lí 12, bằng
phần mềm Geogebra”.
1

download by :


PHẦN II: NỘI DUNG
I. Cơ sở lý thuyết
1. Phần mềm Geogebra
1.1. Giới thiệu phần mềm Geogebra
Geogebra dùng để vẽ các hình học đơn giản như điểm, đoạn thẳng, đường
thẳng. Đặc điểm quan trọng nhất của phần mềm Geogebra là khả năng tạo ra sự
gắn kết giữa các đối tượng hình học. Đặc điểm này giúp cho phần mềm có thể vẽ
được hình rất chính xác và có khả năng tương tác như chuyển động nhưng vẫn giữ
được mối quan hệ giữa các đối tượng. Hơn nữa Geogebra cũng có thể nhập và thao
tác với phương trình và tọa độ, cũng như tạo các điểm, đường thẳng, véc-tơ, đường
cơ-níc, đồ thị tất cả các loại hàm số. Geogebra cũng cho phép người dùng đưa vào
một số câu lệnh như Root hoặc Sequence giúp giải các phương trình phức tạp một
cách đơn giản và dễ dàng hơn.
Với tất cả những đặc điểm trên, Geogebra hiện đang là một trong những
phần mềm toán học được yêu thích nhất trên thế giới và đã nhận được nhiều giải
thưởng quý giá. Nó đã mang lại những cải tiến vượt bậc và hỗ trợ đắc lực trong

quá trình giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh trên toàn thế giới.
1.2. Ưu điểm của phần mềm Geogebra
- Phần mềm tốn học này hồn tồn miễn phí và hỗ trợ hiệu quả trong cơng
việc học tập, giảng dạy và đánh giá.
- Giao diện dễ dàng sử dụng và khả năng tương tác đầy đủ với nhiều tính
năng mạnh mẽ.
- Truy cập nhiều nguồn tài nguyên tại www.geogebra.org
- Có sẵn ở nhiều ngơn ngữ, bao gồm cả: tiếng Việt.
- Thích ứng tốt với bất kỳ chương trình dạy học hoặc dự án nào.
- Được sử dụng bởi hàng triệu người trên khắp thế giới.
1.3. Nhược điểm của phần mềm Geogebra
- Nhược điểm lớn nhất của Geogebra là: Khá phức tạp cho người mới bắt
đầu.
2. Hướng dẫn tải về và cài đặt phần mềm Geogebra
Để tải phần mềm người dùng chỉ cần vào google gõ: “Geogebra 2019”, sẽ
xuất hiện trang như hình dưới.
2

download by :


Tiếp theo chọn: “GeoGebra - hãy tải về miễn phí phiên bản mới nhất
2019”, màn hình sẽ hiển thị như sau.

Lúc này chỉ cần chọn: “Tải về ngay”, chúng ta sẽ tải được phần mềm
Geogebra về máy tính.
Để cài đặt phần mềm chỉ cần kích đúp chuột vào biểu
tượng sẽ xuất hiện cửa sổ:

Chọn: “Next”.

3

download by :


Chọn: “I Agree”.

Chọn: “Install”.

Chọn: “Finish”.
Như vậy, chúng ta đã cài đặt xong phần mềm Geogebra trên máy tính của
mình.
3. Hướng dẫn sử dụng phần mềm Geogebra để vẽ đồ thị hàm số
Bước 1: Mở phần mềm.

4

download by :


Bước 2: Nhập hàm số vào khung nhập lệnh.
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = 3cos(2πx + π/3)

Nếu muốn đồ thị hiển thị trong vùng giá trị nào thì vào ơ nhập lệnh gõ vùng
giá trị đó.
Chẳng hạn trong đồ thị trên muốn hiển thị vùng: [0; 2,5], thì nhập:
neu(0≤x≤2.5), 3cos(2πx + π/3)). Kết thúc nhấn enter sẽ cho kết quả:

Muốn chỉnh sửa hiển thị trục tọa độ, lưới, hình ảnh đồ thị… thì chỉ việc vào

các thẻ tương ứng và tùy chọn.
Muốn vẽ thêm đồ thị trên cùng hệ trục thì tiếp tục nhập hàm số mới vào ơ
nhập lệnh tiếp theo.Ví dụ: vẽ thêm đồ thị hàm số y = 2cos(2πx - π/6) trên đoạn
[0;3] thì nhập: neu(0≤x≤3, 2cos(2πx - π/6)). Nhấn enter sẽ cho kết quả:
5

download by :


Bước 3: Lưu đồ thị đã vẽ được.
Vào mục “Hồ sơ” chọn”Lưu lại” hoặc dùng tổ hợp phím: Ctrl và S
Đánh tên đồ thị cần lưu và lưu vào thư mục để sử dụng.

Bước 4: Xuất hình ảnh đồ thị ra trang Word.
Vào “Hồ sơ” chọn “chỉnh sửa” sau đó chọn “sao chép vùng làm việc vào
bộ nhớ” cuối cùng vào trang Word và dán hình ảnh vào vị trí lựa chọn.
Hình ảnh dễ dàng chỉnh sửa kích thước và có thể chèn thêm thơng số nếu cần.

4. Các dạng đồ thị trong chương trình vật lí 12
4.1. Đồ thị hình Sin
Các đại lượng vật lí phụ thuộc thời thời gian theo hàm số cosin:
- Li độ, vận tốc, gia tốc, lực kéo về của vật dao động điều hòa.
- Li độ sóng cơ hình sin.
- Điện tích trên tụ, dòng điện qua cuộn cảm, điện áp giữa hai bản tụ của
mạch dao động điện từ lý tưởng LC.
6

download by :

- Điện áp tức thời, cường độ dòng điện tức thời của mạch RLC nối tiếp.
Đồ thị biểu diện sự phụ thuộc của các đại lượng vật lí kể trên theo thời gian
đều có chung một dạng như hình vẽ (H.4.1).
Động năng, thế năng của vật dao động điều hòa và năng lượng điện trường,
năng lượng từ trường trong mạch dao động điện từ lý tưởng biến thiên tuần hoàn
theo thời gian, dạng đồ thị như hình vẽ (H.4.2).
Lực đàn hồi tác dụng lên vật nặng của con lắc lò xo treo thẳng đứng biển
thiên tuần hoàn theo thời gian, dạng đồ thị như hình vẽ (H.4.3).

(H.4.1)

(H.4.2)

(H.4.3)

4.2. Đồ thị thế năng đàn hồi của con lắc lò xo treo thẳng đứng

4.3. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của a,v, Fkv, Wđ, Wt, Wđh theo x

7

download by :


4.4. Đồ thị lực đàn hồi phụ thuộc li độ x hoặc chiều dài l của lò xo
ȁ

đℎȁ

ȁ

đℎȁ

4.5. Đồ thị công suất của mạch RLC

4.6. Đồ thị điện áp trên các phần tử của mạch RLC nối tiếp
UR

4.7. Đồ thị liên quan đến hệ số công suất cosφ

8

download by :


II. Những thực trạng trong dạy và học bài toán đồ thị vật lí
Bài tốn đồ thị là bài tốn đòi hỏi học sinh vận dụng kiến thức tổng hợp, có
khả năng phân tích, đọc đồ thị mới giải quyết được vấn đề. Để giúp học sinh giải
quyết tốt các bài tốn đồ thị, giáo viên cần có một hệ thống bài tập đa dạng. Tuy
nhiên hiện nay các tài liệu về bài tốn đồ thị trong vật lí khơng nhiều, việc nhân
bản hoặc sáng tạo mới bài toán đồ thị đối với đa số giáo viên đang gặp khó khăn,
đặc biệt là việc vẽ đồ thị và thiết kế bài tốn đồ thị. Qua tìm hiểu tơi nhận thấy đa
số giáo viên đều cho rằng rất mất thời gian để xây dựng một bài tốn đồ thị, vì
ngồi kiến thức lý thuyết thì việc vẽ đồ thị phù hợp, chính xác, xác định cực trị,
giao điểm… mất thời gian và khó thực hiện nên rất ngại xây dựng hệ thống loại bài
tập này.
Về phía học sinh, đa số đều ngại giải bài tốn đồ thị vì các em ít được làm
loại tốn này, khơng được rèn luyện nhiều nên kỹ năng xử lý bài toán yếu. Nguyên
nhân bắt nguồn từ chỗ thiếu hệ thống bài tập rèn luyện. Thực tế, học sinh chỉ được
làm các bài toán đồ thị trong đề thi thử một số trường hoặc đề thi THPT Quốc gia

đã thi.
Để có kết luận chính xác về thực trạng nói trên tơi đã tiến hành khảo sát học
sinh lớp 12 và giáo viên các trường THPT Huỳnh Thúc Kháng, THPT Hà Huy
Tập, THPT Đô Lương 1.
PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH
Trường: …………………………………….……..
Học sinh:……………………………..Lớp:………
Mức độ tiếp cận bài toán đồ
Ít
Vừa
Nhiều
thị vật lí
Tâm thế khi gặp bài tốn đồ
Khơng thích
Bình thường
Thích
thị vật lí trong đề thi
Tự đánh giá khả năng giải
Yếu
Trung bình
Khá, tốt
bài tập đồ thị vật lí
PHIẾU KHẢO SÁT GIÁO VIÊN VẬT LÍ
Trường: …………………………………….……..
Họ và tên:……………………………..Tổ: Tự nhiên
Nguồn bài tập phục vụ cho
ít
Vừa
giảng dạy phần bài tập đồ thị
Tâm thế khi xây dựng hệ thống Khơng thích

Bình thường
bài tập đồ thị cho học sinh
Mức độ dùng phần mềm vẽ đồ
Chưa
Có dùng nhưng
thị để xây dựng bài tập đồ thị
chưa hiệu quả
vât lí

Nhiều
Thích
Thường
xuyên

9

download by :


Kết quả khảo sát học sinh:
TT Năm học Trường THPT

Nội dung khảo sát
Mức độ tiếp cận bài toán đồ thị vật lí

1

2018-2019

Huỳnh Thúc

Kháng

ít

Vừa

Nhiều

70%

25%

5%

Tâm thế khi gặp bài tốn đồ thị vật lí trong đề
thi
Khơng thích

Bình thường

Thích

85%

12,5%

2,5%

Tự đánh giá khả năng giải bài tập đồ thị vật lí
Yếu

Trung bình

Khá, tốt

75%

20%

5%

Mức độ tiếp cận bài tốn đồ thị vật lí

2

2018-2019

Hà Huy Tập

ít

Vừa

Nhiều

82,5%

15%

2,5%

Tâm thế khi gặp bài tốn đồ thị vật lí trong đề
thi
Khơng thích

Bình thường

Thích

90%

8,5%

1,5%

Tự đánh giá khả năng giải bài tập đồ thị vật lí
Yếu

Trung bình

Khá, tốt

82,5%

15%

2,5%

Mức độ tiếp cận bài tốn đồ thị vật lí

3

2018-2019

Đơ lương 1

ít

Vừa

Nhiều

70,5%

25%

4,5%

Tâm thế khi gặp bài tốn đồ thị vật lí trong đề
thi
Khơng thích

Bình thường

Thích

80%

17%

3%

Tự đánh giá khả năng giải bài tập đồ thị vật lí
Yếu

Trung bình

Khá, tốt

77%

20%

3%
10

download by :


Kết quả khảo sát giáo viên
TT Năm học Trường THPT

1

2018-2019

Huỳnh Thúc
Kháng
(9 GV)

Hà Huy Tập
2

2018-2019

(7 GV)

Đô Lương 1
3

2018-2019

(9 GV)

Nội dung khảo sát
Nguồn bài tập phục vụ cho giảng dạy phần bài
tập đồ thị
ít
Vừa
Nhiều
3/9
4/9
2/9
Tâm thế khi xây dựng hệ thống bài tập đồ thị
cho học sinh
Khơng thích
Bình thường
Thích
4/9
3/9

2/9
Mức độ dùng phần mềm vẽ đồ thị để xây dựng
bài tập đồ thị vật lí
Chưa
Có dùng nhưng Thường xun
chưa hiệu quả
4/9
3/9
2/9
Nguồn bài tập phục vụ cho giảng dạy phần bài
tập đồ thị
ít
Vừa
Nhiều
4/7
2/7
1/7
Tâm thế khi xây dựng hệ thống bài tập đồ thị
cho học sinh
Không thích
Bình thường
Thích
5/7
1/7
1/7
Mức độ dùng phần mềm vẽ đồ thị để xây dựng
bài tập đồ thị vật lí
Chưa
Có dùng nhưng Thường xuyên
chưa hiệu quả

5/7
1/7
1/7
Nguồn bài tập phục vụ cho giảng dạy phần bài
tập đồ thị
ít
Vừa
Nhiều
5/9
2/9
2/9
Tâm thế khi xây dựng hệ thống bài tập đồ thị
cho học sinh
Khơng thích
Bình thường
Thích
5/9
2/9
2/9
Mức độ dùng phần mềm vẽ đồ thị để xây dựng
bài tập đồ thị vât lí
Chưa
Có dùng nhưng Thường xun
chưa hiệu quả
4/9
3/9
2/9
11

download by :

Thông qua kết qua khảo sát cho thấy một thực trạng là cả giáo viên và học
sinh đều có những khó khăn khi dạy học bài tốn đồ thị vật lí. Về phía giáo viên
chủ yếu là do chưa vận dụng được cơng nghệ hỗ trợ tích cực cho q trình thiết kế
bài tập mới dẫn đến số lượng bài tập cho học sinh luyện tập ít và bài tập cũng
khơng đa dạng.
Về phía học sinh, do ít được tiếp cận bài tập luyện tập nên phần lớn các học
sinh đều yếu về kỹ năng giải loại toán này. Tâm thế của đa số học sinh khi gặp bài
toán đồ thị trong đề thi là sẽ bỏ qua hoặc rất ngại giải.
Như vậy để giải quyết vấn đề này, trước hết giáo viên phải có một cơng cụ
vẽ đồ thị phù hợp, trên cơ sở đó vận dụng một cách sáng tạo để có thể xây dựng
bài tập đồ thị một cách dễ dàng và chính xác.
III. Sử dụng phần mềm Geogebra để sáng tạo bài toán đồ thị
Để sử dụng hiệu quả và nhanh chóng vẽ được đồ thị bài tốn tơi đã xây dựng
một thư viện các đồ thị cơ bản trong chương trình vật lí 12. Trên cơ sở thư viện,
người dùng chỉ cần chọn dạng đồ thị tương ứng với bài tập và thay đổi số liệu cho
tương thích. Thư viện đồ thị cơ bản của vật lí 12 được xây dựng trên Geogebra dễ
dàng chia sẻ và sử dụng. (Có file đính kèm trong USB theo đề tài)
1. Đồ thị hình sin
1.1. Đồ thị x, v, a, Fkv theo thời gian trong dao động cơ
Phương trình li độ:

x = A.cos(ωt + φ)

Phương trình vận tốc:

v = -Aω.sin(ωt + φ) = Aω.cos(ωt + φ + π/2)

Phương trình gia tốc:

a = -ω2x = -ω2A.cos(ωt + φ)

Phương trình lực kéo về: Fkv = -k.x = -kA.cos(ωt + φ)
Ta nhận thấy các đại lượng trên cùng dạng đồ thị và tần số, chỉ khác nhau về
biên độ và pha ban đầu. Vì vậy, chỉ cần tạo một file đồ thị hình sin trên Geogebra
thì khi sử dụng để xây dựng bài toán đồ thị các đại lượng trên chỉ cần thay số phù
hợp là được.
Cách tạo file đồ thị hình sin của dao động cơ trên Geogebra.
Bước 1: mở phần mềm Geogebra.
Bước 2: nhập vào ô nhập lệnh: neu(0 ≤ x ≤ 4, 4cos(2πx + 3)

Trong đó ngầm hiểu: x tương ứng thời gian t; 0 ≤ x ≤ 4 là khoảng giới hạn
hiển thị đồ thị.
Sau khi nhập lệnh và Enter, màn hình sẽ hiển thị:
12

download by :


Ta nhận thấy đồ thị chưa đẹp nên cần chỉnh sửa lại. Chọn lại tỉ lệ trục, chọn
hệ trục đậm nét…

Thay đổi vùng đồ thị hiển thị trong khung nhập lệnh.
Chọn hiển thị trục tung, trục hoành theo giá trị hoặc kích chuột dấu (+),
(-) trên vùng làm việc đến khi kích thước phù hợp theo ý muốn.
Sau đó có thể đánh tên các trục, chia tỉ lệ lưới đồ thị, chọn cỡ chữ hiển
thị… theo ý muốn.

13

download by :


Lúc này chúng ta đã có một đồ thị hình sin mong muốn.
Bước 3: Lưu file lại để sử dụng.
Bước 4: Sử dụng file đã thiết lập để xây dựng bài tốn đồ thị.
Ví dụ 1: Thiết kế bài tốn xác định thời điểm hai chất điểm dao động
điều hòa (có tần số dao động khác nhau) có cùng li độ lần thứ n.
- Mở file “ĐỒ THỊ HÌNH SIN”
- Nhập lệnh vẽ đồ thị thứ 2 cùng biên độ, chu kỳ gấp hai lần.

- Các số liệu trên trục tung khơng cần thiết thì ta tắt hiển thị.
- Thời điểm cùng li độ được xác định bằng giao điểm 2 đồ thị. Để tìm giao
điểm thì vào ơ lệnh gõ “giao điểm” chọn dòng: Giao điểm (<hàm số>,số>,<giá trị đầu x>, <giá trị cuối x>). Sau đó copy hai hàm số vào vị trí
tương ứng,giá trị đầu là 0, giá trị cuối là 2. Cuối cùng Enter sẽ cho kết quả.

Nhấp chuột phải vào các điểm sẽ thấy giá trị tọa độ.
14

download by :


Khi đã biết thời điểm cùng li độ của 4 lần đầu tiên thì ta có thể u cầu học
sinh xác định thời điểm cùng li độ lần thứ n bất kỳ. Từ đây ta có thể xây dựng các
bài tập liên quan đến thời điểm hai vật có cùng li độ dao động. Chẳng hạn các bài
toán sau đây.
Bài toán 1. Hai chất điểm cùng
x

khối lượng, dao động điều hịa trên hai
đường thẳng song song cạnh nhau, có vị
trí cân bằng cùng thuộc đường thẳng
vng góc với quỹ đạo dao động của hai
t(s)
chất điểm. Đồ thị hình vẽ biểu diễn sự O
1
2
phụ thuộc của li độ dao động hai chất
điểm theo thời gian. Thời điểm hai chất
điểm có cùng li độ lần thứ 2018 gần nhất
với giá trị
A. 1009,2 s.
B. 1009 s.
C. 1009,5 s
D. 1008 s.
Lời giải: T1 = 1(s); T2 = 2(s). Cứ sau mỗi khoảng thời gian T2 thì hai vật có
4 lần li độ bằng nhau. Nên thời điểm cùng li độ lần thứ 2018 là: t2018 = 504T2 + t2 =
1008 + t2 (Với t2 là thời điểm cùng li độ lần thứ 2).Dựa vào đồ thị nhận thấy: 1< t2
<1,5 (s). Suy ra, chọn đáp án A.
Tương tự như vậy ta chỉ cần thay các thông số về pha, tần số, biên độ của
các hàm số trong khung lệnh là có thể tạo ra các bài tập tương tự. Chẳng hạn như
các bài toán dưới đây.
Bài toán 2. Hai chất điểm (1) và
x
(2) cùng khối lượng, dao động điều hòa
(1)
trên hai đường thẳng song song cạnh
nhau, có vị trí cân bằng cùng thuộc
(2)

đường thẳng vng góc với quỹ đạo dao
O
t
động của hai chất điểm. Đồ thị hình vẽ
biểu diễn sự phụ thuộc của li độ dao
động hai chất điểm theo thời gian. Tại
thời điểm hai chất điểm có cùng li độ
lần thứ 2, thì tỉ số động năng của chất
điểm (1) so với chất điểm (2) bằng
A. 1/3.
B. 3.
C. 1/4.
D. 4.
15

download by :


Bài giải: Nhận thấy ω2 = 2ω1; A2 = A1 nên: W2 = 4W1
Khi x1 = x2 thì Wt2 = 4Wt1. Lúc này:
W

W1

đ1

−Wt1

=

W

W

đ2

1

W1−Wt1

=

2

=
4

4W1−4Wt1

−W

t2

Bài toán 3. Hai chất điểm dao động điều
hịa cùng biên độ có đồ thị biểu diễn li độ theo
thời gian như hình vẽ. Tại thời điểm t = 0, hai
chất điểm có cùng li độ lần đầu tiên. Tại thời
điểm t = 1/3 s, hai chất điểm có cùng li độ lần
thứ hai. Thời điểm hai chất điểm có cùng li độ
và chuyển động cùng chiều nhau lần thứ hai là

A. 1,5 s.
Lời giải:

B. 2 s.

C. 2,5 s.

D. 4 s.

+ Phương trình li độ của hai chất điểm
 x  Acos  t   
 1



2 

1





2



1

1







2

2



2


+ Thời điểm hai chất điểm có cùng li độ

 1 


 t
1

x1  x2  


 t
 1

2 

2t





2

2

 2k



4k

t 

1
2





t





+ Thời điểm hai chất điểm có cùng li độ lần thứ hai ứng với

k   0  2  1  2
3

1

3

1

1



 2



 2  2 t  2  2k

1 


2

x  Acos   t   



2







 x  Acos   t  


x  Acos   t   
 1



31

2





4k 

3 1

rad/s

+ Từ hình vẽ ta thấy t 2  2T1  2s

1.2. Đồ thị sự phụ thuộc của lực đàn hồi theo thời gian trong con lắc lò xo treo
thẳng đứng
Nếu chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương thẳng đứng hướng
xuống dưới thì biểu thức lực đàn hồi tác dụng lên vật dao động có dạng: Fđh = -k(∆l
+ x) (Với ∆l là độ giãn của lị xo khi vật ở vị trí cân bằng, ∆l > 0). Hay F đh = -k(∆l
+ A.cos(ωt + φ)). Như vậy giá trị của lực đàn hồi cũng phụ thuộc thời gian theo
quy luật điều hòa. Tuy nhiên đồ thị biểu diễn không đối xứng qua trục Ox.
Chẳng hạn lị xo có độ cứng k = 50 (N/m); Độ giãn lò xo khi vật cân bằng là
∆l = 10 cm; Biên độ dao động của vật là A = 20 cm; Tần số góc là 2π. Chọn mốc

download by :

1
6


thời gian lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Để vẽ dạng đồ thị thì
chúng ta nhập lệnh như sau vào ô nhập lệnh của Geogebra: neu(0 ≤ x ≤ 2.5, -50(0.1
+ 0.2cos(2πx - π/2). Màn hình xuất hiện:

Điều chỉnh thơng số đồ thị để cho hình ảnh hiển thị phù hợp.

Lưu file vào thư viện đồ thị cá nhân dưới tên: “ĐỒ THỊ Fđh-t”
Ví dụ 2: Thiết kế bài toán liên quan đến đồ thị lực đàn hồi của con lắc
lò xo treo thẳng đứng.

Biểu thức lực đàn hồi là Fđh = -k(∆l + x), theo biểu thức này ta thấy nếu biết
liên hệ giá trị lực đàn hồi tác dụng lên vật ở 3 vị trí khác nhau thì ta sẽ tìm được tỉ
lệ giữa độ biến dạng lị xo ở vị trí cân bằng ∆l với biên độ A. Hai trong ba vị trí nói
trên có thể lợi dụng vị trí đặc biệt là biên trên và biên dưới của vật, vị trí cịn lại có
thể cho ẩn qua trục thời gian. Từ đây ta có xây dựng ra các bài tốn liên quan đến

 l

vận dụng tỉ số A . Chẳng hạn các bài toán sau.

download by :

1
7


Bài tốn 4: Một con lắc lị xo treo thẳng đứng gồm
một vật nhỏ có khối lượng m và lị xo có độ cứng k, dao
động điều hịa với biên độ A. Chọn gốc tọa độ tại vị trí O cân
bằng, chiều dương hướng xuống. Đồ thị biểu diễn sự phụ
thuộc của lực đàn hồi theo thời gian được cho như hình vẽ.
Tỉ số giữa thời gian lị xo giãn và nén trong một chu kì dao
động là
A. 2

B. 1/2

C. 2/3

D. 3/2

∆t

(giãn)

Để xây dựng bài toán 4 bằng Geogebra, trước hết cần xác định đáp án mong muốn là ∆t
(nén) = 2.
Như vậy, khi nhập số liệu thì thơng số về biên độ phải gấp hai lần độ giãn lò xo ở vị trí cân bằng. Trong bài tốn này
chỉ cần biết tỉ lệ lực đàn hồi tác dụng lên vật khi ở hai biên, do đó trên đồ thị ta tắt các hiển thị về số liệu.

Bài giải: Theo đồ thị thì | Fđh (A) | =K(∆l+A = 3 → A = 2∆l
)

K(A−∆l)
F

đh (−A)

Do đó:

∆t (giãn)

=2
∆t (nén)

Bài tốn 5: Một con lắc lò xo treo thẳng

F3

đứng gồm một vật nhỏ có khối lượng m và lị xo
có độ cứng k, dao động điều hòa với biên độ A.

O
Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương
F1
hướng xuống. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của
lực đàn hồi theo thời gian được cho như hình vẽ.
F2
Biết F1 + 3F2 + 6F3 = 0. Tỉ số giữa thời gian lị
xo giãn và nén trong một chu kì dao động có giá
trị gần nhất với
A. 2,46
B. 1,38
C. 1,27

2

15

4

15

D. 2,15
18

download by :


Bài giải:
+ Lực đàn hồi của lò xo được xác định bằng biểu thức F   k l 0  x  với

Δl0 là độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng và x là li độ của vật.
F   k l 0  A
 3
 l 0  x 1 F 3F 6F 0 x 1  3A  10 l 0 1
Ta có:  F   k
 l 0
F
 k
 A
 2
1

2

3

1

+ Từ hình vẽ ta có: Thời gian vật đi từ x1 đến biên dương là ∆t = 1/30
s.Chu kì dao động theo đồ thị là T = 3/15 s. Vậy ∆t = T/6 → x1 = A/2 (2)
+ Từ (1) và (2) ta tìm được ∆l0 = 0,25A.
+ Tỉ số giữa thời gian lò xo giãn và nén trong một chu kì là

 l 
 A  1,38
l 
A 
0

360  2ar cos 



2ar cos 

0





Bài toán 6: Hai con lắc lò xo giống hệt nhau,
treo thẳng đứng, đang dao động điều hòa. Lực đàn hồi
tác dụng vào các vật phụ thuộc thời gian theo quy luật
O
được mô tả bởi đồ thị hình vẽ. Chọn mốc thế năng tại
vị trí cân bằng của vật nặng các con lắc. Tại thời điểm
t0 động năng của con lắc (1) bằng 16 mJ thì thế năng
của con lắc (2) bằng
A. 3 mJ

B. 4 mJ

C. 8 mJ

D. 1 mJ

t0
(1)
(2)

Để xây dựng bài toán 6, ta cần nhập lệnh vẽ đồng thời hai đồ thị cùng tần số
nhưng biên độ và pha ban đầu khác nhau.
19

download by :


Ta thấy nếu cho tỉ lệ trên trục thì học sinh sẽ tìm được độ lệch pha và tỉ lệ
biên độ của hai dao động.
Bài giải:
Theo đồ thị thì hai dao động lệch pha nhau π/3.
Dựa vào tỉ lệ lực đàn hồi tại các biên mỗi con lắc ta tìm được: A1 = 2∆l và
A2 = ∆l.
Suy ra: W1 = 4W2.
Tại t0 con lắc (1) ở VTCB nên lúc này Wđ1 = Wđ1 max = W1 = 16 mJ
Con lắc (2) lệch pha π/3 so với con lắc (1) nên đang ở li độ có độ lớn

2√3

vì

2

vậy thế năng của nó lúc này là Wt2 = 34W2 = 3 mJ.

1.3. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của động năng, thế năng theo thời gian
Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng của vật dao động. Nếu phương trình li
độ của vật là x = Acos(ωt + φ) thì biểu thức động năng và thế năng lần lượt là
1

1

π

mv2 =

Wđ =

mω2A2 cos2 (ωt + φ +

2

π

1

2

kA cos

=

2

(ωt + φ +

2

1

W=

)

2

1

2
kx

)
2

2

=

2

2

(ωt + φ)

kA cos

t

2

2

Để vẽ đồ thị động năng ta có thể nhập lệnh như sau:
1

π

Trong đó x tương ứng biểu diễn cho thời gian t, k = 100 N/m; A = 20 cm.
Màn hình xuất hiện đồ thị động năng, sau khi chỉnh sửa hiển thị phù hợp ta
được đồ thị như hình dưới đây.

Lưu file đồ thị lại dưới tên: “ĐỒ THỊ Wđ-t”
2
0

download by :


Để vẽ đồ thị thế năng ta có thể nhập lệnh như sau:
neu(0≤x≤1.2, 12 ∗ 100 ∗ 0.22 ∗ cos2 (2π − π3))

Trong đó x tương ứng biểu diễn cho thời gian t, k = 100 N/m; A = 20 cm.
Đồ thị thu được như hình dưới đây.

Lưu file đồ thị lại dưới tên: “ĐỒ THỊ Wt-t”.
Ví dụ 3: Thiết kế bài toán đồ thị động năng, thế năng của vật dao động
điều hịa.
Bài tốn 7. Một vật có khối lượng
250 g dao động điều hịa, chọn gốc tính thế
năng ở vị trí cân bằng, đồ thị động năng

theo thời gian như hình vẽ. Thời điểm đầu
tiên vật có vận tốc thỏa mãn v = -10x (x là
li độ) là
A.

7 s
120

C.  s
20



B. 30 s



D. 24 s

Bài giải: + Khoảng thời gian vật đi từ vị
trí thế năng bằng 3 lần động năng (động năng
đang giảm) đến vị trí động năng bằng 0 ứng với

3A

2 đến x  A . Ta có:

T
T 7 
2

2  12  60  T  5 s   
 10 rad/s
T
+ Vị trí v  10x , ta có:

vật đi từ vị trí x  

21

download by :


v  10x
 x 2
v








2





A    A  1







 x  2  10x  2
 
 1

A


A 



 x  2  10x  2  1  x  
Biến đổi toán học, ta thu được 
 

 A   10A 
Lần đầu ứng với x   2 A và vật đi theo chiều âm  t 
2
Chọn đáp án D.

2

2

A.

T T   s.
12 8 24

Bài tốn 8. Hai con lắc lị xo dao động
điều hịa có động năng biến thiên theo thời
gian như đồ thị hình vẽ. Vào thời điểm thế
năng hai con lắc bằng nhau thì tỉ số động
năng con lắc (1) và động năng con lắc (2) là
A. 81 .
25

B. 3 .

C. 9 .

2

4

D.

9.
5

Bài giải: + Từ đồ thị ta thấy rằng hai dao động này này vuông pha nhau
(động năng của vật 1 cực đại -đang ở vị trí cân bằng, thì động năng của vật 2 cực
tiểu - đang ở biên) và E1 1,5E 2

+ Ta biểu diễn động năng và thế năng của các vật về cơ năng

 E t  Ecos2




E d


E1cos 21  E 2 cos 22 1

 E t1  Et 2

d1
 Esin    E d1  E1sin 2 1   E  E1 1  cos 1  2 


2
E
E
E 2 sin 2
E2 1  cos 2

 d2
 d2


2



2

2



+ Kết hợp với E1 1,5E2 và hai dao động này vuông pha (1) trở thành
1,5cos 21  cos 2 2 cos21cos22 2,5cos 21  1  cos 21  0, 4
Thay kết quả trên vào (2) ta thu được tỉ số

E

d1

1,5 1  cos21  9

 E d2
1 1,5cos 21
4

Bài toán 9. Một con lắc lò xo đang dao
động điều hòa. Động năng của con lắc phụ thuộc
thời gian theo quy luật được biểu diễn như đồ thị
hình vẽ. Biết t3 - t2 = 0,25 s. Giá trị của t4 - t1 là
A. 0,54 s.
C. 0,45 s.

B. 0,40 s.

D. 0,50 s.

O

t1

t2

t3 t4
22

download by :


Để có bài tốn 9, chúng ta nhập lệnh vẽ đồ thị giới hạn trong 1 chu kỳ.
chẳng hạn chọn chu kỳ động năng bằng 1 (s). Chọn hiển thị tọa độ 4 điểm A, B,C
D trên đồ thị ta sẽ biết chính xác giá trị tọa độ của 4 điểm. Lúc này tắt các số liệu
trên các trục và cho biết hiệu thời gian của hai điểm thì sẽ xác định được hiệu thời
gian hai điểm còn lại.
Cụ thể nhập lệnh: neu(0≤x≤1,50cos2(πx - π/2)). Màn hình hiển thị:

Ta nhận thấy tD − tC = 0,25(s) và tB − tA = 0,5(s).
Như vậy ta chỉ cần cho tD − tC = 0,25( ) và yêu cầu học sinh xác định
tB − tA = ?

Từ đó ta thiết kế được bài tốn 9 như trên.
Bài giải: Từ đồ thị, ta có:
 E  9E
 d 2 10


E  8E

d3
10



E  1 E
 t 2 10

E  2 E
 t3
10


x   A
 2
10


x   A

3
5


Biểu diễn các vị trí tương ứng trên hình trịn, ta thu được:
t  t  T arcsin x 2  arcsin x 3   0,25  T  2 s.
3
2



A
2 
A
 t 4  t 1  0, 25T  0,5 s.

Ngoài các bài tốn trong phần dao động cơ, thì các bài tốn ở phần sóng cơ,
mạch dao động điện từ, dịng điện xoay chiều các bài toán liên quan đến quy luật
hàm số cosin cũng có cách xây dựng hồn tồn tương tự. Trên cơ sở đó tơi đã xây
dựng được một hệ thống bài tập đồ thị sử dụng rất hiệu quả quá trình dạy học.
2. Đồ thị của thế năng đàn hồi của con lắc lò xo treo thẳng đứng
Con lắc lò xo treo thẳng đứng, chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều
dương hướng thẳng đứng xuống dưới. Biểu thức thế năng đàn hồi của con lắc là:
23

download by :


W =

=
1

k(∆l +

x)

1 k(∆l + Acos(ωt +

2

φ))

2

đh

2

2

Để vẽ đồ thị thế năng đàn hồi theo thời gian ta nhập lệnh như sau: nếu
(0≤x≤2,50(0.1+0.2cos(2πx+π/3))2). Trường hợp này ta chọn k = 100 N/m; ∆l = 10
cm; A = 20 cm; tần số dao động là 1 Hz. Sau đó Enter sẽ cho đồ thị như sau.

Chỉnh sửa thông số hiển thị để có đồ thị phù hợp và lưu file lại dưới tên:
“ĐỒ THỊ Wđh - t”.

Bài toán 10: Một con lắc lò xo thẳng đứng đầu
trên cố định, đầu dưới treo vật có khối lượng 100 g.
Chọn trục Ox có gốc O tại vị trí cân bằng, chiều dương
hướng xuống dưới. Cho con lắc đó dao động điều hịa
theo phương thẳng đứng thì thu được đồ thị theo thời
O
gian của thế năng đàn hồi như hình vẽ. Lấy g = π2 m/s2
download
byhịa
:
= 10 m/s2. Vật

dao động điều
với phương trình

1/3


24

download by :