SKKN Ứng dụng định lý vi ét trong giải toán đại số 9

SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HOÀI NHƠN
TRƯỜNG THCS HOÀI HƯƠNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN
ĐẠI SỐ 9
Họ và tên: Lê Văn Chung
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: THCS Hoài Hương
SKKN thuộc môn: Toán Học
Giáo Viên: Lê Văn Chung 1 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
A/ MỞ ĐẦU
I/ đặt vấn đề
1/ Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết
Nâng cao chất lượng dạy học nói chung và chất lượng dạy học Toán học nói riêng
là nhiệm vụ quan trọng nhất hiện nay của giáo viên Toán học ở các trường THCS.
Trong dạy học Toán học, chúng ta có thể nâng cao chất lượng dạy học và phát triển
năng lực nhận thức của học sinh bằng nhiều biện pháp và nhiều phương pháp khác nhau,
mỗi phương pháp đều có những ưu điểm riêng, nên đòi hỏi giáo viên phải biết lựa chọn,
phối hợp các phương pháp một cách thích hợp để chúng bổ sung cho nhau, nhằm giúp
học sinh phát huy tối đa khả năng tư duy độc lập, tư duy logic và tư duy sáng tạo của
mình.
Dạy toán là dạy cho người học có năng lực trí tuệ, năng lực này sẽ giúp cho người
học các kiến thức khác về tự nhiên và xã hội, vì vậy dạy toán không chỉ đơn thuần là dạy
cho học sinh nắm được các kiến thức, những khái niệm, những định lý toán học.
Trong xu hướng chung của những năm gần đây việc đổi mới dạy học là vấn đề cấp
bách, thiết thực, nhằm đào tạo ra những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt. Đổi
mới phương pháp không chỉ trong giờ giảng lý thuyết, mà ngay cả trong giờ luyện tập.
Luyện tập ngoài việc rèn kĩ năng tính toán, kĩ năng suy luận mà cần có những bài tập mở,
bài tập nâng cao cho học sinh khá, giỏi được sắp xếp một cách có hệ thống giúp học sinh

củng cố và vận dụng kiến thức 1 cách năng động và sáng tạo.
Trong chương trình đại số 9, định lý Vi ét là một phần kiến thức cơ bản, quan
trọng. Nó giúp ta giải quyết nhiều dạng bài tập liên quan đến phương trình bậc 2, hệ
phương trình… Tuy nhiên việc vận dụng định lý này nhiều học sinh gặp rất nhiều khó
khăn, nhất là bài tập nâng cao dành cho học sinh khá, giỏi. Nhiều em gặp rất nhiều lúng
túng khi vận dụng định lý này vào các dạng bài tập cực trị, bất đẳng thức, hệ phương
trình, bài tập liên quan đến hàm số. Nếu giải quyết tốt vấn đề này sẽ góp phần rất lớn
Giáo Viên: Lê Văn Chung 2 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
trong việc phát triển trí lực của học sinh. Cũng như giúp các em tự tin hơn trong các cuộc
thi, cũng như thi HSG các cấp
2/ Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.
Giúp cho học sinh phát triển năng lực nhận thức, rèn trí thông minh. Một bài tập
có nhiều cách giải, ngoài cách giải thông thường, quen thuộc còn có cách giải độc đáo,
thông minh, sáng tạo, ngắn gọn và chính xác. Việc xây dựng phương pháp giải cho từng
dạng bài tập giúp học sinh tìm được lời giải hay, ngắn gọn, nhanh trên cơ sở các phương
pháp giải toán, các qui luật chung của Toán học cũng là một biện pháp có hiệu quả nhằm
phát triển tư duy và trí thông minh cho học sinh, qua đó góp phần nâng cao chất lượng
dạy và học toán ở trường THCS.
3/ Phạm vi nghiên cứu của đề tài
- Nghiên cứu tìm ra các cách giải khác, ngắn gọn của 1 bài toán
-Xây dựng hệ thống bài tập, cách giải cho mỗi dạng toán
-Sử dụng các bài tập này trong việc giảng dạy các tiết học chính khóa và không
chính khóa, cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS
- Đề tài được tiến hành nghiên cứu trên đối tượng học sinh lớp 9
II/ Phương pháp tiến hành
1/ Cơ sở lý luận và thực tiễn
- Trong lý luận về phương pháp dạy học toán ta thấy, trong môn toán sự thống nhất
giữa điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thể thực hiện được bằng cách
quán triệt quan điểm hoạt động. Dạy học theo phương pháp mới phải làm cho người học

chủ động suy nghĩ nhiều hơn trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học.
- Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư duy
quan điểm rằng: dạy toán là phải dạy suy nghĩ, dạy học sinh thành thạo các tư duy phân
tích, tổng hợp, khái quát hóa….Trong đó phân tích, tổng hợp đóng vai trò trung tâm.
Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tòi, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề dự
Giáo Viên: Lê Văn Chung 3 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
đoán được các kết quả, tìm được hướng giải quyết một bài toán, hướng chứng minh một
định lý…
- Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học toán cho
học sinh là 1 quá trình lâu dài, thông qua từng tiết học, nhiều năm học, thông qua tất cả
các khâu của quá trình dạy học.
- Thực tế giảng dạy cho thấy hiện nay, học sinh rất lười tư duy trong quá trình học
tập, vì vậy việc xây dụng 1 phương pháp học tập đúng đắn là hết sức cần thiết. Vì vậy,
việc xây dựng hệ thống bài tập phù hợp, cũng như xây dựng quy trình giải chặt chẽ giúp
học sinh không những nắm vững kiến thức mà còn hoàn thiện kỹ năng và hình thành kỹ
xảo. Điều này hết sức cần thiết, giúp học sinh giải quyết nhanh, đạt kết quả tốt trong quá
trình học tập cũng như trong các kì thi.
2/ Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp
-Nghiên cứu lí thuyết về lí luận dạy học toán học; các sách tham khảo về định lý
vi ét
- Dựa vào thực tiễn giảng dạy nhiều năm của giáo viên, những kinh nghiệm và giải
pháp rút ra từ thực tế giảng dạy ở các lớp 9
-Thời gian thực hiện đề tài: trong 3 năm học. từ năm học 2010-2011 đến năm học
2012-2013
B/ NỘI DUNG
I/ Mục tiêu
- Xây dựng phương pháp giải vận dụng định lý vi ét trong các bài toán liên quan
đến hàm số, cực trị, hệ phương trình
- Xây dụng hệ thống bài tập phù hợp

- Cách sử dụng định lý vi ét trong dạy một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
II/ Mô tả giải pháp của đề tài
2.1 thuyết minh tính mới
Giáo Viên: Lê Văn Chung 4 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
2.1.1 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ET TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ
Bài toán 1:
Cho parabol (P): y=x
2
. Gọi A và B là 2 điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1;2. viết
phương trình đường thẳng AB
Đây là bài toán dễ, hầu hết học sinh và nhiều tài liệu giải như sau:
Vì A
( )P
∈
và x
A
=-1 => y
A
=(-1)
2
=1. vậy A(-1;1)
B
( )P
∈
và x
B
=2 => y
B
=4. Vậy B(2;4)

Phương trình đường thẳng AB cần tìm có dạng y=ax+b nên ta có hệ phương trình
1 1
2 4 2
a b a
a b b
− + = =
 
⇔
 
+ = =
 
Vậy phương trình đường thẳng AB là y=x+2
Nếu suy nghĩ đến định lý viet ta có lời giải “đẹp” như sau:
Phương trình đường thẳng AB có dạng: y=ax+b.
Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là
x
2
=ax+b
⇔
x
2
-ax-b=0 (*)
ta có x
A
=-1

;x
B
=2 là nghiệm của phương trình (*)
Theo công thức định lý vi et ta có:

.
A B
A B
x x a
x x b
+ =


= −

do đó a=1; b=2
Vậy phương trình đường thẳng AB là y=x+2
Bài toán 2:
Cho parabol (P) :
2
4
x
y =
. Điểm A trên (P) có hoành độ là 2. Tìm phương trình đường
thẳng tiếp xúc với (P) tại A
Cũng như bài toán 1, hầu hết học sinh và nhiều tài liệu đều giải như sau:
Vì A
( )P
∈
và x
A
=2 => y
A
=1. vậy A(2;1)
Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y=ax+b(D)

Vì A
( )D
∈
. ta có 2a+b=1 <=> b=1-2a
Giáo Viên: Lê Văn Chung 5 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
Vậy y=ax+1-2a (D)
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là
( )
2 2
2
/ 2
1
1 2 4 4 8 0
4
4 4 8 4 1
x ax a x ax a
a a a
= + − ⇔ − − + =
∆ = + − = −
(D) tiếp xúc với (P)
( )
2
/
0 4 1 0 1 1 2.1 1a a b⇔ ∆ = ⇔ − = ⇔ = => = − = −
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y=x-1
Sau đây là lời giải nếu dùng định lý viet
Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y=ax+b (D)
Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là:
2

2
4 4 0(**)
4
x
ax b x ax b= + ⇔ − − =
x=2 là nghiệm kép của phương trình (**)
Mặt khác theo hệ thức viet ta có
1 2
1 2
4
4
x x a
x x b
+ =


= −

Vì x
1
=x
2
=2
Nên a=1; b=-1
Do đó phương trình đường thẳng cần tìm là y=x-1
Bài Toán 3: Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y=x
2
và đường thẳng
(D): y=mx+1. Xác định m để (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(x
A

; y
B
), B(x
B
;y
B
) và:
a/ (x
A
-1)
2
+(x
B
-1)
2
đạt giá trị nhỏ nhất
b/ Độ dài AB ngắn nhất
Hướng Dẫn
- Trước tiên ta viết phương trình hoành độ giao điểm. Tìm điều kiện để phương trình này
có 2 nghiệm phân biệt=> (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
- Sau đó sử dụng định lý viet
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D):
x
2
=mx+1
2
1 0x mx
⇔ − − =
(*)
Giáo Viên: Lê Văn Chung 6 Năm Học: 2013-2014

SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
2
4 0m
∆ = + >
=> Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt, suy ra (D) và (P) cắt nhau tại 2
điểm phân biệt A(x
A
; y
B
), B(x
B
;y
B
) , trong đó x
A
;x
B
là 2 nghiệm của phương trình (*)
Theo hệ thức vi ét, ta có:
. 1
A B
A B
x x m
x x
+ =


= −

a/ ta có:

( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
2
2
1 1 2 1 2 1
2 . 2 2
2 2 2
1 3 3
A B A A B B
A B A B A B
x x x x x x
x x x x x x
m m
m
− + − = − + + − +
= + − − + +
= + − +
= − + ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m-1=0
⇔
m=1
Vậy Giá trị nhỏ nhất của (x
A
-1)
2
+(x

B
-1)
2
là 3 khi và chỉ khi m=1
b/ Vì A;B
∈
(D)=> y
A
=mx
A
+1; y
B
=mx
B
+1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2
2
2
1
4 . 1
A B A B A B A B
A B
A B A B

AB x x y y x x mx mx
x x m
x x x x m
= − + − = − + −
= − +
 
= + − +
 
=
( ) ( )
2 2
4 1 4.1 2m m+ + ≥ =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m=0
Vậy độ dài AB ngắn nhất là 2 khi và chỉ khi m=0
2.1.2/ ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI ÉT TRONG GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Bài số 1: Cho phương trình x
2
- 2(m-1)x - 3 - m = 0
Tìm m sao cho số nghiệmx
1
;x
2
của phương trình thỏa mãn điều kiện
x
1
2
+ x
2
2
≥ 10

Bài Giải
Xét:
2
, 2 ,
1 15
( 1) ( 3)
2 4
m m m
 
∆ = − + + → ∆ = − +
 ÷
 
> 0 với m
Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Giáo Viên: Lê Văn Chung 7 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
Giáo Viên định hướng theo định lý vi et ta có được những gì?
( )
( )
1 2
1 2
2 1
. 3
x x m
x x m
+ = −


= − +



(I)
Từ x
1
2
+ x
2
2
≥ 10ta biến đổi như thế nào? Để sử dụng được (I) từ đó ta biến đổi như sau:
x
1
2
+ x
2
2
≥ 10

( )
( ) ( )
2
1 2 1 2
2
2
2
2
2 10
4 1 2 3 10
4 6 0
3 9 9
2 16 16

3 9
4 16
3 3
4 4
3 3
3
4 4
2
3 3
0
4 4
x x x x
m m
m m
m m
m
m
m
m
m
m
⇔ + − ≥
 
⇔ − + + ≥
 
⇔ − ≥
⇔ − + ≥
 
⇔ − ≥
 ÷

 
⇔ − ≥

− ≥


≥

⇔ ⇔



≤
− ≤ −



Vậy
0m ≤
hoặc
3
2
m ≥
thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài Tập 2:
Cho x;y;z là các số thực khác 0 thỏa mãn
x+y+z = xyz ; x
2
= yz
Chưng minh rằng : x

2
≥ 3
Gi¶i
GV: Cho học sinh thấy được khi chuyển vế
3
2
2
.
.
y z xyz x
y z x x
y z x
y z x
+ = −

+ = −


⇔
 
=
=



Khi đó bài toán trở thành tìm 2 số biết tổng và tích hai nghiệm của chúng. Từ đó học sinh
định hướng được việc sử dụng định lý vi ét để biến đổi:
Giáo Viên: Lê Văn Chung 8 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
- Theo định lý vi ét thì y; z là nghiệm của phương trình :

u
2
- (x
3
- x)u +x
2
= 0 ⇔ u
2
+ (x-x
3
)u + x
2
= 0 (1)
Xét ∆ = x
2
[(1-x
2
)
2
- 4] (2)
Vì phương trình (1) có nghiệm nên ∆≥ 0
do x ≠ 0 ta có (1- x
2
)
2
- 4 ≥ 0 ⇔ (1- x
2
)
2
≥ 4

⇒ 1-x
2
£-2 ⇔ x
2
≥ 3 (đpcm)
- Nếu bài toán trên giải theo hướng khác thì sẽ phức tạp hơn rất nhiều. Do đó việc sử
dụng định lý vi ét là 1 cách giải hay đối với bài toán này. Các em học sinh qua đó càng
thấy được để giải 1 bài toán chúng ta có nhiều cách giải khác nhau nhưng sử dụng cách
nào cho lời giải ngắn gọn và chính xác.
Bài Tập 3:
Cho
( )
2 2 2
2
1
a b c
A
ab bc ca

+ + =

+ + =


Chứng minh rằng:
4 4
; ;
3 3
a b c
−

≤ ≤
Bài Giải
Coi c là tham số, còn a;b là ẩn thì
( )
( )
( )
2
2
2 2
1
a b ab c
A
c a b ab

+ − = −

⇔

+ + =


Đặt S=a+b ; P=ab, để có a;b thì phải có điều kiện
2
4S P
≥
Ta có
2 2
2 2
1 .
1 .

2 2
2
. 1 2 4 0
P c S
P c S
S P c
S c
c S P S cS c
= −
= −
 
− = −

⇔ ⇔
  
= − ±
+ = + + − =

 
Trường hợp 1: P=1-c.S ; S=-c+2=> P =c
2
-2c+1
Vì
2
4S P
≥
nên (2-c)
2

≥

4.(c
2
-2c+1)
2
4
4 3 0 0
3
c c c⇔ − ≥ ⇔ ≤ ≤
Trường hợp 2: P=1-c.S ; S=-c-2. Tương tự sẽ suy ra được
4
0
3
c
−
≤ ≤
Từ đó suy ra:
4 4
3 3
c
−
≤ ≤
Giáo Viên: Lê Văn Chung 9 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
Do trong hệ (A) vai trò a;b;c là như nhau nên
4 4
; ;
3 3
a b c
−
≤ ≤

Bài Tập 4: Biết rằng rằng các số x;y thỏa mãn điều kiện x+y=2. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức F=x
3
+y
3
Bài Giải
Tìm giá trị của F để hệ sau có nghiệm:
( ) ( )
3
3 3
2
2
3
x y
x y
x y F
x y xy x y F
+ =

+ =


⇔
 
+ =
+ − + =



Đặt S=x+y; P=xy.

Ta có
3
2
2
8
3
6
S
S
F
P
S SP F
=

=


⇔
−
 
=
− =



Vậy x;y là nghiệm của phương trình: t
2
-2t+
8
6

F
−
=0 (*)
x;y tồn tại khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm, tức là:
/
8
0 1 0 2
6
F
F
−
∆ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥
Dấu “=” xảy ra khi x=y=1
Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 2 khi x=y=1
Bài Tập 5
Cho a  0 . Giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình :
2
2
1
0
2
x ax
a
− − =
Chứng minh rằng : x
1

4
+ x
2
4

2 2+
, Dấu Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài Giải
Áp dụng định lý vi ét ta có:
1 2
1 2
2
1
.
2
x x a
x x
a
+ =



= −


Ta có : x
1
4
+ x
2

4
= ( x
1
2
+ x
2
2
)
2
- 2(x
1
x
2
)
2
= {( x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
}
2
- 2(x
1
x

2
)
2
=
2
2 4 4
2 4 4 4
1 1 1 1
2 2 . 2 2 2
2 2 2
a a a
a a a a
   
+ − = + + ≥ + = +
 ÷  ÷
   
Giáo Viên: Lê Văn Chung 10 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
Vậy x
1
4
+ x
2
4

2 2+
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
4 8
8
4

1 1 1
2 2 2
a a a
a
= ⇔ = ⇔ = ±
2.1.3 / SỬ DỤNG CÔNG THỨC VI ÉT ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Trong chương trình toán THCS các bạn học sinh thường lúng túng khi giải hệ phương
trình trong đó có các biểu thức là tổng hoặc tích các ẩn. Bài này trình bày 1 phương pháp
giải hệ phương trình như thế dựa theo công thức vi ét
Nếu phương trính bậc bốn: x
4
+A
1
x
3
+A
2
x
2
+A
3
x+A
4
=0 (1)
có 4 nghiệm x
1
; x
2
; x
3

; x
4
thì có công thức vi ét liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của
phương trình (1) như sau:
-A
1
=x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4

A
2
=x
1
x
2
+x
1
x
3
+x
1
x
4
+x

2
x
3
+x
2
x
4
+x
3
x
4
- A
3
=x
1
x
2
x
3
+x
1
x
2
x
4
+x
1
x
3
x

4
+x
2
x
3
x
4
A
4
=x
1
x
2
x
3
x
4
(2)
Thật vậy vì x
1
; x
2
; x
3
; x
4
là nghiệm của phương trình(1) nên (x-x
1
)(x-x
2

)(x-x
3
)(x-x
4
)=0 (3)
Khai triển vế trái của phương trình (3) và so sánh với phương trình (1) ta có công thức
vi ét (2)
Nói riêng, nếu x
3
=x
4
=0 thì phương trình x
2
+A
1
x+A
2
=0 có 2 nghiệm x
1
; x
2
với công thức
vi ét là x
1
+x
2
=-A
1
; x
1

.x
2
=A
2
(4)
Nếu x
4
=0 thì phương trình x
3
+A
1
x
2
+A
2
x+A
3
=0 có 3 nghiệm x
1
;x
2
;

x
3
với công thức vi ét
là : x
1
+x
2

+x
3
=-A
1
x
1
x
2
+x
1
x
3
+x
2
x
3
= A
2
x
1
x
2
x
3
=-A
3
(5)
Khi gặp hệ phương trình mà vế phải của phương trình là hằng số, còn vế trái có dạng
tổng các lũy thừa của các ẩn, ta có thể coi các ẩn đó là các nghiệm cùa 1 phương trình, rồi
sử dụng định lý vi ét để thiết lập phương trình mới này. Như vậy ta chuyển việc giải hệ n

Giáo Viên: Lê Văn Chung 11 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
phương trình n ẩn về giải 1 phương trình bậc n một ẩn, nếu phương trình bậc n một ẩn
này giải được dễ dàng thì đo chính là nghiệm của hệ n phương trình đã cho
Với hệ phương trình hai ẩn thì phương pháp này rất hiệu quả vì ta đưa về một phương
trình bậc 2 luôn giải được.
Bài toán 1: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số a:
2 2 2
2 1
(6)
2 3
x y a
x y a a
+ = −


+ = + −

Bài Giải
Ta có x
2
+y
2
=(x+y)
2
-2xy =
2
1 2
2A A
−

. Theo công thức vi ét (4). Ta tính được A
1
=1-2a và
2A
2
=(1-2a)
2
– (a
2
+2a-3) =3a
2
-6a +4. Từ đó x;y là nghiệm của phương trình
x
2
+A
1
x+A
2
=0 hay
( )
2 2
2
3
1 2 3 2 0
2
2 8 7
x a x a a
a a
+ − + − + =
∆ = − + −

(7)
Từ đó :
+/ Nếu
2
2
2
a < −
hoặc
2
2
2
a
> +
thì
0∆ <
nên phương trình (7) vô nghiệm => hệ (6) vô
nghiệm.
+/ Nếu
2 3 2
2
2 2
a x y
−
= − => = =
+/ Nếu
2 3 2
2
2 2
a x y
+

= + => = =
+/ Nếu
2 2
2 2
2 2
a− < < +
=>
0∆ >
=> Phương trình (7) có 2 nghiệm phân biệt => hệ (6)
có nghiệm (x;y) là
2 1 2 1
; .
2 2
2 1 2 1
; .
2 2
a a
a a
 
− − ∆ − + ∆
 ÷
 ÷
 
 
− + ∆ − − ∆
 ÷
 ÷
 
Giáo Viên: Lê Văn Chung 12 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9

Khi hệ phương trình có 3 hoặc 4 ẩn thì chuyển về giải phương trình một ẩn bậc 3 hoặc
bậc 4, nếu phương trình này có dạng đặc biệt thì ta tìm được nghiệm của nó
Bài Toán 2: Giải hệ phương trình sau:
2 2 2
3 3 3
3
21
57
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ + =


+ + =

(7)
Bài giải
Coi x;y;z là 3 nghiệmx
1
;x
2
;x
3
của phương trình bậc 3. Theo công thức vi et (5) ta có
S
1

=x
1
+x
2
+x
3
=3 =-A
1
=> A
1
=-3
Ta có
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 1 2 3 1 2 2 1 2 1 3 2 3 1 2
2
2 1 2
2
2 2
2 9 21 12
6
S x x x x x x x x x x x x A A
A A S
A
= + + = + + − + + = −
=> = − = − = −
=> = −
Ta có S
3

=
( )
( )
( )
3 3 3
3 1 2 3
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
3
1 2 2 3 1 1 2 3
3
3
. 3
3 3 3
3 57 27 54 24
8
S x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
A S A A A A A A
A
A
= + +
= + + + + − − − +
= − − − = − + −
=> = − + + =
=> =
Như vậy x
1
;x
2

;x
3
là nghiệm của phương trình
x
3
- 3x
2
-6x+8=0. Dễ dàng thấy được phương trình này có nghiệm x
1
=1, suy ra x
2
=-2; x
3
=4
Vậy hệ (7) có nghiệm (x;y;z ) là (1;-2;4) và các hoán vị của chúng
Bài Toán 3 : Giải hệ phương trình sau:
2 2 2
7 7 7
0
10
350
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ + =



+ + =

(8)
Bài giải
Coi x;y;z là 3 nghiệmx
1
;x
2
;x
3
của phương trình bậc 3. Theo công thức vi et (5) ta có
S
1
=x
1
+x
2
+x
3
=0=-A
1
=> A
1
=0
Tương tự lời giải bài toán 2. từ phương trình (2) của hệ (8) ta có
Giáo Viên: Lê Văn Chung 13 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
2 2 2 2
2 1 2 3 1 2
2

2 1 2
10 2
2 10
S x x x A A
A A S
= + + = = −
=> = − = −
=> A
2
=-5 (9)
Tính
( )
( )
( )
3 3 3
3 1 2 3
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
3
1 2 2 3 1 1 2 3
. 3
3 3 3
S x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
A S A A A A A A
= + +
= + + + + − − − +
= − − − = − + −
=>S
3

=-3A
3
(10)
Đặt
1 2 3
n n n
n
S x x x= + +
. Khai triển
( )
( )
2 2 2
1 2 3 1 2 3
0
n n n
x x x x x x
+ + +
+ + + + =
. Ta được
- S
n+3
=S
n+1
A
2
+S
n
.A
3
với

1n ≥
(11)
Từ (11); (9) và phương trình 2 của hệ (8) ta có
- S
4
=S
2
A
2
+S
1
.A
3
=-50 (12)
Từ (11); (9); (10) ta có
- S
5
=S
3
.A
2
+S
2
.A
3
= 25A
3

(13)
Từ (11); (12); (13) ta có:

- S
7
= S
5
.A
2
+S
4
.A
3
=175 A
3
. từ đó => A
3
=-2
Vậy x;y;z là nghiệm của phương trình: x
3
– 5x-2 =0
⇔
(x+2)(x
2
-2x-1)=0
Phương trình này có 3 nghiệm
1 2 3
2; 1 2; 1 2x x x= − = − = +
Vậy nghiệm (x;y;z) của hệ phương trình (8) là (
2;1 2;1 2
− − +
)
2.1.4/ Bài Tập Tự Luyện

Bài tập 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y=-x
2
và đường thẳng (d) đi qua điểm I(0;-1) và
có hệ số góc k
a/ Viết phương trình dường thẳng (d). Chứng minh rằng vơi mọi giá trị của k, (d) luôn cắt (P) tại
2 điểm phân biệt A và B.
b/Gọi hoành độ của A;B là x
1
; x
2
. Chứng minh rằng
1 2
2x x
− ≥
Giáo Viên: Lê Văn Chung 14 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
c/ Chứng minh rằng tam giác OAB vuông
Bài Tập 2:
cho (P): y=x
2
; đường thẳng (d): y=mx+2. Gọi A;B là giao điểm của (P) và (d). Tìm m để
đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất
Bài Tập 3:
Cho hệ phương trình
a/ Giải hệ phương trình khi m=-10
b/ Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài tập 4: Giải hệ phương trình
1
1 1 1 1

5
4
xyzt
x y z t
x y z t
xy yz zt tx

=


+ + + = + + + =



+ + + =

Bài tập 5: Giải hệ phương trình
2 2 2
6
18
4
x y z
x y z
x y z

+ + =

+ + =



+ + =

Bài Tập 6: cho x;y thỏa mãn x
2
+y
2
=xy-x+2y. Chứng minh rằng:
2 3 2 3
3 3
x
−
≤ ≤
Bài Tập 7:
a/ Giả sử x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình x
2
+2kx+4=0
Tìm tất của các giá trị của k thỏa mãn:
2 2
1 2
2 1
3
x x
x x
   
+ ≥
 ÷  ÷

   
Bài tập 8:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): 2x-y-a
2
=0 và parapol (P): y=ax
2
(với a
là tham số dương)
a/ Tìm a để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B. Chứng minh rằng khi đó A;B nằm về
bên phải trục tung
b/ Gọi u;v theo thứ tự là hoành độ của A;B. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giáo Viên: Lê Văn Chung 15 Năm Học: 2013-2014
( )
( )
2
2 2
2 2
13 6x y x y
xy x y m

+ + =


+ =


SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
4 1
T
u v uv

= +
+
Bài tập 9:
Tìm m để đồ thị hàm số y=x
2
-2(m+1)x +4 cắt trục hoành tại 2 điểm A;B phân biệt và
trục Oy sao cho S
ABC
=2014 (đvdt)
2.2/ Khả năng áp dụng
-Trong thời gian nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu trên các tập
thể lớp đã nêu trên. Kết quả cho thấy, việc sử dụng định lý vi ét như xây dựng như trên
trong tiết dạy và các hoạt động khác làm cho học sinh học tập tích cực hơn, không khí lớp
học sôi nổi, kết quả các bài kiểm tra đạt chất lượng cao hơn.
-Toán học là một trong những môn khoa học tự nhiên nên việc sử dụng và giải bài
tập một cách có hệ thống trở thành công việc thường xuyên của giáo viên và học sinh. Do
đó, việc vận dụng định lý vi ét một cách linh hoạt có thể giải quyết được bài tập 1 cách
ngắn gọn và dễ dàng. Sử dụng định lý viet để xây dựng hệ thống bài tập logic chặt chẽ để
bồi dưỡng học sinh giỏi
Kết quả khi thực hiện đề tài của học sinh lớp 9 trong 3 năm học như sau: (khi cho làm
khảo sát các nội dung trên)
Năm học: 2010-2011 Năm học: 2011-2012 Năm học: 2012-2013
20/70 28/70 36/70
2.3/ Lợi ích kinh tế - Xã hội.
Thực trạng hiện nay, việc xây dựng và sử dụng định lý vi ét để tìm ra phương pháp
giải nhanh cho 1 số bài toán, cũng như sử dụng định lý này để xây dựng hệ thống bài tập
bồi dưỡng HSG trong quá trình giảng dạy của giáo viên chưa thương xuyên và chưa trở
thành một trong những phương pháp dạy học tích cực. Đề tài này góp phần là một trong
những phương pháp hiệu quả giúp phát triển tư duy học sinh, tích cực thay đổi phương
pháp dạy học của giáo viên đáp ứng yêu cầu của sự đổi mới giáo dục.

C/ KẾT LUẬN
1. Đã xây dựng được phương pháp sử dụng định lý vi ét cho 3 dạng bài tập: bài tập liên
quan đến hàm số; bài tập cực trị; bài tập giải hệ phương trình
2. Đã xây dựng hệ thống bài tập để giảng dạy và học sinh tự luyện.
Giáo Viên: Lê Văn Chung 16 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
3. Đã nêu được các phương pháp và hình thức vận dụng bài tập vận dụng định lý vi ét
trong quá trình dạy học để đạt hiệu quả cao nhất.
Đề tài có tính thực tiễn rất cao, có thể được áp dụng ở tất cả các hoạt động dạy học
của giáo viên, nhất là các tiết học luyện tập, ôn tập. Vấn đề quan trọng là giáo viên phải
chuẩn bị tốt hệ thống bài tập và các cách giải có thể có; chuẩn bị tốt các hoạt động trong
tiết học ắt sẽ đạt kết quả tốt nhất.
Hệ thống bài tập là phương tiện để học sinh vận dụng kiến thức đã học vào thực tế
đời sống, củng cố, mở rộng, hệ thống hoá kiến thức, rèn luyện kĩ năng, khả năng sáng tạo,
đồng thời để kiểm tra kiến thức, kĩ năng cũng như giáo dục rèn luyện tính kiên nhẫn, tác
phong làm việc sáng tạo. Tuy nhiên, muốn phát huy được hết các tác dụng của hệ thống bài
tập trong quá trình dạy học, mỗi giáo viên không những cần thường xuyên học tập, tích luỹ
kinh nghiệm, nâng cao trình độ chuyên môn mà còn cần tìm tòi, cập nhật những phương
pháp dạy học mới phù hợp với xu thế phát triển giáo dục trên thế giới, hoà nhịp với sự phát
triển của xã hội.
Việc nghiên cứu chỉ thực hiện trên các lớp 9 đang giảng dạy trong 3 năm học bước
đầu mang lại hiệu quả nhưng chưa đánh giá toàn diện các tác động tích cực cũng như
những khó khăn phát sinh. Hi vọng trong thời gian tới, đề tài này tiếp tục nghiên cứu sâu
hơn, tìm ra phương pháp tốt nhất nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nói chung.
Trên đây là một số giải pháp và kinh nghiệm được rút ra từ thực tiễn khi giảng dạy
bộ môn toán. Trong quá trình trình bày sẽ còn một số thiếu sót kính mong quý thầy cô
đóng góp để đề tài được hoàn thiện hơn
Tôi xin cam đoan đây là đề tài tôi tự viết với kinh nghiệm trong quá trình giảng
dạy. nếu sai sự thật tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm
Xin chân thành cảm ơn

Hoài Hương, Ngày 27 tháng 02 năm 2014
Người thực hiện
Giáo Viên: Lê Văn Chung 17 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
Lê Văn Chung
Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
TRƯỜNG THCS HOÀI HƯƠNG
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Tuyển chọn theo chuyên đề toán học và tuổi trẻ (quyển 2), nhà xuất bản giáo dục
2/ TS Bùi Quang Trường: Những dạng toán điển hình phương trình, bất phương trình, bất
đẳng thức đại số, nhà xuất bản Hà Nội
3/ Nguyễn Đức Tấn - Vũ Đức Đoàn – Trần Đức Long: Chuyên đề bồi dưỡng HSG toán
THCS: Phương trình bậc hai và một số ứng dụng, nhà xuất bản giáo dục việt nam
4/ Vũ Hữu Bình: Nâng cao và phát triển toán 9 tập 2, nhà xuất bản giáo dục việt nam
5/ Nguyễn Văn Vĩnh – Nguyễn Đức Đồng: 1001 bài toán sơ cấp, nhà xuất bản giáo dục
việt nam
Giáo Viên: Lê Văn Chung 18 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
MỤC LỤC
Trang
A. MỞ ĐẦU……………………………………………………………… 2
I. ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………………………………. 2
1. Thực trạng của vấn đề…………………………………………………. 2
2. Ý nghĩa và tác dụng của đề tài………………………………………… 3
3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài………………………………………… 3
II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH………………………………………. 3
1. Cơ sở lí luận và thực tiễn……………………………………………… 3
2. Các biện pháp tiến hành, thời gian thực hiện đề tài…………………… 4
B. NỘI DUNG……………………………………………………….…… 4
I. MỤC TIÊU…………………………………………………………… 4

II. GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI……………………………………………. 4
2.1 thuyết minh tính mới …………………………………………………… 4
2.1.1 Ứng dụng định lý vi et trong việc giải bài toán Về hàm số……………4
2.1.2/ Ứng dụng hệ thức vi ét trong giải bài toán cực trị ……………….……7
2.1.3 ứng dụng công thức vi ét để giải hệ phương trình……………… ……11
2.1.4 Bài tập tự luyện………………………………………………….………14
2.2. Khả năng áp dụng……………………………………………………… 15
Giáo Viên: Lê Văn Chung 19 Năm Học: 2013-2014
SKKN: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
2.3. Lợi ích kinh tế- xã hội…………………………………….…………… 16
KẾT LUẬN………………………………………………………….…… 16
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………….……18
MỤC LỤC………………………………………………………………… 19
Giáo Viên: Lê Văn Chung 20 Năm Học: 2013-2014