(SKKN mới NHẤT) SKKN ứng dụng định lý vi et trong giải toán

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ET TRONG GIẢI TOÁN
1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Toán học là một bộ mơn khoa học tự nhiên nghiên cứu, có tính thực tế cao, ảnh
hưởng lớn đến đời sống con người. Các cơng trình nghiên cứu khoa học đều cho rằng:
Tất cả các môn khoa học khác đều liên quan mật thiết với Toán học. Vận dụng kiến thức
Toán học để giải thích các hiện tượng trong tự nhiên và vận dụng vào thực tế cuộc sống
Muốn vậy việc giảng dạy Toán học phải hướng tới một mục đích lớn hơn, thơng qua việc
dạy học Tốn mà học sinh phát triển trí tuệ, hình thành phẩm chất tư duy cần thiết. §ỉi
míi phơng pháp dạy học là một yêu cầu tất yếu, đảm bảo cho sự phát
triển của giáo dục. Ngày nay nỊn kinh tÕ trÝ thøc cïng víi sù bïng nỉ
th«ng tin, giáo dục đà và đang thay đổi để phù hợp với sự phát triển
của khoa học kỹ thuật, sự ph¸t triĨn cđa x· héi. Néi dung tri thøc khoa
häc cùng với sự đồ sộ về lợng thông tin yêu cầu chúng ta phải đổi mới
phơng pháp dạy học. Mục tiêu giáo dục thay đổi kéo theo yêu cầu
phải đổi mới phơng pháp dạy học một cách phù hợp. giúp cho giáo
viên tháo gỡ những khó khăn trong quá trình đổi mới phơng pháp dạy
học, đà có nhiều giáo s tiến sỹ, các nhà khoa học chuyên tâm nghiên
cứu, thí điểm và triển khai đại trà về đổi mới phơng pháp dạy học.
Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phơng pháp dạy học theo hớng tích cực hoá hoạt động học tập cđa häc
sinh, díi sù tỉ chøc híng dÉn cđa gi¸o viên. Học sinh tự giác, chủ động
tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận
dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đà học vào bài tập và thực tiễn,
trong đó có đổi mới dạy học môn Toán. Trong trờng phổ thông, dạy
Toán là dạy hoạt động Toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải
Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Quá trình giải
toán là quá trình rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp tìm tòi
và vận dụng kiến thức vào thực tế. Thông qua việc giải toán thực chất
là hình thức để củng cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện đợc những

download by :

1


kĩ năng cơ bản trong môn toán. Từ đó rút ra đợc nhiều phơng pháp
dạy học hay, những tiết lên lớp có hiệu quả nhằm phát huy hứng thú
học tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lợng giáo dơc toµn diƯn.
Phương trình bậc hai và Định lý Vi-et học sinh được học trong chương trình Đại số
9 và đặc biệt biệt Định lí Vi-et có ứng dụng rất phong phú trong việc giải các bài toán bậc
hai như: nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng và tích của chúng,
lập phương trình bậc hai có các nghiệm cho trước, tìm mối liên hệ giữa các nghiệm của
phương trình bậc hai….Tuy nhiên, trong sách giáo khoa chỉ trình bày một số ứng dụng cơ
bản với thời lượng chưa nhiều.
Với các bài tập có liên quan đến Định lí Vi-et và phương trình bậc hai phần lớn
học sinh vận dụng kiến thức chậm hoặc không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ
của các dữ kiện cần tìm với các yếu tố đã biết để giải bài tập.
Đối với học sinh khá giỏi thì các dạng bài tập về phương trình bậc hai trong SGK
thường chưa làm các em thoả mãn vì tính ham học, muốn khám phá tri thức mới của
mình.
Hiện nay, trong kì thi vào lớp 10 THPT các bài tốn có ứng dụng Định lí Vi-et
khá phổ biến.
Xét trên thực tế qua những năm giảng dạy lớp 9 tôi nhận thấy nhu cầu học tập của
học sinh, muốn được tiếp thu các kiến thức bổ trợ để có thể vận dụng vào việc giải các
bài tập trong các kì thi cấp THCS, kì thi vào THPT hoặc một số trường, lớp chất lượng
cao là rất cần thiết. Vì vậy tơi mạnh dạn thực hiện đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng Định lý
Vi-et trong giải Toán”.
* Đề tài “Ứng dụng Định lý Vi-et trong giải tốn” đã có nhiều người nghiên cứu –
là những giáo viên giảng dạy lớp 9 tại các trường THCS. Các thầy cô giáo tập trung vào
việc nghiên cứu các dạng bài tập, các dạng toán cơ bản liên quan đến Định lý Vi-et, các
dạng bài tập tổng hợp có liên quan đến Định lý Vi-et. Điểm mới trong đề tài này, tôi tập

trung trang bị đầy đủ các dạng bài tập vận dụng Định lý Vi-et. Đối với mỗi dạng toán đưa
ra phương pháp giải cụ thể và tập trung phân tích kĩ các ví dụ và bài tập áp dụng. Trong
đề tài này tôi đưa ra đầy đủ các dạng tốn từ dễ đến khó, các bài tập nâng cao dành cho
học sinh khá giỏi. Khi gặp dạng toán học sinh dễ nắm bắt và vận dụng.

download by :

2


1.2. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
- Đề tài thực hiện tại trường đang giảng dạy
- Trong đề tài này, tôi chỉ đưa ra nghiên cứu một số ứng dụng của định lí Vi-et trong việc
giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS.
2. PHẦN NỘI DUNG
2.1. Thực trạng việc dạy và học Toán:
a) Đối với giáo viên:
- Giáo viên đạt trình độ chun mơn, có tinh thần trách nhiệm cao trong giảng dạy. Ln
có ý thức học tập, bồi dưỡng nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ, năng lực sư phạm
- Luôn được ban giám hiệu Nhà trường, Tổ chuyên môn quan tâm chỉ bảo trong công tác.
Được đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ trong giảng dạy
b) Đối với học sinh:
- Học sinh đa phần chăm ngoan, có ý thức trong học tập, có tinh thần học hỏi, xây dựng
bài, lĩnh hội kiến thức tốt.
- Phần lớn học sinh là con em gia đình làm nghề nơng nên nhận thức về việc học tập cịn
hạn chế. Đồng thời, thời gian dành cho việc học tập của các em chưa nhiều.
- Khả năng nhận thức Toán học của một số học sinh còn chậm.
- Nội dung Ứng dụng Định lí Vi-ét để giải bài tốn bậc hai rất đa dạng và tương đối khó
với học sinh. Khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức của một số học sinh còn chậm.
Mặt khác, nội dung này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức liên quan như:

phương trình, hằng đẳng thức, bất đẳng thức, biến đổi biểu thức đại số…Trong khi đó, rất
nhiều học sinh không nắm vững kiến thức đã học nên việc vận dụng vào các dạng bài tập
là rất khó khăn.
c) Số liệu khảo sát trước khi áp dụng đề tài:
Trước khi áp dụng đề tài tôi tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức liên quan
đến Định lý Vi-ét và ứng dụng của Định lý Vi-ét trên 30 học sinh. Kết quả đạt được như
sau:
0-<2
SL

%

2-<5
SL

5 - < 6,5
%

SL

%

6,5 - < 8
SL

%

download by :

8 - 10

SL

%
3


/

/

6

20

9

30

10

33,3

5

16,7

* Kết quả:
- Cơ bản học sinh nắm được nội dung của Định lý Vi-ét và những ứng dụng của Định lý
- Bên cạnh đó cịn nhều học sinh chưa vận dụng được nội dung của Định lý vào giải tốn.
Các dạng bài tập liên quan đến phương trình có chứa tham số: lập phương trình bậc hai,

biến đổi các biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai, tìm giá trị của tham số thỏa
mãn biểu thức chứa nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số...
còn chậm
- Kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải bài tập của học sinh còn hạn chế, nhiều em chưa
biết cách biến đổi các biểu thức chứa nghiệm, kĩ năng giải phương trình, biến đổi biểu
thức đại số, vận dụng các hằng đẳng thức còn chậm. Đặc biệt là dạng tốn tìm hệ thức
liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số nhiều em chưa nắm được cách giải
2.2. Các giải pháp
2.2.1. Cung cấp kiến thức cơ bản
a) Hệ thức Vi-ét:
Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) thì:

b) Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm:
x1 = 1; x2 =
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm:
x1 = -1; x2 = c) Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu có hai số u và v thỗ mãn:

thì u và v là hai nghiệm của phương trình:

x2 – Sx + P = 0.
(Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P  0)

download by :

4


- Hướng dẫn và lưu ý cho học sinh các bài tốn có chứa tham số và phân loại các dạng

bài tập nhất là các bài tốn có thể đưa về bài toán bậc hai quen thuộc đối với học sinh.
- Phân tích nhận biết các dấu hiệu chung, nhận biết các tính chất để làm xuất hiện các hệ
thức có chứa các dấu hiệu cần tìm.
- Trong q trình tìm tịi và giải bài tập tơi đã hướng dẫn và phân loại cho các em một số
dạng bài tập có ứng dụng Định lí Vi-et.
2.2.2. Trang bị đủ các dạng bài tập vận dụng Định lý Vi-et cho các đối tượng học
sinh.
I. Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
1. Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc – 1
Phương pháp: Xét tổng a + b + c hoặc a – b + c
Ví dụ. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a)

b)

Giải:
a) Ta có:

nên phương trình có một nghiệm là

, nghiệm

cịn lại là

b) Ta có:

nên phương trình có một nghiệm là

,

nghiệm cịn lại là
Bài tập. Tìm nghiệm của phương trình:
a)

b)

2. Cho phương trình bậc hai, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, tìm
nghiệm cịn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình:
Phương pháp: - Thay giá trị 1 nghiệm vào phương trình để tìm hệ số
- Áp dụng định lí Vi-et viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm (tổng hoặc
tích hai nghiệm) để tính nghiệm cịn lại
Ví dụ 1:

download by :

5


a) Phương trình

có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm cịn lại của

phương trình
b) Phương trình

có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm cịn lại của phương

trình
Giải
a) Thay

vào phương trình ta được

Phương trình đã cho trở thành
Theo Vi-et:
b) Thay

( hoặc

)

vào phương trình ta được

Phương trình đã cho trở thành
Theo Vi-et
Ví dụ 2:
a) Phương trình

biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của

phương trình
b) Phương trình

có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đơi nghiệm kia,

tìm q và hai nghiệm đó
Phương pháp: - Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm theo đề bài kết hợp với một hệ thức
của Định lí Vi-et để tìm các nghiệm đó
- Tìm hệ số chưa biết
Giải

a) Theo đề bài ta có
Theo định lí Vi-et:
=> q =
b) Ta có

.

download by :

6


Theo định lí Vi-et ta có
Với

thì x1  10 ,

Với

thì

= 10 + 5 = 15
,

= (- 10) + (- 5) = - 15

Bài tập: Xác định m và tìm nghiệm cịn lại của phương trình
a)

biết một nghiệm bằng – 5

b)

biết một nghiệm bằng – 3

c)

biết một nghiệm bằng 3

II. Lập phương trình bậc hai
1. Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó
Phương pháp: - Từ 2 nghiệm đã cho tính tổng và tích của chúng
- Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích
Ví dụ 1. Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2
Giải: Ta có
Vậy 3 và 2 là hai nghiệm của phương trình:

Ví dụ 2. Cho

;

Hãy lập phương trình bậc hai có ngiệm: x1; x2
Giải
Ta có:

Nên:
Vậy phương trình có hai nghiệm x1; x2 là x2 Hay 2x2 - 2

x+

=0

x+1=0

Bài tập: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:
a) 8 và -3

b) 36 và – 104

c)

d)

và

và

download by :

7


2. Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm thỏa mãn biểu thức của 2 nghiệm của
phương trình cho trước
Ví dụ 1. Cho phương trình

có hai nghiệm

.

Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm
- Nhận xét: bài tốn dạng này có hai các giải:
Cách 1: - Tính trực tiếp

bằng cách: Tìm nghiệm

của phương trình đã cho

rồi thay vào biểu thức tính
Phương trình

có

nên phương trình có hai nghiệm

là
Ta có
- Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm

Phương trình cần lập có dạng:

(dạng 2.1)

hay

hay
Cách 2: Khơng tính

mà áp dụng Định lí Vi-et tính

sau đó lập

phương trình bậc hai có các nghiệm là
Theo Định lí Vi-et ta có:

Phương trình cần lập có dạng:

hay

hay
Ví dụ 2: Cho phương trình

có hai nghiệm

. Hãy lập phương trình bậc

hai có các nghiệm
Giải: Theo Định lý Vi-et ta có:

download by :

8


Ta có:
Vậy phương trình cần lập là: y2 - 727y + 1 = 0

Bài tập:
Bài 1. Cho phương trình

có hai nghiệm

. Hãy lập phương trình bậc

hai có các nghiệm
Bài 2. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương
trình
Bài 3. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm

thỏa mãn:

III. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Phương pháp: Nếu có hai số u và v thỗ mãn:
thì u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0.
(Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P  0)
Ví dụ 1. Tìm hai số u và v biết u + v = - 3, uv = - 4
Giải:
Hai số u và v là nghiệm của phương trình
Giải phương trình trên ta được
Vậy nếu u = 1 thì v = - 4; nếu u = - 4 thì v = 1
Ví dụ 2. Tìm hai số u và v biết S = u + v = 3, P = uv = 6
Giải:
Hai số u và v là nghiệm của phương trình
Phương trình vơ nghiệm nên không tồn tại hai số u và v thỏa mãn đề bài
Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay
nên không tồn tại hai số u và v thỏa mãn yêu cầu đề bài
mà chưa cần lập phương trình
Bài tập.

download by :

9


Bài 1. Tìm hai số biết tổng S = 9 và tích P = 20
Bài 2. Tìm hai số x, y biết:
a) x + y = 11; xy = 28

b) x – y = 5; xy = 66

Bài 3, Tìm hai số x, y biết:
IV. Dạng toán về biểu thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai
Biến đổi một số biểu thức thường gặp

Chú ý: Mọi biểu thức đều được biến đổi xuất hiện x1 + x2 và x1 . x2
1. Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm
Phương pháp: - Khơng giải phương trình bậc hai, ta biến đổi biểu thức đã cho dưới dạng
tổng và tích các nghiệm
- Vận dụng Định lý Vi-et để tính giá trị của biểu thức
Ví dụ: Cho phương trình
a)

có hai nghiệm

hãy tính

có hai nghiệm

hãy tính

b)

Giải
Theo Định lý Vi-et ta có:
a)
b)
Bài tập.
Bài 1. Cho phương trình

download by :

10


a)

b)

Bài 2. Cho phương trình
a)

có hai nghiệm

hãy tính

b)

2. Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước
Phương pháp: - Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm
- Từ biểu thức chứa nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương

trình tìm m
- Đối chiếu với điều kiện để xác định m
Ví dụ 1. Tìm giá trị của tham số m để các nghiệm x1, x2 của phương trình
mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoã mãn
Giải:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm: m  0 ; ' ≥ 0
' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + 4
'  0  m  4.
Với 0  m  4, theo Định lý Vi-et:
Do đó:

 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m = m2
 m2 - 10m + 16 = 0
 m = 2 hoặc m = 8
Giá trị m = 8 khơng thỗ mãn 0  m  4
Vậy với m = 2 thì
=1
2
Ví dụ 2. Cho phương trình x + 3x – m = 0 (1)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2x1 + 3x2 = 13.
Giải
Để phương trình có 2 nghiệm thì
Theo Định lý Vi-et và theo bài ra ta có:
Vậy với m = 418 thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 13.
Ví dụ 3. Cho phương trình bậc hai x2 – mx +m – 1 = 0
Tìm giá trị của m để A = x12 +x22 – 6 x1x2 = 8
Giải
Ta có :
Nên phương trình ln có 2 nghiệm x1, x2

download by :

11


Theo Định lý Vi-et ta có:
A = (x1 +x2)2 – 8x1x2 = m 2 - 8 (m - 1) = m2 – 8m + 8
A = 8 <=> m2 – 8m +8 = 8 <=> m2 - 8m = 0 <=> m = 0 hoặc m = 8
Vậy với m = 0 hoặc m = 8 thì A = 8
Ví dụ 4. Cho phương trình 3x2 – 4x + m + 5 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho :
(Đề kiểm tra học kì II – Năm học 2009-2010)
Giải
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:

Theo Định lý Vi-et ta có:
Ta có:

Vậy với m = -12 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn :
Bài tập:
Bài 1. Cho phương trình

.

Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm

thỏa mãn

Bài 2. Cho phương trình
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

(Đề thi thử vào THPT năm học 2013-2014)
Bài 3. Cho phương trình
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
3. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của tham số
Phương pháp: - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (
- Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình

;

hoặc a.c < 0).
.

download by :

12


- Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S
và P

Đó là hệ thức độc lập với tham số.

Ví dụ 1: Cho phương trình:
a) CMR phương trình ln có hai nghiệm với mọi giá trị của m
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với m
(Đề thi thử vào THPT năm học 2013-2014)
Giải
a) Ta có:
Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Theo Định lý Vi-et ta có:

khơng phụ thuộc vào giá trị của m
Ví dụ 2: Cho phương trình
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số m
(Đề thi thử vào THPT năm 2013-2014)
Giải
Ta có:
Nên phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m
Theo Định lý Vi-et ta có:
khơng phụ thuộc vào giá trị của m
Ví dụ 3: Gọi

là nghiệm của phương trình

Chứng minh biểu thức

khơng phụ thuộc giá trị của m

Giải
Để phương trình có hai nghiệm

thì:

Theo Định lí Vi-et ta có:

Thay vào A ta được:

=

download by :

13


Vậy

= 0 với

và

hay biểu thức A không phụ thuộc vào m
Bài tập:
Bài 1. Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
a) CMR: Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m.
Bài 2 Cho phương trình
a) Tìm tất cả các giá trị m để (1) có nghiệm
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

của (1) sao cho hệ thức đó khơng phụ

thuộc tham số m
4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa nghiệm
Phương pháp: * Tìm giá trị nhỏ nhất của A :
- Phân tích A =  f (x) 2 + M (M là một hằng số)
- A có giá trị nhỏ nhất khi f(x) = 0
- Giải f(x) = 0 tìm x
- Giá trị nhỏ nhất của A là M
* Tìm giá trị lớn nhất của A:
- Phân tích A = M -  f (x) 2 (M là hằng số)
- A có giá trị lớn nhất khi f(x) = 0

- Giải f(x) = 0 tìm x
- Giá trị lớn nhất của A là M
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – 1 = 0
a) CMR phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(Đề kiểm tra HKII – Năm học 2008-2009)
Giải
a) Ta có:
Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m

download by :

14


b) Theo Định lý Vi-et ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3 khi m = 0
Ví dụ 2. Cho phương trình
Gọi 2 nghiệm là x và x , tìm giá trị của m để

đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải
Theo Định lý Vi-et ta có:

=

Vậy GTNN của

là

khi m =

Ví dụ 3. Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2
Giải
Để phương trình đã cho có nghiệm thì:
' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5)  0
-5 m-1
Theo Định lý Vi-et ta có:
Vì

nên

Suy ra: A =



=

Dấu “ = ” xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4
Vậy A đạt giá trị lớn nhất là

khi m = - 4

Bài tập.
Bài 1. Tìm m để phương trình
a)

đạt giá trị lớn nhất

b)

đạt giá trị nhỏ nhất

có hai nghiệm

download by :

thỏa mãn:

15


Bài 2. Cho phương trình: x2 – mx + (m - 2)2 = 0
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x1x2 + 2x1 + 2x2
Bài 3. Cho phương trình
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi m
b) Gọi

là hai nghiệm của phương trình, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

V. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Các trường hợp xét dấu của nghiệm
  0
- Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu  
P  0
  0


 P  0
- Phương trình có 2 nghiệm dương
S  0

- Phương trình có 2 nghiệm âm

  0

 P  0
S  0

  0
P  0

- Phương trình có 2 nghiệm trái dấu  

Phương pháp: - Tính tổng và tích hai nghiệm theo Định lý Vi-et
- Dựa vào điều kiện để xét dấu của tổng và tích
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 + 3x – m = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
Giải
Phương trình có hai nghiệm cùng dấu
Ví dụ 2. Cho phương trình mx2 - 2(m + 2)x + m = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm
Giải
a) Ta có :
Phương trình có hai nghiệm phân biệt

download by :

16


Vậy với m

0 và m > - 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Theo Định lý Vi-et ta có:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm
Vậy với

thì phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

Bài tập:
Bài 1. Cho phương trình: x2 - 2( m - 2)x - 6m = 0
a) Giải phương trình khi m = 3
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
Bài 2. Cho phương trình

(1)

a) Chứng minh (1) ln có nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Bài 3. Xác định m để phương trình
a)

có hai nghiệm cùng dấu

b)

có ít nhất một nghiệm không âm

II.1. Kết quả khảo sát sau khi áp dụng đề tài
Sau khi áp dụng đề tài tôi tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức liên quan đến
Định lý Vi-ét và ứng dụng của Định lý Vi-ét trên 30 học sinh. Kết quả đạt được như sau:
0-<2

2-<5

5 - < 6,5

6,5 - < 8

8 - 10

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

/

/

2

6,7

9

30

9

30

10

33,3

*Kết quả:
- Sau khi áp dụng đề tài thì số lượng học sinh yếu giảm, số lượng học sinh đạt điểm khá

giỏi tăng lên
- Đa số học sinh nắm được nội dung của Định lý Vi-et và ứng dụng trong giải toán, nhiều
em vận dụng vào làm bài tập khá tốt
- Học sinh đã biến đổi khá thành thạo các biểu thức chứa nghiệm, biết cách tìm giá trị
tham số thỏa mãn các biểu thức chứa nghiệm, tìm hệ thức độc lập với tham số

download by :

17


C. PHẦN KẾT LUẬN
1. Ý nghĩa của đề tài:
Trong quá trình thực hiện đề tài nay, tơi đã hướng dẫn cho học sinh phân loại các
dạng bài tập, cách phân tích tìm lời giải đối với từng dạng bài, tìm mối liên hệ giữa các
yếu tố cần tìm với các yếu tố đã biết để vận dụng các kiến thức liên quan vào việc giải
tốn.
Ngồi các ứng dụng của hệ thức Vi-ét đã nêu trong sách giáo khoa tôi đã cung cấp
thêm cho học sinh một số dạng bài tập khác phù hợp với năng lực của học sinh. Đồng
thời, việc tôi cùng các em học sinh trao đổi, giải bài tập giúp phát huy được tính tích cực,
chủ động, sáng tạo của học sinh, giúp các em tự tin và có hứng thú học tập hơn. Nhờ đó
khi làm bài tập học sinh đã thực hiện nhanh hơn và có hiệu quả hơn, có một số em cịn
đưa ra những cách giải rất hay và ngắn gọn cho cùng một bài toán.
Trên đây là những dạng bài tập ứng dụng của Định lí Vi-ét mà tơi đã lựa chọn để
truyền đạt đến học sinh, mong rằng qua đó các em sẽ vận dụng tốt và phát huy hơn nữa
năng lực học tập bộ môn. Qua thực tế giảng dạy và tìm hiểu tài liệu tơi đã cố gắng thể
hiện đề tài nghiên cứu này. Tuy nhiên trong quá trình thực hiện khơng thể tránh khỏi
những tồn tại, thiếu sót rất mong q thầy cơ, đồng nghiệp đóng góp ý kiến để vấn đề mà
tôi đưa ra được ứng dụng thiết thực và có hiệu quả cao hơn.

download by :

18