MỘT SỐ QUY TRÌNH SUY DIỄN TRONG HỆ MỜ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ


HỒ KHÁNH LÊ



MỘT SỐ QUY TRÌNH SUY DIỄN
TRONG HỆ MỜ


Ngành: Công nghệ thông tin
Chuyên ngành: Hệ thống thông tin
Mã số: 60.48.05


LUẬN VĂN THẠC SĨ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TSKH. Bùi Công Cường



Hà Nội – 2009
ii

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn “Một số quy trình suy diễn trong hệ Mờ” là công
trình nghiên cứu của riêng tôi, không sao chép của bất kỳ ai. Nội dung của luận án
được trình bày từ những kiến thức tổng hợp của cá nhân, tổng hợp từ các nguồn tài

liệu có xuất xứ rõ ràng và trích dẫn hợp pháp. Kết quả nghiên cứu được trình bày
trong luận văn này chưa từng được công bố tại bất kỳ công trình nào khác.
Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệ
m, và nếu sai, tôi xin chịu mọi hình thức kỷ
luật theo quy định.
Hà Nội, ngày 7 tháng 12 năm 2009
Học viên thực hiện
Hồ Khánh Lê
iii

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TSKH Bùi Công
Cường, người hướng dẫn khoa học, đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và tạo điều kiện
cho tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trường Đại học Công nghệ, Đại học
Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tôi.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân và các bạn bè
đồng nghiệp đã
chia sẻ, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã hết sức cố gắng với tất cả sự nỗ lực của bản thân, nhưng chắc luận
văn vẫn còn những thiếu sót. Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp của
quý Thầy, Cô và bạn bè đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 7 tháng 12 năm 2009
Học viên thực hiện
Hồ Khánh Lê
iv

MỤC LỤC

Trang
Trang bìa phụ
LỜI CAM ĐOAN ii
LỜI CẢM ƠN iii
MỤC LỤC iv
BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT vi
DANH MỤC CÁC BẢNG vi
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ vi
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG I - CƠ SỞ LOGIC MỜ 3
1.1. Logic rõ và sự xuất hiện của logic mờ 3
1.2. Các phép toán về tập mờ 4
1.2.1. Phép phủ định 4
1.2.2. T - chuẩn 5
1.2.3. T - đối chuẩn 10
1.3. Một số vấn đề
liên quan của các toán tử trong Logic Mờ 15
1.3.1. Phép đối ngẫu 16
1.3.2. Quan hệ giữa t - chuẩn và t - đối chuẩn. 16
1.3.3. Một số qui tắc với phép hội và phép tuyển 17
1.4. Phép kéo theo 19
1.4.1. Định nghĩa phép kéo theo 19
1.4.2. Một số dạng hàm kéo theo cụ thể 20
1.4.3. Đồ thị một số hàm kéo theo được quan tâm 26
1.5. Quan hệ mờ và phép hợp thành 27
1.5.1. Quan hệ mờ 27
1.5.2. Phép hợp thành 28
CHƯƠNG 2 – LUẬT MỜ VÀ HỆ SUY DIỄN MỜ 29
2.1. Hệ mờ trên cơ sở
các luật mờ 29

2.1.1. Định nghĩa luật mờ 29
2.1.2. Định nghĩa hệ mờ trên cơ sở các luật mờ 31
2.2. Hệ suy diễn mờ 32
2.2.1. Kiến trúc cơ bản của hệ suy diễn mờ 32
2.2.3. Các bước suy diễn mờ 33
2.2.4. Một số phương pháp suy diễn trong hệ mờ 38
CHƯƠNG III - LẬP LUẬN XẤP XỈ TRONG HỆ MỜ TRÊN CƠ SỞ CÁC LUẬT MỜ41
3.2. Mô hình ngôn ngữ - Linguistic models (LM) 41
3.3. Suy diễ
n với mô hình mờ 42
3.4. Mô hình Mamdani (Constructive) và Logical (Destructive) 44
3.4.1. Phương pháp lập luận Mandani 45
v

3.4.2. Phương pháp lập luận logic 48
3.5. Mô hình ngôn ngữ với tập hợp các đầu ra 53
3.6. Mô hình Takagi – Sugeno – Kang (TSK) 55
3.6.1. Mô hình 55
3.6.2. Một số ví dụ mô hình TSK đơn giản 57
CHƯƠNG 4 – BỘ CÔNG CỤ LOGIC MỜ CỦA MATLAB VÀ CÀI ĐẶT THỬ THUẬT
TOÁN 59
4.1. Giới thiệu chung môi trường MATLAB 59
4.2. Bộ công cụ Logic Mờ (Fuzzy logic toolbox) 60
4.2.1. Giới thiệu 60
4.2.2. Các tính năng cơ bản của FLT 63
4.2.3. Xây dựng hệ suy diễn bằng GUI của FLT 63
4.2.4. Cấu trúc của hệ suy diễn m
ờ trong Matlab 65
4.3. Bài toán ví dụ và cài đặt thử thuật toán 1, 2 65
4.3.1. Bài toán điều khiển tín hiệu đèn giao thông 66

4.3.2. Tiêu chí và ràng buộc 67
4.3.3. Thiết kế bộ điều khiển giao thông mờ 68
KẾT LUẬN 74
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 75
TÀI LIỆU THAM KHẢO 76

vi

BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu Tên đầy đủ
LM Linguistic Model
TSK Takagi – Sugeno – Kang Model
FIS Fuzzy Inference System
FLT Fyzzy Logic Toolbox

DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 1.1: Các cặp đối ngẫu với n(x) = 1-x 17
Bảng 2.1: Phương pháp giải mờ trung bình tâm với m = 2 39

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Trang
Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn yếu nhất T
0
7
Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn Lukasiewiez 7
Hình 1.3: Đồ thị t-chuẩn T
2
8
Hình 1.4: Đồ thị t-chuẩn t(x,y) = x*y 8

Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn min 8
Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn Min-Nilpotent 8
Hình 1.6: Đồ thị t-chuẩn T
4
9
Hình 1.7: Giao của 2 tập mờ dạng tích 10
Hình 1.8: Giao của 2 tập mờ dạng min 10
Hình 1.8: Đồ thị hàm t-đối chuẩn S
N
12
Hình 1.9: Đồ thị T-đối chuẩn S
M
13
Hình 1.10: Đồ thị T-đối chuẩn S
P
13
Hình 1.11: Đồ thị T-đối chuẩn S
2
13
Hình 1.13: Đồ thị T-đối chuẩn S
4
13
Hình 1.14: Đồ thị T-đối chuẩn S
L
14
Hình 1.15: Đồ thị T-đối chuẩn S
0
14
vii

Hình 1.16: Hợp của hai tập mờ dạng Max 15

Hình 1.17: Hợp của hai tập mờ dạng Lukasewiez 15
Hình 1.18: Đồ thị I
QL
= 1-x+x
2
y 23
Hình 1.19: Đồ thị I
QL
= max(y,1-x) 23
Hình 1.20: Đồ thị I(x,y)=max(1-x,min(x,y)) 26
Hình 1.21: Đồ thị hàm I(x,y) - Godeh 26
Hình 1.22: Đồ thị hàm I(x,y) - Goguen 27
Hình 2.1: Động cơ điều khiển tốc độ không khí. 30
Hình 2.2: Cấu trúc cơ bản của hệ suy diễn mờ 32
Hình 2.3: Giải mờ bằng phương pháp cực đại 36
Hình 2.4: Giải mờ bằng phương pháp trung bình 36
Hình 2.5: Giải mờ theo phương pháp trung bình tâm 36
Hình 2.6: Hàm thuộc hợp thành dạng đối xứng 36
Hình 2.7: Giải mờ trung bình tâm với m=2 37
Hình 3.1: Phân phối kết hợp luật R
1
(x,y): IF U là B
i
THEN V là D
i
44
Hình 3.2: Phương pháp lập luận Mamdani/Constructive 47
Hình 3.3: Kết quả tính toán đầu ra bằng hình phương pháp Mamdani 47

Hình 3.4: Sơ đồ khối của phương pháp lập luận lôgic 51
Hình 3.5: Tính toán kết quả đầu ra bằng hình của phương pháp logic 51
Hình 3.6: Biểu diễn các quan hệ mờ R tương ứng với phương pháp Mamdani 52
Hình 3.7: Sơ đồ khối của cơ chế suy diễn đơn giản 54
Hình 3.8: Biểu diễn hình học của hệ suy diễn ở ví dụ 2 58
Hình 4.1: Cửa sổ soạn thảo phân lớp Mờ- Neuron thích nghi 61
Hình 4.2: Hệ thống suy diễn Mờ được thiết kế bằng Simulink 62
Hình 4.3: Mô hình cấu trúc GUI trong Matlab 64
Hình 4.4: Cấu trúc FIS 65
Hình 4.5: Hàm thuộc biến mờ của biến vào Arrival 69
Hình 4.6: Hàm thuộc biến mờ của biến vào Queue 69
Hình 4.7: Hàm thuộc biến mờ của biến ra Extention 69
Hình 4.8: Biểu diễn hình học của hệ suy diễn dạng Mamdani 73
Hình 4.9: Biểu diễn hình học của hệ suy diễn dạng lập luận logic 73

1

MỞ ĐẦU
Từ những năm đầu của thập kỷ 90 cho đến nay, hệ điều khiển mờ và mạng
nơron (Fuzzy system and neuron network) được các nhà khoa học, các kỹ sư và
sinh viên trong mọi lĩnh vực khoa học kỹ thuật đặc biệt quan tâm nghiên cứu và
ứng dụng vào sản xuất. Tập mờ và logic mờ (Fuzzy set and Fuzzy logic) dựa trên
các suy luận của con người về các thông tin “không chính xác” hoặc “không đầy
đủ” về hệ thống để hiểu biế
t và điều khiển hệ thống một cách chính xác. Điều khiển
mờ chính là bắt chước cách xử lý thông tin và điều khiển của con người đối với các
đối tượng, do vậy, điều khiển mờ đã giải quyết thành công các vấn đề điều khiển
phức tạp trước đây chưa giải quyết được.
Hiện nay, có thể nói, công nghệ tính toán mờ là một trong nhữ
ng lĩnh vực

nghiên cứu phát triển mạnh mẽ nhất, được đánh dấu bằng sự ra đời của hàng loạt
phương pháp kỹ thuật ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc tích hợp các
kỹ thuật logic mờ với các phương pháp phân tích khác ngày càng diễn ra mạnh mẽ.
Logic mờ được ứng dụng rộng rãi để giải quyết rất nhiều bài toán của khoa học ứng
dụng. Nhữ
ng lĩnh vực có thể kể ra ở đây là vận trù học, hỗ trợ quyết định, điều
khiển, nhận dạng mẫu, kinh tế, quản lý, xã hội học, mô hình thống kê, máy học,
thiết kế cơ khí, chế tạo, phân lớp, suy luận, thu nhận thông tin, quản lý cơ sở dữ
liệu, chuẩn đoán y tế, hệ cơ sở tri thức, …
Đặc biệt trong lĩnh vực xử
lý tri thức, công nghệ tính toán mờ tỏ ra vô cùng
hiệu quả. Do tri thức con người thường được biểu diễn bằng các thể hiện ngôn ngữ,
bằng các câu hỏi, các phát biểu về thế giới đang xét. Vấn đề đối với việc xử lý tri
thức là không chỉ ở việc liên kết các tri thức, các phát biểu về thế giới đang xét, mà
còn ở việc đánh giá sự đúng đắn của chúng. Logic hình thức c
ổ điển cho phép
chúng ta đánh giá một phát biểu về thế giới là hoặc đúng, hoặc sai. Tuy nhiên,
trong thực tế, đánh giá một phát biểu chỉ có đúng hoặc sai là rất khó nếu không
muốn nói là phi thực tế. Lấy ví dụ: đối với các tri thức dạng “Áp suất cao”, “Thể
tích nhỏ”, “Quả táo đỏ”, việc xác định một cách chính xác trị chân lý của chúng là
đúng hay sai là rất khó do các từ “cao”, “nhỏ”
hay “đỏ” hoàn toàn có tính chất
mơ hồ. Từ đó Zadeh đã mở rộng logic mệnh đề thành logic mờ, trong đó, mỗi
mệnh đề P sẽ được gán cho 1 trị chân lý
υ
(P), một giá trị trong đoạn [0, 1], biểu
diễn mức độ đúng đắn của mệnh đề đó.
2

Luận văn với mục tiêu chính là tìm hiểu các quy trình suy diễn mờ sẽ tập

trung vào các nội dung như sau:
Chương I tìm hiểu về cơ sở của logic mờ, nhắc lại các khái niệm, định nghĩa
cơ bản của các toán tử trong logic mờ như t-chuẩn, t-đối chuẩn, phép phủ định,
phép kéo theo, hàm thuộc, phép hợp thành…
Chương II của luận văn tìm hiểu về khái niệm, định nghĩa của luật mờ
và hệ
mờ trên cơ sở các luật mờ. Giới thiệu kiến thức cơ bản về kiến trúc, các bước suy
diễn của hệ suy diễn mờ và tìm hiểu một số phương pháp suy diễn trong hệ mờ.
Chương III đi sâu vào nghiên cứu kỹ hơn về các phương pháp lập lập xấp xỉ
trong hệ mờ. Tìm hiểu lại các mô hình ngôn ngữ, mô hình Mamdani và đặc biệt là
mô hình Takagi – Sugeno – Kang với đầu ra củ
a hệ suy diễn không phải là biến mờ
đơn mà là một hàm đầu ra.
Chương IV giới thiệu lại bộ công cụ logic mờ của phần mềm Matlab – bộ
công cụ với đầy đủ các tính năng để thiết kế và xây dựng các hệ suy diễn mờ rất
hữu ích. Đồng thời giới thiệu bài toán thiết kế hệ suy diễn điều khiển tín hiệu đèn
giao thông, sử dụng
để cài đặt thử kết quả cho các thuật toán giới thiệu trong
chương III của luận văn.
3

CHƯƠNG I - CƠ SỞ LOGIC MỜ
Để có thể tiến hành các phép toán logic trên các mệnh đề, chúng ta cần phải
có các phép toán logic mờ. Đó chính là các phép toán phủ định, t - chuẩn tương ứng
với phép hội, t - đối chuẩn ứng với phép tuyển, và phép kéo theo mờ.
Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại các khái niệm về cơ sở logic mờ và
tìm hiểu hệ suy diễn mờ. Do giới hạn của luận văn nên có nhiều khái niệm, chứng
minh sẽ không được trình bày hết trong nội dung bài viết. Ki
ến thức cơ sở của logic
mờ có thể được xem thêm ở các tài liệu [1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 18]. Trước hết, chúng ta

bắt đầu bằng việc tìm hiểu về các toán tử mờ và một số tính chất đặc trưng của
chúng.
1.1. Logic rõ và sự xuất hiện của logic mờ
Logic rõ (logic thông thường) ta đã quá quen thuộc hàng ngày với những
khái niệm rất rõ ràng và từ đó cho ta các kết luận dứt khoát [9].
Chẳng hạn một cơ quan cần tuyển dụng người làm việc, trong các tiêu chuẩn
tuyển chọn có một tiêu chuẩn như sau:
Nếu người cao từ 1,6m trở lên thì thuộc loại người cao và được chấp nhận,
còn dưới 1,6m thì thuộc loại người thấp và bị loại.
Như vậy nếu có m
ột người nào đó có đủ tất cả các
tiêu chuẩn khác nhưng chỉ cao 1,59m thì sẽ bị loại.
Logic suy nghĩ đó rất rõ ràng theo sơ đồ “máy tính”
như sau:
Như vậy, điểm 1,6m là điểm tới hạn để ra
quyết định, cứ 1,6m trở lên là thuộc loại người cao,
còn dưới 1,6m là loại người thấp.
Những suy nghĩ về logic mờ (logic không rõ): trong cuộc sống hàng ngày,
đặc biệt là rất nhi
ều hiện tượng (nếu không nói là tất cả) được thể hiện bằng ngôn
ngữ đã đưa ta đến một khái niệm logi không rõ, logic mờ, chẳng hạn:
Anh này trông rất cao.
Cô này trông được đấy.
1.6m
LoạiNhận
4

Hay như có nhà thơ viết:
Trời thì không nắng không mưa,
Chỉ hiu hiu mát cho vừa lòng nhau.

Các khái niệm như: trông rất cao, được đấy, không nắng không mưa, hiu hiu
mát, … thật khó cho ta đưa ra một con số cụ thể. Tuy vậy khi nghe các từ này ta
vẫn hình dung được một đặc tính cụ thể rõ rệt về đối tượng.
Những suy nghĩ này đưa đến khái niệm về logic mờ, chính logic mờ đã xóa
đi được khái niệm cứng nh
ắc của logic rõ, vì rằng logic mờ đã:
- Cho phép mô tả các trạng thái sự việc khi sử dụng các mức độ thay đổi giữa
đúng và sai.
- Có khả năng lượng hóa các hiện tượng nhập nhằng hoặc là thông tin hiểu
biết về các đối tượng không đủ hoặc không chính xác.
- Cho phép phân loại các lớp quan niệm chèn lấp lên nhau.
1.2. Các phép toán về tập mờ
1.2.1. Phép phủ định
* Định nghĩa 1.1: Hàm n: [0, 1]
→
[0, 1] không tăng thỏa mãn các điều kiện n(0) =
1, n(1) = 0 gọi là hàm phủ định (negation-hay là phép phủ định).
* Định nghĩa 1.2:
a) Hàm phủ định n là chặt nếu nó là hàm liên tục và giảm chặt.
b) Hàm phủ định n là mạnh nếu nó là chặt và thỏa mãn n(n(x)) = x, x[0,1]
* Ví dụ 1:
- Hàm phủ định thường dùng n(x) = 1-x. Đây là hàm phủ định mạnh
- Hàm n(x) = 1-x
2
. Đây là một phủ định chặt nhưng không mạnh.
- Họ phủ định (Sugeno)
1
() , 1
1
x

Nx
x
λ
λ
λ
−
=
>−
+
. Với họ Sugeno này ta có
mệnh đề sau:
* Mệnh đề 1.3: Với mỗi
1
λ
>− , ()Nx
λ
là một phủ định mạnh.
5

* Chứng minh:
Thật vậy, do 1 +
λ>0 với
12 11 22
,
x
xxx xx
λ
λ
<
+< +. Điều này tương đương

với
12
() ()Nx Nx
λλ
> .
Hơn nữa,
(1 ) (1 )
(())
(1 ) (1 )
xx
NNx x
xx
λλ
λ
λλ
+
−−
==
++−
với mỗi 0 1
x
≤≤.
Để thuận lợi ta cần thêm định nghĩa sau:
Một cách định nghĩa phần bù của một tập mờ: Cho
Ω là không gian nền, một
tập mờ A trên
Ω tương ứng với hàm thuộc A: Ω0,1.
* Định nghĩa 1.4: Cho n là hàm phủ định, phần bù
C
A của tập mờ A là một tập mờ

với hàm thuộc cho bởi
() ( ())
C
A
anAa= , với mỗi aΩ.
Rõ ràng định nghĩa phần bù cho trong phần 1.1 là trường hợp riêng khi n(x)
là hàm phủ định thường dùng.
1.2.2. T - chuẩn
1.2.2.1. Phép hội
Phép hội (vẫn quen gọi là phép AND - Conjunction) là một trong mấy phép
toán logic cơ bản nhất, nó cũng là cơ sở để định nghĩa phép giao của hai tập mờ.
Phép hội cần thoả mãn mãn các tiên đề sau:
C0: v(P1 AND P
2
) chỉ phụ thuộc vào v(P1) và v(P
2
).
C1: Nếu v(P1) =1 thì v(P1 AND P
2
) = v(P
2
) với mọi mệnh đề P
2
.
C2: Giao hoán v(P1 AND P
2
) =v(P
2
AND P1).
C3: v(P1) ≤ v(P

2
) thì v(P1 AND P
3
) ≤ v(P
2
AND P
3
), với mọi mệnh đề P
3
.
C4: Kết hợp: v(P1 AND (P1 AND P3)) = v((P2 AND P2) AND P
3
).
Nếu diễn đạt phép hội mờ (fuzzy conjunction) như một hàm T: [0, 1] → [0,
1], thì chúng ta có thể cần tới hàm sau:
* Định nghĩa 1.5:
Hàm T: [0, 1]
2
→ [0, 1] là một t - chuẩn (t-norm), khi và chỉ khi thoả các
điều kiện sau:
6

C5: T(1, x) = x với ∀ x ∈ [0, 1].
C6: T có tính giao hoán, tức là T(x, y) = T(y, x), với ∀ x, y ∈ [0, 1]
C7: T không giảm theo nghĩa T(x, y) ≤ T(u, v), với ∀ x ≤ u, y ≤ v
C8: T có tính kết hợp, tức làT(x, T(y, z)) = T(T(x, y), z), với ∀ 0≤ x, y, z ≤1.
Từ các tiên đề trên chúng ta suy ra ngay T(0, x) = 0. Hơn nữa, tiên đề C8
đảm bảo tính thác triển duy nhất cho hàm nhiều biến.
1.2.2.2 Một số t - chuẩn thông dụng
1) T - chuẩn yếu nhất (drastic product)

Z(x, y) = T
0
(x, y) =
min{ , } max{ , } 1
0max{,}1
khi
khi
xy xy
xy
=
⎧⎫
⎨⎬
<
⎩⎭

2) T - chuẩn LukasiewiczT
L
(x, y) = max(0, x+y-1)
3) T
2
(x, y)=
2( )
xy
x
yxy−+−

4) Dạng tích T
P
(x, y) = x.y
5) T

4
(x, y) =
xy
x
yxy+−

6) Dạng min (Zadeh, 1965) T
M
(x, y) = min(x, y)
7) Dạng Min Nilpotent (Fordor)
T
N
(x, y) = min
0
(x, y) =
min{ , } 1
01
khi
khi
xy x y
xy
+
>
⎧
⎫
⎨
⎬
+
≤
⎩⎭

* Định lý 1.6:
Với T là một t - chuẩn bất kỳ thì bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y
∈[0, 1]
T
0
(x, y) ≤ T(x, y) ≤ T
M
(x, y)
T
0
≤ T
L
≤ T
2
≤ T
P
≤ T
4

≤
T
N
≤
T
M

Phần chứng minh các định lý xem trong tài liệu dẫn [7]
7

* Định nghĩa 1.7: Cho T là t - chuẩn. Khi ấy
a) T gọi là liên tục nếu T là hàm liên tục trên [0, 1]
2
.
b) T là Archimed nếu T(x, x)
< x, với ∀ x∈ (0, 1).
c) T gọi là chặt nếu T là hàm tăng chặt trên [0, 1]
2
.
* Ví dụ:
1) T2 (x, y) =
2( )
xy
x
yxy−+−
là Archimed vì: T2(a, a) = a2/(2 - (2a - a2)).
Do a2 - 2a + 2 = (a - 1)2 + 1 > 1
⇒
2
2
2(2 )
a
aa
−−
< a2 ≤ a
Vậy T2(a, a)
< a, với ∀ a ∈(0, 1).
2) TP(x, y) = xy là chặt vì 0
≤ x1 < x2, 0 ≤ y1 < y2, ta có x1y1 < x2y2.
3) TM(x, y) = min(x, y) là một hàm liên tục trên [0, 1]2, nên t - chuẩn T là

liên tục. Hơn thế nữa, ta luôn có TM(x, x) = min(x, x) = x.
1.2.2.3 Đồ thị của một số hàm t - chuẩn:
T
0
(x, y)=
min{ , } max{ , } 1
0max{,}1
khi
khi
xy xy
xy
=
⎧⎫
⎨⎬
<
⎩⎭


Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn yếu nhất T
0
T
L
(x, y) = max(0, x+y-1)

Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn Lukasiewiez
8

T
2
(x, y) =

2( )
xy
x
yxy−+−
.


Hình 1.3: Đồ thị t-chuẩn T
2

T
P
(x, y) = xy

Hình 1.4: Đồ thị t-chuẩn t(x,y) = x*y
T
M
(x, y) = min(x, y)

Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn min
T
N
(x, y)=
min{ , } 1
01
khi
khi
xy x y
xy
+>

⎧⎫
⎨⎬
+≤
⎩⎭


Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn Min-Nilpotent
9

T
4
(x, y) =
xy
x
yxy+−


Hình 1.6: Đồ thị t-chuẩn T
4
1.2.2.4. Định nghĩa tổng quát phép giao của 2 tập mờ.
Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền Ω với hàm thuộc tương ứng
là A(x), B(x). Cho T là một t - chuẩn.
* Định nghĩa 1.8:
Ứng với t - chuẩn T, tập giao của hai tập mờ A, B là một tập mờ (A∩TB)
trên X với hàm thuộc cho bởi: (A∩TB)(x) = T(A(x), B(x)), với ∀x∈X
Việc lựa chọn phép giao, tương ứng với t - chuẩn T nào tuỳ thuộc vào bài
toán được quan tâm.
* Ví dụ: Hamacher(1978) đề nghị dùng
))().()()()(1(
)().(

))((
aBaAaBaApp
aBaA
aBA
p
−+−+
=∩

với p ≥ 0, với mỗi a ∈ Ω,
còn Yager (1980) xét phép giao hai tập mờ A, B với hàm thuộc cho bởi
(A ∩
p
B)(a)= 1 - min{ 1, ((1- A(a))
p
+(1- B(a))
p
)
1/p
}, p≥ 1, với mỗi a ∈[0, 1].
Cùng thời, Dubois và Prade cũng đề nghị một họ toán tử phụ thuộc tham số t,
đó là phép giao (A ∩
t
B) với hàm thuộc
(A∩
t
B)(a)=A(a).B(a)/ max{ A(a), B(a), t }, với 0≤ t≤1, với mỗi a∈[0, 1].
* Ví dụ: Cho U là không gian nền: U = [0, 120] - thời gian sống;
A = {Những người ở tuổi trung niên};
B = {Những người ở tuổi thanh niên}
10

Khi đó giao của hai tập mờ A và B với T(x, y) = min(x, y) và T(x, y) = xy
chúng được biểu diễn trên hình vẽ như sau:

Hình 1.7: Giao của 2 tập mờ dạng tích

Hình 1.8: Giao của 2 tập mờ dạng min
1.2.3. T - đối chuẩn
1.2.3.1. Phép tuyển
Giống như phép hội, phép tuyển hay toán tử logic OR thông thường cần thỏa
mãn các tiên đề sau:
D0: v(P1 OR P
2
), chỉ phụ thuộc vào v(P1) và v(P
2
).
D1: Nếu v(P1) = 0, thì v(P1 OR P
2
) = v(P
2
), với mỗi mệnh đề P
2
.
D2: Giao hoán v(P1 OR P
2
) = v(P
2
OR P1).
D3: Nếu v(P1) ≤ v(P
2

), thì v(P1 OR P
3
) ≤ v(P
2
OR P
3
), với bất kỳ P
3
.
D4: Kết hợp v(P1 OR(P
2
OR P
3
)) = v((P1 OR P
2
) OR P
3
).
Khi ấy ta có thể nghĩ tới các phép tuyển được định nghĩa bằng con đường
tiên đề như sau:
* Định nghĩa 1.9:
11

Hàm S: [0, 1]
2
→ [0, 1] gọi là một hàm tuyển (OR suy rộng) hay là t - đối
chuẩn (t-conorm) nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:
D5: S(0, x) = x, với ∀x ∈ [0, 1].
D6: S có tính chất giao hoán: S(x, y) = S(y, x), với ∀x, y ∈ [0, 1].
D7: S không giảm: S(x, y) ≤ S(u, v) với ∀ 0 ≤ x ≤ u ≤ 1; 0 ≤ y ≤ v ≤ 1.

D8: S có tính kết hợp: S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z), với ∀x, y ∈ [0, 1].
Từ định nghĩa ta thấy: S(0, 1) ≤ S(x, 1) ⇔ 1 ≤ S(x, 1) ≤ 1 ⇒ S(x, 1) = 1.
1.2.3.2. Một số hàm t - đối chuẩn thông dụng
Chọn phép phủ định n(x) = 1- x ta có các hàm t - đối chuẩn thông dụng như
sau:
1) S
M
(x, y) = max (x, y).
2) S
P
(x, y) = x + y - xy.
3) S
2
(x, y) =
2
1
x
yxy
x
y
+−
−
.
4) S
4
(x, y) =
1
x
y
x

y
+
+
.

5) S
L
(x, y) = min(1, x+y).
6) S
N
(x, y) = max
1
(x, y) =
max{ , } ) 1
0)1
khi (
khi (
xy x y
xy
+
<
⎧
⎫
⎨
⎬
+
≥
⎩⎭

7) S

0
(x, y) =
max{ , } , ) 0
0,)0
khi min(
khi min(
xy xy
xy
=
⎧⎫
⎨⎬
>
⎩⎭

* Định lý 1.10:
Với S là một t - đối chuẩn bất kỳ thì bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x,
y ∈ [0, 1].
a) S
M
(x, y) ≤ S(x, y) ≤ S
0
(x, y).
b) S
M
≤ S
P
≤ S
2
≤ S
L

≤ S
4
≤ S
0
12

c) S
M
≤ S
2
≤ S
L
≤ S
4
≤ S
N
≤ S
0
Phần chứng minh các định lý xem trong tài liệu dẫn [2, 6]
* Chú ý: S
P
và S
N
không so sánh được với nhau, bởi vì khi x + y ≤ 1 ta có:
S
N
(x, y) = max(x, y) ≤ x + y - xy = S
P
(x, y).
Khi x + y > 1 ta có: S

N
(x, y) =1 > x + y - xy = S
P
(x, y).
* Định nghĩa 1.11:
Cho S là t - đối chuẩn. Khi ấy:
S gọi là liên tục nếu S là hàm liên tục trên [0, 1]
2
.
Hàm S gọi là Archimed nếu S(x, x) > x với ∀ 0 < x < 1.
S gọi là chặt nếu S là hàm tăng trên [0, 1]
2

* Ví dụ:
- S
P
(x, y) = x + y - xy, là chặt vì: Giả sử x
1
< x
2
, ta có S
P
(x
1
, y) = x
1
+ y - x
1
y
< x

2
+ y - x
2
y = S
P
(x
2
, y), với ∀y∈(0, 1). Mặt khác do S có tính chất giao hoán nên
ta có S
P
(x
1
, y
1
) < S
P
(x
2
, y
2
), với mọi 0 < x
1
< x
2
< 1; 0< y
1
< y
2
< 1.
- S

M
(x, y) = max(x, y) là một hàm liên tục trên [0, 1]
2
, nên t - đối chuẩn S là
liên tục. Hơn thế nữa, ta luôn có S
M
(x, x) = max(x, x) = x.
- S
L
(x, y) = min{1, x + y} là Archimed vì
S
L
(x, x) = min(1, x + x) = min(1, 2x) > x
1.2.3.3. Đồ thị của một số hàm t - đối chuẩn
S
N
(x, y)=
max{ , } ) 1
0)1
khi (
khi (
xy x y
xy
+<
⎧⎫
⎨⎬
+≥
⎩⎭

Hình 1.8: Đồ thị hàm t-đối chuẩn S
N

13

S
M
(x, y) = max (x, y)

Hình 1.9: Đồ thị T-đối chuẩn S
M
S
P
(x, y) = x + y - xy

Hình 1.10: Đồ thị T-đối chuẩn S
P
S
2
(x, y)=
2
1
x
yxy
x
y
+−
−

Hình 1.11: Đồ thị T-đối chuẩn S
2
S
4
(x, y) =
1
x
y
x
y
+
+



Hình 1.13: Đồ thị T-đối chuẩn S
4
14

S
L
(x, y) = min(1, x+y)

Hình 1.14: Đồ thị T-đối chuẩn S
L
S
0
(x, y)=
max{ , } , ) 0
0,)0

khi min(
khi min(
xy xy
xy
=
⎧⎫
⎨⎬
>
⎩⎭


Hình 1.15: Đồ thị T-đối chuẩn S
0
1.2.3.4. Định nghĩa tổng quát phép hợp của 2 tập mờ
* Định nghĩa 1.12:
Cho A và B là 2 tập mờ trên không gian nền Ω, với hàm thuộc A(x), B(x)
tương ứng. Cho S là một t - đối chuẩn. Phép hợp (A∪SB) là một tập mờ trên X với
hàm thuộc cho bởi biểu thức:
(A∪SB)(x) = S(A(x), B(x)), với ∀x ∈X.
Việc lựa chọn phép hợp, tương ứng với t - đối chuẩn S nào tuỳ thuộc vào bài
toán ta quan tâm.
* Ví dụ:
Hamacher, 1978, đã cho họ phép hợp hai tập mờ với hàm thuộc theo tham s
ố
q,
)().((1
)()()().()(
))((
aBaAa
aBaAaBaAq

aBA
q
+
+
+
−
=∪
với q≥ -1, a ∈ Ω
15

Còn họ phép hợp (A∪
p
B) tương ứng của Yager cho bởi hàm thuộc với tham
số p,
(A ∪
p
B)(a)=min {1, (A(a)
p
+ B(a)
p
)
1/p
}, với p≥ 1, a ∈ Ω.
Tương tự, họ phép hợp do Dubois và Prade đề nghị với các hàm thuộc với
tham số t, có dạng:
})),(1()),(1max{(
)}1(),(),(min{)().()()(
))((
taBaA
taBaAaBaAaBaA

aBA
t
−−
−
−
−
+
=∪

với t ∈[0, 1], a∈Ω.
* Ví dụ: Cho U là không gian nền: U = [0, 120] là thời gian sống.
A={Những người ở tuổi trung niên}; B ={Những người ở tuổi thanh niên}.
Khi đó hợp của hai tập mờ A, B với T(x, y) = max(x, y) và T(x, y)= max(1,
x+y). Biểu diễn trên hình vẽ như sau:

Hình 1.16: Hợp của hai tập mờ dạng Max

Hình 1.17: Hợp của hai tập mờ dạng Lukasewiez
1.3. Một số vấn đề liên quan của các toán tử trong Logic Mờ
16

1.3.1. Phép đối ngẫu
Trong logic cổ điển, ta có thể đưa công thức của logic mệnh đề về dạng chỉ
chứa các phép toán ⎤, ∧, ∨. Trong logic mờ cũng vậy, ta có thể đưa các công thức
về dạng chỉ chứa: n, S, T.
* Định nghĩa 1.13:
Giả sử N(P, Q, R, ) là các công thức chỉ chứa các phép toán n, S, T. Nếu
trong N(P, Q, R, ), ta thay S, T tương ứng bởi T, S thì công thức mới nhận được
sau phép thay thế đó gọi là công thức đối ngẫu c
ủa công thức N(P, Q, R, ). Kí hiệu

bởi N*(P, Q, R, ). Phép biến đổi từ công thức N thành công thức N* gọi là phép
đối ngẫu.
* Ví dụ:
- Công thức đối ngẫu của S(x, y) là T(x, y).
- Công thức đối ngẫu của công thức n(S(T(x, y))) là n(T(S(x, y))).
1.3.2. Quan hệ giữa t - chuẩn và t - đối chuẩn.
Giữa t - chuẩn và t - đối chuẩn ta có thể biểu diễn thông qua nhau theo định
lý sau:
* Định lý 1.14: Cho n là phép phủ định mạnh, S là một t - đối chuẩn. Khi đó hàm T
xác định trên [0, 1]
2
bằng biểu thức:
T(x, y) = n(S(n(x), n(y))), với ∀ 0 ≤ x, y ≤ 1 là một t - chuẩn.
Tương tự, chúng ta có định lí sau:
* Định lý 1.15: Cho n là phép phủ định mạnh, T là một t- chuẩn, khi ấy hàm S xác
định trên [0, 1]
2
bằng biểu thức:
S(x, y) = n(T(n(x), n(y))), với ∀ 0 ≤ x, y ≤ 1là một t - đối chuẩn.
Dùng hai định lí trên chúng ta có thể chọn nhiều cặp (t - chuẩn, t - đối chuẩn)
đối ngẫu tương ứng.
Sau đây là mấy cặp đối ngẫu:
Chọn n(x) = 1 - x, chúng ta có:
17

T(x, y) S(x, y)
min(x, y) max(x, y)
x.y x + y - x.y
max{x + y - 1, 0} min{x + y, 1}
min

0
(x, y)=
min{ , } ) 1
0)1
víi (
víi (
xy x y
xy
+>
⎧⎫
⎨⎬
+≤
⎩⎭

max1(x, y) =
max{ , } ) 1
0)1
víi (
víi (
xy x y
xy
+<
⎧
⎫
⎨
⎬
+≥
⎩⎭

Z(x, y)

=
min{ , } , ) 1
0,)1
víi max(
víi max(
xy xy
xy
=
⎧⎫
⎨⎬
<
⎩⎭

Z’(x, y) =
max{ , } , ) 0
0,)0
víi min(
víi min(
xy xy
xy
=
⎧
⎫
⎨
⎬
>
⎩⎭

Bảng 1.1 : Các cặp đối ngẫu với n(x) = 1-x
1.3.3. Một số qui tắc với phép hội và phép tuyển

Trong lí thuyết tập mờ và suy luận với logic mờ, một số tính chất trong lí
thuyết tập hợp theo nghĩa thông thường không còn đúng nữa. Chẳng hạn trong lí
thuyết tập hợp, với bất kỳ tập rõ A ⊂ X, thì ta có:
A ∩ A
C
= ∅;A ∪ A
C
= X.
Nhưng sang tập mờ thì hai tính chất trên không còn đúng nữa.
Cho T là t - chuẩn, S là t - đối chuẩn, n là phép phủ định. Ta có một số tính
chất sau:
-
Tính luỹ đẳng (idempotency):
* Định nghĩa 1.16:
Chúng ta nói T là luỹ đẳng (idempotency) nếu T(x, x) = x, với ∀x∈[0, 1], và
S là luỹ đẳng nếu S(x, x) = x, với ∀x ∈ [0, 1].
* Mệnh đề 1.17:
T là luỹ đẳng khi và chỉ khi T(x, y) = min(x, y), với∀x, y∈[0, 1], và cũng nói
S là luỹ đẳng khi và chỉ khi S(x, y) = max(x, y), với ∀x, y∈[0, 1].
18

- Tính nuốt (absorption):
* Định nghĩa 1.18:
Có hai dạng định nghĩa nuốt suy rộng từ lí thuyết tập hợp:
T(S(x, y), x) = x, với ∀x, y∈[0, 1]. (a)
S(T(x, y), x) = x, với ∀x, y∈[0, 1]. (b)
* Mệnh đề 1.19:
(a) đúng khi và chỉ khi T(x, y) = min(x, y), với ∀x, y∈[0, 1],
(b) đúng khi và chỉ khi S(x, y) = max(x, y), với ∀x, y∈[0, 1].
-

Tính phân phối (distributivity):
* Định nghĩa 1.20:
Có hai biểu thức xác định tính phân phối:
S(x, T(y, z)) = T(S(x, y), S(x, z)), với ∀x, y, z ∈ [0, 1]. (c)
T(x, S(y, z)) =S(T(x, y), T(x, z)), với ∀x, y, z ∈ [0, 1]. (d)
* Mệnh đề 1.21:
(c) đúng khi và chỉ khi T(x, y) = min(x, y), với ∀x, y ∈ [0, 1],
(d) đúng khi và chỉ khi S(x, y) = max(x, y), với ∀x, y∈ [0, 1].
-
Luật De Morgan.
Luật De Morgan trong lí thuyết tập hợp:
(A ∩ B)
C
= A
C
∪ B
C

(A ∪ B)
C
= A
C
∩ B
C

Trong logic mờ luật De Morgan được suy rông:
* Định nghĩa 1.22:
Cho T là t - chuẩn, S là t - đối chuẩn, n là phép phủ định chặt. Ta nói bộ ba
(T, S, n) là một bộ ba De Morgan nếu: n(S(x, y)) = T(n(x), ny).
Ta nói bộ ba là liên tục nếu S, T là hai hàm liên tục.