SKKN ứng dụng định lý vi-ét

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN – TIN
-----------

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
VỀ NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM

Tên đề tài:

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẬC HAI

Người hướng dẫn: PGS, TS. Nguyễn Doãn Tuấn
Cán bộ Khoa Toán – Tin – ĐHSP Hà Nội
Người thực hiện: Phạm Thị Diệu Linh
Ngày sinh: 20 – 08 – 1986

PHÚ THỌ - 2010
0


PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
- Phương trình bậc hai và Định lí Vi–ét học sinh được học trong chương
trình Đại số 9 bậc THCS đặc biệt Định lí Vi-ét có ứng dụng rất phong phú trong
việc giải các bài toán bậc hai như: nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm
hai số biết tổng và tích của chúng, lập phương trình bậc hai có các nghiệm cho
trước, tìm mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai….
Tuy nhiên, trong sách giáo khoa chỉ trình bày một số ứng dụng cơ bản với thời
lượng chưa nhiều.
- Với các bài tập có liên quan đến Định lí Vi-ét và phương trình bậc hai

phần lớn học sinh vận dụng kiến thức chậm hoặc không biết làm thế nào để xuất
hiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm với các yếu tố đã biết để giải bài tập.
- Đối với học sinh khá giỏi thì các dạng bài tập về Phương trình bậc hai
trong SGK thường chưa làm các em thoả mãn vì tính ham học, muốn khám phá
tri thức mới của mình.
- Hiện nay, trong kì thi vào lớp 10 THPT các bài toán có ứng dụng Định
lí Vi-ét khá phổ biến.
Xét trên thực tế qua những năm giảng dạy lớp 9 tôi nhận thấy nhu cầu
học tập của học sinh, muốn được tiếp thu các kiến thức bổ trợ để có thể vận
dụng vào việc giải các bài tập trong các kì thi cấp THCS, kì thi vào THPT hoặc
một số trường, lớp chất lượng cao là rất cần thiết. Vì vậy tôi mạnh dạn thực hiện
đề tài nghiên cứu:
“ Ứng dụng Định lí Vi-ét để giải bài toán bậc hai ”
2. Mục đích nghiên cứu
- Góp phần nâng cao chất lượng dạy học Trung học cơ sở.
- Giúp học sinh nắm vững kiến thức về phương trình bậc hai và định lí
Vi-et, làm tốt các dạng bài tập liên quan đến hệ thức Vi–ét
- Giúp học sinh biết phân tích các điều kiện đề bài cho, xác định rõ yêu
cầu để có hướng giải đúng.
1


- Trên cơ sở nắm vững kiến thức học sinh có thế tự tin giải bài tập nhanh
hơn, có hiệu quả cao.
- Phát huy tư duy lô gic, tính tích cực, độc lập, sáng tạo và biết tự bổ
xung cho mình những kiến thức mà trước đó các em chưa nắm chắc.
- Đáp ứng nguyện vọng của học sinh trong việc nâng cao kiến thức, làm
các dạng bài tập khác liên quan.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu nội dung dạy học các ứng dụng của định lí Vi–ét trong các

bài toán bậc hai.
- Tìm hiểu mạch kiến thức về định lí Vi–ét và ứng dụng.
- Điều tra về thực trạng:
+ Thường xuyên nghiên cứu các dạng bài tập liên quan đến định lí
Vi–et trong SGK, SBT và các sách nâng cao.
+ Thường xuyên kiểm tra , đánh giá để nhận sự phản hồi của học sinh
từ đó nhận ra ưu điểm, những khuyết điểm, tồn tại mà học sinh hay mắc phải để
có hướng khắc phục, tìm ra phương pháp phù hợp nhằm nâng cao chất lượng
dạy học.
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
Tôi thực hiện đề tài nghiên cứu này tại trường Trung học cơ sở thị trấn
Thanh Ba 1- huyện Thanh Ba - tỉnh Phú Thọ.
Đối tượng nghiên cứu: học sinh khá giỏi lớp 9A1, 9A2
Phạm vi: 8 học sinh
Mức độ: các bài tập cơ bản và nâng cao
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp thực nghiệm sư phạm

2


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
- Kiến thức cơ bản của chương IV: “ Hàm số y=ax 2 (a  0) - Phương trình
bậc hai một ẩn ” ở sách giáo khoa Toán 9.
- Kiến thức nâng cao ở một số sách tham khảo Toán 9
- Phương pháp giải các dạng toán cơ bản và nâng cao.
- Phân tích các dạng toán, tìm phương pháp giải và lựa chọn phương
pháp phù hợp với trình độ học sinh.

- Giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, khám phá tri thức mới.
- Giúp học sinh phát triển khả năng tư duy, năng lực học Toán.
THỰC TRANG VIỆC DẠY VÀ HỌC Ở ĐỊA PHƯƠNG:

* Thuận lợi:
- Được sự quan tâm , tạo điều kiện của Ban Giám Hiệu nhà trường, sự
đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp qua các bài dạy trên lớp.
- Một số học sinh có ý thức học tập tốt, tích cực tham gia đóng góp ý
kiến xây dựng bài, có tinh thần hoam học hỏi để khám phá tri thức mới.
- Giáo viên có tinh thần, trách nhiệm, có ý thức học tập, bồi dưỡng
chuyên môn nghiệp vụ để nâng cao trình độ, tay nghề.
* Khó khăn:
- Trường THCS Thị trấn Thanh Ba 1 là một trong những trường trên địa
bàn Thị trấn Thanh Ba. Tuy nhiên, do số lượng trường THCS trong thị trấn
nhiều nên khả năng thu hút học sinh chưa cao, đặc biệt là học sinh khá giỏi
- Phần lớn học sinh là con em gia đình làm nghề nông nên nhận thức về
việc học tập còn hạn chế. Đồng thời, thời gian dành cho việc học tập của các em
chưa nhiều.
- Khả năng nhận thức Toán học của một số học sinh còn chậm.

3


- Nội dung Ứng dụng Định lí Vi-ét để giải bài toán bậc hai rất đa dạng
và tương đối khó với học sinh. Mặt khác, nội dung này đòi hỏi học sinh phải
nắm vững các kiến thức liên quan như: phương trình, hằng đẳng thức, bất đẳng
thức, biến đổi biểu thức đại số…Trong khi đó, rất nhiều học sinh không nắm
vững kiến thức đã học nên việc vận dụng vào các dạng bài tập là rất khó khăn.

CHƯƠNG II: CÁC BIỆN PHÁP ( GIẢI PHÁP ) SƯ PHẠM

CẦN THỰC HIỆN ĐỂ GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG
DẠY HỌC NỘI DUNG
I. Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm
- Tìm hiểu sự ham mê học Toán của học sinh khối 9.
- Kiểm tra kiến thức và đánh giá kĩ năng vận dụng Định lí Vi-et vào các
bài toán bậc hai của các học sinh đã chọn.
II. Biện pháp 2: Dạy học theo các dạng bài tập
- Tái hiện các kiến thức cơ bản trong SGK về Định lí Vi-et và ứng dụng
của Định lí Vi-et:
 Định lí Vi-ét
NÕu x1 , x2 là hai nghiÖm của ph­¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 ( a  0 )
th×

x1  x2  

c
b
vµ x1.x2 
a
a

 TÝnh nhÈm nghiÖm:
NÕu a + b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 ( a  0 ) cã c¸c nghiÖm
lµ

x 1  1, x 2 

c
a

NÕu a - b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 ( a  0 ) cã c¸c nghiÖm
lµ x1  1, x2  

c
a

 T×m 2 sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng:
NÕu hai sè cã tæng bằng S vµ tÝch bằng P th× hai số đó lµ hai nghiÖm
4


cña ph­¬ng tr×nh:

x 2  Sx  P  0

Điều kiện để có hai số đó là S 2  4P  0
- Hướng dẫn và lưu ý cho học sinh các bài toán có chứa tham số và phân
loại các dạng bài tập nhất là các bài toán có thể đưa về bài toán bậc hai quen
thuộc đối với học sinh.
- Phân tích nhận biết các dấu hiệu chung, nhận biết các tính chất để làm
xuất hiện các hệ thức có chứa các dấu hiệu cần tìm.
- Trong quá trình tìm tòi và giải bài tập tôi đã hướng dẫn và phân loại
cho các em một số dạng bài tập có ứng dụng Định lí Vi-et như:
1. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
1.1. Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc – 1
Cách làm: Xét tổng a + b + c hoặc a – b + c
Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 3x 2  8 x  11  0

b) 2 x 2  5x  3  0

Giải:
a) Ta có: a  b  c  3  8  (11)  0 nên phương trình có một nghiệm là
x1  1 , nghiệm còn lại là x 2  

c 11

a 3

b) Ta có: a  b  c  2  5  3  0 nên phương trình có một nghiệm là x1  1,
nghiệm còn lại là x 2 

c 3

a 2

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình:
a) 5x 2  24 x  19  0 b) x 2  (m  5) x  m  4  0
1.2. Cho phương trình bậc hai, có một hệ số chưa biết, cho trước một
nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình:
Ví dụ 2:
a) Phương trình x 2  2 px  5  0 có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm
còn lại của phương trình

5


b)Phương trình x 2  5 x  q  0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm
còn lại của phương trình

b) Phương trình x 2  7 x  q  0 biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và
hai nghiệm của phương trình
c) Phương trình x 2  qx  50  0 có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp
đôi nghiệm kia, tìm q và hai nghiệm đó
Phân tích:
- Câu a và b ta làm như sau:
+ Thay giá trị nghiệm vào phương trình để tìm hệ số p hoặc q
+ Áp dụng định lí Vi-et viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm (tổng hoặc tích
hai nghiệm) để tính nghiệm còn lại
Giải:
a) Thay x1  2 vào phương trình ta được 4  4 p  5  0
 9  4p  0  p 

9
4

9
2

Phương trình đã cho trở thành x 2  x  5  0
Từ x1 x2  5  x2 

5 5
9
9
9
5
 ( hoặc x1  x 2   x2   x1   2  )
x1 2
2

2
2
2

Câu b tương tự
- Câu c và d: vì vai trò của hai nghiệm là như nhau nên ta làm như sau:
+ Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm theo đề bài kết hợp với một hệ thức
của Định lí Vi-et để tìm các nghiệm đó
+ Tìm hệ số chưa biết
Giải: Giả sử hai nghiệm của phương trình là x1 , x2 có vai trò như nhau
c) Theo đề bài ta có x1  x2  11
Theo định lí Vi-et ta có x1  x 2  7
 x1  x 2  11
ta được x1  9, x 2  2
 x1  x 2  7

Giải hệ phương trình 
q = x1 x2  9(2)  18

6


d) Ta có x1  2x 2 . Theo định lí Vi-et ta có
x  5
2
2
x1 x2  50  2 x2  50  x2  25   2
 x 2  5

Với x 2  5 thì x1  10 , q  x1  x2 = 10 + 5 = 15

Với x 2  5 thì x1  10 , q  x1  x2 = (- 10) + (- 5) = - 15
Bài tập áp dụng:
Bài 2: Xác định m và tìm nghiệm còn lại của phương trình
a) x 2  mx  35  0 biết một nghiệm bằng – 5
b) 2 x 2  (m  4) x  m  0 biết một nghiệm bằng – 3
c) mx 2  2(m  2) x  m  3  0 biết một nghiệm bằng 3
2. Lập Phương trình bậc hai
2.1.Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm
Ví dụ 3: Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2
Giải:
S  x1  x 2  3  2  5
 P  x1 x 2  3.2  6

Theo Định lí Vi-et ta có 

2

Vậy 3 và 2 là hai nghiệm của phương trình: x  Sx  P  0
hay x 2  5x  6
Bài tập áp dụng:
Bài 3: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:
a) 8 và -3

b) 36 và – 104

c) 1  2 và 1  2

d) 2  3 và

1

2 3

2.2.Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa
hai nghiệm của một phương trình cho trước
Ví dụ 4:
Cho phương trình x 2  3x  2  0 có hai nghiệm x1 ; x2 .
Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1  x2 

7

1
1
; y 2  x1 
x1
x2


- Nhận xét: bài toán dạng này có hai các giải:
Cách 1:
+ Tính trực tiếp y1 ; y 2 bằng cách: Tìm nghiệm x1 ; x2 của phương trình đã cho rồi
thay vào biểu thức tính y1 ; y 2
Phương trình x 2  3x  2  0 có a  b  c  1  (3)  2  0 nên phương trình có
hai nghiệm là x1  1; x 2  2
Ta có y1  x 2 

1
1
1
1 3
 2   3; y 2  x1 

 1 
x1
1
x2
2 2

+ Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm y1 ; y 2 (dạng 2.1)
3 9

2 2
3 9
P  y1 y 2  3. 
2 2

S  y1  y 2  3 

9
2

9
2

Phương trình cần lập có dạng: y 2  Sy  P  0 hay y 2  y   0
( hoặc 2 y 2  9 y  9  0 )
Cách 2:
Không tính y1 ; y 2 mà áp dụng Định lí Vi-et tính S  y1  y 2 ; P  y1 y 2 sau đó lập
phương trình bậc hai có các nghiệm là y1 ; y 2
Theo Định lí Vi-et ta có:
1
x  x2

1
1
1
3 9
 x1 
 ( x1  x2 )      ( x1  x2 )  1
 3 
x1
x2
x1 x 2
2 2
 x1 x2 
1
1
1
1 9
( x2  ).( x1  )  x1 x 2  1  1 
 2 11 
x1
x2
x1 x 2
2 2
S  y1  y 2  x 2 

9
2

9
2

Phương trình cần lập có dạng: y 2  Sy  P  0 hay y 2  y   0
( hoặc 2 y 2  9 y  9  0 )
* Lưu ý:
Có những bài toán với nội dung như trên nhưng phương trình ban đầu
không nhẩm được nghiệm dễ dàng hoặc có nghiệm vô tỉ thì việc tính các nghiệm
x1 ; x2 rồi tính y1 ; y 2 sẽ phức tạp hơn

8


Ví dụ 5:
Cho phương trình 3x 2  5x  6  0 có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương
trình bậc hai có các nghiệm y1  x1 

1
1
; y2  x2 
x2
x1

Nhận xét:
- Nếu làm theo Cách 1: Phương trình 3x 2  5x  6  0 có   5 2  4.3.(6)  97
nên có hai nghiệm vô tỉ là:
x1 

 5  97
 5  97
;x 2 
6
6

Việc tính y1 ; y 2 , S, P cũng phức tạp và mất nhiều thời gian
y1  x1 

1
6
1
6

; y 2  x2  
x 2 5  97
x1 5  97

5
1
S  y1  y 2   ; P  y1 y 2  
6
2
5
6

1
2

Phương trình cần lập: y 2  Sy  P  0 hay y 2  y   0
( hay 6 y 2  5 y  3  0 )
- Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm x1 ; x2 là hữu tỉ
do đó nên chọn Cách 2 để việc tính toán đơn giản và nhanh hơn, cụ thể:
Theo Định lí Vi-et, ta có:
5

1
x  x2
1
1
1
5
5
S  y1  y 2  x1 
 x2   ( x1  x 2 )      ( x1  x 2 )  1
  3 
x2
x1
x1 x 2
3 2
6
 x1 x2 


P  y1 y 2  ( x1 

1
1
1
1
1
).( x2  )  x1 x2  1  1 
 2  1  1 

x2
x1

x1 x2
2
2
5
6

1
2

Phương trình cần lập: y 2  Sy  P  0 hay y 2  y   0 (hay 6 y 2  5 y  3  0 )
Bài tập áp dụng:
Bài 4 :
Cho phương trình x 2  5x  1  0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương trình bậc
hai có các nghiệm y1  x14 ; y 2  x2 4
9


Bài 5 : Cho phương trình x 2  2 x  8  0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương
trình bậc hai có các nghiệm y1  x1  3; y 2  x 2  3
Bài 6 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm
của phương trình x 2  mx  2
Bài 7 : Cho phương trình x 2  2 x  m 2  0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương
trình bậc hai có các nghiệm y1  2 x1  1; y 2  2 x 2  1
Bài 8 : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn
 x1  x 2  2
 3
3
 x1  x 2  26

Hướng dẫn: - Giải hệ phương trình tìm x1 ; x2

- Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x2 tìm được
3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Ví dụ 6: Tìm hai số a và b biết S = a + b = - 3, P = ab = - 4
Giải:
Hai số a và b là nghiệm của phương trình x 2  3x  4  0
Giải phương trình trên ta được x 1  1; x 2  4
Vậy nếu a = 1 thì b = - 4; nếu a = - 4 thì b = 1
* Lưu ý: không phải lúc nào ta cũng tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài
Ví dụ 7: Tìm hai số a và b biết S = a + b = 3, P = ab = 6
Giải:
Hai số a và b là nghiệm của phương trình x 2  3x  6  0
  3 2  4.1.6  9  24  15  0

Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn đề bài
* Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay
S 2  4 P  3 2  4.6  9  24  15  0 nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn yêu

cầu đề bài mà chưa cần lập phương trình
Bài tập áp dụng:
Bài 9 : Tìm hai số biết tổng S = 9 và tích P = 20
Bài 10: Tìm hai số x, y biết:
10


a) x + y = 11; xy = 28

b) x – y = 5; xy = 66

Bài 11: Tìm hai số x, y biết: x 2  y 2  25; xy  12
4. Dạng toán về biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

* Cách biến đổi một số biểu thức thường gặp:
x12  x 2 2  ( x1 2  2 x1 x 2  x 2 2 )  2 x1 x 2  ( x1  x 2 ) 2  2 x1 x 2
x13  x 2 3  ( x1  x 2 )( x1 2  x1 x 2  x 2 2 )  ( x1  x 2 )  ( x1  x 2 ) 2  3 x1 x 2 
x14  x 2 4  ( x1 2 ) 2  ( x 2 2 ) 2  ( x1 2  x 2 2 ) 2  2 x12 x 2 2  [( x1  x 2 ) 2  2 x1 x 2 ]  2 x1 2 x 2 2
1
1
x  x2

 1
x1 x 2
x1 x 2
...........
Và tương tự học sinh có thể biến đổi được nhiều biểu thức theo S  x1  x2 ; P  x1 x2

4.1 . Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm
Với dạng toán này ta không giải phương trình để tìm nghiệm mà biến đổi biểu
thức cần tính giá trị theo tổng và tích các nghiệm, sau đó áp dụng Định lí Vi-et
để tính
Ví dụ 8: Cho phương trình x 2  8 x  15  0 có hai nghiệm x1; x2 hãy tính
a) x12  x2 2

b)

1 1

x1 x2

c)

x1 x2


x2 x1

Giải:
b
a

c
a

Ta có x1  x2    8; x1 x2   15
a) x12  x 2 2  ( x1  x 2 ) 2  2 x1 x 2  8 2  2.15  64  30  34
b)

1
1
x  x2
8

 1

x1 x 2
x1 x 2
15

c)

x1 x2 x12  x2 2 34
 


x2 x1
x1 x2
15

Nhận xét: Với dạng bài này ta không cần giải phương trình để tìm các nghiệm
Bài tập áp dụng:
Bài 12 : Cho phương trình 8 x 2  72 x  64  0 có hai nghiệm x1; x2 hãy tính
a) x12  x2 2

b)

1 1

x1 x2

11


Bài 13 : Cho phương trình x 2  14 x  29  0 có hai nghiệm x1; x2 hãy tính
a) x13  x23

b)

1  x1 1  x2

x1
x2

4.2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ
thuộc tham số

Ta lần lượt làm theo các bước sau:
+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x1; x2 ( a  0;   0 )
+ Viết hệ thức S  x1  x2 ; P  x1 x2
Nếu S và P không chứa tham số thì ta có hệ thức cần tìm
Nếu S và P chứa tham số thì khử tham số từ S và P sau đó đồng nhất
các vế ta được hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số.
Ví dụ 9: Cho Phương trình mx 2  (2m  3) x  m  4  0 ( m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m
Giải:
a) Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì
m  0
a  0
m  0




9


0
28
m

9

0



m   28
2m  3
3

 x1  x2  m  2  m (1)
b) Theo định lí Vi-et ta có: 
 x x  m  4  1  4 (2)
 1 2
m
m

3
12
 x1  x2  2 
 4( x1  x2 )  8(3)
m
m
4
12
(2)   1  x1 x2 
 3  3x1 x2 (4)
m
m
(1) 

Từ (3) và (4) ta được: 4( x1  x2 )  8  3  3x1 x2 hay 4( x1  x2 )  3x1 x2  11
Ví dụ 10: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình (m  1) x 2  2mx  m  4  0
Chứng minh biểu thức A  3( x1  x2 )  2 x1 x2  8 không phụ thuộc giá trị của m

12

Nhận xét:
Bài toán này cho trước biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình
nhưng về nội dung không khác Ví dụ 9. Khi làm bài cần lưu ý:
+ Ta vẫn tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
+ Biểu thức A có giá trị là một số xác định với mọi m thỏa mãn điều kiện
Cụ thể:
Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì
m  1
a  0
m 1  0




4
  0
5m  4  0
 m  5
2m

 x1  x2  m  1
Theo định lí Vi-et ta có: 
x x  m  4
 1 2 m  1

Thay vào A ta được: A  3( x1  x2 )  2 x1 x2  8 = 3.

2m

m4
0
 2.
8 
0
m 1
m 1
m 1

Vậy A  3( x1  x2 )  2 x1 x2  8 = 0 với m  1 và m 

4
5

hay biểu thức A không phụ thuộc vào m
Bài tập áp dụng:
Bài 12 : Cho phương trình x 2  (m  2) x  2m  1  0 có hai nghiệm x1; x2 . Hãy lập
hệ thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho chúng độc lập (không phụ thuộc) với m
Bài 13: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)
Cho phương trình x 2  2(m  1) x  m 2  1  0(1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 7
b) Tìm tất cả các giá trị m để (1) có nghiệm
c) Tìm hệ thức kiên hệ giữa hai nghiệm x1; x2 của (1) sao cho hệ thức đó
không phụ thuộc tham số m
4.3. Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước
Cách làm:
+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm x1; x2
13

+ Từ biểu thức chứa nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương
trình tìm m
+ Đối chiếu với điều kiện để xác định m
Ví dụ 11: Cho phương trình mx 2  6(m  1) x  9(m  3)  0 Tìm giá trị của tham số
m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1  x2  x1 x2
Giải:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2
a  0
m  0
m  0



 '  0
9( m  1)  0
 m  1

6(m  1)

 x1  x2  m
Theo định lí Vi-et ta có: 
 x x  9(m  3)
 1 2
m

Từ x1  x2  x1 x2 

6( m  1) 9( m  3)

m

m

 6 m  6  9 m  27  3m  21  m  7 (TMĐK)

Vậy với m = 7 thì phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  x1 x2
Ví dụ 12: Cho phương trình mx 2  2(m  4) x  m  7  0 . Tìm giá trị của tham số m
để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1  2 x2  0
Nhận xét:
Ví dụ này khác ví dụ 11 ở chỗ hệ thức không chứa sẵn x1  x2 và x1 x2 nên
ta không thể áp dụng ngay hệ thức Vi –et để tìm tham số m
Vấn đề đặt ra là ta phải biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức chứa x1  x2 và
x1 x2 rồi tìm m như ví dụ trên

Giải:
m  0
16
 m  15

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 là: 
(m  4)

 x1  x2 
m
Theo định lí Vi-et ta có: 
(1)
m

7
x x 
 1 2

m
14


 x  x  3x

2
Từ x1  2 x2  0   1 2
 2( x1  x2 ) 2  9 x1 x2 (2)
 2( x1  x2 )  3 x1

Thế (1) vào (2) ta được phương trình m 2  127m  128  0 , phương trình ẩn m
Có hai nghiệm là: m1  1; m2  128 (TMĐK)
Vậy với m  1 hoặc m  128 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2
thỏa mãn x1  2 x2  0
Ví dụ 13:
Tìm m để phương trình 3 x 2  4(m  1) x  m2  4 m  1  0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa
mãn

1 1 1
  ( x1  x2 )
x1 x2 2

Nhận xét:
- Với bài toán này ta chỉ cần xét điều kiện  '  0 vì a  3  0
 m  2  3

Hay m 2  4m  1  0  

(*)

 m  2  3

- Cần thêm điều kiện P  0 để có

1 1
;
đó là m  2  3
x1 x2

- Một sai lầm học sinh hay mắc phải đó là biến đổi
1 1 1
  ( x1  x2 )  2( x1  x2 )  ( x1  x2 ) x1 x2
x1 x2 2

Hai vế của đẳng thức đều chứa x1  x2 nên rút gọn đi để được 2  x1 x2
Điều này sai vì có thể có trường hợp x1  x2 = 0
Do đó ta phải chuyển vế để đưa về dạng tích:
( x1  x2 )(2  x1 x2 )  0
 4(m  1)(m 2  4m  5)  0
m  1
  m  1
 m  5

- Ta thấy m = - 1 không thỏa mãn (*) nên loại
Vậy m = 1 hoặc m = 5 là giá trị cần tìm

15

Bi tp ỏp dng:
Bi 14: Cho phng trỡnh x 2 (m 1) x 5m 6 0 . Tỡm giỏ tr ca tham s m
hai nghim x1; x2 tha món 4 x1 3 x2 1
Bi 15: Cho phng trỡnh mx 2 2(m 1) x 3(m 2) 0 . Tỡm giỏ tr ca tham s m
hai nghim x1 ; x2 tha món x1 2 x2 1
Bi 16: Cho phng trỡnh x 2 (2m 1) x m 0
a) Chng t rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m
b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x1; x2 tha món x1 x2 1
Bi 17: Cho phng trỡnh x 2 (2m 1) x m 2 2 0 . Tỡm giỏ tr ca tham s m
hai nghim x1; x2 tha món 3 x1 x2 5( x1 x2 ) 7 0
4.4. Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc nghim
Cỏch lm: Cng tng t nh nhng dng bi trờn ta ỏp dng h thc Vi et
bin i biu thc ó cho ri tỡm giỏ tr ln nht( nh nht)

x 2 (m 1) x m 2 m 2 0

Vớ d 14: Cho phương trình :

Gọi 2 nghiệm là x 1 và x 2 tìm giá trị của m để x12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
2

x12 x22 x1 x2 2 x1 x2

(m 1) 2 2(m 2 m 2)
2

= m 2m 1 2m 2 2m 4 3m 2 4m 5
4
5

2 4 11

3 m 2 m 3(m 2 2m )
3
3
3 9 9


2
11 11
3(m ) 2
3
3 3
Vy GTNN ca

x

2
1



x22 l

2
11
khi m =
3
3

Bi tp ỏp dng:
Bi 18:
Tỡm m phng trỡnh x 2 2(m 4) x m 2 8 0 cú hai nghim x1 ; x2 tha món:
a) A x1 x2 3x1 x2 t giỏ tr ln nht

16


b) B  x12  x22  x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 19: Cho phương trình x 2  (4m  1) x  2(m  4)  0 có hai nghiệm x1; x2 .
Tìm m để A  ( x1  x2 )2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 20: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT 2004 – 2005 )
Cho phương trình  m 4  1 x 2  m2 x  (m 2  2m  2)  0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình (1).Tìm giá trị lớn nhất của x1  x2
Bài 21: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)
Cho phương trình x 2  (3m  1) x  2(m2  1)  0 (1) ,(m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
b) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m
c) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A  x12  x2 2

Bài 22:
Cho phương trình x 2  2(m  1) x  3  m  0 . Tìm m để hai nghiệm x1; x2
thỏa mãn x12  x2 2  10
5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Khi xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai có thể xảy ra các
trường hợp sau: hai nghiệm trái dấu, cùng dấu ( cùng dương hoặc cùng âm). Dấu
của các nghiệm liên quan với  ; S; P như thế nào?
Ta có bảng xét dấu sau:

Điều kiện

Dấu của hai nghiệm x1; x2


Trái dấu

x1 x2  0

S

>0

P
<0

Cùng dương
( x1 x2  0 ; x1  x2  0 )
Cùng dấu

0

>0

>0

0

<0

>0

Cùng âm
( x1 x2  0 ; x1  x2  0 )
17


Vớ d 15: Khụng gii phng trỡnh hóy cho bit du ca cỏc nghim?
a )5 x 2 7 x 1 0
b) x 2 13x 40 0
c)3 x 2 5 x 1 0

Cỏch lm:
Tớnh S; P theo h thc Vi et ri da theo bng xột du trờn
Gii:
c
a

a) P x1 x2 =

1
b
7
0 ; S x1 x2 0 nờn hai nghim cựng du õm
5
a
5

Tng t vi phn b v c
b) P = 40 > 0; S= 13 > 0 nờn hai nghim cựng du dng

1
3

c) P 0 nờn hai nghim trỏi du
Vớ d 16:
2

2

Cho phương trình x (m 1) x m m 2 0 ( m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm cựng dấu m
Giải :
1
1
3
1
3
ac m 2 m 2 m 2 2 m 1 ( m ) 2 1
2
4
4
2
4
2

1

m 0
2

P 0, m

2

1
3
3
3

m 1 1 ac 1
2
4
4
4


Vậy phương trình có 2 nghiệm cựng dấu vi m
Vớ d 17: Xỏc nh m phng trỡnh 2 x 2 (3 m 1) x m 2 m 6 0
cú hai nghim trỏi du
Gii:
phng trỡnh cú hai nghim trỏi du thỡ:
m 7 2 0


0

m 7

m2 m 6

2 m 3

P 0
(m 3)(m 2) 0
0
2


Vy vi -2 < m < 3 thỡ phng trỡnh cú hai nghim trỏi du
18


Bài tập áp dụng:
Bài 23: Cho phương trình x 2  2(m  1) x  2m  3  0 (1)
a) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi
nghiệm kia
Bài 24: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2007 – 2008 )
Cho phương trình x 2  5 x  m  0
a) Giải phương trình với m = 6
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.
Bài 25: Cho phương trình x 2  2(m  3) x  4 m  1  0
a) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 26 : Xác định m để phương trình
a) m x 2  2( m  2) x  3( m  2)  0 có hai nghiệm cùng dấu
b) ( m  1) x 2  2 x  m  0 có ít nhất một nghiệm không âm
* Lưu ý: phần b: xét các trường hợp phương trình có:
+ hai nghiệm trái dấu

+ hai nghiệm cùng dương

CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Mục đích thực nghiệm
- Kiểm tra, đánh giá hiệu quả đạt được của đề tài nghiên cứu.
- Thấy được những hạn chế, tồn tại để có những bổ xung, biện pháp khắc
phục để đề tài được hoàn thiện và có chất lượng.
2. Nội dung thực nghiệm
KẾ HOẠCH DẠY HỌC

19


Giáo án: HỆ THỨC VI – ÉT VÀ ỨNG DỤNG ( TIẾT 1)
I. MỤC TIÊU

- Tái hiện, giúp học sinh nắm vững Định lí Vi –ét và các ứng dụng đã biết
- Thực hiện thành thạo các dạng toán ứng dụng của Định lí Vi-ét như:
Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, lập phương trình bậc hai, tìm
hai số biết tổng và tích của chúng
- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức linh hoạt để giải bài tập
II. CHUẨN BỊ

Giáo viên: SGK, hệ thống bài tập
Học sinh: SGK, ôn tập kiến thức về phương trình bậc hai
III. CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC

1.Tổ chức:
2. Kiểm tra: Kết hợp trong giờ
3. Bài mới:

Đặt vấn đề: Định lí Vi-ét thể hiện mối liên hệ giữa các nghiệm của với các hệ số
của phương trình bậc hai . Bài học này chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về các dạng
toán cơ bản ứng dụng định lí Vi-ét đã đưa ra trong sách giáo khoa
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
- Yêu cầu HS nêu định lí Vi-ét

HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
- Nêu định lí: Nếu x1; x2 là nghiệm của
phương trình ax 2  bx  c  0(a  0) thì
b
c
x1  x2   ; x1 x2 
a
a

(?) Nêu các ứng dụng của Định lí

- Các ứng dụng của định lí Vi-ét:

Vi-ét đã học

nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai,
tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Dạng 1. Nhẩm nghiệm của phương
trình bậc hai
* Đặc biệt: Phương trình bậc hai có
một nghiệm là 1 hoặc – 1
- Yêu cầu HS nhắc lại cách nhẩm

Ph­¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 (a  0)
20


nghiệm của phương trình bậc hai

- NÕu a + b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh

trong trường hợp này
cã c¸c nghiÖm lµ

x 1  1, x 2 

c
a

- NÕu a - b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã
c¸c nghiÖm lµ x1  1, x2  

c
a

Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm của các
phương trình sau:
a) 3x 2  8 x  11  0

b) 2 x 2  5x  3  0

- Gọi 2 HS làm bài

a) Ta có: a  b  c  3  8  (11)  0

- Lưu ý HS xác định chính xác các hệ nên phương trình có một nghiệm là
số a; b; c của phương trình để tìm

x1  1 , nghiệm còn lại là x 2  

nghiệm của phương trình

c 11

a 3

b) Ta có: a  b  c  2  5  3  0
nên phương trình có một nghiệm là
x1  1 , nghiệm còn lại là x 2 

- Cho HS nhận xét bài làm

c 3

a 2

- Nhận xét

* Cho phương trình bậc hai, có một
hệ số chưa biết, cho trước một
nghiệm, tìm nghiệm còn lại và hệ số
chưa biết của phương trình như thế
nào?

Ví dụ 2: Cho phương trình
x 2  2 px  5  0 có một nghiệm bằng 2, - Đọc đề bài, suy nghĩ cách làm

tìm p và nghiệm còn lại
(?) Phương trình có một nghiệm bằng x = 2 thỏa mãn phương trình
2 nghĩa là gì?
(?) Cách làm bài như thế nào?

+ Thay x = 2 vào phương trình để tìm p
+ Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm
để tính nghiệm còn lại
21


- Gọi HS lên bảng làm bài

Thay x1  2 vào phương trình ta được
4  4p  5  0  9  4p  0  p 

9
4

9
2

Phương trình trở thành x 2  x  5  0
Theo Định lí Vi-ét ta có:
x1 x2  5  x2 

5 5


x1 2
9
2

9
2

9
2

5
2

(hoặc x1  x 2   x2   x1   2  )
Dạng 2: Lập phương trình bậc hai
- Đặt vấn đề: Nếu phương trình bậc
hai có nghiệm ta có thể tính được tổng - Nghe giảng, suy nghĩ vấn đề đặt ra
và tích của chúng. Ngược lại biết hai
số có tìm được phương trình bậc hai
nào nhận chúng làm nghiệm hay
không?
Ví dụ 3: Lập phương trình bậc hai có
hai nghiệm là 8 và -3
- Gợi ý: Tính tổng và tích các nghiệm

Theo Định lí Vi-et ta có

Sau đó lập phương trình bậc hai có

 S  x1  x2  8  ( 3)  5

 P  x1 x2  8(3)  24

các nghiệm đó

3 và 2 là hai nghiệm của phương trình:

x 2  Sx  P  0 hay

x 2  5 x  24 = 0

Bài tập nâng cao: Lập phương trình
bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu
thức chứa hai nghiệm của một
phương trình cho trước
Ví dụ 4: Phương trình x 2  2 x  8  0
có hai nghiệm x1 ; x2 .Hãy lập phương - Suy nghĩ cách làm bài
trình bậc hai có các nghiệm
22


y1  x1  3; y 2  x 2  3

(?) Muôn lập được phương trình bậc
hai có nghiệm y1; y2 ta phải làm gì?

- Tính tổng và tích hai nghiệm

- Giới thiệu các cách giải:

Cách 1: Tìm nghiệm x1 ; x2 của

- Ghi nhớ các cách giải

phương trình đã cho rồi thay vào biểu

- Nhận biết:

thức tính y1 ; y 2 .

Cách 1: nên áp dụng khi phương trình

Cách 2: Tính S  y1  y 2 ; P  y1 y 2 theo

ban đầu nhẩm được nghiệm, có nghiệm

x1 ; x2

hữu tỉ
cách 2: không trực tiếp tính các nghiệm
x1 ; x2 và y1 ; y 2

- Hướng dẫn HS tính

S  y1  y2  ( x1  3)  ( x2  3)  x1  x2  6

S  y1  y2 ; P  y1 y2

P  y1 y2  ( x1  3)( x2  3)  x1 x2  3( x1  x2 )  9

x1  x2  ?

Theo Định lí Vi-ét

x1 x2  ?

x1  x2  2; x1 x2  8
 S  2  6  4; P  8  3.2  9  5

Phương trình cần lập là gì?

Phương trình lâp được là y 2  Sy  P  0
Hay y 2  4 y  5  0

Dạng 3. Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng
(?) Muốn tìm hai số biết tổng và ích - NÕu hai sè cã tæng bằng S vµ tÝch bằng
của chúng ta làm như thế nào?

P th× hai số đó lµ hai nghiÖm cña
ph­¬ng tr×nh:

x 2  Sx  P  0 .

Điều kiện để có hai số đó là S 2  4 P  0
Ví dụ 5: Tìm hai số x, y biết:
x + y = 11; xy = 28
(?) x và y là nghiệm của phương trình

x và y là nghiệm của phương trình

nào?

x 2  11x  28  0

23


- Yêu cầu HS giải Phương trình tìm

  112  4.1.28  9

các nghiệm

 x1  4; x2  7

x =? y = ?

Nếu x = 4 thì y = 7
Nếu x = 7 thì y = 4

Ví dụ 6: Tìm hai số a và b biết
S = a + b = 3, P = ab = 6
- Gọi HS lên bảng làm bài

Hai số a và b là nghiệm của phương
trình x 2  3x  6  0
  3 2  4.1.6  9  24  15  0

Phương trình vô nghiệm nên không tồn

tại hai số a và b thỏa mãn đề bài
- Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng
có thể nhận xét ngay
S 2  4 P  3 2  4.6  9  24  15  0

nên không tồn tại hai số a và b thỏa
mãn yêu cầu đề bài mà không cần lập
phương trình
4. Củng cố:
Bài tập 1: Tìm hai số x, y biết: x 2  y 2  25; xy  12
2

Gợi ý: x 2  y 2   x  y   2 xy
Tính x + y. Lập phương trình bậc hai có nghiệm x ; y
5. Hướng dẫn về nhà
- Ôn tập các dạng toán ứng dụng Định lí Vi-ét
Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn
 x1  x 2  2
 3
3
 x1  x 2  26

Hướng dẫn: - Giải hệ phương trình tìm x1 ; x2
- Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x2 tìm được

24